第八章证明的巩固训练2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

第八章证明的巩固训练 一、单选题 1．某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．下列语句中，是命题的是（   ） A．作线段 B．能在线段上任取一点吗? C．作的平分线 D．两个锐角的和大于直角 3．如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 4．下列命题中，真命题是（    ） A．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 5．如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，下列条件无法判定的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，下列条件中，不能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，下列推理中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知，，是三条直线，下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 13．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 14．一个三角板和一个直尺拼接成如图所示的图形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 15．如图，在三角形中，点D，E，F分别在、、上，且，要使，还需要添加条件 A． B． C． D． 16．如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（    ） A．以点为圆心，长为半径的弧 B．以点为圆心，长为半径的弧 C．以点为圆心，长为半径的弧 D．以点为圆心，长为半径的弧 二、填空题 17．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处E与座位处A在一条直线上，若，，则的度数是____________． 18．图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为______． 19．已知，将含有的直角三角板如图方式摆放，与的角平分线交于点G，若，则________ ． 20．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是________． 21．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置上，与交于点G．若，则的度数为______． 22．如图，已知，，，则的度数是_______ 三、解答题 23．如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 24．填写证明过程中的推理或根据： 如图所示，已知：．求证：． 证明：， ．（___________） ， ．（___________） ___________．（___________） 又， ．（___________） ___________． ．（___________） （垂直的定义）． 25．已知：如图，，．求证：． 26．已知直线，直线分别与直线，相交于点，，点，分别在直线，上，且在直线的左侧，点是直线上一动点（不与点，重合），设，，． (1)当点在线段上运动时，试探索，，之间的关系，并给出证明； (2)当点在线段外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请你探索，，之间的关系（不需要证明）． 27．已知：如图，，平分，，，求的度数． 28．在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明，请你根据所学知识完成（1）的证明并在括号内填入适当的理论依据，同时完成（2）． (1)过点作． ，， ____________， ______（           ）， 又， ， 又， ______． (2)如图2，现有含角的直角三角板，含角的直角三角板，将这一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，直角三角板的斜边与纸条一边重合，直角三角板的顶点在纸条的另一边上，点与点重合，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第八章证明的巩固训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B D D D D B C A 题号 11 12 13 14 15 16 答案 C B C B D C 1．C 【分析】本题主要考查了简单的合情推理，分别假设甲、乙、丙、丁是冠军，然后进行推理，是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：①设获得冠军的是甲，则只有地理老师预测正确，与题设矛盾，故获得冠军的不是甲； ②设获得冠军的是乙，则地理老师、政治老师、语文老师预测正确，与题设矛盾，故获得冠军的不是乙； ③设获得冠军的是丙，则历史老师、政治老师预测正确，与题设相符，故获得冠军的是丙； ④设获得冠军的是丁，则四位老师都预测错误，与题设矛盾，故获得冠军的不是丁； 综合①②③④得：故获得冠军的是丙． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查命题的定义，解答的关键是理解命题定义：判断一件事情的句子，叫做命题．据此逐项判断即可． 【详解】解：根据命题定义，命题是能判断真假的陈述句， A为祈使句（指令），不是陈述句，不是命题； B为疑问句，不是陈述句，不是命题； C为祈使句，不是陈述句，不是命题； D为陈述句，且能判断真假，是命题． 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等，解题的关键在于准确识别图中熟练掌握平行线的性质，准确识别同位角，利用平行线的性质算出，用补角、余角、对顶角推算出的度数． 【详解】如下图 ∵ ∴ ∴ ∵直线 ∴ ∴ 故选：B． 4．D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、平行公理以及垂线段的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．依次对每个选项依据相关数学知识进行判断，确定真命题． 【详解】解：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，并非互相垂直，故A是假命题； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这里没强调“直线外”一点，故B是假命题； 两直线平行，同旁内角才互补，故C是假命题； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段的性质，故D是真命题． 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平角的定义即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7．D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意； D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故此选项符合题意； 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．进行判定即可作答． 【详解】解：A．，满足内错角相等，能判断直线； B．，不能判断直线； C．，满足同位角相等，能判断直线； D．，满足同旁内角互补，能判断直线． 故选：B． 9．C 【分析】本题主要考查了平行线的判定， 根据“内错角相等，两直线平行”解答A，B；再根据“同旁内角互补，两直线平行”解答C，D. 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 所以A不正确； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 所以B不正确； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 所以C正确； ∵，即， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 所以D不正确. 故选：C. 10．A 【分析】本题主要考查了平行线以及垂线的有关性质，熟练掌握它们的基本性质是解题的关键． 根据平行线以及垂直的有关性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，，则，由平行线的性质可得，故该选项正确，符合题意； B、若在同一平面内，，，则，故该选项错误，不符合题意； C、若，，则，故该选项错误，不符合题意； D、若，，则，故该选项错误，不符合题意． 故选：A． 11．C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过点作，可得，再根据平行线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 12．B 【分析】本题考查了平行线的性质，平角以及三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质，平角以及三角形的内角和是解题的关键． 由两直线平行，同位角相等得到，再根据平角的度数以及三角形的内角和即可得到． 【详解】解：如图， ， ， ，， ， 故选：B． 13．C 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质．延长交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【详解】解：延长交于， ， ，， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ，故①错误；②正确； ，， ，故③正确； 平分， ， ， ， ，故④不一定正确． 其中正确结论的是②③， 故选：C． 14．B 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 过点作，根据平行线的性质可知，进而求出，再由平行线的性质可求． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 15．D 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定、等量代换原则，根据已知找出符合要求的答案． 根据平行线性质，两直线平行同位角相等，得出，再利用要使，需使，找出符合要求的即可． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 要使， 只要就行， ∵， ∴还需要添加条件， 即可得到， 故选：D． 16．C 【详解】解：要作，需要构造同位角相等，即， 如图，点在的边上， 首先以为圆心，任意长为半径画弧，交于，交于， 然后以为圆心，长为半径画弧，交于 ， 接下来需要以为圆心，长为半径画弧，交之前的弧于，连接即可得到， ∴图中弧是以点为圆心，长为半径的弧． 17．/75度 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的和差，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由得，由得和，则有，又，最后用角度和差即可求解． 【详解】解：， ，即， ， ，， ∴， ∴， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键； 过点作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∵与的夹角为，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 19． 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，过点作，由平行线的性质得出，再根据角平分线的性质求出． 【详解】解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 20． 垂直 【分析】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同一平面内有2023条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 21． 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵在长方形纸片中，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故答案为：． 22． 【分析】本题考查全等三角形的性质、平行线的性质，通过角的和差运算得出是解题关键． 通过三角形全等得出，进而得出，再根据和求得，进而求得． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 23．直线与平行，理由见详解 【分析】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，平角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 由垂直的定义得到，由平角的定义求出，由对顶角的性质得到，因此，推出． 【详解】解：直线与平行，理由如下： ∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等式的基本事实；；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了垂直的定义、平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行线的性质和判定解题即可． 【详解】证明：， ．（垂直的定义） ， ．（同位角相等，两直线平行） ．（两直线平行，内错角相等） 又， ．（等式的基本事实） ． ．（两直线平行，同位角相等） （垂直的定义）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等式的基本事实；；两直线平行，同位角相等． 25．证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质以及角的和差关系，解题的关键在于利用平行线的判定与性质，通过角的和差关系推导出新的平行线，进而证明角相等．如图，根据，可得，再通过角的和差关系得到，从而推导出，最后根据平行线的性质即可得证． 【详解】证明：如图， ， ， ， ， ， 即， ， ． 26．(1)，证明见解析 (2)不成立．①当点在线段的延长线上，，理由见解析；②当点在线段的延长线上，，理由见解析 【分析】（1）过点作，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）不成立，分两种情况：①当点在线段的延长线上，②当点在线段的延长线上，分别画出图形，然后根据平行公理推论的应用及“两直线平行，内错角相等”即可得出结论． 【详解】（1）解：． 证明：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：不成立． 有两种情况： ①当点在线段的延长线上，此时， 理由：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②当点在线段的延长线上，此时， 理由：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 27． 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 28．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，根据两直线平行，内错角相等得到，，再由角的和差关系可得答案； （2）过点作，则，证明，得到，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作． ，， ， （两直线平行，内错角相等）， 又， ， 又， ； （2）解：如图，过点作， ， ， ， ， ∵， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $