精品解析：2026年河南开封市初中学业水平考试第一次模拟试卷 数学

2026年河南开封市初中学业水平考试第一次模拟试卷数学 注意事项： 1．本试题卷共6页，三类大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面指定的位置． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 下列各数在数轴上表示的点中，距离原点最远的是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】只需计算各数的绝对值，比较大小即可得到结果． 【详解】解：， ， ． 2. 2026年清明假期期间，开封市文旅市场热度火爆，游客接待量持续攀升，全市累计接待游客万人次，实现旅游综合收入亿元．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将单位为“万”的数转换为普通整数，再根据科学记数法的定义确定和的值． 【详解】解：万，科学记数法的表示形式为，满足，为整数 ∴ 这里，将原数小数点移到3的后面，共移动了6位，得 ∴320.19万用科学记数法表示为． 3. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解． 【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方法则、积的乘方法则、同底数幂乘法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故A选项运算错误； B．，故选项B运算正确； C．，故选项C运算错误； D．，故D运算错误． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出不等式的解集，再将解集联立，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ， 在数轴上表示为． 6. 如图是集热板示意图，太阳光线与集热板垂直时，光能利用率最高．某日正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∵， ∴． 7. 小宇在美术课上设计了4张卡片，正面分别写有“拼”“搏”“奋”“进”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗牌，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“拼”“搏”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出树状图表示出所有结果，再计算两张卡片正面图案恰好是“拼”“搏”的概率即可． 【详解】根据题意，可画树状图如下： 由图可知，总共有12种结果，其中两张卡片正面图案恰好是“拼”“搏”有2种，所以两张卡片正面图案恰好是“拼”“搏”的概率是． 8. 如图，点A，B分别在平面直角坐标系轴和轴上，连接，已知，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得、，运用旋转的性质可得，即；最后根据点D的位置写出坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵点D在第一象限， ∴． 9. 已知二次函数的图象经过和，图象上有三个点，，，且．当时，随增大而减小，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为二次函数的图象经过和， 所以二次函数的对称轴． 所以． 所以．（选项C正确） 因为当时，随增大而减小， 所以二次函数的开口向下． 所以．（选项A错误） 所以当时，． 所以． 所以． 所以．（选项D错误） 当，． 当，．（选项B错误） 10. 如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线经过点，即，，结合当运动时间为秒时，，即可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点． 根据图象可知，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线经过点，即，． ∵四边形为菱形， ∴，． 又． ∴． ∴． ∴． ∵当运动时间为秒时， ， ∴． ∴． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 12. 写出一个使一元二次方程有两个不相等的实数根的的值___________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据根的判别式求解即可． 【详解】解：∵为一元二次方程， 则 由题可知，， ∴， 则取且即可， ∴ 13. 据统计2025年新能源汽车销量逐月增加，8月至10月由万辆增加到万辆，设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为．则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均增长率问题的数量关系，结合题干已知量列方程．本题中8月销量为初始量，经过两次增长后得到10月销量，代入平均增长率问题的数量关系即可得到方程． 【详解】解：设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为， 8月销量为万辆．则9月销量为：， 10月销量为：， 由题意得． 14. 如图，在等腰直角中，，点是的中点，在上取一点，连接，过点作，交于点，连接．若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明以及，结合勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形，点是的中点， ∴，，，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 设，则，， 在中，， ∴， ， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 15. 若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”．如图，在矩形中，，点在边上，将沿折叠，得到．过点作于点．若是“勾股三角形”，则的长为___________． 【答案】​或 【解析】 【分析】由矩形及折叠性质得，，根据，得是直角三角形，斜边为，根据“勾股三角形”定义，其三边比为，分两种情况讨论：情况1：，情况2：，分别求解即可； 【详解】 解：在矩形中，，， 由折叠性质得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，斜边为， 根据“勾股三角形”定义，其三边比为， 分两种情况讨论： 情况1：， ∵， ∴​，​， 设，则， 延长交于点， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 则​​，， 在中，由勾股定理： ， 解得， 因此； 情况2：， 同理得​，​， 设， 在中，勾股定理得： ， 解得， 因此​； 综上，的长为​或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简 （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用零次幂、有理数乘方、特殊角的三角函数值、绝对值化简，然后再计算即可； （2）直接利用分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 为了了解物流公司的服务情况，对甲、乙两家物流公司的服务满意度进行调查．从两家公司各随机抽取20名客户进行服务满意度评分，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：），下面给出了部分信息： 乙公司评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100； 甲、乙两家公司服务满意度评分统计表 公司 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 86.5 88 69.8 乙 86 85.5 96.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________； （2）你认为哪家公司的服务满意度更高？请说明理由； （3）若甲、乙两家公司分别有1200名客户参与评分，估计此次调查中服务满意度为A等级的一共有多少人． 【答案】（1）85；20 （2）甲公司服务的满意度更高． （3）600 【解析】 【分析】（1）根据众数确定的取值，根据扇形统计图的百分比确定的取值； （2）根据方差判断满意度； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得，乙公司数据出现次数最多的数据为， 则， ∵， ∴， 【小问2详解】 甲公司服务的满意度更高，理由如下： 甲乙公司服务满意度评分的平均数相同， 甲公司服务满意度评分的方差为，小于乙公司服务满意度评分的方差， 所以甲公司服务的评分数据的波动比乙公司服务的评分数据的波动小， 而且中位数和众数，甲公司服务的评分数据比乙公司都要好， 所以甲公司服务的满意度更高． 【小问3详解】 解：乙公司评分数据中，A等级的占比为：， ∴此次调查中服务满意度为A等级的人数为：（人）． 18. 教室的饮水机接通电源后就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到后停止加热．水温开始下降，此时水温（）与开机后用时成反比例关系，直至水温降至．接通电源后，水温（）和时间的关系如图所示． （1）请结合图象，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）在一次加热到降温过程中，求饮水机水温保持在及以上的总时间． 【答案】（1） （2）分钟 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出两个函数解析式； （2）将代入两段函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：初始水温为，开机加热时每分钟上升，加热到后停止加热， 则加热到所用时间为：（分钟）， 当时，设，将，和，代入 得， 解得：， 则， 当时， 设，将，代入 得， ∴， 当时，， 则 【小问2详解】 解：将代入， 解得：， 将代入， 解得：， 则（分钟） 所以饮水机有13分钟时间能使水温保持在及以上． 19. 为提升社区居民环境，方便居民休憩，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米．若太阳光线与地面的夹角为． （1）求遮阳篷边缘点到墙体的水平距离； （2）求阴影的长．（结果精确到米）参考数据：，，，，， 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点作于点,根据求解； （2）过点作于点,根据，然后根据矩形的性质可得的长度，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点, ∴, 在中， , ∴遮阳篷边缘点到墙体的水平距离米， 【小问2详解】 解：过点作于点, 在中， , ∵, ∴四边形是矩形， ∴,, 在中， , ∴, ∴阴影的长为米． 20. 新定义：我们把二次函数与二次函数（其中，且a，b，c均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数的图像与轴交于点．二次函数的“相关二次函数”为． （1）的值为___________，的解析式为___________； （2）当时，二次函数上的点与二次函数上的点之间的距离为5，求的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入得到关于m的方程求解即可；根据“相关二次函数”的定义写出的解析式即可； （2）先分别用t表示点P、点Q的坐标，再根据两点间距离为5列绝对值方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像与轴交于点， ∴，即，解得：； ∴二次函数， ∴二次函数的“相关二次函数”为． 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴当时，，， ∵点与点之间的距离为5， ∴，即，解得：或． 21. 数学实践课上，各小组运用尺规作图围绕“过圆外一点作已知圆的切线”进行探究．已知及外一点．求作过点的的一条切线．启智组、创新组提出的作图方案如下： 启智组：如图，连接，分别以O，P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于C，D两点，作直线交于点．再以点为圆心，的长为半径作圆，交于点E，F，连接，则为的切线． 创新组：连接交于点，延长交于点．以为圆心，的长为半径画弧，以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，连接．则为的切线． 请判断以上两种方案的正确性，并选择一种方案进行证明． 【答案】 解：启智组和创新组的方案都正确， 启智组证明过程如下： 证明：由作图过程可知：垂直平分，是的半径， 如图： ∵是的直径， ∴，即， ∵是的半径， ∴为的切线． 创新组证明过程如下： 证明：由作图过程可知:， ∴, ∵是的半径， ∴为的切线． 【解析】 【分析】启智组：由作图过程可知：垂直平分，是的半径，利用圆周角定理以及切线的定义即可判断；创新组：由作图过程可知:，利用等腰三角形三线合一的性质可判断，再利用切线的定义即可判断．证明思路和正确性判断思路相同。 【详解】略 22. 根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．某科技公司自主研制出A，B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为7万元，每台种型号智能机器人制造成本为6万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出3台型智能机器人、4台型智能机器人共收入62万元；售出2台型智能机器人、5台型智能机器人共收入60万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系如图所示． 根据以上信息解决下列问题： （1）任务一确定销售单价：求A，B两种型号智能机器人每台的销售价格． （2）任务二拟定最优方案：若B型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求A型机器人的销售单价定为多少时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 【答案】（1）型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， （2）A型机器人的销售单价定为万元时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 【解析】 【分析】（1）列二元一次方程求解即可； （2）根据题意，构造二次函数，求最大值即可． 【小问1详解】 解：设型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， 解得：， ∴型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， 【小问2详解】 解：设总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系为：， 将，代入得 ， 解得：， ∴， 设A型机器人的销售单价定为万元， ∴A，B两种型号的机器人利润之和为：， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴A型机器人的销售单价定为万元时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 23. 如图，在中，点为边上的动点，连接，沿折叠，点恰好落在边上的点处，点为射线上一动点，过点作交于点，交延长线于点． （1）观察猜想 如图①，当点在线段上，点恰好为的中点时，用等式表示线段，，之间的数量关系：___________． （2）问题探究 在（1）的条件下，若，求的长（写出求解过程）． （3）拓展应用 如图②，当点在线段的延长线上时，过点作交延长线于点．若，且时，直接写出的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2）12 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，可得，再证明，可得，，即可得结论； （2）由，可得，则，即可求解； （3）由，可得，由，，得四边形是平行四边形，则，再由折叠可得，，，，证明，得，则，再证明，得，再证明，得，最后由即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知，，，则， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，， 设，则， ∴， 解得，即． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南开封市初中学业水平考试第一次模拟试卷数学 注意事项： 1．本试题卷共6页，三类大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面指定的位置． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 下列各数在数轴上表示的点中，距离原点最远的是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 2026年清明假期期间，开封市文旅市场热度火爆，游客接待量持续攀升，全市累计接待游客万人次，实现旅游综合收入亿元．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是集热板示意图，太阳光线与集热板垂直时，光能利用率最高．某日正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 小宇在美术课上设计了4张卡片，正面分别写有“拼”“搏”“奋”“进”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗牌，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“拼”“搏”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A，B分别在平面直角坐标系轴和轴上，连接，已知，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象经过和，图象上有三个点，，，且．当时，随增大而减小，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：a3－a=______． 12. 写出一个使一元二次方程有两个不相等的实数根的的值___________． 13. 据统计2025年新能源汽车销量逐月增加，8月至10月由万辆增加到万辆，设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为．则可列方程为___________． 14. 如图，在等腰直角中，，点是的中点，在上取一点，连接，过点作，交于点，连接．若，则的长为___________． 15. 若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”．如图，在矩形中，，点在边上，将沿折叠，得到．过点作于点．若是“勾股三角形”，则的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简 （1）计算： （2）化简： 17. 为了了解物流公司的服务情况，对甲、乙两家物流公司的服务满意度进行调查．从两家公司各随机抽取20名客户进行服务满意度评分，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：），下面给出了部分信息： 乙公司评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100； 甲、乙两家公司服务满意度评分统计表 公司 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 86.5 88 69.8 乙 86 85.5 96.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________； （2）你认为哪家公司的服务满意度更高？请说明理由； （3）若甲、乙两家公司分别有1200名客户参与评分，估计此次调查中服务满意度为A等级的一共有多少人． 18. 教室的饮水机接通电源后就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到后停止加热．水温开始下降，此时水温（）与开机后用时成反比例关系，直至水温降至．接通电源后，水温（）和时间的关系如图所示． （1）请结合图象，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）在一次加热到降温过程中，求饮水机水温保持在及以上的总时间． 19. 为提升社区居民环境，方便居民休憩，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米．若太阳光线与地面的夹角为． （1）求遮阳篷边缘点到墙体的水平距离； （2）求阴影的长．（结果精确到米）参考数据：，，，，， 20. 新定义：我们把二次函数与二次函数（其中，且a，b，c均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数的图像与轴交于点．二次函数的“相关二次函数”为． （1）的值为___________，的解析式为___________； （2）当时，二次函数上的点与二次函数上的点之间的距离为5，求的值． 21. 数学实践课上，各小组运用尺规作图围绕“过圆外一点作已知圆的切线”进行探究．已知及外一点．求作过点的的一条切线．启智组、创新组提出的作图方案如下： 启智组：如图，连接，分别以O，P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于C，D两点，作直线交于点．再以点为圆心，的长为半径作圆，交于点E，F，连接，则为的切线． 创新组：连接交于点，延长交于点．以为圆心，的长为半径画弧，以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，连接．则为的切线． 请判断以上两种方案的正确性，并选择一种方案进行证明． 22. 根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．某科技公司自主研制出A，B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为7万元，每台种型号智能机器人制造成本为6万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出3台型智能机器人、4台型智能机器人共收入62万元；售出2台型智能机器人、5台型智能机器人共收入60万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系如图所示． 根据以上信息解决下列问题： （1）任务一确定销售单价：求A，B两种型号智能机器人每台的销售价格． （2）任务二拟定最优方案：若B型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求A型机器人的销售单价定为多少时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 23. 如图，在中，点为边上的动点，连接，沿折叠，点恰好落在边上的点处，点为射线上一动点，过点作交于点，交延长线于点． （1）观察猜想 如图①，当点在线段上，点恰好为的中点时，用等式表示线段，，之间的数量关系：___________． （2）问题探究 在（1）的条件下，若，求的长（写出求解过程）． （3）拓展应用 如图②，当点在线段的延长线上时，过点作交延长线于点．若，且时，直接写出的值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $