专题6 一次函数含参问题复习训练 2025-2026学年八年级数学下册人教版

专题6 一次函数含参问题 类型一 一次函数的性质 1．（2024春•新市区期末）已知一次函数y＝kx﹣1（k为常数，k≠0），若y随x的增大而增大，则它的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，可以得到k＞0，b＜0，从而可以得到函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而增大， ∴k＞0， 又∵b＝﹣1＜0， ∴一次函数y＝﹣kx﹣1（k≠0）的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 2．当自变量﹣1≤x≤3时，函数y＝|x﹣k|（k为常数）的最小值为k+3，则满足条件的k的值为　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【分析】分x≥k及x＜k两种情况去绝对值，再根据函数的增减性，结合最小值为k+3列出方程，即可得答案． 【解答】解：当x≥k时，函数y＝|x﹣k|＝x﹣k，此时y随x的增大而增大， 而﹣1≤x≤3时，函数的最小值为k+3， ∴x＝﹣1时取得最小值，即有﹣1﹣k＝k+3， 解得k＝﹣2，（此时﹣1≤x≤3，x≥k成立）， 当x＜k时，函数y＝|x﹣k|＝﹣x+k，此时y随x的增大而减小， 而﹣1≤x≤3时，函数的最小值为k+3， ∴x＝3时取得最小值，即有﹣3+k＝k+3， 此时无解， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查去绝对值及一次函数的最小值，解题的关键是分x≥k和x＜k去绝对值． 3．（2024春•淮南期末）已知一次函数y＝kx+3﹣2k． （1）无论k如何变化，该函数图象始终过定点 　　 ； （2）当k变化时，原点到一次函数y＝kx+3﹣2k的图象的最大距离为 　　 ． 【答案】（1）（2，3）； （2）． 【分析】（1）解析式变形为y＝（x﹣2）k+3，由此可知一次函数图象过定点A（2，3）． （2）根据一次函数图象过定点A（2，3），即可得到OA为最大距离． 【解答】解：（1）∵y＝kx+3﹣2k， ∴y＝（x﹣2）k+3， 令x＝2，则y＝3， ∴一次函数图象过定点A（2，3）． 故答案为：（2，3）； （2）设原点到图象的距离为d，显然d≤OA． ∴为最大距离． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，难点在于确定一次函数的图象过定点A（2，3）． 类型二一次函数图象与系数的关系 4．（2025•内江）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（　　） A．t＜2 B．t≤1 C．1＜t≤2 D．t≤2且t≠1 【答案】D 【分析】由y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），得出直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）或（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的t的值，结合图象即可得到结论． 【解答】解：∵y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0）， ∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图， 当直线经过（0，3）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则3＝2t+2，解得t； 当直线经过（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则6＝2t+2，解得t＝2； 当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则4＝2t+2，解得t＝1； ∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是t≤2且t≠1， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键． 5．（2025春•漯河期末）若关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m﹣4经过第一、三、四象限，则m的取值范围是　3＜m＜4　 ． 【答案】3＜m＜4． 【分析】对于一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b＞0，y＝kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y＝kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y＝kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y＝kx+b的图象在二、三、四象限．据此可得，解不等式组即可得到答案． 【解答】解：由条件可知， ∴3＜m＜4， 故答案为：3＜m＜4． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是关键． 6．（2025秋•南关区期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线y＝kxk与△ABC有公共点时，k的取值范围是　﹣1≤k　 ． 【答案】﹣1≤k． 【分析】利用函数图象，把A点和C点坐标分别代入y＝kxk中求出对应的k的值，从而得到直线y＝kxk与△ABC有交点时，k的取值范围． 【解答】解：∵y＝kxkk（x）， ∴直线经过点（，）， 把A（1，1）代入y＝kxk得2+k＝1，解得：k＝﹣1， 把C（2，2）代入y＝kxk得2kk2，解得k， 所以当直线y＝kxk与△ABC的边有交点时，k的取值范围是﹣1≤k． 故答案为﹣1≤k． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 7．（2024春•丰泽区期中）已知：直线l：y＝2kx﹣4k+3（k≠0）． （1）求证：直线l恒过定点P（2，3）； （2）已知点A、B坐标分别为（0，1），（2，1），若直线l与线段AB相交，求k的取值范围； （3）在0≤x≤2范围内，任取3个自变量 x1，x2，x3，它们对应的函数值分别为 y1，y2，y3，若以 y1，y2，y3为长度的3条线段能围成三角形，求k的取值范围． 【答案】（1）见解答； （2）k； （3）k＜0或0＜k． 【分析】（1）对题目中的函数解析式进行变形即可求得点P的坐标； （2）根据题意可以得到相应的不等式，从而可以求得k的取值范围； （3）根据题意和三角形三边的关系，利用分类讨论的数学思想可以求得k的取值范围． 【解答】（1）证明：y＝2kx﹣4k+3＝2k（x﹣2）+3， ∴当x＝2时，y＝3， ∴直线l恒过定点P（2，3）； （2）解：∵点A、B坐标分别为（0，1）、（2，1），直线l与线段AB相交，直线l：y＝2kx﹣4k+3（k≠0）恒过某一定点P（2，3）， ∴当x＝0时，y≤1， ∴﹣4k+3≤1， 解得k； （3）解：当k＞0时，直线l：y＝2kx﹣4k+3中，y随x的增大而增大， ∴当0≤x≤2时，﹣4k+3≤y≤3， ∵以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形， ∴， 解得k， ∴0＜k； 当k＜0时，直线y＝kx﹣k+3中，y随x的增大而减小， ∴当0≤x≤2时，3≤y≤﹣4k+3， ∵以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形， ∴2×3＞﹣4k+3， 解得k， ∴k＜0， 由上可得，k＜0或0＜k． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． 类型三 一次函数图象上点的坐标特征 8．（2024秋•雁塔区期末）已知A（a，﹣1），B（b，﹣3）两点都在关于x的一次函数y＝﹣2x+m的图象上，则a，b的大小关系为（　　） A．a≥b B．a＞b C．a＜b D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一次函数的解析式可得k＝﹣2＜0，则y随x的增大而减小，进而根据A，B的坐标即可求解． 【解答】解：∵y＝﹣2x+m，k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵A（a，﹣1），B（b，﹣3）两点都在关于x的一次函数y＝﹣2x+m的图象上，﹣3＜﹣1， ∴a＜b， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”． 9．（2025秋•宁波期末）如图，A，B是直线上任意两点（点A在点B的左侧），分别过点A，点B作y轴，x轴的垂线，两垂线交于点C，过点C作CH⊥AB，垂足为点H．△BCH与△ACH的面积之比为（　　） A． B． C． D．比值不确定，与b的值有关 【答案】B 【分析】可设点A的坐标为，点B的坐标为，m＜n，可知AC＝n﹣m，，证明△BCH∽△ACH，即可求得答案． 【解答】解：由题意可得：设点A的坐标为，点B的坐标为，m＜n， ∴AC＝n﹣m， ∵AC⊥BC，CH⊥AB， ∴∠ACH+∠BCH＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，∠AHC＝∠CHB． ∴∠ACH＝∠CBH． ∴△BCH∽△ACH． ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，正确进行计算是解题关键． 10．（2026•西城区开学）已知正比例函数y＝（1﹣2m）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（　　） A．m＞2 B． C．m＜2 D． 【答案】B 【分析】列一元一次不等式求解即可得到m的取值范围． 【解答】解：∵正比例函数y＝（1﹣2m）x中，当x1＜x2时，y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴1﹣2m＜0， ∴． 故选：B． 【点睛】本题利用正比例函数的增减性判断系数的符号，熟练掌握该知识点是关键． 11．（2026•邢台模拟）一次函数y＝kx+2k﹣1的图象一定经过定点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 【答案】B 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：一次函数y＝kx+2k﹣1＝k（x+2）﹣1， 当x＝﹣2时，y＝﹣1， ∴一次函数y＝kx+2k﹣1的图象一定经过定点的坐标是（﹣2，﹣1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2024春•如皋市期末）已知y关于x的一次函数y＝k（x﹣a）+a2﹣a+1，当a≤x≤a+2时，﹣2≤y≤3，则k的值等于（　　） A． B． C． D．± 【答案】C 【分析】由一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解． 【解答】解：当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数， ∴当x＝a时，y＝﹣2，当x＝a+2时，y＝3， 代入一次函数解析式y＝kx+b得：， ∵关于a的方程a2﹣a+1＝﹣2中，Δ＝1﹣4×3＝﹣11＜0， ∴k＞0，不存在； 当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数， ∴当x＝a时，y＝3，当x＝a+2时，y＝﹣2， 代入一次函数解析式y＝kx+b得：， ∴2k+3＝﹣2 解得 k． 故选：C． 【点睛】此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质要分情况讨论． 13．（2024秋•江阴市月考）已知：平面内点O（0，0）、A（3，2）、B（4，0），直线y＝mx﹣3m+2（m≠0）将△OAB分成面积相等的两部分，则m的值为 　2　 ． 【答案】2． 【分析】设点C为线段OB的中点，则点C的坐标为（2，0），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出直线y＝mx﹣3m+2（m≠0）过三角形的顶点A（3，2），结合直线y＝mx﹣3m+2（m≠0）将△OAB分成面积相等的两部分，可得出直线y＝mx﹣3m+2（m≠0）过点C（2，0），再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值． 【解答】解：设点C为线段OB的中点，B（4，0），则点C的坐标为C（2，0），如图所示． ∵y＝mx﹣3m+2＝m（x﹣3）+2， ∴当x＝3时，y＝2， ∴直线y＝mx﹣3m+2（m≠0）过三角形的顶点A（3，2）． ∵直线y＝mx﹣3m+2（m≠0）将△OAB分成面积相等的两部分， ∴直线y＝mx﹣3m+2（m≠0）过点C（2，0）， ∴2m﹣3m+2＝0， ∴m＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形中线性质，确定一次函数图象过定点是解题关键． 类型四 待定系数法求一次函数解析式 14．（2025春•仓山区期中）已知P（2m，m+1）是平面直角坐标系的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（　　） A．y＝2x﹣1 B．yx+1 C．yx﹣1 D．y＝2x+1 【答案】B 【分析】将x＝2m分别代入四个选项中的解析式，求出对应的y值，如果y＝m+1，那么符合题意；否则不符合题意． 【解答】解：A、当x＝2m时，y＝4m﹣1≠m+1，故本选项不符合题意； B、当x＝2m时，y＝m+1，故本选项符合题意； C、当x＝2m时，y＝m﹣1≠m+1，故本选项不符合题意； D、当x＝2m时，y＝4m+1≠m+1，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是根据一次函数图象上点的坐标特征解答． 15．（2024春•厦门期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（1，1） （1）若点P（m，）在线段AB上，求点P的坐标； （2）以点O，A，B，C（1，0）为顶点的四边形，被直线y＝kx﹣k（k＜0）分成两部分，设靠近原点的一侧的面积为s，求s关于k的函数解析式． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法可求求出直线AB的解析式，将点P的坐标代入直线AB的解析式中即可求出m值，由此即可得出点P的坐标； （2）由y＝kx﹣k＝k（x﹣1）可知直线y＝kx﹣k过点C（1，0），分0＞k≥﹣2和k＜﹣2两种情况考虑，利用三角形、梯形的面积结合分割图形求面积法即可得出s关于k的函数解析式． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（0，2）、B（1，1）代入y＝kx+b， ，解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2． ∵点P（m，）在线段AB上， ∴m+2， 解得：m． ∴点P的坐标为（，）． （2）依照题意画出图形，如图所示． ∵y＝kx﹣k＝k（x﹣1）， ∴直线y＝kx﹣k过点C（1，0）． ①当﹣k≤2，即0＞k≥﹣2时，设直线y＝kx﹣k与y轴的交点为E， 则点E的坐标为（0，﹣k）， 此时sOC•OE1×（﹣k）k； ②当﹣k＞2，即k＜﹣2时，设直线y＝kx﹣k与线段AB的交点为F， 联立直线CF、AB的解析式成方程组， ，解得：， ∴点F的坐标为（，）， 此时sOC•（OA+BC）BC•（xB﹣xF）1×（2+1）1×（1）． 综上所述：s关于k的函数解析式为s． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及梯形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）分0＞k≥﹣2和k＜﹣2两种情况考虑． 类型五 一次函数与一元一次不等式 16．（2025春•甘南州期末）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2．其中正确的是（　　） A．① B．②③ C．①②③ D．以上均不正确 【答案】A 【分析】根据两函数的图象和一次函数的性质得出答案即可． 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b的图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小， ∴k＜0，b＞0； ∵一次函数y2＝x+a的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴a＜0， ∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标是3， ∴当x＝3时，y1＝y2， 由图象知y1＞y2时，即kx+b＞x+a时，x＜3， ∴②③错误，①正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式等知识点，能正确识图是解此题的关键． 17．（2025秋•秦淮区期末）已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x+1． （1）无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过同一个点，则这个点的坐标是　（2，0）　 ； （2）若无论x取何值，y1＞y2，则k的值是　﹣1　 ． 【答案】（1）（2，0）； （2）﹣1． 【分析】（1）解析式变形为y1＝k（x﹣2），即可得到无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过点（2，0）； （2）由题意可知，y1的图象始终在y2上方，得到两函数不相交，平行，即可得出k＝﹣1． 【解答】解：（1）∵y1＝kx﹣2k＝k（x﹣2）， ∴当x＝2时，y1＝0， ∴这个点的坐标是（2，0）， 故答案为（2，0）； （2）∵无论x取何值，y1＞y2， ∴y1的图象始终在y2上方， ∴两个函数的图象即两条直线平行， ∴k＝﹣1， 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，难度适中． 18．（2024秋•单元）已知一次函数y1＝（k+1）x﹣2k+3，其中k≠﹣1． （1）若点（﹣1，2）在y1的图象上，则k的值是 　0　 ． （2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值9，求y1的函数表达式； （3）对于一次函数y2＝m（x﹣1）+6，其中m≠0，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求k的取值范围． 【答案】（1）0； （2）y1＝4x﹣3或y1＝﹣x+7； （3）k＞﹣2且k≠﹣1． 【分析】（1）把（﹣1，2）代入y1＝（k+1）x﹣2k+3中可求出k的值； （2）讨论：当k+1＞0，即k＞﹣1时，根据一次函数的性质得到x＝3时，y＝9，然后把（3，9）代入y1＝（k+1）x﹣2k+3中求出k得到此时一次函数解析式；当k+1＜0，即k＜﹣1时，利用一次函数的性质得到x＝﹣2时，y＝9，然后把（﹣2，9）代入y1＝（k+1）x﹣2k+3中求出k得到此时一次函数解析式； （3）先整理得到y2＝mx﹣m+6，再对一切实数x，y1＜y2都成立，则直线y1与y2平行，且y2在y1的上方，所以k+1＝m且﹣2k+3＜﹣m+6，进而即可求得k的取值范围． 【解答】解：（1）∵点（﹣1，2）在y1的图象上， ∴﹣（k+1）﹣2k+3＝2， 解得k＝0； 故答案为：0； （2）当k+1＞0，即k＞﹣1时，则x＝3时，y＝9， 把（3，9）代入y1＝（k+1）x﹣2k+3得3（k+1）﹣2k+3＝9，解得k＝3，此时一次函数解析式为y1＝4x﹣3； 当k+1＜0，即k＜﹣1时，则x＝﹣2时，y＝9， 把（﹣2，9）y1＝（k+1）x﹣2k+3得﹣2（k+1）﹣2k+3＝9，解得k＝﹣2，此时一次函数解析式为y1＝﹣x+7； 综上，y1的函数表达式为y1＝4x﹣3或y1＝﹣x+7； （3）y2＝m（x﹣1）+6＝mx﹣m+6， ∵对一切实数x，y1＜y2都成立， ∴k+1＝m且﹣2k+3＜﹣m+6， ∴﹣2k+3＜﹣k﹣1+6， 解得k＞﹣2， 故k的取值范围是k＞﹣2且k≠﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质． 19．（2025•滨江区三模）一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）． （1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+1的图象上，求a的值； （2）若a＞0，当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式； （3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围． 【答案】（1）a＝﹣1； （2）y＝4x﹣3； （3）k的取值范围是k且k≠0． 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征把（﹣1，3）代入y＝ax﹣a+1中可求出a的值即可； （2）a＞0时，y随x的增大而增大，所以当x＝2时，y有最大值5，然后代入函数关系式可计算出对应a的值，即可得一次函数y1的表达式； （3）对任意实数x，y1＞y2都成立，则直线y1与y2平行，且y1在y2的上方，所以a＝k且kx+2k﹣4＜kx﹣k+1，解得即可． 【解答】解：（1）把（﹣1，3）代入y＝ax﹣a+1得﹣a﹣a+1＝3，解得a＝﹣1； （2）a＞0时，y随x的增大而增大， 则当x＝2时，y有最大值5，把x＝2，y＝5代入函数关系式得5＝2a﹣a+1，解得a＝4， 故此时一次函数y1的表达式为y＝4x﹣3； （3）∵对任意实数x，y1＞y2都成立， ∴直线y1与y2平行，且y1在y2的上方， ∴a＝k ∴y1＝kx﹣k+1， ∴kx+2k﹣4＜kx﹣k+1， ∴2k﹣4＜﹣k+1， 解得k， ∴k的取值范围是k且k≠0． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质． 类型六 两条直线相交或平行问题 20．（2025•中山市三模）在下列直线中，与直线y＝x+3相交于第二象限的是（　　） A．y＝x B．y＝2x C．y＝kx+2k+1（k≠1） D．y＝kx﹣2k+1（k≠0） 【答案】C 【分析】利用两直线平行的问题可对A进行判断；利用直线y＝2x不经过第二象限可对B进行判断；利用直线y＝kx+2k+1（k≠1）过定点（﹣2，1）可对C进行判断；利用k＝1时，直线y＝kx﹣2k+1与直线y＝x+3平行可对D进行判断． 【解答】解：A、直线y＝x与直线y＝x+3平行，它们没有交点，所以A选项错误； B、直线y＝2x经过第一、三象限，所以B选项错误； C、直线y＝kx+2k+1（k≠1）一定过定点（﹣2，1），而点（﹣2，1）在直线y＝x+3上，所以C选项正确； D、直线y＝kx﹣2k+1（k≠0）一定过定点（2，1），而点（2，1）在第一象限，且当k＝1时，直线y＝kx﹣2k+1与直线y＝x+3平行，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．对C进行判断的关键是确定该直线过定点． 21．（2024秋•包河区期末）已知直线y＝kx+b可以看作由直线y＝﹣0.5x向下平移2个单位长度而得到，那么直线y＝kx+b与x轴交点坐标为　（﹣4，0）　 ． 【答案】（﹣4，0） 【分析】根据平行直线的解析式的k值相等，向下平移，横坐标不变，纵坐标减写出平移后的解析式，然后令y＝0求解即可得解． 【解答】解：∵直线y＝kx+b可以看作由直线y＝﹣0.5x向下平移2个单位长度而得到， ∴直线y＝kx+b的解析式为y＝﹣0.5x﹣2， 令y＝0，则y＝﹣0.5x﹣2， 解得x＝﹣4， 所以与x轴的交点坐标为（﹣4，0）． 故答案为：（﹣4，0）． 【点睛】本题考查了两直线平行的问题，明确平行直线的解析式的k值相等是解题的关键． 22．（2025春•湖里区期末）在平面直角坐标系中，直线y1x+a和y2x+b交于点E（3，3），点P（m，n）在直线y1x+a上，过点P（m，n）作x轴的垂线，交直线y2x+b于点F． （1）若n＝2，求△PEF的面积； （2）若PF＝2，求点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据直线y1a和直线y2b的交点为E（3，3）求得a＝2，b，得到直线y1和直线y2，求得P（0，2），即可得到结果； （2）由（1）知，点P在y12，点F在y2，由于PF⊥x轴，可设P（m，），F（m，），于是得到PF＝|（）﹣（）|＝2即可得到结果． 【解答】（1）解：∵直线y1a和直线y2b的交点为E（3，3） ∴33+a，33+b， ∴a＝2，b， 得直线y1和直线y2，如图所示， 又∵n＝2，∴2，m＝0， ∴P（0，2）， 过点P（0，2）作x轴的垂线，交y2直线于点F， F（0，）， ∴PF， ∴， （2）解：由（1）知，点P在y12，点F在y2， ∵PF⊥x轴，可设P（m，），F（m，）， ∴PF＝|（）﹣（）|＝2， ∴m或m， ∴P（，）或P（，）． 【点睛】本题考查了两直线相交或平行的问题，一次函数的性质，三角形的面积的求法，求点的坐标，正确的理解题意是解题的关键． 类型七 一次函数综合题 23．（2025秋•长宁区期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A坐标为（3，4），将直线OA绕点O顺时针旋转45°后得到直线y＝kx（k≠0）． （1）求直线OA的表达式； （2）求k的值； （3）在直线y＝kx（k≠0）上有一点B，其纵坐标为1．若x轴上存在点C，使△ABC是等腰三角形，请直接写出满足要求的点C的坐标． 【答案】（1）直线OA解析式为yx； （2）k； （3）点C坐标为（7+2，0）或（7﹣2，0）或（0，0）或（6，0）或（，0）． 【分析】（1）利用待定系数法可求解； （2）过点A作AD⊥OA，交直线y＝kx于D，作EF⊥y轴于E，过点D作DF⊥EF于F，由“AAS”可证△AOE≌△DAF，可得OE＝AF＝4，AF＝DF＝3，进而可得点D坐标，代入解析式可求k的值； （3）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质和两点距离公式可求解． 【解答】解：（1）设直线OA解析式为y＝ax， ∵点A（3，4）， ∴4＝3a， ∴a， ∴直线OA解析式为yx； （2）如图，过点A作AD⊥OA，交直线y＝kx于D，作EF⊥y轴于E，过点D作DF⊥EF于F， ∵∠AOD＝45°，∠OAD＝90°， ∴∠AOD＝∠ADO＝45°， ∴AO＝AD， ∵EF⊥EO，EF⊥DF， ∴∠AEO＝∠AFD＝90°， ∴∠OAE+∠AOE＝90°＝∠EAO+∠FAD， ∴∠AOE＝∠DAF， ∴△AOE≌△DAF（AAS）， ∴OE＝AF＝4，AF＝DF＝3， ∴点D（7，1）， ∴1＝7k， ∴k； （3）∵k， ∴yx， 当y＝1时，x＝7， ∴点B（7，1）； 设点C（x，0）， ∵点C（x，0），点B（7，1），点A（3，4）， ∴AB2＝（7﹣3）2+（1﹣4）2＝25， AC2＝（3﹣x）2+16，BC2＝（7﹣x）2+1， 若AB＝AC时， ∴25＝（3﹣x）2+16， 解得：x＝0或6， ∴点C（0，0）或（6，0）； 当AB＝BC时， ∴25＝（7﹣x）2+1， ∴x＝7±2， ∴点C（7+2，0）或（7﹣2，0）； 当AC＝BC时， ∴（3﹣x）2+16＝（7﹣x）2+1， ∴x， ∴点C（，0）， 综上所述：点C坐标为（7+2，0）或（7﹣2，0）或（0，0）或（6，0）或（，0）． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6 一次函数含参问题 类型一 一次函数的性质 1．（2024春•新市区期末）已知一次函数y＝kx﹣1（k为常数，k≠0），若y随x的增大而增大，则它的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．当自变量﹣1≤x≤3时，函数y＝|x﹣k|（k为常数）的最小值为k+3，则满足条件的k的值为　 ． 3．（2024春•淮南期末）已知一次函数y＝kx+3﹣2k． （1）无论k如何变化，该函数图象始终过定点 　　 ； （2）当k变化时，原点到一次函数y＝kx+3﹣2k的图象的最大距离为 　　 ． 类型二一次函数图象与系数的关系 4．（2025•内江）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（　　） A．t＜2 B．t≤1 C．1＜t≤2 D．t≤2且t≠1 5．（2025春•漯河期末）若关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m﹣4经过第一、三、四象限，则m的取值范围是　 ． 6．（2025秋•南关区期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线y＝kxk与△ABC有公共点时，k的取值范围是　 ． 7．（2024春•丰泽区期中）已知：直线l：y＝2kx﹣4k+3（k≠0）． （1）求证：直线l恒过定点P（2，3）； （2）已知点A、B坐标分别为（0，1），（2，1），若直线l与线段AB相交，求k的取值范围； （3）在0≤x≤2范围内，任取3个自变量 x1，x2，x3，它们对应的函数值分别为 y1，y2，y3，若以 y1，y2，y3为长度的3条线段能围成三角形，求k的取值范围． 类型三 一次函数图象上点的坐标特征 8．（2024秋•雁塔区期末）已知A（a，﹣1），B（b，﹣3）两点都在关于x的一次函数y＝﹣2x+m的图象上，则a，b的大小关系为（　　） A．a≥b B．a＞b C．a＜b D．无法确定 9．（2025秋•宁波期末）如图，A，B是直线上任意两点（点A在点B的左侧），分别过点A，点B作y轴，x轴的垂线，两垂线交于点C，过点C作CH⊥AB，垂足为点H．△BCH与△ACH的面积之比为（　　） A． B． C． D．比值不确定，与b的值有关 10．（2026•西城区开学）已知正比例函数y＝（1﹣2m）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（　　） A．m＞2 B． C．m＜2 D． 11．（2026•邢台模拟）一次函数y＝kx+2k﹣1的图象一定经过定点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 12．（2024春•如皋市期末）已知y关于x的一次函数y＝k（x﹣a）+a2﹣a+1，当a≤x≤a+2时，﹣2≤y≤3，则k的值等于（　　） A． B． C． D．± 13．（2024秋•江阴市月考）已知：平面内点O（0，0）、A（3，2）、B（4，0），直线y＝mx﹣3m+2（m≠0）将△OAB分成面积相等的两部分，则m的值为 　 ． 类型四 待定系数法求一次函数解析式 14．（2025春•仓山区期中）已知P（2m，m+1）是平面直角坐标系的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（　　） A．y＝2x﹣1 B．yx+1 C．yx﹣1 D．y＝2x+1 15．（2024春•厦门期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（1，1） （1）若点P（m，）在线段AB上，求点P的坐标； （2）以点O，A，B，C（1，0）为顶点的四边形，被直线y＝kx﹣k（k＜0）分成两部分，设靠近原点的一侧的面积为s，求s关于k的函数解析式． 类型五 一次函数与一元一次不等式 16．（2025春•甘南州期末）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2．其中正确的是（　　） A．① B．②③ C．①②③ D．以上均不正确 17．（2025秋•秦淮区期末）已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x+1． （1）无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过同一个点，则这个点的坐标是　 　 ； （2）若无论x取何值，y1＞y2，则k的值是　 ． 18．（2024秋•单元）已知一次函数y1＝（k+1）x﹣2k+3，其中k≠﹣1． （1）若点（﹣1，2）在y1的图象上，则k的值是 　 　 ． （2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值9，求y1的函数表达式； （3）对于一次函数y2＝m（x﹣1）+6，其中m≠0，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求k的取值范围． 19．（2025•滨江区三模）一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）． （1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+1的图象上，求a的值； （2）若a＞0，当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式； （3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围． 类型六 两条直线相交或平行问题 20．（2025•中山市三模）在下列直线中，与直线y＝x+3相交于第二象限的是（　　） A．y＝x B．y＝2x C．y＝kx+2k+1（k≠1） D．y＝kx﹣2k+1（k≠0） 21．（2024秋•包河区期末）已知直线y＝kx+b可以看作由直线y＝﹣0.5x向下平移2个单位长度而得到，那么直线y＝kx+b与x轴交点坐标为　 　 ． 22．（2025春•湖里区期末）在平面直角坐标系中，直线y1x+a和y2x+b交于点E（3，3），点P（m，n）在直线y1x+a上，过点P（m，n）作x轴的垂线，交直线y2x+b于点F． （1）若n＝2，求△PEF的面积； （2）若PF＝2，求点P的坐标． 类型七 一次函数综合题 23．（2025秋•长宁区期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A坐标为（3，4），将直线OA绕点O顺时针旋转45°后得到直线y＝kx（k≠0）． （1）求直线OA的表达式； （2）求k的值； （3）在直线y＝kx（k≠0）上有一点B，其纵坐标为1．若x轴上存在点C，使△ABC是等腰三角形，请直接写出满足要求的点C的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $