2026年中考数学一轮专题复习之锐角三角函数实际应用专项综合提优训练

锐角三角函数实际应用专项综合提优训练 1.(2026陕西西安一模)在一些中国古代文献中记载了一种传统作画工具一界尺，它在 界画绘制时用以作出平行线.图1为界尺的实物图，从机械原理看，界尺实际上是一个平面 连杆机构.受此启发，越越同学制作了如图2的简易作平行线工具，（AB,BC,CD,DA的宽度 忽略不计)，已知连杆AB∥CD,AB=CD=16cm,在某次绘制时，测得∠DCB=42°.求： D B 图1 图2 (1)这次绘制的两条平行线AD与BC间的距离（结果精确到0.1cm)· (2)连接BD,若∠DBC=22°，求BC的长度（结果精确到0.1cm）·(参考数据：sin42°≈0.67 ,c0s42°≈0.74，sin22°≈0.37，c0s22°≈0.93，tan22°≈0.40) 2.（2026江西九江一模)如图，某款机器人的手臂由上臂AB、中臂BC和底座CD三部分 组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直.在实际运用中要求这三部分始终 处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂AB=12cm,中臂BC=8cm,底座 CD=10cm R D D 7 T777777T 图1 图2 (1)若上臂AB与水平面平行，且∠ABC=60°，计算此时点A到地面的距离； (2)如图2，在一次操作中，上臂AB的点A落在水平地面上，计算这时点A到点D的最大距 离？（结果保留根号） 3,(2026安徽芜湖一模)如图，四边形ABCD是某校实践基地一块菜地的示意图， ∠BAD=∠C=90°，数学兴趣小组在观测点E处(A,D,E在一条直线上)，测得B在E的 南偏东30°方向上，AE=12m,在观测点F处(B,A,F在一条直线上)，测得C,D都 在F的北偏东45°方向上，BF=10m·求这块菜地的面积.（结果保留整数，√2≈1.41， 5≈1.73) 309 4.(2026安徽合肥一模)某山林瞭望塔建在山坡上，用于观测火情或特殊目标.山坡BC的 坡度为12：5，坡长BC为26米，瞭望塔AB高3米，塔顶为观测点A.巡山员在将某信号 弹从地面E点垂直发射前，在观测点A测得E点的俯角为37°，发射3秒后，测得信号弹升 至D处的仰角为53°，请根据以上数据，估算巡山员发射的信号弹平均垂直上升速度，（参 考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75) 5.(2025陕西西安三模)春光明媚的一个周末，小明一家出外游玩·小明爸爸试飞一架无 人机，让其静止悬浮田野上空O处进行拍照，如图，小明在路旁一斜坡A处测得无人机的 仰角为45°，小明妈妈在水平地面D处测得无人机的仰角为53°，已知斜坡AC长为3√146米， 坡度i=1:2.2,水平地面CD长为50米.求此时无人机离地面的高度0F.(参考数据： sin530≈4 ○ 454 B 6.(2026陕西汉中.二模)【问题背景】万佛楼，为重檐歇山式三层砖木结构建筑（如图1）.阳 光明媚的一天，林林所在的数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识测量万佛楼的高度AB 【测量过程】如图2，为了测量方便，在该楼一侧地面上的点K处斜放了一个背景板KM, 它与地面BN的夹角为∠MKN,身高1.5米的林林(CD)在阳光下的影长为DE,同一时 刻此楼AB的最高点A在阳光下的影子落在背景板上的点F处· 【测量数据】∠MKN=37°，DE=1米，KF=5米，BK=6米 【参考数据】sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75， 已知AB⊥DN,CD⊥DN,点D、E、B、K、N在同一条直线上，图中所有点均在同一平面 内.请你根据以上信息求出万佛楼的高度AB· K B ED 图1 图2 7,(2026山东济南一模)实物展示合是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，把它连接在 投影仪和电视机上时，就可以将资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来·一台普通的 实物展示合包括三个部分：摄像头、光源和合面.图1是一个实物展示合，图2、图3是其 侧面抽象示意图，立柱AB=35cm且立柱AB垂直水平桌面，C为摄像头，BC可绕点B旋 转，且CB=20cm. (参考数据： tan7°≈0.12，sinl0°≈0.17，tanl0°≈0.18，sinl7°≈0.29，tan17°≈0.3l,sin27°≈0.45， tan27°≈0.51) C B D A D A 图1 图2 图3 (1)当CB与水平桌面平行时，如图2，投影宽度ED=22cm,投影线CE=CD,求摄像头的 广角∠ECD及∠BCD的度数； (2)如图3，将BC绕点B旋转，在旋转过程中摄像头的广角∠ECD及∠BCD的大小始终保持 不变，当∠ABC=100°，求投影宽度ED的长（结果保留一位小数）· 8,(2026贵州遵义一模)图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成 图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD,点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌 板CD平行于地面，测得CE=9cm,BC=37cm,LABC=24°. (sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45】 A C 龙D CE D B 图1 图2 图3 (1)如图2，求点C到靠背AB的距离；（精确到0.1cm) (2)如图3，靠背AB绕点B旋转，当AB与小桌板支架CB重合时，已知杯托凹陷深度为 0.6cm,求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度 9.(2026重庆一模)为弘扬志愿服务精神，传承红色基因，杨家坪中学的志愿者们积极行 动，通过清理社区周边垃圾、宣讲环保知识，将红岩精神融入实践，如图，是某社区的平面 勘测图，B在A的北偏东30方向，AB=2千米，C在B的正东方向，BC=3千米，D在C的 东南方向，且D在A的正东方向.（参考数据：√5≈1.73，√6≈2.45） 北 iB 西 →东 南 (1)求CD的长度；（结果保留小数点后一位） (2小皆和小能作为志愿者，同时从A地出发，小皆沿路线A→B→C前往C地，小能沿路 线A→D→C前往C地，已知小皆与小能的速度之比为3：4，出发0.6小时后小皆在由B到 C的途中恰好位于小能的西北方向.求小皆从A地出发多少时间后到达C地（结果保留小数 点后一位) 10.(2026甘肃陇南一模)“实验是获取真知的关键途径”.如图，某校实验楼上悬挂了一块 高为6米的标语牌CD,小明和小亮准备在数学活动课上测标语牌的底部D到地面的距离 DH,小明在点E处测得标语牌底部点D处的仰角∠DEN=31°，小亮在点F处测得标语牌 顶部点C处的仰角∠CFN=45°，经测量，AB=10m,测角仪的支架高AE=BF=1.2m, 已知CH⊥AH,EA⊥AH,FB⊥AH,点A,B,H在同一条直线上，点C,D,N,H在同一条直线 上，图中所有点均在同一平面内，求点D到地面的距离DH,(参考数据： tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86) C D E 田 E3145° N田 A B H 11.(2026陕西榆林一模)“山水人文，大美陕西”，陕西不仅有着厚重的历史底蕴，更有着 丰富的自然景观·张琪一家去波浪谷旅游时看到了连绵起伏的赤色山峦.张琪突发奇想，想 要测量波浪谷一段岩壁的高度(AB),于是在父母的帮助下在山脚点C处测得岩壁顶端A 的仰角∠ACB=30°，张琪沿坡面倾角（∠DCE)为20°的坡面CD向上行进100m到达点D ,此时用测角仪测得岩壁顶端A的仰角为45°，已知AB⊥BC,DE⊥BC,点C,E,B在 同一水平地面上·请你通过测量的数据帮张琪计算出这段岩壁的高度AB·(结果保留整数 参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，√5≈1.73) D45° 20° E B 12.(2026江西吉安模拟预测)如图1所示的是一款摆放在水平桌面上的简约化妆镜，图2 是其侧面示意图，AB,AC是该镜子的支撑腿，且AB=AC=16cm,∠BAC=30°，镜面 DE长20cm,A为镜面DE的中点，镜面DE可绕点A旋转 B 图1 图2 (1)求BC的长 (2)若镜面DE与支撑腿的夹角∠DAC=30°，求镜面端点E到桌面的距离， (结果保留小数点后一位，参考数据：sin75°≈0.97，c0s75°≈0.26，tan75°≈3.73， √2≈1.41) 13.(2026重庆模拟预测)端午安康，某古城文旅局举办“端午探宝"定向寻宝赛，以古城街 巷为场地还原古驿道寻宝路线：打卡点B在打卡点A的正南方向150米处：打卡点B在打卡 点C的北偏西60°方向：打卡点D在打卡点C的正东方，同时D在A的东南方向：打卡点E 在D的正北方300米处，且恰好位于A的北偏东75°方向·（参考数据：√2≈1.41， √5≈1.73，√6≈2.45) 北 1759 西个东 AP 南 45 B 609 C D (1)求打卡点B、C之间的距离；（结果保留整数） (2比赛中，小育从打卡点D出发，沿线段DA向A匀速奔跑；小陶从打卡点E出发，沿某方 向匀速直线奔跑两人同时出发，小育与小陶的速度之比为4：3，并在线段DA上某处相遇当 两人相遇时，小育跑了多少米？（结果保留整数） 14.(2026重庆一模)如图，四边形ABCD是某小区步道，点A,B,C,，D在同一平面 内，点B在点A的南偏东30°方向，点D在点A的正东方向，点C在点B的正东方向，点A 在点C的北偏西45°方向，且4、C两地相距300米.（参考数据：√2≈1.41，√5≈1.73， √6≈2.45) (1)求A、B两地的距离（结果保留根号）； (2小昆从点B出发沿BA步行到终点A,同时小萱从点A出发，沿AD步行到终点D,小昆 与小萱步行的速度之比为3：2，当他们首次相距100米时，求此时小萱与点A的距离（结果 保留整数) 15.(2026江苏连云港一模)水晶公园是市民休闲时的一个好去处.如图，小明和他的综 合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度AB,他们选定了两个观测 点C,D,观测点D在点A的北偏东45°方向上，观测点C在点B的北偏西22.6°方向上， 点B在点A的正东方，又测量得BC=260m,CD=120m,∠ADC=90°.求水晶公园的东 西最大宽度AB.(结果精确到1m,参考数据：sin2.6°≈5， `13,cos22.6°≈1 3 tan2.6°≈ 2V2≈1.414) D 14So 22.6° 西A函 东 16.(2026江西九江一模)如图是立在海滩上的遮阳伞，伞柄AE与地面EF垂直， AE=2.68米，伞骨AB=AC=2米，∠BAC=140°，BC∥EF (1)求点C到地面的距离 (2)有一高度为80cm的小桌子(GF=80cm),已知此时太阳光线与水平方向的夹角为60°太 阳光刚好照到桌面边缘点D处，求点D到AE的距离（精确到0.1米） (参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，√3≈1.73) 17.(2026江苏无锡一模)在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建 筑物AB的高度.如图，在建筑物AB旁有一小山坡CD,测得山坡CD的坡度i(即tana) 为1：√5，CD=32m,在D处测得A处的仰角为75°，在C处测得A处的仰角为30°. 30°rC 75% 夕 0 (1)求∠DAC的度数； (2)求建筑物AB的高度，（计算过程和结果中的数据不取近似数） 18.(2026广东茂名一模)淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统，请结合几何原理与实际 测量数据，解决以下问题： H B 喷 手柄AB=30cm,与墙面EH的夹角 ∠HAB=a (称为“调整角").水流射线 结 BC⊥AB,落点C需满足竖直站立者 树 的“舒适喷淋点”要求 D 淋 H G 浴 矩形EFGH是淋浴房的截面图， 90 房 EF=90cm,EH=195cm.固定站立点 参 D满足DE=54cm· 已 数 E D F 知 条 件 体 程 “舒适喷淋点”（高度=身高-30cm).已知父亲身高170cm,小明身高140cm 学 定 义 参 考 sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75，V3≈1.73 数 据 问题解决 (1)当父亲使用喷头时，调整角α=37°，水流恰好落于其“舒适喷淋点”C处 (CD=170-30=140cm).求：点A到地面的距离AE· (2)父亲使用后，固定器位置不变(AE长度固定)，调整角改为α=60°.判断：小明站立于 D处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由，（计算结果精确到个位） 19.(2026河南许昌一模)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小明同学 安装的加热高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，试管夹应固 定在距试管口的三分之一处.已知试管AB=30cm,试管倾斜角=10°， 高锰酸钾蓬松的棉花团 D (1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽MN,延长BM交CN的延长线于点F,且MN⊥CF(点C, D,N,F在一条直线上)，经测得：DE=21.7cm,MN=8cm,∠ABM=145°，求线段DN 的长度.（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tanl0°≈0.18） 20.(2026陕西西安·模拟预测)西安滨河学校九年级某班七组同学利用课后服务时间进行 综合实践活动，在操场看台上测量对面体育馆的高度· 活动主题 测量操场看合对面体育馆的高度 测量工具 测角仪，皮尺，计算器等 测量示意图 ①用皮尺测得看台AB的长为2.5米，坡度i为3：4，看合最低 点A到地面CE的距离为1米，AE⊥EC,DC1EC, BG⊥GC,AH⊥BG,BF⊥CD; 测绘过程与数据信息 ②用测角仪在看台最低点A处测得体育馆顶部D点的仰角为 30°，在看台顶部点B处测得体育馆顶部D点的仰角为2635' ③)用计算器计算得：sin2635'≈0.45，c0s2635'≈0.89 tan2635'≈0.50，√3≈1.73. 请你根据测量结果，帮助七组同学求出体育馆CD的高度（结果精确到01米）· 答案 1.(1)10.7cm (2)38.6cm 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造直角三角形： (1)作DE⊥BC于点E,解Rt△CDE,求出DE的长即可； (2)解Rt△CDE,求出CE的长，解RtaBED,求出BE的长，线段的和差关系求出BC的 长即可 【详解】(1)解：作DE⊥BC于点E, 在Rt△CDE中，CD=16cm,∠DCB=42°， .DE=CD·sin42°≈16×0.67≈10.7cm; 故两条平行线AD与BC间的距离为10.7cm D (2)解：在Rt△CDE中，CD=16cm,∠DCB=42°， .CE=CD·cos42°≈16×0.74=11.84cm, 由(1)知：DE=CD.sin42°≈16×0.67=10.72cm, 在RtaBED中，BE=DE÷tan∠DBC=DE÷tan22°≈26.8cm, ∴.BC=BE+CE=11.84+26.8≈38.6cmi 故BC的长度为38.6cm 2.(1)点A到地面的距离为10+4V3cm (2)此时点A到点D的最大距离为10√5cm 【分析】(I)过点C作CM⊥AB,垂足为点M,在Rt△MCB中利用正弦的定义得到 CM=4V3(cm),再利用线段的和差即可求解； (2)当点A,B,C在同一直线上时，点A与点D的距离最大，在Rt△ACD,利用勾股定 理即可解决问题· 【详解】(1)解：如图，过点C作CM⊥AB,垂足为点M, M B D 777777T 则在RIAMCB中，sinB=CM BC :∠ABC=60°，BC=8cm, CM3 82 ..CM =43cm, .DM=CD+CM=(10+43)(cm), :点A到地面的距离为10+4V3cm (2)解：当点A,B,C在同一直线上时，点A与点D的距离最大， 此时点A,C,D构成Rt△ACD, AD=V202-102=10V5cm), 即此时点A到点D的最大距离为10v3cm· 3.这块菜地的面积是20m 【分析)解Rt△ABE,求出AB=43m,得出AF=10-4V3m,分别求出 AD=AF=10-4V5m,CF=BC=5√2m,根据S医边形4Bcn=S△BCr-SADAF可求出结论. 【详解】解：在Rt△ABE中，tan30=4B AE 4B=AE-tan30°=12x5 45(m), 3 :AF BF-4B=(10-43)m. 由题意得：∠AFD=45°，∠FAD=∠BAD=90°， :AD=AF=10-45m, CF=BCcs45.BFx5(m) 5-8c-52=25(m） 5am号4r2-=0-45=74-405m). .S边548cD=SaCr-SAMP=25-(74-40N5)=40V5-49≈20(m2） 答：这块菜地的面积是20m2, 4.巡山员发射的信号弹平均垂直上升速度约为25m/s 【分析】过点A作AF⊥DE于点F,延长AB交直线CE于点H,设CH=5x,则BH=I2x, 结合勾股定理求得BH=24m,AH=3+24=27m=FE,再由正切函数求出AF、DF即可 求解， 【详解】解：过点A作AF⊥DE于点F,延长AB交直线CE于点H, D ∠FAE=37°，∠DAF=53°， A 、----F B HC E ∠D=37°， :BC的坡度为12：5， 设CH=5x,则BH=12x, 在Rt△BHC中，BC=26m, 由(5x)2+12x)2=262, 解得x=2, BH=24m,AH=3+24=27m=FE, 在RtAFE中，AF=FE 27 =36m, tan∠FAE tan37° 在R△DAP中，DF=AF 36 tan∠Dan37°=48m, .DE=DF+FE=48+27=75(m. 75÷3=25(m/s. 答：巡山员发射的信号弹平均垂直上升速度约为25ms 5.此时无人机离地面的高度0F=56米 【分析】过点A作AG⊥OF于点G,过点C作CH⊥AG于点H,根据坡度i=1:2.2,设 CH=x米，则AH=2.2x米，根据勾股定理得出x2+(2.2x)2=(346,求出x=15,设 DF=y米，则GH=CF=(50-y)米，求出AG=AH+GH=33+(50-y)=(83-y)米，解直 角三角形得出OF=DxD-号米。求出0G=0F-FG=[台-15米. 4 根据0G=AG, 4 得出y-15=83-y,求出y的值，得出答案即可. 【详解】解：过点A作AG⊥OF于点G,过点C作CH⊥AG于点H,如图所示： G45>A FC B 则四边形CFGH为矩形， ..CH=FG,GH=CF, 坡度i=1:2.2, CH、1 AH2.2 设CH=x米，则AH=2.2x米 根据勾股定理得：AH+CH2=AC2 x2+2.2x2=(3146, 解得：x=15,负值舍去， .CH=15米，AH=33米， .FG=CH=15米， 设DF=y米，则GH=CF=(50-y)米， .AG=AH+GH=33+(50-y)=(83-y)米， 4 在Rt△ODF中，OF=DFxtan D-y米， 4 ..OG=OF-FG= 3y-15米 在Rt△AOG中， tan45°=OG AG ..OG=AG, 3-15=83-y 解得：y=42 0F=4×42=56(米). 3 答：此时无人机离地面的高度0F=56米. 6.万佛楼的高度AB为18米. 【分析1过点F作FG⊥AB于点G,过点K作KH上FG于点H,根据sin37°=K求得 FK BG=HK=3,证明aAGF∽aCDE,利用相似三角形的性质列式计算，据此求解即可. 【详解】解：如图，过点F作FG⊥AB于点G,过点K作KH⊥FG于点H,则四边形 BGHK是矩形， A M :BG=HK HG=BK =6,FG//BN K B ED :∠KFG=∠MKN=37°， sin37°= ≈0.60.即K≈0.60 FK 5 :BG=HK=3, .FH=FK2-HK2=4. FG=FH+HG=4+6=10, 由题意得，△AGF∽aCDE, .AG_GF 即AG、10 CD DE 1.51 .AG=15, :AB=AG+BG=15+3=18. 故万佛楼的高度AB为18米 7.(1)∠ECD=34°，∠BCD=73°； (2)此时的投影宽度ED的长约为24.2cm 【分析】(1)先证明四边形ABCF是矩形，得到CF=AB=35,再得到 DFED山∠ECD=2∠BCP,解直角三角形求出∠ECF≈17°，即 (2)过点B作BQ⊥CP于点Q,过点C作CP⊥ED于点P,易证四边形BQPA是矩形，求 出∠CBQ=∠ABC-∠QBA=10°，通过解直角三角形求出CQ=3.4,CP=38.4,再解直角三 角形求出PD≈4.61；PE≈19.58，即可求解. 【详解】(1)解：如图，过点C作CF⊥DE于点F,依题意BC∥AE,BA⊥AE· C B E 图2 .∠B=∠BAF=∠CFA=90°， .四边形ABCF是矩形 .CF=AB=35, .·CF⊥DE,CE=CD .EF=DF=ED=IL,∠ECD=2∠ECF, 在RtaCFE中，an∠ECF=EE=I ≈0.31， CF 35 .∠ECF≈17， .∠ECD=2LECF=34°， 答：摄像头的广角∠ECD的度数约为34°. (2)解：如图，过点B作BQ⊥CP于点Q,过点C作CP⊥ED于点P, B E PD A 图3 BQ⊥CP,CP⊥ED,AB⊥AP, .∴.∠BOP=∠OPA=∠PAB=90°， .四边形BQPA是矩形， .∠QBA=90,PQ=AB=35, .'∠ABC=100° .∠CBQ=∠ABC-∠QBA=10°， ∴.∠QCB=90°-∠CBQ=80°， 在Rt△CQB中，∠CQB=90°， .CQ=CBsin∠CBQ=20×sin10°≈20×0.17=3.4， ∴.CP=CQ+PQ=3.4+35=38.4 ∵∠DCB=90°-17°=73°，∠ECD=34°， ∴.∠PCD=∠QCB-∠DCB=80°-73°=7° .∠ECP=∠ECD-∠PCD=34°-7°=27°， .∴.PD=CPtan∠PCD=38.4×tan7°≈38.4x0.12≈4.61； PE=CP tan∠PCE=38.4×tan27°≈38.4×0.51≈19.58， ∴.ED=PD+PE=4.61+19.58≈24.2 即此时的投影宽度ED的长约为24.2cm· 8.(1)点C到靠背AB的距离约为15.2cm (2)乘客水杯的最大高度为20.6cm 【分析】(1)根据BC的长和∠ABC的正弦值可得CG的长； (2)作ME⊥CD于点E,易得∠CME=24°，进而根据CE长和∠CME的正切值可得ME的 长度，加上杯托的深度即为乘客水杯的最大深度· 【详解】(1)解：延长DC交AB于点G,则∠BGC=90°， A G B --F .'BC=37cm,∠ABC=24°， .CG=37×sin24°≈37×0.41≈15.2(cm. 答：点C到靠背AB的距离约为15.2cm; (2)解：作ME⊥CD于点E,则∠MEC=90°， CDIBF, ∴.∠ACD=∠CBF=90°-24°=66° .∠CME=90°-66°=24°， .CE =9cm .∴.ME= 9 9 =20(cm), tan24°0.45 ∵杯托凹陷深度为0.6cm, ∴.乘客水杯的最大高度为20+0.6=20.6cm. 9.(1)2.5千米 (21.4小时 【分析】(1)过B作BE⊥AD于E,过C作CF⊥AD于F,根据矩形判定与性质得出 BE=CF,EF=BC=3,在Rt△ABE中，解直角三角形求出AE、BE的长度，在 Rt△CDF中，解直角三角形求出DF,CD即可； (2)设出发O.6小时后小皆在由B到C的位置为M、小能的位置N,过M作MH⊥AD于H, 根据矩形的判定与性质得出BE=MH=√5，BM=EH,在Rt△MNH中，解直角三角形求出 HN=√5，设小皆的速度为3xkm/h,小能的速度为4xkm/h,根据BM=EH列方程为 0.6×3x-2=0.6×4x-1-√5，解出x的值，最后根据时间=路程÷速度求解即可 【详解】(1)解：过B作BE⊥AD于E,过C作CF⊥AD于F, 北 B 西→东 南 则四边形BEFC是矩形， .BE=CF EF =BC=3, 根据题意，得∠BAE=90°-30°=60°，∠DCF=90°-45°=45°， 在Rt△ABE中，AB=2, .AE=AB.cos ZBAE=2×cos60°=1，BE=AB.sin∠BAE=2×sin60°=√5， CF=5, 在Rt△CDF中，DF=CF,m∠DCF=5xam45=V5,CD=CF =V6≈2.5， cos∠FCD cos45° 答：CD的长度约为2.5千米； (2)解：设出发0.6小时后小皆在由B到C的位置为M、小能的位置N, M在N的西北方向，D在C的东南方向， .MN∥CD, 如图，过M作MH⊥AD于H, 北 B M 西 →东 南 E H D 则四边形BEHM是矩形， .BE=MH=√3，BM=EH, 在Rt△MNH中，∠HMN=45°， .HN=MH.tan∠HMN=√3xtan45o=√3， ,小皆与小能的速度之比为3：4， ∴.设小皆的速度为3xkm/h,小能的速度为4xkm/h, .0.6×3x-2=0.6×4x-1-V3, 解得x=5- 2+3 ∴小皆从A地出发到达C地所需要的时间为 *35- 5+114小时)· 2 10.25.2m 【分析】如图：由题意可知，CD=6m,EF=AB=10m,四边形ABFE,四边形BHNF均为 矩形，则∠CNF=90°.由等角对等边可得CN=NF;设DN=xm,则NF=(x+6)m, EN=x+16)m;再在RtADEN中，利用正切的定义可得x≈(x+16)×0.6,解得x≈24，进 而完成解答 【详解】解：如图：由题意可知，CD=6m,EF=AB=I0m,四边形ABFE,四边形BHNF 均为矩形，则∠CNF=90°. ∠CFN=45°， :.CN =NF, 设DN=xm,则NF=CN=DN+CD=(x+6)m, .EN=EF+NF=10+(x+6)=(x+16)m. 在RtADEN中，tan∠DEN= DN EN' :DN=EN.tan∠DEN.即x≈(x+l6)×0.6, 解得x≈24. .DH=DN+NH=24+1.2=25.2(m) 答：点D到地面的距离DH约为25.2m. 11.82米 【分析】过点D作DH⊥AB于点H.可得四边形BEDH是矩形，设AB=xm,则 AH=(x-34)m,结合∠ADH=45°，可得EB=x-34)m,然后在Rt△ABC中，列出比例 式求解即可 【详解】解：在Rt CDE中，∠DCE=20°，CD=100m, .DE=CD.sin20°≈100×0.34=34(m), CE=CD.cos20°≈100×0.94=94m). 如图，过点D作DH⊥AB于点H DE⊥BC,AB⊥BC, .四边形BEDH是矩形 .BH=DE=34m,DH=EB· 设AB=xm,则AH=(x-34)m. ∠ADH=45°，∠AHD=90°， :DH=AH =(x-34)m, tan45° .EB=(x-34)m, .∴.CB=CE+BE=94+(x-34)=(x+60)m. 在Rt△ABC中，∠ACB=30°， tan30°=AB-V5 BC 3 即x≈1.73 x+60 解得x≈82 3 故这段岩壁的高度AB约为82m· D45 C20° E B 12.(1)8.3cm (2)22.6cm 【分析】(1)过点A作AF1BC于点F,由三线合一定理得到 BC=2B,∠AFB=90,∠BAF=∠BAC=15°.据比求出∠A8F的度数，解直角三角形 求出BF的长，即可求出BC的长； (2)过点E作EG⊥FA,，交FA的延长线于点G,解直角三角形求出AF的长，再求出 LGAE的度数和AE的长，解直角三角形求出AG的长，进而求出FG的长即可得到答案 【详解】(1)解：如图所示，过点A作AF1BC于点F, E C AB=AC=16cm,AF L BC,∠BAC=30°， ·BC=2BE,∠AFB=909,∠BAF=1∠BAC=150, 2 .∠ABF=90°-∠BAF=75°， .BF=4B.cos∠ABF=16·cos75°≈16×0.26=4.16(cm, ∴.BC=2BF=4.16×2=8.32≈8.3(cm, 答：BC的长约为8.3cm; (2)解：如图所示，过点E作EG⊥FA,交FA的延长线于点G, E G D BF C .AB=AC=16cm,AF⊥BC,∠BAC=30°， ∠BAF=∠CAF=∠BAC=159,∠AFB=90°， .∠ABF=90°-∠BAF=75°， .AF=ABsi∠ABF=16·sin75°≈16×0.97=15.52(cm); ∠DAC=30°， .∴.∠GAE=∠DAF=∠DAC+∠CAF=45°i ,镜面DE长20cm,A为镜面DE的中点， 4E=DE=10cm 2 在Rt△AEG中，∠AGE=90°，∠GAE=45°， .AG=AE.cos∠GAE=10cos45°=5V2≈5×1.41=7.05(cm), .FG=AG+AF=15.52+7.05=22.57≈22.6(cm), 答：镜面端点E到桌面的距离约为22.6cm· 13.(1)B、C之间的距离为173m (2)小育跑了312m 【分析】(1)过点E作EF⊥AD于点F,延长AB、DC交于点H,求出相关的角度，根据 三角函数，依次计算EF、FD、AF、AH、BH,最终求出BC的长度； (2)过点E作EF⊥AD于点F,两人相遇时在线段DA上的点G,根据题意可设相遇时小 育跑了4x米，小陶跑了3x米，即GE=3xm,DG=4xm,则GF=4x-150V2)m,在 RtEFG中，由勾股定理列方程即可求解. 【详解】(1)解：过点E作EF⊥AD于点F,延长AB、DC交于点H,如下图所示： 北 1759 西个东 A 南 459 :∠EDF=45°，∠EFD=90°，DE=300m, B 609 H D C :EF=FD=ED×cos45°=150V2m, :∠EAF=180°-75°-45°=60°， :Ar=EF=1505-506m, tan60°√3 :AD=AF+DF=150V2+50V6)m, :∠HAD=45° :AH=AD×cos45°=(150+50V3m, BH AH-AB=503m. :∠HBC=60° ·BC= BH=1003≈173m c0s60° (2)如图，过点E作EF⊥AD于点F,两人相遇时在线段DA上的点G, :两人同时出发，小育与小陶的速度之比为4：3， :设相遇时小育跑了4x米，小陶跑了3x米，即GE=3xm,DG=4xm, :由(1)知，EF=FD=150√2m, :.GF=DG-DF=(4x-1502m, 在RtaEFG中，由勾股定理可得GF2+EF2=EG2,即(4x-150+150V2)}'=(3x2, 解得5-600N5+30=164,5-605-3078. 1 7 4x≈656或4x≈312， :AD=150√2+50V6m≈334m<656, :DG=4x≈312m, 即小育跑了312m 1750 西个东 A 南 5δ F 609 D 14.(1)1006 (2)当他们首次相距100米时，此时小萱与点A的距离约为93米 【分析】(1)过点A作AE⊥BC于点E,解直角三角形即可求得AE,AB (2)设他们首次相距100米时，小昆在点M,小萱在点N,过点M作MF⊥AD于点F, 分别求得FN,FM,在RtaFMN中，MN2=FW2+FM2,根据勾股定理建立方程，解方程， 即可求解 【详解】(1)解：如图所示，过点A作AE⊥BC于点E, D 30d E B 依题意，∠CAE=∠ECA=45°，∠BAE=30°，AC=300(米) 4E=AC-sin ACE=300×2 =150√2（米） .AB= AE 150W2 =100W6 OS∠EAB 3 (米) 2 (2)解：如图，设他们首次相距100米时，小昆在点M,小萱在点N,过点M作 MF⊥AD于点F, D .∴.MN=100 小昆与小萱步行的速度之比为3：2， .BM:AN=3:2 设AW=2x,则BM=3x,AM=100V6-3x, 在RtAAMF中，∠MAF=60 .AF-AM605MAF50 FM-AFn FAMF50 w=-4-06--2o6- 在RteFMN中，MN2=FN2+FM2 1002= w5-3swi- 解得：x=400v6-100 400V6+100 (不是第一次相距100米，舍去)】 19 19 .AN =2x= 8006-200≈93（米） 9 答：当他们首次相距100米时，此时小萱与点A的距离约为93米 15.最大宽度AB=510m 【分析】过点D作DE⊥AB交AB于点E,过点C作CF⊥AB交AB于点F,过点C作 CG⊥DE交DE于点G,构造直角三角形和矩形，根据勾股定理和三角函数可得出DG、 GC、CF、FB的长度，最终即可求出最大宽度AB的长度· 【详解】解：过点D作DE⊥AB交AB于点E,过点C作CF⊥AB交AB于点F,过点C作 CG⊥DE交DE于点G,如下图所示： D G 459 22.6° 西A B东 根据题意，可知∠DAE=45°，四边形GEFC为矩形， .∠ADE=45°， ∠ADC=90°， .AE=DE, .∠GDC=45°， ∠DGC=90°， .∠DCG=45°， ..DG=GC, .CD=120m, DG2+GC2=CD2, 解得DG=GC=60V2m, ∠FCB=22.6°，BC=260m, ∴.CF=BC×cos22.6=240m,BF=BC×sin22.6°=100m, .AE DE=DG+GE=DG+CF=60v2+240m, EB=EF+BF=GC+BF=602+100m, ∴.AB=AE+EB=60V2+240+60V2+100≈510m· 16.(1)2米 (21.2米 【分析】(1)由等腰三角形的性质得出∠CAH=。∠BAC=70°，在RtaACK中求出 AK=0.68米，从而可求出KE=2米，即点C到地面的距离 (2)求出KC=1.88米，过点D作DQ⊥KC于点Q,DH⊥AE于点H,则四边形DOKH、 GHEF是矩形，得HE=GF=0.8米，KH=DQ,DH=KQ,求出DQ=1.2米，CQ=0.7米， 求得KQ=1.2米，从而可得解. 【详解】(1)解：过点C作CP⊥EF于点P,如图， A B2-------- K E :AE⊥EF,BC∥EF, AE⊥BC于点K, 四边形EPCK是矩形， ∴CP=KE; AB=AC=2米，AE⊥BC于点K,∠BAC=140°， 1 2C1K=2∠B1C=70°， .∠KCA=20°， 在Rt△ACK中，AK=AC.sin20°≈2×0.34=0.68（米）， AE=2.68米 .KE=AE-AK=2.68-0.68=2(米) .Cp=2米. (2)解：在RtAACK中，CK=AC.cos20°≈2x0.94=1.88(米)， 过点D作DO⊥KC于点Q,DH⊥AE于点H,则四边形DOKH、GHEF是矩形 .HE=GF=80cm=0.8米，KH=DQ,DH=KQ KE=2米， .KH=KE-HE=2-0.8=1.2米， .D9=1.2米 在Rt△DQC中，∠DCQ=60°， ..co= Dg=12≈0.7（米）， tan60°√3 ∴.KQ=KC-QC=1.88-0.7=1.18≈1.2米 .DH=1.2米 17.(1)45° (224+8v5m 【分析】(1)过点C作CF⊥AB于点F,由三角形内角和定理得∠BAC=60°，在Rt△ABD中， LADB=75°，可得∠BAD=15°，从而可求出∠DAC; (2)过点C作CE⊥BD于点E,过点D作DG⊥AC于点G,求出CE=I6m,再求出 CG=16m,DG=165,可得4C=6+16可m,进而得出-4C=8+8v5m, 即可求出AB, 【详解】(1)解：过点C作CF⊥AB于点F,如图， G 301 75 B D E 则∠AFC=90°， ∠ACF=30°， .∠CAF=180°-90°-30°=60°， 在Rt△ABD中，∠ADB=75°，∠ABD=90°， .∠BAD=180°-90°-75°=15° .∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-15°=45°； (2)解：过点C作CE⊥BD于点E,过点D作DG⊥AC于点G,如图， :i=1:V5 ∴.tana= CE 1 DE 33 .a=30°， 设CE=x,则DE=V3x, 在Rt DCE中，CD=32m,DE2+CE2=CD2, (3x+r=32, 解得x=16(负值舍去)， .CE=16m, CF⊥AB,FB⊥BE,CE⊥BE, ∴.四边形CFBE是矩形， .FB=CE =16m, CF⊥AB,FB⊥BE, .CF∥BE, .∠DCF=∠CDE=30°， ∴.∠DCA=∠DCF+∠FDA=30°+30°=60°； 又LADB=75°， .∠ADC=180°-∠ADB-CDE=180°-75°-30°=75°， ,DG⊥AC,即LDGC=90°，且∠ACD=60°， .∠CDG=180°-90°-60°=30°， .LADG=45°； 在Rt△CDG中，CD=32m,∠CDG=30°， :CG=-CD=16(m). .DG=VCD2-DG2=V322-162=165(m, 又∠DAC=LADG=45°， ..AG=DG=16v3(m), .AC=4G+CG=(16v3+16)(m) .4F=AC=(8+83(m, .AB=AF+FB=8+8V5+16=24+8V5)m. 18.(1)143cm; (2)水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处.理由见解析 【分析】(1)作BN⊥AH于点N,延长DC交BN于点M,利用37°的正弦值和余弦值可得 BV和AN的长度，进而可得BM的长度，那么根据37°的正切值可得CM的长度，那么AE的 长度即为DM的长度减去AN的长度； (2)利用60°的正弦值和余弦值可得BN和AN的长度，进而可得BM的长度，那么根据 60°的正切值可得CM的长度，那么CD的长度即为NE的长度减去CM的长度，再比较即可， 【详解】(1)解：作BN⊥AH于点N,延长DC交BN于点M,则LANB=∠M=90°， H --M D 图3 ∵爸爸身高是170cm,此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， .CD=170-30=140(cm), AB=30cm,a=37°， BN=30×sin37°≈30×0.60=18(cm,AW=AB×cos37°≈30×0.80=24cm),∠ABN=53°， 'DE=54cm,∠ABC=90° ∴.BM=36(cm),∠CBM=37° .CM=36×tan37°≈36×0.75=27cm, .DM=140+27=167cm), .EN=167cm, .AE=167-24=143(cm. 答：点A到地面的距离AE约为143cm; (2)解：当&=60°时，∠ABN=30°， ∠ABC=90°， .∠CBM=60°， .'AB=30cm, .AW=15(cm),BN=15V3(cm), .BM =(54-153)(cm). .CM=54-153x√5=54v5-45≈48.42cm. .∴.CD=AE+AN-CM=143+15-48.42≈109.58cm, 小明的身高是140cm, ∴.小明的舒适距离CD=140-30=110(cm, .109.58<110, 水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处 19.(1CD=19.6cm (2)21.8cm 【分析】(1)过点E作EG⊥AC于点G,直接利用a的余弦即可求出GE,从而得到CD的 长度 (2)过点B作BH⊥CF于点H,BP⊥DE于点P,过点M作MQ⊥BH于点Q,先在 RtaEBP中求出BP,EP,进而求出BQ,OM,利用DN=DH+HN=BP+QM即可解决 问题 【详解】(1)解：过点E作EG⊥AC于点G, G ∠AEG=a=10°， D .GE AE.cosa, 4B=30cm,BE=14B ∴.BE=10cm,AE=20cm, GE=AE.cosa=20×cos10°≈19.6(cm, .CD =GE =19.6cm, 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为19.6cm; (2)解：过点B作BH⊥CF于点H,BP⊥DE于点P,过点M作MQ⊥BH于点Q, A G H 则BP=BE.cosa=10×cosl0°≈9.8(cm,EP=BE.sina=10×sin10°≈1.7cm）, DE=21.7cm, PD=DE-EP=21.7-1.7=20cm), .BH 20cm, MN =8cm, ∴.QH=8cm, BQ=BH-QH=20-8=12(cm), :∠ABM=145°， .∠QBM=∠ABM-a-90°=145°-10°-90°=45° ∴QM=BQ=12cm, DN=DH+HN=BP+QM=9.8+12=21.8(cm, 答：线段DN的长度为21.8cm· 20.19.8米 【分析】延长HA交CD于点N,设BH=3k,AH=4k,则AB=√AH'+BH?=5k,求得 k=0.5,设DF=x米，则DN=DF+FN=(x+1.S)米，BF=2x, AN=√3DN=√3(x+1.5),根据特殊角的正切列式求解即可. 【详解】解：延长HA交CD于点N, 根据题意，得∠NAD=30°， 因为看台AB的长为2.5米，坡度i为3：4， BH:AH=3:4, 设BH=3k,AH=4k,则AB=√AH2+BH2=5k, 5k=2.5, 解得k=0.5, .BH=3k=1.5,AH=4k=2.0 根据题意，易证四边形BHNF,四边形AECN都是矩形， BH=NF =1.5,BF HN HA+AN=2+AN,AE CN =1, 设DF=x米，则DN=DF+FN=(x+1.5)米 根据题意，得LDBF=2635', DF x 1 ∴.tan∠DBF=tan2635'= ≈ BFBF 2 :BF 2x, 根据题意，得an∠DAN=tan30°=DN-V5 AN 3 .AW=√3DN=3(x+1.5). 根据题意，得tan∠DBF=tan26P3S=DF ≈0.5 BF2+V3(x+1.5) 解得x≈17.15（米）， 经检验，x≈17.15，符合题意 故CD=CN+DN=1+17.15+1.5=19.65≈19.7（米）； 故体育馆CD的高度为19.7米 D B H G H