函数的奇偶性、周期性和对称性 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数的奇偶性、周期性和对称性核心考点，依据高考评价体系梳理了奇偶性判断、周期性应用、对称性与单调性综合等考查维度，通过近五年真题与模拟题分析明确高频考点分布，归纳出选择、填空及解答题中的常考题型，体现备考的系统性与针对性。 课件亮点在于“真题解析+变式训练+技巧建模”策略，如以2022全国乙文真题为例，用定义法推导参数求解思路，培养数学思维与推理能力，针对易错点设置“即练即清”辨析，帮助学生掌握性质综合应用技巧，教师可借助考点清单与解题模板实现精准复习，提升备考效率。

2.3 函数的奇偶性、周期性和对称性 返回目录 知识清单 知识点1　函数的奇偶性 奇偶性 满足的充要条件 图象 特征 奇函数 设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈ D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x) 关于原 点对称 偶函数 设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈ D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x) 关于y 轴对称 返回目录 常用结论    1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 2.若f(x)≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下: (1)f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔ =-1. (2)f(x)为偶函数⇔f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔ =1. 3.如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,那么一定有f(0)=0. 4.如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). 5.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间 上具有相反的单调性. 6.若y=f(x+a)是奇函数,则f(-x+a)=-f(x+a); 若y=f(x+a)是偶函数,则f(-x+a)=f(x+a). 返回目录 知识点2　函数的周期性 周期函数 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周 期函数,称T为这个函数的周期 最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个正数就叫做f(x)的最小正周期 知识拓展　关于函数周期性的几个常见结论 1.若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期是T=2|a|. 2.若f(x+a)= 或f(x+a)=- ,其中f(x)≠0,则f(x)的周期是T=2|a|. 返回目录 知识点3　函数的对称性 1.函数图象的自对称性 (1)函数y=f(x),若其图象关于直线x=a对称(a=0时, f(x)为偶函数),则f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a +x)=f(-x)⇔f(2a-x)=f(x). (2)函数y=f(x),若其图象关于点(a,0)中心对称(a=0时, f(x)为奇函数),则f(a+x)=-f(a-x)⇔f(2 a+x)=-f(-x)⇔f(2a-x)=-f(x). (3)函数y=f(x),若其图象关于点(a,b)中心对称,则f(a+x)+f(a-x)=2b⇔f(2a+x)+f(-x)=2b⇔f(2 a-x)+f(x)=2b. 返回目录 2.两个函数图象的相互对称性 (1)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线x=a对称,则g(x)=f(2a-x). (2)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于点(a,b)对称,则g(x)=2b-f(2a-x). 返回目录 知识拓展    1.关于函数图象的对称中心或对称轴的常用结论: (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x= 对称; (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点 对称; (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图象关于点 对称. 2.对称性与周期性之间的常用结论: (1)若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|(a≠b); (2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|(a≠b); (3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|(a≠b). 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)对于函数f(x),若存在x0,使得f(-x0)=-f(x0),则f(x)是奇函数. ( ) (2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( ) (3)若T是函数f(x)的一个周期,则2T也是函数f(x)的周期. ( ) (4)若函数f(x)满足f(1+x)=2-f(3-x),则函数f(x)的图象关于点(2,1)对称. ( )     √         √         ✕         ✕     返回目录 2.(易错题)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是_________. 返回目录 3.已知f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时, f(x)=x+1,则f(-1)的值为_______. 　-2     返回目录 4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当-1≤x<0时, f(x)=-x2+2,则f(2 025) =_______. 　-1     返回目录 考点清单 考点1　函数的奇偶性 角度1　函数奇偶性的判断 典例1    (多选)下列函数中,是奇函数的是 ( ) A.y=ex-e-x　　     B.y=x3-x2 C.y=tan 2x　　    D.y=log2      ACD     返回目录 解析　对于A,令f(x)=y=ex-e-x,定义域为R, f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),故f(x)为奇函数,A符合题意; 对于B,令f(x)=y=x3-x2,定义域为R, f(-x)=(-x)3-(-x)2=-x3-x2≠-f(x), f(x)不是奇函数,B不符合题意; 对于C,令f(x)=y=tan 2x,定义域为 ,关于原点对称, f(-x)=tan(-2x)=-tan 2x=-f(x), f(x)为奇函数,C符合题意; 对于D,令f(x)=y=log2 ,由 >0,解得-1<x<1,即函数的定义域为(-1,1),关于原点对称, f(-x)=log2 =-log2 =-f(x), f(x)为奇函数,D符合题意.故选ACD. 返回目录 解题技巧　判断函数奇偶性的方法 1.定义法   返回目录 2.图象法   3.性质法 在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 返回目录 变式训练 1.(图象法)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是 ( ) A. f(x)是偶函数,且单调递增区间是(-∞,0) B. f(x)是偶函数,且单调递减区间是(-∞,1) C. f(x)是奇函数,且单调递减区间是(-1,1) D. f(x)是奇函数,且单调递增区间是(0,+∞)     C     返回目录 解析    f(x)=x|x|-2x= 作出函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,函数f(x)的图 象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且f(x)的单调递减区间为(-1,1),单调递增区间为 (-∞,-1),(1,+∞).故选C.   返回目录 2.(性质法)已知f(x)=x3g(x)是定义在R上的偶函数,则g(x)的解析式可以为 ( ) A.g(x)= -3x　　     B.g(x)=x3+x2 C.g(x)= +3x　　     D.g(x)=x2-x3     A     解析　因为f(x)=x3g(x)为定义在R上的偶函数,又因为y=x3为奇函数,所以由奇×奇=偶,知 g(x)为奇函数.在四个选项中,只有A选项中的函数g(x)= -3x是奇函数,B,C,D选项中的 函数都不是奇函数.故选A. 返回目录 角度2　利用奇偶性求值(或求解析式) 典例2    (2022全国乙文,16,5分)若f(x)=ln +b是奇函数,则a=_______,b=____________.     ln 2     　-      解析　解法一　定义法 f(x)=ln +b=ln +b =ln +b, 且f(-x)=ln +b, 又∵函数f(x)为奇函数, ∴f(x)+f(-x)=ln +ln +2b=0, 返回目录 ∴ln +2b=0恒成立, 因此有 = ,则2a+1=0,解得a=- ,则-2b=ln =-2ln 2⇒b=ln 2,∴a=- ,b=ln 2. 解法二　∵f(x)是奇函数, ∴f(x)的定义域关于原点对称. 由已知得x≠1,∴x≠-1,即当x=-1时, =0,∴a+ =0,∴a=- , 此时f(x)=ln +b, ∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义, 返回目录 ∴f(0)=0,即ln +b=ln +b=0,∴b=-ln =ln 2,此时f(x)=ln +ln 2=ln ,满 足题意. 综上可知,a=- ,b=ln 2. 解题技巧　函数奇偶性应用的两个方向 1.求函数值或函数解析式:将所求值或解析式对应的自变量利用奇偶性转化到已知解 析式的区间,构造方程(组). 2.求参数:由定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)得到恒 等式,再利用系数相等构造方程(组). 返回目录 变式训练 3.(条件结论变式)(2025届上海金山中学模拟,14)已知y=f(x)是定义在R上的偶函数, 且当x∈(-∞,0)时, f(x)=x2-ex+1,则当x∈(0,+∞)时, f(x)= ( ) A.x2-ex+1　　    B.x2+e-x+1 C.x2-e-x+1　　    D.-x2+e-x-1     C     解析　当x>0时,-x<0,则f(-x)=x2-e-x+1.因为y=f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x)=x2 -e-x+1.故选C. 返回目录 4.(关键元素变式)(2026届安徽摸底大联考,5)已知定义在R上的奇函数f(x),满足当x> 0时, f(2x)=2f(x)-1,且f(2)+f(4)=5,则f(-1)= ( ) A.- 　　    B. 　　     C.-3　　     D.3     A     解析　当x>0时, f(2x)=2f(x)-1,则f(x)= (1+f(2x)),且f(4)=2f(2)-1,又f(2)+f(4)=5,则f(2)=2, f(4)=3, f(1)= (1+f(2))= ,又f(x)是R上的奇函数,所以f(-1)=-f(1)=- .故选A. 返回目录 角度3　奇偶性与单调性 典例3    (2025届吉林通化模拟,6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在[0,+∞)上 单调递增,则f(ex-1)+f((1-e)x)<0的解集为 ( ) A.(-1,1)　　    B.(0,1)　　     C.(0,e)　　     D.(1,e)     B     返回目录 解析　由f(x)是定义在R上的奇函数可知, f(ex-1)+f((1-e)x)<0⇒f(ex-1)<-f((1-e)x)=f((e-1)x), 又f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在R上单调递增,所以ex-1<(e-1)x.画出y=ex-1与y=(e-1)x 的图象如图所示,   由图可知,不等式ex-1<(e-1)x的解集为(0,1).故选B. 返回目录 解题技巧　运用奇偶性与单调性解不等式的策略 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致,偶 函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,将问题转化到同一单调区间内求解,涉及 偶函数时,常用f(x)=f(|x|)将问题转化到区间[0,+∞)上求解. 返回目录 变式训练 5.(情境模型变式)已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x-4)-1是偶函数,当x≤-4时, f(x)=(x+4)2-2, 则不等式f(3x-5)>f(2x-4)的解集为________________.      ∪(1,+∞)     解析　因为函数f(x)的定义域为R, y=f(x-4)-1是偶函数,所以f(-x-4)-1=f(x-4)-1,即f(-x-4)= f(x-4),所以f(x)的图象关于直线x=-4对称. 因为当x≤-4时, f(x)=(x+4)2-2, 因此f(x)在(-∞,-4]上单调递减,故f(x)在[-4,+∞)上单调递增. 因为f(3x-5)>f(2x-4),所以|3x-5+4|>|2x-4+4|,即|3x-1|>2|x|,即(3x-1)2>4x2,可得(x-1)(5x-1)>0, 解得x< 或x>1,故不等式f(3x-5)>f(2x-4)的解集为 ∪(1,+∞). 返回目录 考点2　函数的周期性和对称性 角度1　周期的判定及应用 典例4    (2026届福建泉州质量监测,5)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当0<x ≤1时, f(x)=-x2+x,则f = ( ) A.- 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      B     解析　由f(x+2)=f(x)得f(x)的周期为2,又f(x)是奇函数,所以f =f =f =-f  =- =- .故选B. 返回目录 方法总结　函数周期性的判定与应用 (1)只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0),便可证明函数f(x)是周期函数,且T为其一个周期,函数的 周期性常与函数的其他性质综合命题. (2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题 时,要注意:若T是函数的周期,则kT(k∈N*)也是函数的周期. 返回目录 变式训练 6.(命题推广变式)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)= f(x),且当x∈[0,1)时, f(x)=1-|2x-1|. 若当x∈[m,+∞)时, f(x)≤ ,则m的最小值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     返回目录 解析　由题意知,当x∈[1,2)时, f(x)= f(x-1)= (1-|2x-3|); 当x∈[2,3)时, f(x)= f(x-1)= (1-|2x-5|); …… 可得在区间[n,n+1)(n∈Z)上, f(x)= [1-|2x-(2n+1)|].【提示:根据在前两个区间上的解析 式,归纳在区间[n,n+1)(n∈Z)上的解析式】 作函数y=f(x)的图象,如图所示, 返回目录   当x= 时, f =  = > ,当x= 时, f = × = < ,【从[4, 5)这个区间开始,后边所有区间上的最大值都比 小】 当x∈ 时,由f(x)= (1-|2x-7|)= ,得x= ,所以当m≥ 时, f(x)≤ 恒成立, 所以m的最小值为 .故选B. 返回目录 角度2　单调性与对称性 典例5    (2026届黑龙江大庆教学质量检测,7)已知函数f(x)的定义域为R, f(1+x)=f(3-x), 且f(x)在[2,+∞)上单调递减,则不等式f(2x-3)>f(3)的解集是 ( ) A.(-∞,3)　　    B.(-∞,2)　　     C.(3,+∞)　　    D.(2,3)     D     解析　由f(1+x)=f(3-x)得f(x)图象的对称轴为直线x=2, 因为f(x)在[2,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,2)上单调递增, 所以由f(2x-3)>f(3)可得1<2x-3<3,解得2<x<3,即不等式的解集为(2,3).故选D. 返回目录 解题技巧　对于函数的单调性与对称性结合的题目,通常先根据对称性转移符号或根 据对称性判断单调性(如奇函数在关于原点对称区间的单调性相同,偶函数在关于原点 对称区间的单调性相反),再根据单调性求解. 返回目录 变式训练 7.(结论拓展变式)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件 是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成 中心对称的充要条件是函数f(x+a)-b为奇函数.根据这一结论,可以求出函数f(x)=x3-x2的 图象的对称中心是_________. 返回目录 解析　设f(x)=x3-x2的图象的对称中心是P(a,b),则函数y=f(x+a)-b为奇函数,所以f(-x+a)-b =-f(x+a)+b恒成立,故f(-x+a)+f(x+a)-2b=0恒成立,所以(-x+a)3-(-x+a)2+(x+a)3-(x+a)2=2b恒 成立,整理得(6a-2)x2+2a3-2a2=2b恒成立,则6a-2=0,2a3-2a2=2b,所以a= ,b=- ,故f(x)=x3-x2 的图象的对称中心是 . 小题速解　由f(x)=x3-x2得f '(x)=3x2-2x,因此f ″(x)=6x-2,令f ″(x)=0,得x= ,又f =- ,故 f(x)=x3-x2的图象的对称中心是 . 返回目录 角度3　奇偶性与对称性 典例6    (2025届河南省实验中学开学考,8)函数f(x)及其导数f '(x)的定义域均为R,记g(x) =f '(x),若f(1-x)和g(x+2)都是偶函数,则( ) A.f(x)是奇函数　　    B.f(x)是偶函数 C.g(x)是奇函数　　    D.g(x)是偶函数     D     返回目录 解析　∵f(1-x)是偶函数, ∴f(1-x)=f(1+x), ∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称. 又g(x+2)为偶函数, ∴g(x+2)=g(-x+2),① ∴函数g(x)的图象关于直线x=2对称. 由f(1-x)=f(1+x),得-f'(1-x)=f'(1+x),即-g(1-x)=g(1+x)⇔g(1+x)+g(1-x)=0, ∴函数g(x)的图象关于点(1,0)对称, 返回目录 由g(1+x)=-g(1-x)⇒g(2+x)=-g(-x)⇒g(2-x)=-g(-x)⇒g(2+x)=-g(x), 即g(4+x)=-g(2+x)=g(x),② 由①②得g(x)=g(x+4)=g(-x), ∴g(x)是偶函数.故选D. 方法总结　解决奇偶性与对称性的综合问题时,一般有两种思路,一种是由奇偶性直接 判断其图象的对称性,判断时可结合函数图象变换的知识,再根据奇偶性、对称性、单 调性等性质解题;另一种是利用奇偶性的定义建立f(x)与f(-x)的关系,再结合函数图象的 对称性的相关结论解题. 返回目录 变式训练 8.(关键元素变式)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2, 则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( ) A.-50　　    B.0　　     C.2　　     D.50     C     返回目录 解析　∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,∴f(-x)=-f(x),且f(0)=0, ∵f(1-x)=f(1+x),∴f(x)=f(2-x),且f(2)=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(2-x),∴f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴4是函数f(x)的一个周期, 由f(x+2)+f(x)=0得f(3)+f(1)=0,f(4)+f(2)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,又f(1)=2,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50) =[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×12+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2,故选C. 返回目录 角度4　对称性与周期性 典例7    (2022全国乙理,12,5分)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)- f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则 f(k)= ( ) A.-21　　    B.-22　　     C.-23　　    D.-24     D     返回目录 解析　由y=g(x)的图象关于直线x=2对称,得g(2+x)=g(2-x),故g(x)=g(4-x),由g(x)-f(x-4)=7, 得g(2+x)-f(x-2)=7①,又f(x)+g(2-x)=5②,则由②-①,得f(x)+f(x-2)=-2③,则f(x+2)+f(x)=-2④, 所以由④-③,得f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数. 对于④,分别令x=1,2,得f(1)+f(3)=-2, f(2)+f(4)=-2, 则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4. 对于①,令x=-1,得g(1)-f(-3)=7, 则g(1)-f(1)=7⑤, 对于②,令x=1,得f(1)+g(1)=5⑥, 返回目录 由⑤⑥,得f(1)=-1. 对于②,令x=0,得f(0)+g(2)=5, 又g(2)=4,所以f(0)=1. 对于③,令x=2,得f(2)+f(0)=-2,所以f(2)=-3.则 =5×(-4)+f(1)+f(2)=-20+(-1)+(-3)=-24. 故选D. 方法总结    1.已知函数图象的两条对称轴、两个对称中心或一条对称轴加一个对称中 心都可以得到其周期的结论.(见P19对称性与周期性之间的常用结论) 2.解决奇偶性与周期性的综合问题时,通常先用周期性将函数转化到原点附近的区间 上,再用对称性解决一个周期内的问题,最后用周期性将结论推广到定义域内. 返回目录 变式训练 9.(关键元素变式)(多选)(2025届河北预测卷,11)已知函数f(x)的定义域为R,函数g(x) 是f(x)的导函数, f(2-x)+f(x)=0,g(3-2x)+g(1+2x)=1,则下列说法正确的是 ( ) A.f(1)=0 B.g(x)的一个周期为2 C.g(x)的图象关于直线x=5对称 D. g(i)=      ACD     返回目录 解析　∵f(2-x)+f(x)=0,∴f(x)的图象关于点(1,0)对称,∴f(1)=0,因此A正确; 对f(2-x)+f(x)=0求导得-f'(2-x)+f'(x)=0,即g(2-x)=g(x), ∴g(x)的图象关于直线x=1对称, 又∵g(3-2x)+g(1+2x)=1,∴g(3-x)+g(1+x)=1,∴g(x)的图象关于点 对称,∴g(x)的一个 周期为4,【若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|(a≠ b)】∴g(x)的图象关于直线x=5对称,因此B错误,C正确; 在g(3-2x)+g(1+2x)=1中,令x=0,得g(3)+g(1)=1, 在g(2-x)=g(x)中,令x=0,得g(0)=g(2)= ,则g(4)= , 返回目录 ∴g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=2,∵2 027=4×506+3, ∴ g(i)=506 g(i)+g(1)+g(2)+g(3)=506×2+1+ = ,因此D正确.故选ACD. 返回目录 角度5　函数性质的综合运用 典例8    (2025届广东广州摸底考,6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-1)=f(3-x),且在 [0,1)上单调递减,若方程f(x)=-1在[0,1)上有实数根,则方程f(x)=1在[-1,11]上的所有实根 之和为 ( ) A.30　　    B.28　　     C.26　　    D.24     A     返回目录 解析　由f(x-1)=f(3-x)可知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 由函数f(x)是奇函数,可知f(3-x)=f(x-1)=-f(1-x),即f(2+x)=-f(x), 则f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以函数f(x)的周期为4, 根据函数的性质,画出函数的示意图,如图,   由对称性可知,方程f(x)=1在[-1,0)上有一个实数根,根据函数图象关于直线x=1对称,可 返回目录 知f(x)=1在[2,3)上也有一个实数根,再根据函数的周期性,得到直线y=1与y=f(x)的图象在 区间[-1,11]上有6个交点, 利用对称性可知,x1+x2=2,x3+x4=10,x5+x6=18, 所以方程f(x)=1在[-1,11]上的所有实根之和为2+10+18=30.故选A. 方法总结　函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质,常常将它们 综合在一起命题,解题时,往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区 间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题. 返回目录 变式训练 10.(多选)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,函数f(2x+2)为奇函数,f(x-1)为偶函数,g(x)为 奇函数,g(x)=g(4-x),则下列说法正确的是 ( ) A.函数f(x)的一个周期是6 B.函数g(x)的一个周期是8 C.若f(0)=2,则f(18)+g(68)=-2 D.若当0≤x≤2时,g(x)=ln(x+1),则当10≤x≤12时,g(x)=ln(13-x)     BCD     返回目录 解析　对于A,因为f(2x+2)为奇函数,所以f(-2x+2)=-f(2x+2),令t=2x,得到f(2-t)=-f(t+2),即 有f(-t)=-f(t+4),故可得f(-x)=-f(x+4),又f(x-1)为偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),即有f(-x)=f(x-2), 所以f(x-2)=-f(x+4),得到f(x)=-f(x+6),所以f(x)=-f(x+6)=f(x+12),即函数f(x)的一个周期是1 2,所以A错误;对于B,因为g(x)为奇函数,所以g(-x)=-g(x),又g(x)=g(4-x),所以-g(-x)=g(4-x), 即g(x)=-g(x+4)=g(x+8),所以函数g(x)的一个周期是8,所以B正确;对于C,由选项A和B知, f(18)+g(68)=f(6)+g(4),又g(0)=g(4)=0,f(6)=-f(0)=-2,所以f(18)+g(68)=-2,故C正确;对于D, 因为当0≤x≤2时,g(x)=ln(x+1),所以当10≤x≤12时,0≤12-x≤2,所以g(x)=g(x-8)=g(4-(x-8)) =g(12-x)=ln(12-x+1)=ln(13-x),所以D正确.故选BCD. 返回目录 11.(对称性化为奇偶性)(2025届福建厦门一中入学考,8)已知函数f(x),g(x)的定义域 均为R,函数f(x)的图象关于点(-1,-1)对称,函数g(x+1)的图象关于y轴对称, f(x+2)+g(x+1) =-1, f(-4)=0,则f(2 030)-g(2 017)= ( ) A.-4　　    B.-3　　     C.3　　    D.4     B     返回目录 解析　因为函数f(x)的图象关于点(-1,-1)对称,所以f(x)+f(-2-x)=-2, 令x=-4,可得f(-4)+f(2)=-2, 又因为f(-4)=0,所以f(2)=-2. 由g(x+1)的图象关于y轴对称,知函数g(x+1)为偶函数,所以g(-x+1)=g(x+1), 在f(x+2)+g(x+1)=-1中, 令x=0,可得f(2)+g(1)=-1, 则g(1)=-1-f(2)=1, 由f(x+2)+g(x+1)=-1, 返回目录 可得f(x)+g(x-1)=-1, f(-x-2)+g(-x-3)=-1, 两式相加可得-2+g(x-1)+g(-x-3)=-2,即g(x-1)+g(-x-3)=0, 可得g(x-5)+g(-x+1)=0, 又g(-x+1)=g(x+1),则g(x-5)+g(x+1)=0,即g(x)+g(x+6)=0, 故g(x+6)=-g(x), 所以g(x+12)=-g(x+6)=g(x),即函数g(x)的周期T=12, 由f(x)+g(x-1)=-1,可知f(2 030)=-1-g(2 029), 所以f(2 030)-g(2 017)=-1-g(2 029)-g(2 017)=-1-g(1)-g(1)=-1-2g(1)=-3.故选B. 返回目录 $