第八章证明综合练 2025-2026学年鲁教版五四制七年级数学下册

第八章证明综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列各式，属于二元一次方程的个数有（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤    ⑥    ⑦ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：二元一次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有未知数项的次数均为1，逐个判断如下： ①，项的次数为，不是二元一次方程； ②，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为，是二元一次方程； ③，是分式，该式不是整式方程，不是二元一次方程； ④，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为，是二元一次方程； ⑤，未知数项的次数为，不是二元一次方程； ⑥，不是等式，不属于方程，不是二元一次方程； ⑦，含有三个未知数，不是二元一次方程； 综上，符合条件的二元一次方程共个． 2．已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据命题的结构和真假命题的定义，依次判断三位同学的说法，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：∵当，时，满足，但， ∴原命题是假命题，甲同学判断错误． “若题设，则结论”是命题的标准形式，该命题的结论为， ∴乙同学判断正确． 添加条件都大于零后，命题变为“若且，则”， ∵两个正数的平方相等，正数本身必然相等， ∴该命题是真命题，丙同学判断正确． 综上，正确的判断共有个． 3．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 4．如图，交于点，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，结合角平分线的定义可得，进而即可求解 【详解】解：， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 5．如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先根据“两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行”解答①；再根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再结合已知条件判断②；根据“两直线平行，同旁内角互补”解答③；延长，根据“两直线平行内错角相等”得，再根据，解答④即可． 【详解】解：∵， ∴，则①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，则②正确； ∵ ∴， 即，则③正确； 延长， ∵， ∴． ∵， ∴，则④不正确． 正确的为①②③． 6．甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 【答案】C 【分析】先根据四人的表述推出确定结论，再逐一排除错误选项，验证得到正确结果． 【详解】解：∵丙说：“无论丁去不去，我都去．” ∴丙一定去． ∵乙说“丙去，我就不去”，丙去， ∴乙一定不去， A选项，甲一个人去，与丙一定去矛盾，错误，不符合题意． B选项，乙丙两个人去，与丙去则乙不去矛盾，错误，不符合题意． D选项，四个人都去，与乙一定不去矛盾，错误，不符合题意． C选项，甲丙丁三个人去：符合丙去乙不去的结论，甲的表述为“乙去我就肯定去”，乙不去不影响甲去，丁的表述为“甲乙中至少有一人去，我就去”，甲去满足条件，丁去符合要求，所有条件均成立，结论正确，符合题意． 7．如图，点在的延长线上，，交于点，且，，，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，推出，进一步推出，得，继而得到，根据角平分线的定义得，再根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， 即的度数是． 8．如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，由平行线的判定定理可判断①；过点作，则，由平行线的性质可得，即可判断②；设，，可得，，，即可判断③；过点作，则，可得，，进而得到，即得到，即可判断④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 过点作，则， ∴，， ∴， 即，故②正确； 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵，，，， ∴，， 过点作，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②③④， 故选：． 9．如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 10．画示意图表示下列概念之间的关系：多边形；正五边形；四边形；梯形；等腰三角形；直角三角形（示意图中用序号表示对应概念） 【答案】见解析 【分析】本题考查多边形及其相关特殊图形（正五边形、四边形、梯形、等腰三角形、直角三角形 ）的概念及分类关系．解题关键是明确各图形概念，依据包含关系绘制示意图来准确呈现它们之间的逻辑联系． 牢记多边形、正五边形、四边形、梯形、等腰三角形、直角三角形的定义．确定多边形包含其他各类图形；四边形是多边形的一类，梯形属于四边形；等腰三角形和直角三角形是三角形的不同类型，且都属于多边形 ．用图形直观呈现上述包含关系，大圈表示多边形，内部嵌套表示不同层级包含关系的小圈． 【详解】解：示意图如下： 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．能说明“如果，那么”是假命题的反例是：____，____． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了举反例，举一组例子说明时有即可求解，掌握举反例的定义是解题的关键． 【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，只需要举一组例子说明时有就可以， 当，时，有，但， ∴，是假命题的反例， 故答案为：；． 12．给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．其中真命题有________．（填所有真命题的序号） 【答案】③/3 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及余角、对顶角和补角的定义；通过举反例和定义分析即可判断. 【详解】解：①一个角的余角不一定大于这个角， 反例：的余角是，，故①是假命题； ②如果，那么与是对顶角， 反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故②是假命题； ③补角的定义：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，故③是真命题. 故答案为③ 13．参加“涪外好少年”杯七年级数学能力展示的七年级（1）班甲、乙、丙、丁四位同学一起去向黄特询问竞赛的成绩，黄特说，“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．”看了以后，甲对大家说：“我还是不知道我的成绩．”根据以上信息，则能知道自己成绩的同学是____________ 【答案】乙和丁 【分析】从甲的“不知道”反推乙、丙的成绩组合，再利用该组合推导乙的成绩即可． 【详解】解：如果乙、丙都是优秀，那甲只能是良好，甲就能确定自己的成绩； 如果乙、丙都是良好，那甲只能是优秀，甲也能确定自己的成绩； 因此，乙、丙一定是一优一良； 乙看到了丙的成绩，又知道乙、丙是一优一良， 若丙是优秀，乙就一定是良好； 若丙是良好，乙就一定是优秀； 所以乙能知道自己的成绩。 因为乙、丙是一优一良，所以剩下的甲、丁也必然是一优一良， 丁看到了甲的成绩： 若甲是优秀，丁就一定是良好； 若甲是良好，丁就一定是优秀； 所以丁能知道自己的成绩． 则能知道自己成绩的同学是乙和丁． 14．如图，四边形中，，，的平分线交于点，连接，，的平分线交的延长线于点F，下列结论：；；平分；．其中正确的结论有___________． 【答案】 ①②③ 【分析】由角平分线的定义，结合，可判断；由，结合平行线的性质，可判断；由角平分线的定义，结合平行线的性质，可判断；由，可得，，结合，可判断． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴正确，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴正确， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴错误， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴正确． 15．如图，已知长方形纸片，，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为___________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，证明，则；当在下方时，延长，交于点，证明，则． 【详解】解：当在上方时，延长、交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在下方时，延长，交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：或． 16．已知，如图平行，O为平面内一点，，的角平分线相交于G点，则________°    【答案】或 【分析】根据O的位置，分两种情况讨论：再分别画出图形，当在，之间，当不在，之间，再利用数形结合的方法解答即可． 【详解】解：如图，过作，而， ∴，    ∴，， ∵， ∴， ∵的角平分线相交于G点， ∴， 过作， 同理：， 同理可得：． 如图，过作，而， ∴，    ∴，， ∵， ∴， ∵的角平分线相交于G点， 设，， ∴， ∴，即， 过作，则， ∴，， ∴； 故答案为：或 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． (1)两个锐角的和是锐角； (2)0既不是正数，也不是负数． 【答案】(1)假命题，满足都是锐角，但是不满足与的和是锐角 (2)真命题 【分析】（1）两个锐角的和可以是锐角，也可以是直角，也可以是钝角，据此求解即可； （2）根据0的意义可得答案． 【详解】（1）解：命题“两个锐角的和是锐角”是一个假命题，例如，满足都是锐角，但是不满足与的和是锐角； （2）解：命题“0既不是正数，也不是负数”是真命题． 18．如图，已知：．试说明：． 请你填空，完成推理过程． 证明：（已知） 且（__________） （等量代换） _____ （同旁内角互补，两直线平行） （__________） （已知） （等式的基本性质） 即 （__________） 【答案】对顶角相等；；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【分析】根据同旁内角互补两直线平行证明，得到，然后证明出，即可根据内错角相等两直线平行证明． 【详解】证明：， 且（对顶角相等）， ， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等式的基本性质）， 即， （内错角相等，两直线平行）． 19．已知：如图，直线与直线分别相交于点E，F，射线平分交于点G，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的定义和已知条件可证明，则可证明． 【详解】解：∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，，点、分别在直线、上，连接，平分，平分，求证：与互余． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，结合邻补角定义求出，等量代换得出，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴与互余． 21．如图，，点F在上，点C，G在上，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，结合可推得，再根据平行线的判定，即可得到结论； （2）先求出，再结合角平分线的定义，可求得，最后根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 22．综合与实践 【问题背景】 图1展示了光线反射定律：是镜面的垂线，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线，反射光线与垂线所夹的锐角相等，即． 【理解原理】 (1)在图1中，请判断与的数量关系，并说明理由． (2)利用光的反射定律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，已知光线经过平面镜反射时，有．为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？ 【尝试探究】 (3)改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变．图3中，，入射光线经两次反射后，反射光线与平行但方向相反，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等角的余角相等即可得证； （2）根据平行线的性质可证，进而可证，即可得证； （3）过B作，根据平行公理可证，可得，再求出即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． （3）解：过B作， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．将15个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，求每个盒子放入的球的个数不小于它的编号数的放法有多少种？ 【答案】共有种方法． 【分析】本题考查排列组合知识等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，然后再将剩12个小球，利用隔板法分为三堆放入即可． 【详解】解：先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，还剩12个小球， 三个盒内每个盒子至少再放入1个，将12个球排成一排， 有11个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中， 共有种方法． 24．桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 【答案】(1)7 (2)14 【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案； （2）根据三种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：总变化量：， 次数（至少）：， 故答案为：7； （2）解：①两张由反到正，变化：； ②两张由正到反，变化：； ③一正一反变一反一正，变化， 要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14， ∵14无法由4，，0相加得到， ∴不能全正，故不能所有纸牌全正； 故答案为：14． 【点睛】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的正面向上，根据“奇数奇数偶数，偶数奇数奇数”进行解答即可． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章证明综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列各式，属于二元一次方程的个数有（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤    ⑥    ⑦ A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 4．如图，交于点，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 6．甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 7．如图，点在的延长线上，，交于点，且，，，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 10．画示意图表示下列概念之间的关系：多边形；正五边形；四边形；梯形；等腰三角形；直角三角形（示意图中用序号表示对应概念） 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．能说明“如果，那么”是假命题的反例是：____，____． 12．给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．其中真命题有________．（填所有真命题的序号） 13．参加“涪外好少年”杯七年级数学能力展示的七年级（1）班甲、乙、丙、丁四位同学一起去向黄特询问竞赛的成绩，黄特说，“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．”看了以后，甲对大家说：“我还是不知道我的成绩．”根据以上信息，则能知道自己成绩的同学是____________ 14．如图，四边形中，，，的平分线交于点，连接，，的平分线交的延长线于点F，下列结论：；；平分；．其中正确的结论有___________． 15．如图，已知长方形纸片，，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为___________． 16．已知，如图平行，O为平面内一点，，的角平分线相交于G点，则________°    三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． (1)两个锐角的和是锐角； (2)0既不是正数，也不是负数． 18．如图，已知：．试说明：． 请你填空，完成推理过程． 证明：（已知） 且（__________） （等量代换） _____ （同旁内角互补，两直线平行） （__________） （已知） （等式的基本性质） 即 （__________） 19．已知：如图，直线与直线分别相交于点E，F，射线平分交于点G，．求证：． 20．如图，，点、分别在直线、上，连接，平分，平分，求证：与互余． 21．如图，，点F在上，点C，G在上，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若，平分，求的度数． 22．综合与实践 【问题背景】 图1展示了光线反射定律：是镜面的垂线，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线，反射光线与垂线所夹的锐角相等，即． 【理解原理】 (1)在图1中，请判断与的数量关系，并说明理由． (2)利用光的反射定律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，已知光线经过平面镜反射时，有．为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？ 【尝试探究】 (3)改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变．图3中，，入射光线经两次反射后，反射光线与平行但方向相反，请直接写出的值． 23．将15个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，求每个盒子放入的球的个数不小于它的编号数的放法有多少种？ 24．桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $