专题06一元一次不等式与一次函数、一元一次不等式组 期中复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题06一元一次不等式与一次函数、一元一次不等式组 期中复习讲义 期中复习◆重点 1.一元一次不等式解法：熟练五步解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1；会用数轴表示解集，分清空心圆圈（不含等号）和实心圆点（含等号）。 2.一元一次不等式组：会分别解每个不等式，用口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”确定公共解集； 高频考点：求整数解、非负整数解。 3.一次函数与一元一次不等式（数形结合） y=kx+b>0 ⇔ 直线在x轴上方；y=kx+b<0 ⇔ 直线在x轴下方； 两函数比较大小，看图象上下位置。 4.实际应用抓住“至少、至多、不超过、不少于”等关键词列不等式； 注意结果要符合实际意义（正整数、非负数等）。 核心题型◆归纳 题型1由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型2根据两条直线的交点求不等式的解集 题型3一元一次不等式组的定义 题型4解特殊不等式组 题型5求一元一次不等式组的整数解 题型6由一元一次不等式组的解集求参数 题型7不等式组和方程组结合的问题 题型8一元一不等式组的其他应用 题型9不等式组的行程问题 题型10不等式组的经济问题 题型11提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、一次函数与一元一次不等式 1. 一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x 取值范围； 从函数图像来说，是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。 2. 用画函数图像的方法解不等式kx+b>0(或<0)，对应一次函数y=kx+b,它与x轴交点为（-,0）. 知识点二、一元一次不等式组的定义 1. 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。（注意：所有不等式的未知数必须相同，且均为一元一次不等式） 核心要素：（1）只含有同一个未知数； （2）每个不等式都是一元一次不等式（未知数次数为1，系数不为0，分母不含未知数）； （3）不等式的个数至少2个。 知识点三、一元一次不等式组的解集 1.一元一次不等式组中，所有不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；若没有公共部分，则该不等式组无解。 2. 一元一次不等式的解法步骤 （1）分别求解：分别求解不等式组中每个一元一次不等式，注意系数为负时反向不等号； （2）数轴表示：在同一条数轴上，用实心/空心点表示各不等式解集； （3）找公共部分：找出所有解集的公共部分（无公共部分则无解）； （4）写出解集：结合实际意义（若有）取舍解，规范书写答语。 知识点四、一元一次不等式组的整数解 1.定义：一元一次不等式组的解集中，所有符合条件的正整数、负整数或零，叫做这个一元一次不等式组的整数解。 2.求解方法： （1）先求出一元一次不等式组的解集； （2）在数轴上标出解集范围，明确边界点是否包含（实心点包含，空心点不包含）； （3）找出解集中所有的整数，有序列举 易错提醒：整数解需结合解集边界和实际意义判断，如人数、物品数只能是正整数，不可出现负整数或分数。 知识点五、一元一次不等式组 实际应用解题步骤 1.审题，找不等关系：读懂题意，找出题目中的关键词： 不足、至少、至多、不超过、不少于、低于、高于、大于、小于等，确定两个及以上不等关系。 2.设未知数：一般直接设问题所求量为 x，设完整单位，不设无关量。 3.列出不等式组：根据两组不等关系，分别列出一元一次不等式，组成不等式组。 4.解不等式组：①分别解每个不等式； ②借助数轴或口诀找公共解集； ③结合实际意义取舍：人数、物品数、车辆数等必须是正整数。 5.规范作答：写出符合题意的所有方案或最终答案，完整写清语句。 题型解析◆精准备考 题型1由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．如图，直线与轴的交点的坐标是，关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 3．如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是______；关于x的不等式的解集是______； (2)直接写出关于x的不等式组解集是______， (3)若点C坐标为，比较与的大小． 题型2根据两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．已知点是直线上一点，则的解集是_____________． 3．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 题型3一元一次不等式组的定义 1．下列不等式组是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 2．已知．若皆为非负数；若，则的取值范围是_______． 3．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 题型4解特殊不等式组 1．如图，已知直线：与直线：（）在第一象限交于点M．若直线与x轴的交点为，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知的解集为，则的解集为________． 3．先化简，再求值：，并从的范围内选取一个合适的m的整数值代入求值． 题型5求一元一次不等式组的整数解 1．不等式组的非负整数解有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 2．不等式组的整数解是______． 3．解答题 (1)解不等式：． (2)解不等式，并把它的解集表示在数轴上． (3)解不等式组，并写出它的非负整数解． 题型6由一元一次不等式组的解集求参数 1．已知两个非负实数m、n满足，且，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 2．明明在解一元一次不等式组时，发现“”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为，若用字母表示“”里的常数，则的取值范围是______． 3．定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”；如A：，B：，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”． (1)若关于x的不等式A：，B：，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”； (2)已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围； 题型7不等式组和方程组结合的问题 1．已知平面直角坐标系上的动点，满足，，其中，则下列结论：①；②；③；④若，则 其中正确的有 （   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 2．已知满足，则的取值范围为______． 3．关于x、y的方程组，且x、y满足，求a的取值范围； 题型8一元一不等式组的其他应用 1．布克在编程课上设计了一个运算程序，如图所示， 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行．若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，则输入的x可能是（    ） A．6 B．8 C．13 D．22 2．已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设的最大值为m，最小值为n，则的值是（   ） A．13 B．16 C．19 D．22 3．用不等式（组）解决下列问题： (1)小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的．”如果设苹果的实际质量为x斤，用不等式把这个“高高的”的意思表示出来． (2)小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，请表示的取值范围． 题型9不等式组的行程问题 1．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 2．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 3．已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示． （1）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （2）试求点的坐标，并说明其实际意义． （3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围． 题型10不等式组的经济问题 1．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 2．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 3．国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 过关检测◆提升 一、单选题 1．如图，观察图象，可以得出不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 2．如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知整数满足，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 6．若方程组的解满足，则k的取值范围是_____________． 7．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________． 8．满足不等式的所有整数解是________． 9． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 10．如图，在笔直的公路上有相距的A，B两点，C，D为两个村庄，，．已知，．现要在公路的段上建一个加油站E，并修建直路． （1）若C，D两村到加油站E的距离相等，则______； （2）若再修建直路，并将规划为一块面积不小于也不超过的林场，则的取值范围是______（单位：）． 三、解答题 11．解不等式组，并把解集表示在数轴上． 12．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线：交于点． (1)求直线的解析式； (2)当取何值时，． 13．“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市计划购进，两种品牌的粽子共600盒，采购种品牌粽子的数量不低于390盒，且不超过种品牌粽子数量的4倍．设超市购进种品牌的粽子盒，总利润为元． (1)购进种品牌的粽子___________盒（用含的式子表示）； (2)求的取值范围； (3)若种品牌粽子的进价为每盒40元，种品牌粽子的进价为每盒38元，两种品牌粽子的售价均为每盒50元．求出与之间的函数表达式及最大利润． 14．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 15．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式称为另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式：，，中，不等式 的“云不等式”是 （填序号）； (2)若关于的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $