精品解析：江苏常州市金坛区第一中学2025-2026学年高一下学期期中质量调研数学试卷

2026年春学期高一期中质量调研 数学试卷 2026.4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数乘法运算法则，将复数化为的形式可得. 【详解】因为. 所以复数的虚部为3. 3. 记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理求出的值，再结合角的取值范围确定角的大小. 【详解】 因为，所以. 故选：B. 4. 设复数是关于的方程的一个根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知方程的另一个根为， 故. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由. 6. 已知向量，向量满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，即可得到，从而得到，结合求出的取值范围，再计算即可. 【详解】设，则， 又，即，所以， 所以，解得 所以， 所以当时取得最小值，且最小值为. 故选：C 7. 中，内角的对边分别是，，且，，若，则线段长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化可得的大小，进而利用余弦定理求解长度，可判断三角形为直角三角形，进而根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由可得, 故,由于，故 , 由余弦定理可得，故，， 由得,故， 由于，，，故, 故. 8. 已知锐角满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，则， 令，，则，， 由于是锐角，即，又因为， 由，又由， 所以，，则由基本不等式有： ， 当且仅当时取等号，将其代入，解得， 即，， 此时， 因为，，即存在满足条件的锐角，使得等号成立， 所以的最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的除法运算公式，化简复数，判断选项. 【详解】由， 故z的虚部为，，， ，A、C对，B、D错. 10. 下列式子化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D， ，故D正确. 11. 如图，梯形中，，对角线与交于点．若，，且的面积为3，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项：是向量与的夹角，已知， ， 由于，所以，故A正确； B选项：由选项A可知， 根据三角形面积公式可得，故B错误； C选项：因为，，且与同高， 则面积比等于底之比 . 设 ，得 又， ，故C正确； D选项：由于， 则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【详解】解：因为，得到 13. 已知向量，，且在方向的投影向量为，若，则_________． 【答案】6 【解析】 【详解】在方向的投影向量为， 故，则. 14. 如图，在扇形中，半径，圆心角．C是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OC，设，根据条件及三角函数的定义，可得BC、AB的表达式，代入面积公式，结合二倍角公式及辅助角公式，可得面积S的表达式，根据的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得答案. 【详解】连接OC，设， 在中，，则， 因为为矩形，所以， 又，则， 则， 所以矩形面积 ， 因为，所以， 所以当时，即时，有最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理进行求解； （2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解即可. 【小问1详解】 变形为：， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 因为，且，所以， 由正弦定理得：，即，解得：． 16. 已知复数（为虚数单位） （1）若为实数，求的值； （2）若为纯虚数，求的值； （3）若复数对应的点在第四象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的虚部为0，求的值. （2）根据复数的实部为0，虚部不为0的值. （3）根据复数的实部大于0，虚部小于0求的取值范围. 【小问1详解】 若为实数，则. 【小问2详解】 若为纯虚数，则. 【小问3详解】 若复数对应的点在第四象限，则， 所以，即的取值范围为. 17. 已知锐角中，角所对的边分别为，且， （1）求证：； （2）求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理将边化成角，再结合三角恒等变换进行推导. (2)利用正弦定理将表达式化为关于角的函数，再根据三角函数单调性求函数值域. 【小问1详解】 证明：因为，所以由正弦定理可得， 又 ，即， 解得或(舍去)，所以. 【小问2详解】 因为，由正弦定理可得 ， 因为是锐角三角形，所以， ，所以， 因为在上单调递增，，， 所以. 18. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数． （1）记的相伴函数为，当时，若，求的值； （2）记的相伴函数为， ①若的一条对称轴为，求的值； ②若，且，求的值． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】(1)写出相伴函数表达式，代入条件确定角度范围，利用角度差公式求解 (2) ①写出函数表达式并求导，由对称轴即函数取得极值的位置，令导数为，即可求解； ②利用函数相等关系，使用和差化积公式化简，利用倍角公式求解 【小问1详解】 解：由题意可得， 因为，所以， 又，所以，则， 所以 . 【小问2详解】 ①已知，相伴函数为， ， 对称轴即函数取得极值的位置，此时导数为， 令， 所以； ② ， 因为，， 代入可得： ， 即 ， 由条件，所以，即， 所以， 设，则， 所以. 19. 已知平面直角坐标系中，点，，点O为坐标原点，线段AB的8等分点按与A的距离由近到远分别记为，，，…，． （1）求的值； （2）设． ①是否，对于，都能满足M为定值？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由． ②求M的最小值． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算以及向量模的公式求解即可. （2）①根据（1）的结果以及向量的线性运算求解即可；②根据前两问的结果，结合一次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为线段AB的8等分点按与A的距离由近到远分别记为，，，…，，， 所以，进而. 则. 因此. 【小问2详解】 ①，. 则. 当时，为定值. ②，其中， 可以看成关于的一次函数，其斜率，所以关于是单调递减函数或者常数函数. 则当时，，. 所以当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期高一期中质量调研 数学试卷 2026.4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 5 D. 3 3. 记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设复数是关于的方程的一个根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，向量满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 中，内角的对边分别是，，且，，若，则线段长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 10. 下列式子化简正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，梯形中，，对角线与交于点．若，，且的面积为3，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________. 13. 已知向量，，且在方向的投影向量为，若，则_________． 14. 如图，在扇形中，半径，圆心角．C是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 16. 已知复数（为虚数单位） （1）若为实数，求的值； （2）若为纯虚数，求的值； （3）若复数对应的点在第四象限，求的取值范围. 17. 已知锐角中，角所对的边分别为，且， （1）求证：； （2）求的取值范围． 18. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数． （1）记的相伴函数为，当时，若，求的值； （2）记的相伴函数为， ①若的一条对称轴为，求的值； ②若，且，求的值． 19. 已知平面直角坐标系中，点，，点O为坐标原点，线段AB的8等分点按与A的距离由近到远分别记为，，，…，． （1）求的值； （2）设． ①是否，对于，都能满足M为定值？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由． ②求M的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $