2026年高考数学模拟卷（五）（全国Ⅱ卷）

2026年高考数学模拟卷（五） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）若全集，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解不等式得，所以，. 2．（2026·辽宁沈阳·三模）命题“ ”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式等价于，解得. 找充分不必要条件，即找集合的真子集，仅 C选项是原解集真子集. 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）若，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】对进行“辅助角变换”可得，再结合同角三角函数基本关系式和两角差的余弦展开公式求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，则， 故 . 4．（2026·海南省直辖县级单位·二模）等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，，化简得， 又，，即，故， ，， 故数列的前20项和为 . 5．（2026·广西河池·二模）已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的运算法则及定义，两边平方后化简即可得解, 【详解】因为，所以， 即， 又因为向量均为单位向量，且向量夹角为， 所以，即. 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的图形的6个顶点A，B，C，，，上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不同，则不同的安装方法共有（   ） A．3种 B．6种 C．12种 D．48种 【答案】C 【详解】法一：先安装下底面的三个顶点有种不同的安装方法， 再安装上底面的三个顶点有种不同的安装方法. 由分步乘法计数原理可知，共有种不同的安装方法. 法二：依次安装，，，，，六个位置， 则有种不同的安装方法. 7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】写出直线 方程，求出点与中点的坐标，再将点坐标代入双曲线方程，利用并令求解出，进而得到离心率. 【详解】记，则：，整理得， 则，因为为的中点，所以， 因为点B在双曲线E上，则，令，得， 化简得，又，则，故离心率. 8．（2026·山西运城·二模）若对恒成立，则当取得最小值时，（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】整理原不等式得，构造函数，求导分析单调性和零点，进而作出原函数简图并结合图象分析直线截距，再求解即可. 【详解】由，得． 设函数，则，则在上单调递增． 因为，， 所以存在唯一的零点，且． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，当时，． 作出的大致图象，如图所示，直线的斜率大于0，在轴上的截距为， 由图可知，的最小值为1，此时． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（20-21高一下·广东揭阳·期末）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．在复平面对应的点位于第二象限 B．的虚部是 C． D． 【答案】AC 【分析】先对复数化简计算，然后逐个分析判断即可 【详解】解：， 则在复平面对应的点为，位于第二象限，所以A正确， 的虚部为1，所以B错误， ，所以C正确， ，所以D错误， 故选：AC 10．（2026·广西河池·二模）如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，点为线段上的动点，下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．平面 D．点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A选项，可通过平面得到H到平面距离恒定，得体积为定值，建立空间直角坐标系，利用坐标运算可判断BCD. 【详解】以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系， 由已知，平面，所以平面，所以上任意一点到平面的距离等于点到平面的距离， 由已知三角形的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以A正确； 由已知分别是棱的中点，所以，，，， 所以，，所以，所以，所以B正确； 点，所以，，设平面的法向量为，所以，得， 所以平面的一个法向量为，点，所以， 所以，即与平面的法向量不垂直，所以与平面不平行，C错误； 过点作，，，所以， 所以，所以，所以D正确. 【点睛】 11．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为A，B，与y轴的交点为D，若，则下列说法正确的有（   ） A． B．双曲线C的离心率为 C．直线的斜率为 D．点D到双曲线C上的点的距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据条件及双曲线的定义，可得各个长度，根据勾股定理，可判断A的正误；根据三角函数的定义，可得，根据余弦定理，可得，的关系，代入离心率公式，可判断B的正误，根据余弦定理，可得，根据诱导公式及同角三角函数的关系，可得直线的斜率，再由，可得直线的斜率，即可判断C的正误；求出直线的方程，即可得D点坐标，设点在双曲线上，根据双曲线的方程及两点间距离公式，可得表达式，根据二次函数的性质，可判断D的正误. 【详解】由，且，得， 由双曲线的定义得，， 所以，，又， 所以， 则，即，所以，故A正确； 在中，， 在中，， 所以，则离心率，故B正确； 在中，， ， 则，则， 所以直线的斜率为3，又因为，所以直线的斜率为，故C错误； 由C选项得，直线的方程为， 令，得，即 设双曲线上点，则，即， 因为，所以，则， 所以， ， ， 所以当时，有最小值，且为， 所以，即点到上的点的距离的最小值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·海南省直辖县级单位·二模）曲线在点处的切线方程为_____. 【答案】 【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线斜率为1，进而可得切线方程. 【详解】因为，则， 可得，即切线斜率为1， 所以曲线在点处的切线方程为. 13．（2026·辽宁锦州·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】先将圆的一般方程化为圆的标准方程得圆心的坐标，再求直线的定点坐标，设线段的中点为，得，进而得，最后利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】由圆得：，所以， 又直线，令，得，即，所以直线过定点， 设线段的中点为，所以， 所以. 14．（2026·云南玉溪·二模）是1，2，3，4，5的一个随机排列，对每一个中间位置的数，要求它左右相邻的两个数与中，至少有一个大于它，则该排列满足此条件的概率为__________． 【答案】 【分析】由题意可知1，2，3，4，5的全排列有种，进而判断出5的位置，然后对第二位进行分类讨论，同时注意数字4的位置，结合对称性可求解出满足要求的排列的总数，再求概率即可． 【详解】由题意可知1，2，3，4，5的全排列有种， 因为没有比5大的数，所以5只能排在第一位或者第五位， 当5排在第一位时，若4排在第二位，此时排列可以是（5，4，1，2，3）， （5，4，2，1，3），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1），共4种情况； 当5排在第一位时，若3排在第二位，此时若4排在中间位置（如或）， 其邻居（来自剩下的数）必然都小于4，不满足题设条件，故4只能排在第五位， 此时排列可以是（5，3，1，2，4），（5，3，2，1，4），共2种情况； 当5排在第一位时，若2排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位， 此时排列可以是（5，2，1，3，4），共1种情况； 当5排在第一位时，若1排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位， 此时排列可以是（5，1，2，3，4），共1种情况； 由上可知，当5排在第一位时，共有8种情况； 同理可得，当5排在第五位时，也有8种情况满足条件； 综上所述，共有种排列满足条件， 所以该排列满足此条件的概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·海南海口·模拟预测）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）利用与的关系求数列的通项公式，要注意分和讨论. （2）先明确数列的通项公式，探索为定值，再用分组求和法求. 【详解】（1）当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以，. （2）由题意， 所以. 所以. 16．（2026·云南玉溪·二模）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】(1) (2)该球取自2号箱的可能性最大 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可. 【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得 ，故取到红球的概率为. （2）根据（1）中数据， 由贝叶斯公式知； ； ， 因为，所以该球取自2号箱的可能性最大． 17．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面 ，， ，分别为棱的中点. (1)证明：平面. (2)求平面与平面的夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面ABC得，E，F分别为棱AB，BC的中点得，得，，得，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，由夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以，且，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，则， 又，易得， 则，所以， 又，平面，所以平面. （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，则， 则， 由（1）知平面的一个法向量为， 又， 设平面的法向量为， 则，取， 设平面与平面的夹角为， 则，又，所以， 则平面与平面的夹角的大小． 18．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，曲线的方程是． (1)讨论曲线的形状； (2)当时，点，点，过点的直线与曲线有唯一交点（异于点），求证：平分． 【答案】(1)当时，曲线：，表示圆；     当时，，曲线：，表示焦点在轴上的椭圆；     当时，曲线：表示两条平行于轴的直线；     当时，，曲线：，表示焦点在轴上的双曲线． (2)证明见解析 【分析】（1）按的取值分情况讨论：为圆，为焦点在轴的椭圆，为两条垂直直线，为焦点在 x 轴的双曲线； （2）时曲线为椭圆，设过点的直线方程并与椭圆联立，利用判别式求出切点，再通过计算斜率或向量夹角，验证平分． 【详解】（1）当时，曲线：，表示圆；     当时，，曲线：，表示焦点在轴上的椭圆；     当时，曲线：表示两条平行于轴的直线；     当时，，曲线：，表示焦点在轴上的双曲线． （2） 当时，曲线：     直线的斜率存在，设其方程为，则， 联立，消去得， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以，解得， 又因为，所以解得（舍），． 直线：， 设，则，，即，     则，， ， 又， 所以，即平分． 19．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，． (1)求证：为周期函数； (2)已知，若函数在上至少有个零点，求实数的取值范围； (3)记的最小值为，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）计算即可； （2）转化为研究在上的零点，分段研究再结合导数和零点存在性定理即可； （3）计算得，利用其单调性即可证明不等式. 【详解】（1）为周期函数. （2）的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标乘即得的图象， 不妨先研究在上的零点， 显然当时，没有零点， 当时，没有零点， 当时，发现为的零点， ，，令， ， 故在上单调递增， 又， 由零点存在定理，存在唯一的， 使得，且上单调递减， 上单调递增， 在取最小值，由，故， 又，故在上还存在另一个零点，记为， 综上所述，在上有两个零点，分别为和. 由于，由于每个周期有2个零点，第201个零点为． 要使在上至少有201个零点， 只需，即． （3）由（2）知：，且， 故， . 令， 因为在上均单调递增， 则在上单调递增， 故，故， 又为的最小值，故， 综上所述，. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（五） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）若全集，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁沈阳·三模）命题“ ”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）若，，则（   ） A． B． C． D．或 4．（2026·海南省直辖县级单位·二模）等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·广西河池·二模）已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（   ） A． B．1 C． D． 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的图形的6个顶点A，B，C，，，上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不同，则不同的安装方法共有（   ） A．3种 B．6种 C．12种 D．48种 7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（   ） A． B． C． D．5 8．（2026·山西运城·二模）若对恒成立，则当取得最小值时，（   ） A． B．1 C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（20-21高一下·广东揭阳·期末）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．在复平面对应的点位于第二象限 B．的虚部是 C． D． 10．（2026·广西河池·二模）如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，点为线段上的动点，下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．平面 D．点到直线的距离为 11．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为A，B，与y轴的交点为D，若，则下列说法正确的有（   ） A． B．双曲线C的离心率为 C．直线的斜率为 D．点D到双曲线C上的点的距离的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·海南省直辖县级单位·二模）曲线在点处的切线方程为_____. 13．（2026·辽宁锦州·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则的最大值为_________． 14．（2026·云南玉溪·二模）是1，2，3，4，5的一个随机排列，对每一个中间位置的数，要求它左右相邻的两个数与中，至少有一个大于它，则该排列满足此条件的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·海南海口·模拟预测）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和，求． 16．（2026·云南玉溪·二模）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 17．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面 ，， ，分别为棱的中点. (1)证明：平面. (2)求平面与平面的夹角的大小. 18．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，曲线的方程是． (1)讨论曲线的形状； (2)当时，点，点，过点的直线与曲线有唯一交点（异于点），求证：平分． 19．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，． (1)求证：为周期函数； (2)已知，若函数在上至少有个零点，求实数的取值范围； (3)记的最小值为，求证：． 2 / 4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $