第28讲三角函数的周期性、奇偶性、对称性课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数的周期性、奇偶性、对称性及综合应用，依据高考评价体系明确三大核心考点，通过梳理周期计算（定义法、公式法、图象法）、奇偶性判断（奇函数、偶函数形式）、对称性求法（对称轴、对称中心），结合近5年高考真题分析考点权重，归纳选择、填空及综合题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题深度融入与应试技巧指导，如以2024新课标Ⅱ卷真题对比分析f(x)=sin2x与g(x)=sin(2x-π/3)的性质，培养学生数学思维（推理能力）。方法总结中辅助角公式转化、周期计算步骤，帮助学生用数学语言表达问题，题型训练涵盖绝对值三角函数周期判断等易错点，助力学生掌握得分技巧，教师可据此系统复习，提升备考效率。

第28讲三角函数的周期性、奇偶性、对称性 考点一　三角函数的周期性 [例1]　(1)(多选)下列函数中,最小正周期为π的是(　 　) A.y=cos|2x|　　　　　 B.y=|cos x| C.y=cos(2x+) D.y=tan(2x-) [解析]　A中,y=cos|2x|=cos 2x的最小正周期为π; B中,由图象(图略)知y=|cos x|的最小正周期为π; C中,y=cos(2x+)的最小正周期T==π; D中,y=tan(2x-)的最小正周期T=. ABC (2)已知函数f(x)=2sin,则f(1)+f(2)+…+f(19)+f(20)=　　　　.  [解析]　因为函数f(x)=2sin的周期为T==6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0, 所以f(1)+f(2)+…+f(19)+f(20)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(1)+f(2)=2. 2 方法总结 三角函数周期的计算方法 1.定义法:通过把已知函数变形,利用周期的定义得到f(x+T)=f(x),从而求得三角函数的周期. 2.公式法:函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T=,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T=. 3.图象法:求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象,通过观察图象得出周期. 跟踪训练 1.已知函数f(x)=sin2ωx-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π,则ω=(　　) A.1 B.2 C. D.4 解析:因为f(x)=sin2ωx-cos2ωx=-cos 2ωx,所以=π,故ω=1. A 2.函数f(x)=|sin x|+|cos x|的最小正周期和最小值分别为(　　) A.,1 B., C.,1 D.π,1 解析:因为f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|≠f(x),f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|= |cos x|+|-sin x|=|cos x|+|sin x|=f(x),所以f(x)的最小正周期为,故排除A,D;当x∈[0,]时,f(x)=sin x+cos x=sin(x+),当x=0或x=时,f(x)取得最小值1,所以函数f(x)的最小值是1,排除B,故选C. C 考点二　三角函数的奇偶性与对称性 [例2]　(1)函数y=2|sin x|+1是(　　) A.周期为2π的奇函数 B.周期为π的奇函数 C.周期为2π的偶函数 D.周期为π的偶函数 D [解析]　设f(x)=y=2|sin x|+1,x∈R, 则f(-x)=2|sin(-x)|+1=2|-sin x|+1=2|sin x|+1=f(x),所以f(x)为偶函数. 因为y=2sin x+1的周期为2π,所以y=2|sin x|+1的周期为π. 综上,y=2|sin x|+1是周期为π的偶函数. (2)函数f(x)=sin(x+)+1的图象的对称轴方程为　　　　　　　　　　,对称中心为　　　　　　　　　　.  [解析]　由x+=+kπ(k∈Z),解得x=+kπ(k∈Z), 所以函数f(x)的对称轴方程为x=+kπ(k∈Z). 令x+=kπ(k∈Z),得x=-+kπ(k∈Z), 所以函数f(x)的对称中心为(kπ-,1)(k∈Z). x=+kπ(k∈Z) (kπ-,1)(k∈Z) 方法总结 1.奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式. 2.对称轴、对称中心的求法:对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=kπ(k∈Z)),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=+kπ(k∈Z)),求x即可.对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=(k∈Z),求x即可. 跟踪训练 3.已知函数f(x)=sin xcos(2x+φ),φ∈[0,π]为偶函数,则φ=(　　) A.0 B. C. D.π C 解析:因为f(x)的定义域为R,且为偶函数, 所以f(-)=f(),即-cos(-π+φ)=cos(π+φ),可得cos φ=-cos φ,即得cos φ=0. 因为φ∈[0,π],则φ=, 当φ=时,f(x)=-sin xsin 2x为偶函数,满足题意. 4.(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan(x-)的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　) A. B. C. D. B 解析:根据正切函数的性质,y=2tan(x-)的对称中心横坐标满足x-=, k∈Z, 即y=2tan(x-)的对称中心是(+,0),k∈Z,即a=+,k∈Z. 又a>0,则当k=0时,a取最小值. 考点三　三角函数性质的综合应用 [例3]　(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 BC [解析]　A选项,令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)零点, 令g(x)=sin(2x-)=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)零点, 显然f(x),g(x)零点不同,A选项错误; B选项,显然f(x)max=g(x)max=1,B选项正确; C选项,根据周期公式,f(x),g(x)的最小正周期均为=π,C选项正确; D选项,根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+⇔x=+,k∈Z, g(x)的对称轴满足2x-=kπ+⇔x=+,k∈Z, 显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,D选项错误. 方法总结 解决三角函数图象与性质综合问题的方法 先将y=f(x)化为y=asin ωx+bcos ωx的形式,然后利用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的形式,再借助y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题. 跟踪训练 5.(多选)北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统,其实现全球范围内全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务的关键,在于对复杂信号的处理.假设某语言通信的传递可以用函数f(x)=sin x++近似模拟其信号,则下列结论中正确的是(　 　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于点(-π,0)对称 C.f'(x)的图象关于直线x=π对称 D.f'(x)在[0,]上的最小值为0 BCD 解析:对于A,f(x+π)=-sin x--≠f(x),A错误. 对于B,易知f(x)为奇函数,且f(x-2π)=sin x++=f(x),所以f(x-2π)= -f(-x),则f(x)的图象关于点(-π,0)对称,B正确. 对于C,f'(x)=cos x+cos 3x+cos 5x,则f'(x)为偶函数,又f'(x+2π)=f'(x),所以f'(2π+x)=f'(-x),则f'(x)的图象关于直线x=π对称,C正确. 对于D,令g(x)=f'(x),则g'(x)=-sin x-3sin 3x-5sin 5x,当x∈[0,]时,3x∈[0,],5x∈[0,],则sin x≥0,sin 3x≥0,sin 5x≥0,则g'(x)≤0,所以g(x)在[0,]上单调递减,所以f'(x)在[0,]上的最小值为f'()=+0-=0,D正确. $