期中培优：一元一次不等式（组）的实际应用问题复习 讲义 -2025-2026学年北师大版八年级数学下册

期中培优：一元一次不等式（组）的实际应用问题复习讲义 期中培优：一元一次不等式（组）的实际应用问题复习讲义 知识点解析 一、核心解题原理 将实际问题中的不等量关系（如“至少、最多、不超过、不低于、大于、小于”等）转化为一元一次不等式（组），通过解不等式（组）得到未知数的取值范围，再结合实际问题的整数/正整数约束（如数量、件数为正整数）确定符合题意的解，本质是实际不等关系代数化，不等式（组）求解定范围，结合实际验解。 二、六大常见应用模型（含关键不等词+列式要点） 是实际问题中最常考的类型，核心是找准表示不等关系的关键词，锁定比较的两个量，列出不等式（组）： 1. 分配型 · 关键不等词：至少、最多、不剩余、不够分 · 列式要点：总量≥分配量总和（够分/至少）、总量<分配量总和（不够分） · 例：物资分配、人员安排、物品配给 1. 最值型（方案选择前置） · 关键不等词：不超过、不低于、最多、最少 · 列式要点：单个量×数量 ≤ 总量（不超）、单个量×数量 ≥ 目标量（不低） · 例：经费使用、用料限额、时间限制 1. 比较型（方案优选） · 关键不等词：更省钱、更高效、大于、小于、不优于 · 列式要点：甲方案总量 < 乙方案总量（更优）、甲方案总量 ≥ 乙方案总量（不优于） · 例：不同收费方式、不同施工方案、不同购买渠道的比较 1. 增减型（数量变化） · 关键不等词：多于、少于、不低于、不超过 · 列式要点：变化后数量 >/< /≥/≤ 目标数量 · 例：产量增减、销量变化、人数调整 1. 配套型 · 关键不等词：恰好配套、至少配套、最多配套 · 列式要点：配套的两种量数量比 = 配套比（如1:2），结合“≥/≤”表示最值配套 · 例：零件加工配套、桌椅制作配套、服装裁制配套 1. 分段型（结合分段计费） · 关键不等词：不超过、超过、至少、最多 · 列式要点：先判断取值区间，再按“基础部分+超出部分”列不等式，多区间需列不等式组 · 例：水费、电费、话费分段计费，出租车分段收费 三、通用解题思路（五步标准化，适配所有模型） 1. 审：审题找关键，定不等关系 通读题干，标注已知量、未知量，圈出表示不等关系的关键词（至少、最多、不超过等），明确两个比较的量，确定核心不等关系（谁比谁大/小/不超/不低）；若有多个不等关系，需确定不等式组。 1. 设：设未知数，明单位 设出所求的未知量（通常设为），标注单位（如件、人、元、小时），优先设直接未知数，若直接设较复杂可设间接未知数。 1. 列：列不等式（组），抓等量/不等量 根据找到的不等关系，结合数量关系公式（如总价=单价×数量、总量=单量×个数），列出一元一次不等式（组）； ✔ 注意：若有配套比、固定比例，先列等量关系辅助，再结合不等词列不等式。 1. 解：解不等式（组），得取值范围 按照一元一次不等式（组）的解法，求出未知数的取值范围，注意不等式的性质（乘除负数变号），不等式组取各不等式的公共解集。 1. 验：结合实际验解，写最终答案 核心步骤！根据实际问题的意义，验证解集的合理性： · 未知量表示数量、件数、人数等，需取正整数/整数； · 若为方案问题，需从解集中找出所有符合条件的整数解，对应列出所有方案； 最后写出符合题意的解（或方案、最值），标注单位。 四、核心技巧与注意事项 1. 不等词精准转化：避免将“至少（≥）”错写为“>”、“不超过（≤）”错写为“<”，这是最基础也是最易出错的点； 1. 多个不等关系列组：若题干有两个及以上不等词（如“不超过经费，且至少完成数量”），必须列不等式组，取公共解集； 1. 实际意义优先：解出的解集为连续区间，但实际问题中未知量多为正整数，需从区间中筛选整数解，无整数解则说明“无符合题意的方案”； 1. 配套型抓比例：先确定配套比例（如1个A配2个B，则的数量×2 = 的数量），再结合不等词列“≥/≤”，避免比例弄反； 1. 分段型先定区间：先判断未知量落在哪个分段区间，再按该区间的计费规则列不等式，若无法确定区间，需分情况讨论并结合不等式组求解。 例题分析 例1．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图中的长度 米 图中的长度 米 (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； (2)该校礼仪队要求旗手在不少于秒且不超过秒的时间内将五星红旗从旗杆底部处升至顶部处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到）． 例2．（25-26八年级下·福建福州·期中）随着科技事业的不断发展，无人机广泛应用于多种领域，在农业方面，无人机可以帮助精准施肥和喷洒农药，从而提高生产效率．某农业公司计划购进A，B两种型号的无人机共10架用来喷洒农药，其中A型无人机4万元/架，B型无人机3万元/架．已知A型机比B型机平均每小时多喷洒2公顷农田，且A型机与B型机一小时一共可以喷洒10公顷农田． (1)求A，B两种型号的无人机平均每小时分别喷洒农田多少公顷？