新疆阿克苏地区第二中学2025-2026学年第二学期高二年级第一次月考数学试卷

**基本信息** 以赵爽勾股定理验证、迎新接待安排等情境为载体，检测高二数学二项式定理、导数应用、概率统计等核心知识，体现数学思维的逻辑性与数学语言的应用表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|二项式系数、抛物线切线、函数奇偶性|结合奇函数性质与单调性比较大小，考察抽象能力| |多选|3/15|排列组合、杨辉三角|以谢尔宾斯基三角形为背景，探究二项式系数规律，发展创新意识| |填空|3/15|导数几何意义、实际计数|迎新接待方案设计，体现模型意识与应用能力| |解答|5/80|函数单调性、恒成立问题、二项式定理|函数单调性讨论与恒成立求参数，考察逻辑推理与运算能力|

阿克苏地区第二中学2025-2026学年第二学期高二年级 第一次月考数学试卷 考试时间：120分钟；试卷分值150分 第I卷（选择题） 一、单选题 1．二项式的展开式中的系数为（    ） A．60 B． C． D．12 2．已知P为抛物线上一点，且该抛物线在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．的展开式中的系数为（   ） A．100 B．60 C．40 D．20 4． 设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中含项的系数为 A．40 B．30 C．20 D．15 5．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（   ） A． B． C． D． 7．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为　　 A． B． C． D． 8．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题正确的有（    ） A．已知函数在上可导，若，则 B． C． 已知函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 10．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（    ） A．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480 B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240 C．6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法 D．6名同学分成三组，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种； 11．将（，1，2，…）按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则（    ） A．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B．在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则 C．在“谢尔宾斯基三角形”中，第（，2，…）行全行都为黑色圆 D．在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆多一个 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．每年的9月初是高校新生到校报道的时间，此时学生会将组织师兄师姐做好迎接接待工作，若某学院只有3位师兄在迎新现场，突然来了4位新生，要求一次性派发完迎新指引工作（可以有1位师兄接待2位新生），则安排方案有______种．（用数字作答） 13．已知函数，则方程的根的个数为 ______. 14．若曲线在，两点处的切线互相垂直，则的最小值为______. 四、解答题 15．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设在上有两个零点，求的范围. 16．已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 17．为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案： (1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上； (2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻； (3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 18．设，. （1）求的展开式中系数最大的项； （2）时，化简； （3）求证：. 19．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上恒成立，求整数的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $