2026年高考数学模拟卷（二）（全国Ⅱ卷）

2026年高考数学模拟卷（二） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆九龙坡·二模）已知全集均为的子集，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁大连·一模）已知等差数列，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 3．（25-26高一下·江西赣州·月考）已知函数 是奇函数，则θ的值为（    ） A．0 B． C． D． 4．（2026·广西河池·二模）已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆相切，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆九龙坡·二模）已知向量 和 是单位向量，且 . 设向量 ，若向量 与 的夹角为 ，则 （   ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆渝中·二模）小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（   ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 7．（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆九龙坡·二模）已知双曲线 ，设其两个实轴端点和两个虚轴端点构成集合，从中任取三个不同的点记为 ，若 为直角三角形，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若，则成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·辽宁沈阳·二模）若正四面体的表面积为，则（    ） A．该正四面体的棱长为1 B．该正四面体的高为 C．该正四面体的体积为 D．该正四面体的外接球表面积为 11．（2026·重庆渝中·二模）已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·云南昭通·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则________. 13．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点分别为A和B，O为坐标原点，则_________． 14．（2026·辽宁抚顺·一模）已知平面分别过正四面体的四个顶点，且平面相互平行，相邻两个平面之间的距离均为，若该正四面体的棱长为4，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·云南昭通·模拟预测）已知数列的前项和，. (1)求； (2)若数列的前项和为，求证. 16．（2026·重庆渝中·二模）在中，内角，，满足． (1)求； (2)若为边上一点，，，，求的面积． 17．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在五面体中，平面平面ABC，四边形为矩形，是等腰直角三角形，，，，，． (1)证明：平面． (2)求五面体的体积． (3)求平面与平面ABC所成角的大小． 18．（2026·甘肃陇南·一模）某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出现故障的概率如表： 电脑机型 甲 乙 丙 概率 (1)某品牌电脑公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记表示这三台电脑三年以内出现故障的台数，求的分布列及数学期望． (2)已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价，将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示．若销量（台）与单价（元）服从线性关系，且该机型电脑的出厂价为元/台，求该销售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价． 19．（2026·辽宁沈阳·二模）已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线E相交于A，B两点，与抛物线E的准线相交于点Q．若以线段AF为直径作圆，当此圆经过点时，． (1)求抛物线E的方程； (2)证明：； (3)若点C，D在抛物线E上，且线段CD的中点在直线上，点．求面积的最大值． 2 / 4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（二） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆九龙坡·二模）已知全集均为的子集，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据图，阴影部分为，显然集合与无公共部分， 所以． 2．（2026·辽宁大连·一模）已知等差数列，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 3．（25-26高一下·江西赣州·月考）已知函数 是奇函数，则θ的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是奇函数，所以，解得：，又因为，故取，得. 4．（2026·广西河池·二模）已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的标准方程为：，故，圆的半径为， 而双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线的一条渐近线与圆相切， 故，解得（负解舍去）. 5．（2026·重庆九龙坡·二模）已知向量 和 是单位向量，且 . 设向量 ，若向量 与 的夹角为 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积的运算及运算律求解即可. 【详解】因为，，且， 所以， 代入得. 又， 则，解得. 6．（2026·重庆渝中·二模）小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（   ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 【答案】A 【详解】记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”， ，， ， 所以，，（天）. 7．（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把看成两点距离的平方，其最小值可转化为点到直线的距离的平方，利用导数的几何意义求出切点，利用点到直线的距离公式即可求得. 【详解】由，进而， 又在上， 故的最小值可以看成是图像上的点离直线的最近距离的平方， ， 所以图像上离直线的最近的点为斜率为2的切线的切点 令， 即得，令，单调递增且， 所以，即切点横坐标为，切点为， 所以的最小值为. 8．（2026·重庆九龙坡·二模）已知双曲线 ，设其两个实轴端点和两个虚轴端点构成集合，从中任取三个不同的点记为 ，若 为直角三角形，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过直角三角形三个点为两个实轴端点、一个虚轴端点或两个虚轴端点、一个实轴端点，结合勾股定理求得关系，即可求解. 【详解】双曲线的两个实轴端点为，两个虚轴端点为，集合共4个点， 从4个点中任取3个点，共种取法，而为直角三角形，即所有取法均满足直角三角形条件： 若取两个实轴端点和一个虚轴端点， 直角只能在点，由勾股定理得： ， 代入坐标得，化简得， 同理，对任意其他三个点的组合（两个虚轴端点+一个实轴端点）也可得，满足条件， 所以 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若，则成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合充分条件、必要条件的定义，由函数单调性和举反例进行判断，得到结论 【详解】A选项，若，则， 若，则，若，则，所以，充分性成立， 若，不妨设，但不满足，必要性不成立，A正确； B选项，若，不妨设，此时，充分性不成立，B错误； C选项，若，则，充分性成立， 当时，无意义，必要性不成立，C正确； D选项，若，则，当时，， 故为成立的充分必要条件，D错误. 10．（2026·辽宁沈阳·二模）若正四面体的表面积为，则（    ） A．该正四面体的棱长为1 B．该正四面体的高为 C．该正四面体的体积为 D．该正四面体的外接球表面积为 【答案】ACD 【分析】先根据表面积计算出正四面体的棱长，然后运用正四面体的性质求出高，进而得到体积，最后通过将四面体放入正方体求解外接球表面积. 【详解】设该正四面体的棱长为，则其表面积为，所以，A正确； 作平面，垂足为，则为的重心，连接延长交于中点， 则有，于是该正四面体的高为，B错误； 由 A选项和B选项的分析可知该正四面体的体积为，C正确； 将该四面体放入正方体中，则正方体的棱长为，且四面体的外接球即为正方体的外接球， 其半径为，表面积为，D正确. 11．（2026·重庆渝中·二模）已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 【答案】ABD 【分析】先由已知的两个中心对称条件推导出函数周期为，再结合对称关系证明其为奇函数，验证A；再利用对称性求出时的解析式，验证B；接着分析一个周期内的函数值，通过分组求和判断C错误；最后分析函数在区间内的零点分布，得出整数点均为零点，共个，验证选项D． 【详解】对于A，由，得，即， 又，所以，即是以周期为的周期函数， 由，得，所以， 即，所以是奇函数，A正确； 对于B，由，得，所以，B正确； 对于C，，，，， 一个周期内的和：， 所以，C错误； 对于D，是以周期为的周期函数，，， 时，，，所以， 时，，，所以， 所以在内的零点有， 而包含个完整周期， 所以是的零点，共个，D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·云南昭通·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则________. 【答案】4 【分析】设公比为，根据题意可得，进而代入求解即可. 【详解】由题意可得，， 设公比为，则，可得， 所以. 13．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点分别为A和B，O为坐标原点，则_________． 【答案】3 【分析】根据题意，利用正弦型函数的性质，求得的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由函数，令，解得，所以，即， 再令，解得，所以，即 所以。 14．（2026·辽宁抚顺·一模）已知平面分别过正四面体的四个顶点，且平面相互平行，相邻两个平面之间的距离均为，若该正四面体的棱长为4，则______． 【答案】 【分析】不妨设,过点的平面与交于点，过点的平面与交于点，取的中点为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和向量，结合向量的距离公式，即可求解. 【详解】设该正四面体为，根据正四面体的对称性，不妨取, 记过点的平面与分别交于点，过点的平面与分别交于点， 因为相邻两个平面之间的距离均相等，所以， 可得分别为的中点， 设的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， 则，． 记平面的法向量，则， 取，可得，所以， 又因为向量，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·云南昭通·模拟预测）已知数列的前项和，. (1)求； (2)若数列的前项和为，求证. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用前项和与通项公式的关系求解即可. （2）先求出目标数列，再利用裂项相消法求和，最后比较大小即可. 【详解】（1）由数列的前项和，， 则，解得. 当时，， 当时，，             经验证，满足上式，故. （2）由题意得， 得到. 16．（2026·重庆渝中·二模）在中，内角，，满足． (1)求； (2)若为边上一点，，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形的内角和公式结合两角和与差的三角函数公式，求，进而可得角. （2）先根据推导的关系，再利用向量数量积的运算法则求，最后利用三角形的面积公式求的面积. 【详解】（1）由， 所以, 所以，又为三角形内角，所以， 所以． （2）因为，所以， 所以， 又，所以，， 所以面积． 17．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在五面体中，平面平面ABC，四边形为矩形，是等腰直角三角形，，，，，． (1)证明：平面． (2)求五面体的体积． (3)求平面与平面ABC所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据几何体的性质，以及勾股定理，证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明结果即可； （2）根据几何体的性质，将五面体分解成四棱锥和三棱锥，求出锥体的体积，进而求出结果； （3）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，进而根据面面夹角的余弦值的向量法求出面面角的余弦值，进而求出角的大小. 【详解】（1） 在矩形中，，， 因为，，所以平面， 因为平面，所以，即， 如图所示，过点E作，垂足为F， ，，，，， 所以，即． 又，所以平面． （2）如图所示，连接BE．该五面体可由四棱锥和三棱锥组成． 四棱锥的体积， 三棱锥的体积， 五面体的体积． （3）以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，． 由（1）可得平面的一个法向量为． 易知平面ABC的一个法向量为， 则， 所以平面与平面ABC所成角的大小为． 18．（2026·甘肃陇南·一模）某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出现故障的概率如表： 电脑机型 甲 乙 丙 概率 (1)某品牌电脑公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记表示这三台电脑三年以内出现故障的台数，求的分布列及数学期望． (2)已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价，将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示．若销量（台）与单价（元）服从线性关系，且该机型电脑的出厂价为元/台，求该销售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价． 【答案】(1) 0 1 2 3 ； (2)元． 【分析】（1）先确定，的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式可求取相应值的概率，从而可得分布列，再根据期望公式可求； （2）求出，从而可求，再根据二次函数的性质可求利润最大时对应的售价. 【详解】（1）根据题意知，η的所有可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以； （2）根据题图可得， ， , 代入回归方程得，所以. 设获得的利润为元，则, 整理得，其中， 故当时，利润有最大值. 19．（2026·辽宁沈阳·二模）已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线E相交于A，B两点，与抛物线E的准线相交于点Q．若以线段AF为直径作圆，当此圆经过点时，． (1)求抛物线E的方程； (2)证明：； (3)若点C，D在抛物线E上，且线段CD的中点在直线上，点．求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意可得：焦点，准线为，. 设，代入抛物线方程可得，即. 设，则. 由题意可得，解得. 所求抛物线方程为. （2）由题意可知，过焦点的直线斜率必定存在. 设过焦点的直线方程为，，. 令，可得. 将直线方程代入抛物线消可得. 由韦达定理可得，. 由抛物线定义可知. 由相似三角形可知： . 所以. （3） 设的中点为，，. 则，. 由，可得，则. 所以弦长. 由题意可知直线的斜率存在且. 所以直线的直线方程为，即. 则点到直线的距离. 所以所求面积. 令，则. 所以，令，可得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，. 所以面积的最大值为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $