精品解析：山西榆次第一中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年榆次一中高一（下）期中考试试卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 2. 已知，，若，则实数（ ） A. B. 3 C. 6 D. 3. 已知，均为单位向量，且满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，设，，线段与交于点F，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5 5. 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（ ） A. 48 B. 52 C. 56 D. 60 6. 内角，，所对边分别为，，，若，，，则周长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某扇形铁皮的圆心角为120°、面积为，将该铁皮无损失地焊接成一个圆锥（焊接点忽略不计），将焊接成的圆锥放置于水平地面上，若在该圆锥内部放置一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（ ） A. B. 的虚部为1 C. 存在，使得 D. 在复平面内对应的点不可能在第四象限 10. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 圆锥外接球体积为 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 C. 的最大值为 D. 若点是的外心，且，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在边长为2的正方形中，，分别为、的中点，则________． 13. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 14. 已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，． （1）当为纯虚数时，求的值； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值． 16. 如图，在平行四边形中，为的中点，、分别为、的一个三等分点，点靠近点，点靠近点，记，． （1）把放到平面直角坐标系中，若、，求点的坐标； （2）用、表示、； （3）若，，求． 17. 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角C的值； （2）若为锐角三角形，中点为D且，求的取值范围． 19. 已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求边长的最大值； （3）若的面积为，且，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年榆次一中高一（下）期中考试试卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，根据共轭复数的定义、复数运算法则及复数相等的概念，即可求解复数，根据复数的模长公式即可求解. 【详解】设，，由， ∴，解得， ∴，∴. 故选：D. 2. 已知，，若，则实数（ ） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量减法的坐标表示求出，再利用平面向量平行的坐标表示建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，解得，故A正确. 故选：A 3. 已知，均为单位向量，且满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，均为单位向量，所以， 由可得： ， 解得：， 所以在上的投影向量为：. 4. 如图，设，，线段与交于点F，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【详解】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D 5. 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（ ） A. 48 B. 52 C. 56 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合棱台体积公式求解体积即可得到体积比，即可得结果. 【详解】设平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，三棱柱的高为，底面的面积为，体积为， 则， 因为、分别为，靠近点的三等分点，则， 可得， 所以右半部分的体积. 6. 内角，，所对边分别为，，，若，，，则周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 结合正弦定理可得：， 因为为三角形内角，所以，所以. 由余弦定理，. 所以. 所以周长为. 7. 已知某扇形铁皮的圆心角为120°、面积为，将该铁皮无损失地焊接成一个圆锥（焊接点忽略不计），将焊接成的圆锥放置于水平地面上，若在该圆锥内部放置一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知及圆锥侧面积的求法列方程求圆锥的高，再由球的半径最大时一定是内切于圆锥，进而求出球体的半径，根据内切球的结构特征求其内接正四面体的棱长. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，则， 由题知，所以，则，圆锥的高为． 当球的半径最大时一定是内切于圆锥，截面如图1所示， 设此时球的半径为R，球心为O，则有， 所以，即，解得， 设此时球的内接正四面体的棱长为a，如图2所示， 若，为四面体的顶点，为在底面上的射影， 则，，所以， 在中，，即，解得． 8. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换化简得出，利用是锐角三角形求出角的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出 ，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由题意得，代入余弦定理 ，化简得， 由正弦定理得： ， 由于 ，代入化简得， 因为，则， 又因为正弦函数在上单调递增，所以，即，则 ， 因为是锐角三角形，所以有，解得，则， ， 令，则有二次函数， 由于二次函数的对称轴，因此函数在上单调递增， 因此，故C正确. 【点睛】本题的关键是利用三角恒等变换与解三角形的相关知识化得，从而得到的取值范围，进而利用正弦定理的边角变换与三角恒等变换即可得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（ ） A. B. 的虚部为1 C. 存在，使得 D. 在复平面内对应的点不可能在第四象限 【答案】AD 【解析】 【详解】由题设. 对于A，显然，于是，故A正确； 对于，其虚部为，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于， 若其在复平面内对应的点在第四象限，则,不等式组无解，故D正确． 10. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 圆锥外接球体积为 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】代入圆锥的侧面积公式，判断A，根据点的位置，确定三棱锥体积的最大值，判断B，根据题中的条件，确定圆锥的外接球的球心和半径，判断C，翻折，使四点共面，即可确定的最小值. 【详解】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误； B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确； C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确； D. 若，则是等腰直角三角形，，， 所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面， 此时三点共线时，的最小值是， 中，， 由余弦定理可知，，故D正确. 故选：BCD 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 C. 的最大值为 D. 若点是的外心，且，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据题意利用三角恒等变换可得，进而可得；B利用正弦定理可得，再利用平面向量结合基本不等式运算求解；C整理可得，进而分析最值；D根据数量积的几何意义结合外心性质可得，解方程即可. 【详解】A：因为，则，可得， 因为，则，，可得，所以，故A正确； B：由正弦定理，得，， 则，解得， 因为是边AC的中点，则，且， 可得，当且仅当时取等号， 所以，故B错误； C：因为 ，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C正确； D：因为，，则，即，，， 因为，则， 即，解得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在边长为2的正方形中，，分别为、的中点，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系. 则，，，，. 所以，. 所以. 13. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为原图，结合勾股定理，即可得答案. 【详解】根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得， 将直观图还原为原图，如图所示， 则，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以原四边形的周长为. 14. 已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果 【详解】因为，即， 且，则，化简得， 由正弦定理得， 且， 代入得，整理得， 且，则，则或， 若，即，不合题意，则，即， 因为为的平分线，则，， 在中，，① 又因为，即， 则，化简得， 且，则，② ①代入②得，解得或（舍去），则， 在中，由余弦定理得， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，． （1）当为纯虚数时，求的值； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【小问1详解】 因为 由是纯虚数得，解得. 所以当是纯虚数时，. 【小问2详解】 当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 16. 如图，在平行四边形中，为的中点，、分别为、的一个三等分点，点靠近点，点靠近点，记，． （1）把放到平面直角坐标系中，若、，求点的坐标； （2）用、表示、； （3）若，，求． 【答案】（1） （2），. （3） 【解析】 【分析】（1）设点，由题意得出，结合平面向量的坐标运算可得出、的值，即可得出点的坐标； （2）利用平面向量的线性运算可得出、关于、的表达式； （3）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【小问1详解】 设点，由得， 即，解得，，即点. 【小问2详解】 ，. 【小问3详解】 由已知，，所以， 所以. 17. 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解； （2）先根据面积关系建立函数解析式，，然后利用二次函数性质求其最值. 【小问1详解】 由知. 因为， 所以正四棱锥的体积 正四棱柱的体积 所以仓库的容积. 【小问2详解】 设，下部分的侧面积为， 则，， ， 设， 当，即时，，. 即当为时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角C的值； （2）若为锐角三角形，中点为D且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理角转化为边得出，再应用余弦定理计算求解即可； （2）先应用正弦定理得出，，再根据向量关系，平方计算结合三角恒等变换及余弦函数的值域计算求解. 【小问1详解】 因为． 结合正弦定理得， 整理得， 由余弦定理，得， 结合，可得； 【小问2详解】 由正弦定理得， 所以，，根据是锐角三角形， 可得，结合，可得， 又因为中点为D，则， 所以 ， ， ∴，即， ∴的取值范围：． 19. 已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求边长的最大值； （3）若的面积为，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出A，再由题意可求解； （2）由（1）知，由余弦定理和勾股定理得到，在中，利用余弦定理及基本不等式求解； （3）由余弦定理及面积公式转化为关于正切的三角函数，根据，利用正弦定理和正切函数求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，得， 又是锐角三角形，所以. 而分别是以为边的等边三角形的中心， 所以，从而. 【小问2详解】 由（1）知， 在中，设，， 由余弦定理得，即， 故，故，同理， 所以. 而在中由余弦定理有， . 当且仅当时等号成立，从而， 由题意可得为等边三角形，故边长的最大值为. 【小问3详解】 由的面积为知， 在，中分别由余弦定理有 ①， ②. 联立①②，消去， 可得. 所以面积， 又， 所以. 从而得面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $