第7章 随机变量及其分布 A卷 基础巩固卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册测试卷（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布 A卷 基础巩固卷 (时间:120分钟 分值:150分) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.右表是离散型随机变量X 的分布列,则常数a的值是 ( ) A.16 B. 1 5 C.13 D. 1 2 X 3 4 5 P 13 a 1 2 2.已知X 的分布列如表所示,设Y=2X+1,则Y 的数学期望E(Y)的 值是 ( ) A.-16 B. 2 3 C.1 D.2936 X -1 0 1 P 12 1 6 a 3.某早餐店发现加入网络平台后,每天小笼包的销售量X~N(1000,2500)(单位:个),估计300 天内小笼包的销售量约在950到1050个的天数大约是 ( ) (若随机变量X~N(μ,σ 2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973) A.205 B.246 C.270 D.275 4.在某班学生考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%. 已知一名学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是 ( ) A.0.2 B.0.33 C.0.5 D.0.6 5.有20个零件,其中16个一等品,其余都是二等品,若从20个零件中任取3个,那么至多有一 个是二等品的概率是 ( ) A. C116C24 C320 B. C216C14 C320 C. C216C14+C316 C320 D.以上均不对 6.为丰富学生的课余活动,学校举办“书香临夏、悦享阅读”的读书朗诵比赛.已知参加比赛的男 同学与女同学人数比是3∶2,其中有20%的男同学和30%的女同学擅长中华诗词朗诵,现随 机选一位同学,这位同学恰好擅长中华诗词朗诵的概率是 ( ) A.0.28 B.0.24 C.0.26 D.0.30 7.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向 右,并且向上、向右移动的概率都是1 2. 质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为 ( ) A.12 5 B.C25 1 2 5 C.C15 1 2 5 D.C25C35 1 2 5 8.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手 势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏,每次游戏互不 影响,记小明4次游戏得分之和为X,则X的均值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 —71— 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.若随机变量X 服从两点分布,其中P(X=0)=13 ,E(X)、D(X)分别为随机变量X 均值与方 差,则下列结论正确的是 ( ) A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=4 D.D(X)=49 10.已知E(X)=3,D(2X-1)=8,则 ( ) A.E(2X-1)=5 B.E(2X-1)=6 C.D(X)=2 D.D(X)=4 11.甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏,依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次,每次结果要么正面向 上,要么反面向上,两种结果等可能,而且各次抛掷相互独立.记事件A 表示“3次结果中有正 面向上,也有反面向上”,事件B 表示“3次结果中最多一次正面向上”,事件C 表示“3次结果 中没有正面向上”,则 ( ) A.事件B 与事件C 互斥 B.P(B)=38 C.事件A 与事件B 相互独立 D.记C的对立事件为C,则P(B|C)=37 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为34 ,记该同学在本次期中考试中数学 成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量X,则D(2X+3)= . 13.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使 用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为 . 14.排球比赛实行“五局三胜制”,某次比赛中,中国女排和 M 国女排相遇,统计以往数据可知,每 局比赛中国女排获胜的概率为2 3 ,M 国女排获胜的概率为13 ,则中国女排在先输一局的情况 下最终获胜的概率为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)某老师在课余时间为缓解同学们的学习疲劳,组织了两组摸球游戏,事先准备好两个 袋子,红、白、黑三种颜色但质地均匀且大小相同的球若干个. (1)一个袋子中有10个大小相同的球,其中红球7个,黑球3个,每次从袋中随机摸出1个 球,摸出的球不再放回.求第2次摸到红球的概率; (2)另一个袋子中装有5个大小相同的球,其中红球2个,白球3个.每次从袋中随机摸出1 个球,摸出后把球放回,并再装入与摸出球同色的球3个,共摸2次.求摸出的两个球都是红 球的概率. —81— 16.(15分)一个袋中有10个大小相同的球,其中标号为1的球有3个,标号为2的球有5个,标 号为3的球有2个.第一次从袋中任取一个球,放回后第二次再任取一个球(假设取到每个球 的可能性都相等).记两次取到球的标号之和为X.求: (1)随机变量X 的分布列; (2)随机变量X 的均值. 17.(15分)某校组织全校学生参加“防范校园欺凌”知识竞赛,现从中 随机抽取了100名学生,将他们的得分(满分:100分)分成如下6 组:[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100],绘制成频率分布直方 图如右: (1)求a的值,并估计这100名学生的平均得分;(同一组数据用该 组区间的中点值作代表) (2)若该校决定奖励竞赛得分排名前40%的学生,小明本次竞赛获得78分,估计他能否获得 奖励; (3)从样本中竞赛得分不低于80的学生中,按比例用分层随机抽样的方法抽取10人进行学 习交流,再从参加学习交流的学生中任选3人,记这3人中得分在[90,100]内的人数为X,求 X 的分布列和数学期望. 18.(17分)某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健 身消费金额,随机抽样统计了2024年1月份100名客 户的消费金额,分组如下:[0,200),[200,400),[400, 600),…,[1000,1200](单位:元),得到如图所示的 频率分布直方图: (1)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士,不 少于1000元的客户称为健身达人,现利用分层随机 —91— 抽样的方法从健身卫士中抽取6人,再从这6人中抽取2人做进一步调查,求抽到的2人中 至少1人为健身达人的概率; (2)为吸引顾客,在健身项目之外,该健身馆特推出健身配套营养品的销售,现有两种促销 方案. 方案一:每满800元可立减100元; 方案二:金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率为12 ,且每次抽奖互不影响,中奖1次 打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折. 若某人打算购买1000元的营养品,请您帮他分析应该选择哪种促销方案. 19.(17分)某汽车销售公司为了提升公司的业绩,现将最近 300个工作日每日的汽车销售情况进行统计,如图所示: (1)求a的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售 量的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表); (2)以频率估计概率,若在所有工作日中随机选择4天, 记汽车销售量在区间[200,250)内的天数为X,求X 的 分布列及数学期望; (3)为增加销售量,公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动,规则如下:抽奖区 有A,B 两个盒子,其中A 盒中放有9张金卡、1张银卡,B 盒中放有2张金卡、8张银卡,顾客 在不知情的情况下随机选择其中一个盒子进行抽奖,直到抽到金卡则抽奖结束(每次抽出一 张卡,然后放回原来的盒中,再进行下次抽奖,中途可更换盒子),卡片结果的排列对应相应的 礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同,求小明在首次抽奖抽出银卡的条件 下,第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率. —02— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 第七章 随机变量及其分布 A卷 基础巩固卷 姓 名 准考证号 考生禁填:缺考考生由监考员填涂右边的缺考 标记 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考生条形码粘贴处 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 注 意 事 项 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真检查监考员所粘 贴的条形码; 2.选择题必须用2B铅笔填涂,解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写,字体 工整,笔迹清楚; 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无 效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 9.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 13. 14. ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —12— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 四、解答题:本题共5小题,共77分. 15.(13分) 16.(15分) ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —22— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 17.(15分) 18.(17分) ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —32— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 19.(17分) ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —42— 故a1+a2+a3+…+a6= 1 2+ 1 6+ 1 12+ 1 20+ 1 30 +142 = 11×2+ 1 2×3+ 1 3×4+ …+ 16×7 = 1-12 + 12-13 + 13-14 + … + 1 6- 1 7 =1-17=67. (2)莱布尼茨三角的性质: 1(n+1)Cr-1n + 1(n+1)Crn = 1 nCr-1n-1 (n,r∈N*,1≤r≤n). 证明: 1(n+1)Cr-1n + 1(n+1)Crn = 1n+1× (r-1)! (n+1-r)! n! + 1 n+1× r! (n-r)! n! = (r-1)! (n-r)! (n+1-r+r) (n+1)n! = (r-1)! (n-r)! n! = (r-1)! ×[(n-1)-(r-1)]! n×(n-1)! = 1 nCr-1n-1 . 故结论正确. 第七章 随机变量及其分布 A卷 基础巩固卷 1.A 根据概率和为1,得13+a+ 1 2=1 ,解得a= 1 6. 故选:A. 2.B ∵12+ 1 6+a=1 ,∴a=13 ,∴E(X)=-12+ 1 3 =-16 ,∴E(Y)=2E(X)+1=23. 故选:B. 3.A 依题意,得μ=1000,σ=50,则 P(950≤X≤ 1050)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,则估计 300天内小笼包的销售量约在950到1050个的天 数大约是:300×0.6827=204.81≈205.故选:A. 4.A 由题意设事件 A=“一名学生数学不及格”, B=“该名学生两门都不及格”,则所求为P(B|A) =P (AB) P(A)= 0.03 0.15=0.2. 故选:A. 5.C 至多有一个是二等品即没有二等品或者只有一 个二等品,故概率为:C 2 16C14+C316 C320 .故选:C. 6.B 设事件A 为选到一位男同学,事件B 为选到一 位女同学,事件C 位擅长中华诗词朗诵,则P(A)= 3 5=0.6 ,P(B)=25=0.4 ,P(C|A)=0.2,P(C|B) =0.3,所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B), =0.6×0.2+0.4×0.3=0.24.故选:B. 7.B 依题意,质点在移动过程中向右移动2次,向上 移动3次,因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的 概率P=C25× 1 2 2 × 1-12 3 =C25 1 2 5 . 故选:B. 8.C 进行“手心手背”游戏,小明与另外2名同学选 择手势的所有可能情况为: (心,心,心),(心,心,背),(心,背,心),(心,背, 背),(背,心,心),(背,心,背),(背,背,心),(背, 背,背),则小明得1分的概率为34 ,得0分的概率 为1 4. 进行4次游戏,小明得分之和 X 的可能结果 为0,1,2,3,4,则 P(X=0)=C04× 1 4 4 = 1256 , P(X=1)=C14× 3 4× 1 4 3 =364 ,P(X=2)=C24× 3 4 2 × 14 2 =27128 ,P(X=3)=C34× 3 4 3 ×14 =2764 ,P(X=4)=C44× 3 4 4 =81256 ,故E(X)=0× 1 256+1× 3 64+2× 27 128+3× 27 64+4× 81 256=3. 故 选:C. 9.AB 随机变量 X 服从两点分布,其中 P(X=0) =13 , ∴P(X=1)=23 ,E(X)=0×13+1× 2 3= 2 3 , D(X)= 0-23 2 ×13+ 1- 2 3 2 ×23= 2 9 , 在A中,P(X=1)=E(X),故 A正确;在B中, E(3X+2)=3E(X)+2=3×23+2=4 ,故B正确; 在C中,D(3X+2)=9D(X)=9×29=2 ,故C错 误;在D中,D(X)=29 ,故D错误.故选:AB. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —87— 10.AC 由E(X)=3,得E(2X-1)=2×3-1=5,A 正确;由D(2X-1)=22D(X)=8,得D(X)=2,C 正确.故选:AC. 11.CD 由题意可知三人抛掷硬币可能的结果有: (正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正, 正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反, 反,反)八种情况,显然事件 A 为中间六种情况, 事件B 为后四种情况,事件C 为最后一种情况. 对于A选项,易知C⊆B,故A错误;对于B选项, P(B)=48= 1 2 ,故 B错 误;对 于 C选 项,易 知 P(A)=68 ,P(AB)=38=P (A)·P(B),故C正 确;对于D选项,易知P(C)=78 ,P(BC)=38⇒ P(B|C)=P (BC) P(C) =37 ,故D正确.故选:CD. 12.解析:由题意可得 X 服从两点分布,故P(X=1) =34 ,P(X=0)=14 , 故D(2X+3)=4D(X)=4×34× 1 4= 3 4. 故答案为:3 4. 答案:3 4 13.解析:记使用寿命超过1年为事件B,超过2年为事 件A, P AB =0.6,P B =0.8, P A B =P AB P B = 0.6 0.8=0.75 故答案为:0.75. 答案:0.75 14.解析:排球比赛实行“五局三胜制”, 某次比赛中,中国女排和 M 国女排相遇,统计以 往数据可知,每局比赛中国女排获胜的概率为2 3 , M 国女排获胜的概率为13 , 中国女排在先输一局的情况下最终获胜包含两种 结果: ①中国女排在先输一局的情况下,第二、三、四局 连胜三局; ②中国女排在先输一局的情况下,第二、三、四局 两胜一负,第五局中国女排胜, 则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概 率为: P= 23 3 +C23 2 3 2 1 3 23 =1627. 故答案为:16 27. 答案:16 27 15.解:(1)记事件“第i次摸到红球”为Ai(i=1,2,3, …,10), 则第2次摸到红球的事件为 A2,于是由全概率 公式, 得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1) =710× 6 9+ 3 10× 7 9= 7 10. (2)记事件“第i次摸到红球”为Bi(i=1,2,…), 则P(B1)= 2 2+3= 2 5 ,P(B2|B1)= 2+3 2+3+3= 5 8 , 因此P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)= 2 5× 5 8= 1 4. 16.解:(1)依题意,随机变量X 的可能取值为2,3,4, 5,6, 则P(X=2)=310× 3 10= 9 100 , P(X=3)=310× 5 10×2= 3 10 , P(X=4)=310× 2 10×2+ 5 10× 5 10= 37 100 , P(X=5)=510× 2 10×2= 1 5 , P(X=6)=210× 2 10= 1 25. 故随机变量X 的分布列为 X 2 3 4 5 6 P 9100 3 10 37 100 1 5 1 25 (2)由(1)可知, E(X)=2× 9100+3× 3 10+4× 37 100+5× 1 5+6× 1 25= 19 5. 17.解:(1)依 题 意,(0.01+a+0.02+0.03+a+ 0.01)×10=1,解得a=0.015, 成绩在区间[40,50),[50,60),[60,70),[70,80), [80,90),[90,100]的频率依次为:0.1,0.15,0.2, 0.3,0.15,0.1, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —97— 所以这100名学生的平均得分为45×0.1+55× 0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1 =70.5. (2)由(1)知,成绩在区间[80,100]的频率为0.25, 成绩在区间[70,100]的频率为0.55, 则竞赛得分排名前40%的最低成绩m∈(70,80), 于是(80-m)×0.03+0.25=0.4,解得m=75, 而78>75,所以估计小明能获得奖励. (3)参加学习交流的10人中,得分在[80,90)的人 数为 0.15 0.15+0.1×10=6 ,在[90,100]内 的 人 数 为4, X 的可能值为0,1,2,3, P(X=0)= C36 C310 =16 ,P(X=1)= C26C14 C310 =12 ,P(X =2)= C16C24 C310 =310 ,P(X=3)= C34 C310 =130 , 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 16 1 2 3 10 1 30 数学期望为E(X)=0×16+1× 1 2+2× 3 10+3× 1 30= 6 5. 18.解:(1)消费金额在[800,1000)的频率为0.001× 200=0.2,在[1000,1200]的频率为0.0005× 200=0.1, 频率之比为2∶1,所以按照分层抽样,抽取的6人 中消费金额在[800,1000)的有4人,消费金额在 [1000,1200]的有2人, 所以抽到的2人中至少1人为健身达人的概率P =1- C24 C26 =35. (2)若 选 择 方 案 一,则 实 际 消 费1000-100= 900元, 若选择方案二,若不中奖,则消费1000元,概率 为 1 2 3 =18 , 若中奖1次,则消费900元,概率为 C13× 1 2 3 =38 , 若中奖2次,则消费800元,概率为 C23× 1 2 3 =38 , 若中奖3次,则消费700元,概率为 12 3 =18 , 设消费金额为 X=1000,900,800,700,分 布 列 如下: X 1000 900 800 700 P 18 3 8 3 8 1 8 期望E(X)=1000×18+900× 3 8+800× 3 8+ 700×18=850 , 因为850<900,说明第二种方案平均消费少, 所以选择第二种方案. 19.解:(1)依题意得(0.001+0.002+0.003+2a+ 0.006)×50=1. 解得a=0.004. 所求平均数为25×0.1+75×0.15+125×0.2+ 175×0.3+225×0.2+275×0.05=150. (2)因汽车销售量在区间[200,250)内的概率为 0.004×50=0.2=15 , 在所有工作日中随机选择4天,相当于一个4重 伯努利试验,故X~B 4,15 , 则P(X=0)=C04× 4 5 4 =256625 ,P(X=1)=C14× 1 5× 4 5 3 =256625 , P(X=2)=C24× 1 5 2 × 45 2 =96625 ,P(X=3) =C34× 1 5 3 ×45= 16 625 , P(X=4)=C44× 1 5 4 = 1625 ,所 以 X 的 分 布 列为: X 0 1 2 3 4 P 256625 256 625 96 625 16 625 1 625 故E(X)=4×15= 4 5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —08— (3)设“选到A 盒”为事件A1,“选到B 盒”为事件 A2,“摸 到 金 卡”为 事 件 B1,“摸 到 银 卡”为 事 件B2, 因为B1,B2 是对立事件,而P(B1)= 1 2× 9 10+ 1 2 ×210= 11 20 ,则P(B2)=1-P(B1)= 9 20. 由题意得P(A1)=P(A2)= 1 2 , 所以P(A1|B2)= P(A1B2) P(B2) = P(B2|A1)P(A1) P(B2) = 1 10× 1 2 9 20 =19 , 则P(A2|B2)=1-P(A1|B2)= 8 9. 故所求的概率P=89× 9 10+ 1 9× 2 10= 37 45. B卷 能力提升卷 1.B 由分布列的性质可得1-2q+q2+12=1 ,即 2q2-4q+1=0,解得q=4± 16-84 =1± 2 2. 又 0≤1-2q≤1 0≤q2+12≤1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得0≤q≤12 ,故q=1- 22. 故 选:B. 2.A 因为X~N(70,102),即μ=70,σ=10,所以P(60≤ X≤80)=0.6827,P(50≤X≤90)=0.9545,所以 P(80≤X≤90)=0.9545-0.68272 =0.1359 ,所 以抽测成绩在[80,90]的学生人数大约为10000× 0.1359=1359人.故选:A. 3.D 每 次 试 跳 他 能 成 功 越 过 这 个 高 度 的 概 率 为 0.8,则本次比赛他获得冠军的概率P=0.8+0.2 ×0.8+0.22×0.8=0.8+0.16+0.032=0.992. 故选:D. 4.D 设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为 X,则 X 的所有可能取值为1,2,3,4,所以 P(X=1)= 1 4 ,P(X=2)= C13C11 A24 =14 ,P(X=3)= C13C12C11 A34 = 1 4 ,P(X=4)= C13C12C11C11 A44 =14 ,所以E(X)=1×14 +2×14+3× 1 4+4× 1 4= 5 2. 故选:D. 5.C 记事件E:在某次通电后C,D 有且只有一个需 要更换,事件F:C 需要更换,则P(E)=0.3×(1- 0.2)+(1-0.3)×0.2=0.38,P(EF)=0.3×(1- 0.2)=0.24,由 条 件 概 率 公 式 可 得 P(F|E)= P(EF) P(E)= 0.24 0.38= 12 19. 故选:C. 6.C 设A1=“第1天去甲餐厅”,B1=“第1天去乙 餐厅”,A2=“第2天去甲餐厅”,则Ω=A1∪B1,且 A1 与B1 互斥.由题意得,P A1 =P B1 =0.5, P A2 A1 =0.6,P A2 A1 =0.8.由全概率公式 得,P A2 =P A1 ·P A2 A1 +P B1 · P A2 B1 =0.5×0.6+0.5×0.8=0.7.故选:C. 7.C 对于 A,由题意知:E(ξ)=(-2)× 1 2+0× 2-p 4 +2× p 4= p 2-1 ,E(η)=3× 1 2+5× 2-p 4 +7 ×p4= p 2+4 ,所以A错误;对于B,因为D(ξ)= 1 2 × p2+1 2 +2-p4 × p 2-1 2 +p4× p 2-3 2 = -14p 2+2p+1,D(η)= 1 2× p 2+1 2 +2-p4 × p 2-1 2 +p4× p 2-3 2 =-14p 2+2p+1,即 D(ξ)=D(η),故B错误;对于C,E(ξ)=p2-1 ,所 以当p增大时,E(ξ)也增大,故C正确;对于D,由 D(η)=- 1 4p 2+2p+1=-14 (p-4)2+5(0≤p≤1), 因为0≤p≤1,所以当p增大时,D(η)增大,可知D 错误.故选:C. 8.D 设蚂蚁爬n次仍在上底面的概率为Pn,那么它 前一步只有两种情况:A:如果本来就在上底面,再 走一步 要 想 不 掉 下 去,只 有 两 条 路,其 概 率 是 2 3Pn-1 ;B:如果是上一步在下底面,则第n-1步 不在上底面的概率是1-Pn-1,如果爬上来,其概 率应是1 3 (1-Pn-1).A,B 事件互斥,因此,Pn= 2 3Pn-1+ 1 3 (1-Pn-1);整理得,Pn= 1 3Pn-1+ 1 3 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —18—