8.1.1 向量数量积的概念 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1.1 向量数量积的概念 《人教B版2019高中数学必修第三册》 知识点 一、向量的夹角 1. 定义 2. 核心性质 二、向量数量积（内积）的定义 1. 物理背景 2. 数学定义 3. 关键特征 4. 符号判定（非零向量） 三、向量数量积的核心性质（非零向量a,b） 四、向量的投影与数量积的几何意义 1. 投影向量 2. 投影的数量 3. 几何意义 探究新知 我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功．如图8-1-1所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F|N，小车在水平面上位移s的大小为|s|m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为 （1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？ （2）给定任意两个向量a,b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由. 探究新知 情境与问题中的功W由向量F和s的大小以及这两个向量方向的差异确定.一般地，给定任意两个向量a,b，能确定出一个类似的标量，这也就是本小节我们要学习的向量的数量积. 给定两个非零向量a,b，在平面内任选一点O，作=a,=b则称［0，π］内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a,b〉 例如，图8-1-2中，向量a与b的夹角为，即〈a,b〉= 类似地，图8-1-2中，向量a与c的夹角为，即〈a,c〉=；向量a与d的夹角为0，即〈a, d>=0；向量a与e的夹角为π，即〈a,e〉= π  探究新知 根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且 0≤〈a,b〉≤π, 〈a,b〉=〈b,a〉. 当〈a,b〉=时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直. 探究新知 一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos<a,b＞为向量a与b 的数量积（也称为内积），记作a⋅b，即 ab=|a||b|cos〈a,b〉 由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同. 探究新知 观察两个非零向量a与b的数量积的定义可知, ab的符号由 cos〈a,b〉决定,从而也就是由（a,b）的大小决定. 例如，图8-1-3中， ab>0,ac=0,ad<0. 这就是说，两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数. 如果a,b都是非零向量，依照定义还可以得出向量的数量积有如下性质. (1) |ab|≤|a||b|; (2) aa=|a|2，即|a|= 根据定义ab=|a||b|cos〈a,b〉可得上述结论（cos〈a,b〉，cos0=1,aa>0) 探究新知 一般地，aa可以简写为a2，因此上述性质（2）( a⋅a=|a|2，即|a|=)也可改写为a2=|a|2. 为了方便起见，当a与b至少有一个是零向量时，称它们的数量积（即内积）为0，即ab=0. 这样一来，任意给定两个平面向量，都有确定的数量积，而且上述数量积的性质还都成立. 另外，我们还能得到数量积的如下性质. a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即 探究新知 例1 （1）已知|a|=5, |b|=4,〈a,b〉=120o，求ab; （2）已知|a|=3, |b|=2 ab=3，求〈a,b〉 解 （1）由已知可得 ab=|a||b|cos〈a,b〉 =5cos120o =-10 解 （2）由ab=|a||b|cos〈a,b〉可知 3=3cos〈a,b〉 因此，cos〈a,b〉= 从而可知〈a,b〉= 由例1(2）可以看出，如果a,b都是非零向量，则 cos〈a,b〉= 探究新知 如图8-1-4所示，设非零向量=a，过A,B分别作直线l的垂线，垂足分别为A,B，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影. 类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．如图8-1-5中，向量a在向量b 上的投影为.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反. 探究新知 如图8-1-6(1)(2)(3）所示． 尝试与发现 如果a,b都是非零向量，且a在b上的投影为，那么向量的方向、长度与〈a,b〉有什么关联？ 当〈a,b〉=时，为零向量，即||=0; 当〈a,b〉> 时，的方向与b的方向相反，而且 ||=-|a|cos〈a,b〉 当〈a,b〉<时，的方向与b的方向相同，而且||=|a|cos〈a,b〉; 探究新知 尝试与发现 一般地，如果a,b都是非零向量，则称｜a|cos<a,b＞为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数. 因为 a·b=|a||b|cos〈a,b)=(|a|cos〈a,b〉)|b| 所以两个非零向量a,b的数量积a⋅b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义. 特别地，当e为单位向量时，因为|e|=1，所以 a·e=|a|cos〈a,e〉, 即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量e上的投影的数量. 探究新知 尝试与发现 例2  如图8-1-7所示，已知a为单位向量，求出以下向量的数量积. (1)b·a； (2)c·a; (3)d·a. 解 (1)（方法一）由图可知， |a|=1,|b|=,〈b,a〉= 因此 b·a=1cos=1 解 （方法二）由图可以看出，向量b在向量a上的投影的数量为1，且a为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知b·a=1. (2)由图可知,<c,a>=,因此c·a=0 (3)由图可知,向量d在向量a上的投影的数量为-1,且a为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知 d·a=-1 小结 一、向量的夹角 1. 定义 给定两个非零向量a,b，在平面内任选一点O，作=a，=b，则[0,π]内的∠AOB称为向量a与b的夹角，记作<a,b>。(求夹角需将两向量起点平移重合，非起点重合的角不是向量夹角) 2. 核心性质 取值范围：0≤<a,b>≤π 对称性：<a,b>=<b,a> 特殊夹角： <a,b>=0：a与b同向;<a,b>=π：a与b反向;<a,b>=​：a与b垂直，记作a⊥b 规定：零向量与任意向量垂直 小结 二、向量数量积（内积）的定义 1. 物理背景 物体在力F作用下产生位移s，力做的功W=∣F∣∣s∣cos<F,s>，由此抽象出向量数量积概念。 2. 数学定义 当a,b均为非零向量时，称∣a∣∣b∣cos<a,b>为a与b的数量积（内积），记作a·b，即：a·b=∣a∣∣b∣cos<a,b>,若a,b中至少一个为零向量，规定a⋅b=0。 3. 关键特征 数量积a·b是实数（可正、可负、可为 0），不是向量； 运算符号 “·” 不可省略，也不能写成 “×”（区别于向量叉乘）。 4. 符号判定（非零向量） <a,b>∈(0,​):a·b>0; <a,b>=​：a·b=0; <a,b>∈(​,π)：a·b<0 小结 三、向量数量积的核心性质（非零向量a,b） 垂直判定：a⊥b⟺ a·b=0（核心考点） 模长关系：a·a=∣a∣2，即∣a∣= 绝对值不等式：∣a·b∣≤∣a∣∣b∣（等号当且仅当a∥b时成立） 夹角公式：cos<a,b>=​（用于求两向量夹角） 四、易错点 数量积是实数，区别于数乘向量（结果为向量）； a·b=0，不能推出a=0或b=0，可能仅两向量垂直； 向量夹角必须起点重合，范围严格为[0,π]，不可取超出范围的角。 小结 五、向量的投影与数量积的几何意义 1. 投影向量 已知向量a和直线l，作=a，过O,A作l的垂线，垂足为O′​,A′​，则称为a在直线l上的投影向量。 2. 投影的数量 a在b方向上投影的数量：∣a∣cos<a,b>； b在a方向上投影的数量：∣b∣cos<a,b>。 3. 几何意义 a·b = ∣a∣ ×（b在a方向上投影的数量） = ∣b∣ ×（a在b方向上投影的数量） 练习A ①根据以下条件，分别求a·b. (1)|a|=8,|b|=4,<a,b>=60o (2)|a|=7,|b|=12,<a,b>=120o 解析: （1）a‧b=|a||b|cos60o =8 =16 解析: （2）a‧b=|a||b|cos120o =8 =-16 练习A ②根据以下条件，分别求〈a,b〉 (1) a‧b=5,|a||b|=10; (2) a‧b=-8,|a||b|=16; 解析: （1）cos<a,b>= =​ = ∴<a,b>= 解析: （2）cos<a,b>= =​ =- ∴<a,b>= 练习A ③如图，已知,,的模均为5，且∠AOB=∠BOC=60∘，求,. 解: =||||cos<,> =55cos60o = ∴= 解: =||||cos<,> =55cos120o =- ∴=- 练习A ④ 已知|a|=5，b在a上的投影的数量为6，而c在a上的投影的数量为-8，求ba,ca. 解: =||(|b|cos<,>) =56 = ∴= 解: =||(|c|cos<,>) =5(-8) = ∴= 练习A ⑤ 已知|a|=3, |b|=5，且<a,b>=45∘，求a在b上的投影的数量. 解: ||cos<,> =3cos45∘ = ∴ 练习B ① 已知ΔABC是边长为2的等边三角形，求,. 解:如图 =||cos60∘ =22 =2 A B C · 解:如图 =||cos120∘ =22) =-2 练习B ② 判断下列命题的真假. （1）若向量a,b共线，则ab=|a||b| （2）若向量a,b满足ab=0，则a=0或b=0. (1) 假命题 ∵ 向量a，b共线时，若同向则ab=|a||b|，若反向则ab=−|a||b|， ∴ 命题错误 (2) 假命题 ∵ 若ab=0，则可能a⊥b，不一定a=0或b=0， ∴ 命题错误。 练习B ③两个非零向量a,b的数量积ab，是否等于b在向量a上的投影的数量与a的模的乘积？ 设<a,b>=θ，b在a上的投影的数量为∣b∣cosθ，则∣a∣(∣b∣cosθ)=∣a∣∣b∣cosθ=ab。 ∴ 等于 练习B ④ 如图所示，求出以下向量的数量积. (1)ba; (2)ca; (3)da; (4)ea. 设小方格边长为 1，则∣a∣=2，设a方向为 x 轴正方向： (1)cos<b,a>= , ∣b∣=​ ,ba=∣b∣∣a∣cos<b,a>=​​×2×=4 (2)cos<c,a>=0 , ∣c∣=1 ,ca=∣c∣∣a∣cos<c,a>=1×2×0=0 (3)cos<d,a>= ,∣d∣=​ ,da=∣d∣∣a∣cos<d,a>=​×2×=4 (4)cos<e,a>=-,∣e∣=​ ,ea=∣e∣∣a∣cos<e,a>=​×2×(-​​)=−4 练习B ⑤知A1A2A3A4A5A6是一个正六边形，将下列向量的数量积按从小到大的顺序排列： , , , 解 ：设正六边形边长为 1，则 |A1A2|=1，|A1A3|=，|A1A4|=2，|A1A5|=，|A1A6|=1 cos∠A2A1A3=,cos∠A2A1A4=,cos∠A2A1A5=0,cos∠A2A1A6=- 所以，利用公式a·b=∣a∣∣b∣cos<a,b>可求得 =, =2， =0， =- ∴ $