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒55公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使购买总成本最低？并求出最低成本． 例3．（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． (1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案． 例4．（25-26八年级下·福建福州·期中）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市计划购进，两种品牌的粽子共600盒，采购种品牌粽子的数量不低于390盒，且不超过种品牌粽子数量的4倍．设超市购进种品牌的粽子盒，总利润为元． (1)购进种品牌的粽子___________盒（用含的式子表示）； (2)求的取值范围； (3)若种品牌粽子的进价为每盒40元，种品牌粽子的进价为每盒38元，两种品牌粽子的售价均为每盒50元．求出与之间的函数表达式及最大利润． 变式训练 变式1．（25-26九年级下·广东佛山·月考）某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元． (1)求，两种食材的单价． (2)该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 变式2．（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）某商场分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如图所示： 购进数量/件 购进所需费用/元 A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 (1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A，B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 变式3．（25-26八年级下·重庆·月考）我校计划采购、两种型号的文件柜用于存放教学资料，调查发现：型号文件柜的单价是型号文件柜单价的倍，用元购买型号文件柜的数量比用元购买型号文件柜的数量多个． (1)、两种型号文件柜的单价分别是多少元？ (2)学校计划采购这两种文件柜共个，要求型号文件柜的数量不少于型号文件柜数量的倍，且型号文件柜的数量不少于个．请你设计一种购买方案，使所需费用最少，最少费用是多少？ 变式4．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 实战演练 1．（25-26八年级下·山东枣庄·月考）某中学组织学生春游，原计划租用可坐乘客30人的A种客车若干辆，发现有15人没有座位；若改为租用可坐乘客45人的B种客车，则可少租5辆，且恰好坐满． (1)原计划租用A种客车多少辆？这次春游去了多少人？ (2)若该校计划租用A，B两种客车共20辆，要求B种客车不超过6辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆900元，B种客车租金为每辆1200元，应该怎样租车才最合算？租金最低是多少？ 2．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）河南历史文化底蕴深厚，某文创商场计划购进一批以“牡丹花贴”和“汴绣书签”为代表的特色文创产品，已知一个“牡丹花贴”的进价与一个“汴绣书签”的进价的和为40元，用1200元购进“牡丹花贴”的个数与用2000元购进“汴绣书签”的个数相同． (1)“牡丹花贴”和“汴绣书签”每个的进价分别是多少元？ (2)商场计划购进“牡丹花贴”和“汴绣书签”共50个，其中“牡丹花贴”的个数不多于24个．若商场决定此次进货的总资金不超过1050元，求商场共有几种进货方案； (3)在（2）的条件下，若每个“牡丹花贴”的售价为40元，每个“汴绣书签”的售价为55元，商场为迎接“中原文化旅游节”，推出“买一赠一”惠民活动：顾客从这两种文创产品中任购一个，就可以从这两种产品中任选一个作为赠品，若这批产品在活动期间全部售出后恰好获利235元，求商场的进货方案． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：一元一次不等式（组）的实际应用问题复习讲义 期中培优：一元一次不等式（组）的实际应用问题复习讲义 知识点解析 一、核心解题原理 将实际问题中的不等量关系（如“至少、最多、不超过、不低于、大于、小于”等）转化为一元一次不等式（组），通过解不等式（组）得到未知数的取值范围，再结合实际问题的整数/正整数约束（如数量、件数为正整数）确定符合题意的解，本质是实际不等关系代数化，不等式（组）求解定范围，结合实际验解。 二、六大常见应用模型（含关键不等词+列式要点） 是实际问题中最常考的类型，核心是找准表示不等关系的关键词，锁定比较的两个量，列出不等式（组）： 1. 分配型 · 关键不等词：至少、最多、不剩余、不够分 · 列式要点：总量≥分配量总和（够分/至少）、总量<分配量总和（不够分） · 例：物资分配、人员安排、物品配给 1. 最值型（方案选择前置） · 关键不等词：不超过、不低于、最多、最少 · 列式要点：单个量×数量 ≤ 总量（不超）、单个量×数量 ≥ 目标量（不低） · 例：经费使用、用料限额、时间限制 1. 比较型（方案优选） · 关键不等词：更省钱、更高效、大于、小于、不优于 · 列式要点：甲方案总量 < 乙方案总量（更优）、甲方案总量 ≥ 乙方案总量（不优于） · 例：不同收费方式、不同施工方案、不同购买渠道的比较 1. 增减型（数量变化） · 关键不等词：多于、少于、不低于、不超过 · 列式要点：变化后数量 >/< /≥/≤ 目标数量 · 例：产量增减、销量变化、人数调整 1. 配套型 · 关键不等词：恰好配套、至少配套、最多配套 · 列式要点：配套的两种量数量比 = 配套比（如1:2），结合“≥/≤”表示最值配套 · 例：零件加工配套、桌椅制作配套、服装裁制配套 1. 分段型（结合分段计费） · 关键不等词：不超过、超过、至少、最多 · 列式要点：先判断取值区间，再按“基础部分+超出部分”列不等式，多区间需列不等式组 · 例：水费、电费、话费分段计费，出租车分段收费 三、通用解题思路（五步标准化，适配所有模型） 1. 审：审题找关键，定不等关系 通读题干，标注已知量、未知量，圈出表示不等关系的关键词（至少、最多、不超过等），明确两个比较的量，确定核心不等关系（谁比谁大/小/不超/不低）；若有多个不等关系，需确定不等式组。 1. 设：设未知数，明单位 设出所求的未知量（通常设为），标注单位（如件、人、元、小时），优先设直接未知数，若直接设较复杂可设间接未知数。 1. 列：列不等式（组），抓等量/不等量 根据找到的不等关系，结合数量关系公式（如总价=单价×数量、总量=单量×个数），列出一元一次不等式（组）； ✔ 注意：若有配套比、固定比例，先列等量关系辅助，再结合不等词列不等式。 1. 解：解不等式（组），得取值范围 按照一元一次不等式（组）的解法，求出未知数的取值范围，注意不等式的性质（乘除负数变号），不等式组取各不等式的公共解集。 1. 验：结合实际验解，写最终答案 核心步骤！根据实际问题的意义，验证解集的合理性： · 未知量表示数量、件数、人数等，需取正整数/整数； · 若为方案问题，需从解集中找出所有符合条件的整数解，对应列出所有方案； 最后写出符合题意的解（或方案、最值），标注单位。 四、核心技巧与注意事项 1. 不等词精准转化：避免将“至少（≥）”错写为“>”、“不超过（≤）”错写为“<”，这是最基础也是最易出错的点； 1. 多个不等关系列组：若题干有两个及以上不等词（如“不超过经费，且至少完成数量”），必须列不等式组，取公共解集； 1. 实际意义优先：解出的解集为连续区间，但实际问题中未知量多为正整数，需从区间中筛选整数解，无整数解则说明“无符合题意的方案”； 1. 配套型抓比例：先确定配套比例（如1个A配2个B，则的数量×2 = 的数量），再结合不等词列“≥/≤”，避免比例弄反； 1. 分段型先定区间：先判断未知量落在哪个分段区间，再按该区间的计费规则列不等式，若无法确定区间，需分情况讨论并结合不等式组求解。 例题分析 例1．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图中的长度 米 图中的长度 米 (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； (2)该校礼仪队要求旗手在不少于秒且不超过秒的时间内将五星红旗从旗杆底部处升至顶部处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到）． 【答案】(1)米 (2)不小于，不超过 【分析】（1）设旗杆的高度，则有，利用勾股定理列方程求解即可； （2）五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为厘米，可知旗杆需要上升的高度为，再根据要求旗手在不少于秒且不超过秒的时间内将五星红旗从旗杆底部处升至顶部处，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设旗杆的高度， ， ， 在中，， ， ， ， 整理得：， 解得：， 答：旗杆的高度是； （2）解：厘米米， 红旗上升的路程是， 设五星红旗升起的平均速度为， 可得：， 解得：， 答：五星红旗升起的平均速度取值范围不小于，不超过． 例2．（25-26八年级下·福建福州·期中）随着科技事业的不断发展，无人机广泛应用于多种领域，在农业方面，无人机可以帮助精准施肥和喷洒农药，从而提高生产效率．某农业公司计划购进A，B两种型号的无人机共10架用来喷洒农药，其中A型无人机4万元/架，B型无人机3万元/架．已知A型机比B型机平均每小时多喷洒2公顷农田，且A型机与B型机一小时一共可以喷洒10公顷农田． (1)求A，B两种型号的无人机平均每小时分别喷洒农田多少公顷？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒55公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使购买总成本最低？并求出最低成本． 【答案】(1)A型号的无人机平均每小时喷洒农田6公顷，B型号的无人机平均每小时喷洒农田4公顷． (2)购买A型无人机8架，B型无人机2架，才能使购买总成本最低，最低成本为38万元． 【分析】（1）设A型号的无人机平均每小时喷洒农田x公顷，B型号的无人机平均每小时喷洒农田y公顷，根据题意，得，求解即可； （2）解：设购买型号的无人机m架，则购买型号的无人机架，且购买的总成本为w万元，根据题意，得，，求解即可； 【详解】（1）解：设型号的无人机平均每小时喷洒农田x公顷，型号的无人机平均每小时喷洒农田y公顷，根据题意，得， 解方程组，得， 答：型号的无人机平均每小时喷洒农田6公顷，型号的无人机平均每小时喷洒农田4公顷． （2）解：设购买型号的无人机m架，则购买型号的无人机架，且购买的总成本为w万元，根据题意，得， 解得， 由m为整数， 故m的值为8，9，10， 因为，且w随m的增大而增大， 故当时，w取得最小值，且， 故购买A型无人机8架，B型无人机2架，才能使购买总成本最低，最低成本为38万元． 例3．（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． (1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案． 【答案】(1)甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元 (2)一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件 【分析】（1）设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件，根据题意列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元， 由题意得， 解得． 答：甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元． （2）解：设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件， 由题意得， 解得， ∵m为整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案： 方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件； 方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件； 方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件． 例4．（25-26八年级下·福建福州·期中）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市计划购进，两种品牌的粽子共600盒，采购种品牌粽子的数量不低于390盒，且不超过种品牌粽子数量的4倍．设超市购进种品牌的粽子盒，总利润为元． (1)购进种品牌的粽子___________盒（用含的式子表示）； (2)求的取值范围； (3)若种品牌粽子的进价为每盒40元，种品牌粽子的进价为每盒38元，两种品牌粽子的售价均为每盒50元．求出与之间的函数表达式及最大利润． 【答案】(1) (2) (3)，最大利润为元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出不等式组求解； （3）根据题意，列出一次函数表达式，根据一次函数的图象和性质求出最值． 【详解】（1）解：购进种品牌的粽子为盒； （2）解：根据题意得， 解得； （3）解：根据题意得， ， ∵， ∴随的增大而减小， 由（2）得， ∴当时，利润最大，最大利润为（元）． 变式训练 变式1．（25-26九年级下·广东佛山·月考）某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买种食材和种食材共需元，购买种食材和种食材共需元． (1)求，两种食材的单价． (2)该小吃店计划购买两种食材共，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元 (2)种食材购买，种食材购买时，总费用最少，为元 【分析】（1）设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得，，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设种食材的单价为元千克，种食材的单价为元千克， 由题意得， 解得， 种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元； （2）解：设种食材购买千克，种食材购买千克，总费用为元，由题意得： ， 且 解得： ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为：元， 种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元． 变式2．（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）某商场分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如图所示： 购进数量/件 购进所需费用/元 A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 (1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A，B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 【答案】(1)A、B两种商品每件的进价分别是20元，80元 (2)购进商品件，B商品件时，获利最大，最大利润为元 【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A商品a件，B商品件，利润为m元，根据题意列出不等式组，解之即可得出a的取值范围，根据总利润=单件利润×购进数量，可得出m和a的函数关系式，再根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元 根据题意得： 解得： 答：A、B两种商品每件的进价分别是20元，80元． （2）解：设A商品a件，B商品件，利润为m元． 根据题意得： 解得： ∵ ∴m随a的增大而减小 ∴时，m的最大值为12000元． ∴（件） 答：购进商品件，B商品件时，获利最大，最大利润为元． 变式3．（25-26八年级下·重庆·月考）我校计划采购、两种型号的文件柜用于存放教学资料，调查发现：型号文件柜的单价是型号文件柜单价的倍，用元购买型号文件柜的数量比用元购买型号文件柜的数量多个． (1)、两种型号文件柜的单价分别是多少元？ (2)学校计划采购这两种文件柜共个，要求型号文件柜的数量不少于型号文件柜数量的倍，且型号文件柜的数量不少于个．请你设计一种购买方案，使所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)型号文件柜单价元，型号文件柜单价元 (2)购买型号个、型号个时费用最少，最少费用为元 【分析】（1）根据“数量=总价÷单价”，结合型号数量比型号多个的等量关系列分式方程求解；（2）先根据题意列出关于型号数量的不等式组，得到的取值范围，再列出总费用的一次函数表达式，利用一次函数的增减性求解最少费用即可； 【详解】（1）设型号文件柜单价为元，则型号文件柜单价为元 ， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）； 答：型号文件柜单价元，型号文件柜单价元． （2）设购买型号文件柜个，总费用为元，则购买型号文件柜个， 由题意得， ， ， 不等式组的解集为，为整数， 总费用， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，最小， （元）， （个）； 答：购买型号个、型号个时费用最少，最少费用为元． 变式4．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】(1)甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 (2)购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人m台，根据题意，列出不等式组求出的范围，设6台机器人每天服务客人的人数为w，根据题意列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． （2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台． 依题意，得解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为w， 则． ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，此时， ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大． 实战演练 1．（25-26八年级下·山东枣庄·月考）某中学组织学生春游，原计划租用可坐乘客30人的A种客车若干辆，发现有15人没有座位；若改为租用可坐乘客45人的B种客车，则可少租5辆，且恰好坐满． (1)原计划租用A种客车多少辆？这次春游去了多少人？ (2)若该校计划租用A，B两种客车共20辆，要求B种客车不超过6辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆900元，B种客车租金为每辆1200元，应该怎样租车才最合算？租金最低是多少？ 【答案】(1)A种客车16辆，春游去了495人 (2)共7种方案： 方案1：A种客车14辆，B种客车6辆； 方案2：A种客车15辆，B种客车5辆； 方案3：A种客车16辆，B种客车4辆； 方案4：A种客车17辆，B种客车3辆； 方案5：A种客车18辆，B种客车2辆； 方案6：A种客车19辆，B种客车1辆； 方案7：A种客车20辆，B种客车0辆 (3)租用A种客车20辆，B种客车0辆最合算，最低是18000元 【分析】（1）列一元一次方程求解即可； （2）根据题意列不等式进行求解； （3）根据题意列出解析式，分析解析式求出最值． 【详解】（1）解：设原计划租用A种客车辆，则B种客车辆，根据题意得， ， 解得， ∴（人）， 答：A种客车16辆，春游去了495人； （2）解：设租用A种客车辆，则B种客车辆，根据题意得， ， 解得， ， 解得， 又∵， 综上可得， ∴共7种方案： 方案1：A种客车14辆，B种客车6辆； 方案2：A种客车15辆，B种客车5辆； 方案3：A种客车16辆，B种客车4辆； 方案4：A种客车17辆，B种客车3辆； 方案5：A种客车18辆，B种客车2辆； 方案6：A种客车19辆，B种客车1辆； 方案7：A种客车20辆，B种客车0辆； （3）解：设总租金为W元，租用A种客车辆，则 ， 因为，所以W随的增大而减小， 当时，W最小，（元）． 答：租用A种客车20辆，B种客车0辆最合算，最低是18000元． 2．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）河南历史文化底蕴深厚，某文创商场计划购进一批以“牡丹花贴”和“汴绣书签”为代表的特色文创产品，已知一个“牡丹花贴”的进价与一个“汴绣书签”的进价的和为40元，用1200元购进“牡丹花贴”的个数与用2000元购进“汴绣书签”的个数相同． (1)“牡丹花贴”和“汴绣书签”每个的进价分别是多少元？ (2)商场计划购进“牡丹花贴”和“汴绣书签”共50个，其中“牡丹花贴”的个数不多于24个．若商场决定此次进货的总资金不超过1050元，求商场共有几种进货方案； (3)在（2）的条件下，若每个“牡丹花贴”的售价为40元，每个“汴绣书签”的售价为55元，商场为迎接“中原文化旅游节”，推出“买一赠一”惠民活动：顾客从这两种文创产品中任购一个，就可以从这两种产品中任选一个作为赠品，若这批产品在活动期间全部售出后恰好获利235元，求商场的进货方案． 【答案】(1)“牡丹花贴”每个的进价是15元，则“汴绣书签”每个的进价是25元 (2)商场共有5种进货方案：方案1，购进“牡丹花贴”20个，购进“汴绣书签”30个；方案2，购进“牡丹花贴”21个，购进“汴绣书签”29个；方案3，购进“牡丹花贴”22个，购进“汴绣书签”28个；方案4，购进“牡丹花贴”23个，购进“汴绣书签”27个；方案5，购进“牡丹花贴”24个，购进“汴绣书签”26个； (3)商场的进货方案是：购进“牡丹花贴”20个，购进“汴绣书签”30个或购进“牡丹花贴”23个，购进“汴绣书签”27个． 【分析】（1）设“牡丹花贴”每个的进价是x元，则“汴绣书签”每个的进价是元，根据用1200元购进“牡丹花贴”的个数与用2000元购进“汴绣书签”的个数相同建立方程求解即可； （2）设购进“牡丹花贴”m个，则购进“汴绣书签”个，根据“牡丹花贴”的个数不多于24个．若商场决定此次进货的总资金不超过1050元建立不等式组求解即可； （3）设售卖的这些文创产品中有个售价是40元，则有个售价是55元，根据（2）和利润为235元推出a关于m的关系式，结合a是整数和m的值确定m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设“牡丹花贴”每个的进价是x元，则“汴绣书签”每个的进价是元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“牡丹花贴”每个的进价是15元，则“汴绣书签”每个的进价是25元； （2）解：设购进“牡丹花贴”m个，则购进“汴绣书签”个， 根据题意得， 解得， ∵m为整数， ∴或21或22或23或24， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：商场共有5种进货方案：方案1，购进“牡丹花贴”20个，购进“汴绣书签”30个；方案2，购进“牡丹花贴”21个，购进“汴绣书签”29个；方案3，购进“牡丹花贴”22个，购进“汴绣书签”28个；方案4，购进“牡丹花贴”23个，购进“汴绣书签”27个；方案5，购进“牡丹花贴”24个，购进“汴绣书签”26个； （3）解：∵商店一共购进“牡丹花贴”和“汴绣书签”共50个， ∴进行“买一赠一”惠民活动时，只对其中的25个文创产品进行售卖， 设售卖的这些文创产品中有个售价是40元，则有个售价是55元， 由题意得，， 整理得， 由（2）知或21或22或23或24，且a为整数， ∴或 当时，此时；当时，此时； 答；商场的进货方案是：购进“牡丹花贴”20个，购进“汴绣书签”30个或购进“牡丹花贴”23个，购进“汴绣书签”27个． 2 学科网（北京）股份有限公司 $