11.2二次根式的乘除（第3课时分母有理化）（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年苏科版数学八年级下册

八年级苏科版数学下册 第十一章 二次根式 11.2二次根式的乘除 第三课时 分母有理化 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1. 深入理解并牢固掌握“分母有理化”的数学定义，明确其在二次根式运算中的核心内涵与必要性。 2.能依据数学规范，准确判断一个二次根式是否满足“最简二次根式”的条件，建立清晰的判断标准. 3. 通过典型例题的专项练习，熟练掌握分母有理化的核心解题步骤，能够灵活运用平方差公式等技巧。 4. 综合运用所学的定义与方法，能够独立分析并将复杂的二次根式表达式正确化简为最简形式，完成学习任务。 前面我们学习了二次根式的化简、乘除运算，大家会发现一个问题： 在数学规定中：二次根式的最终结果，分母不能含有根号。 很多计算结果会出现分母带有根号的形式，例如：。 这样的式子书写麻烦、不方便比较大小，也不符合数学最简形式的要求。 那怎样把分母中的根号去掉，把式子化成最简形式呢？ 这节课，我们就一起来学习 ——分母有理化。 尝试 当一个根式的被开方数是分数或分式时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使被开方数中不含分母， 例如，当a≥0，b>0时，. (1) ； (2) 当a＞0时，． 3 3 3 3 a a a a 教材P163 例题 化简下列各式，使被开方数中不含分母。 (1)； (2)； (3) (1) (2) (3)， ● 例5 解 尝试 当一个式子的分母中有根号时，分子、分母都乘适当的数或式，可以使分母中不含有根号. 例如，当a≥0，b>0时， 上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化. (1) ；(2) ； (3)当a＞0时，． 化简下列各式，使分母有理化。 (1)； (2)； (3)。 (1)； (2)； (3) ● 例6 解 教材P164 例题 5 7 分子、分母同时乘以分母本身的根号部分，构造平方运算，消去分母中的根号。 例如，， ， 都是最简二次根式. 化简含二次根式的代数式时，一般先通过分母有理化使得代数式的分母中不含二次根式，然后将其中的每个二次根式化为最简二次根式. 新知归纳 一般地，化简二次根式就是使二次根式： （1）被开方数中不含_______； （2）分母中不含有_______； （3）被开方数写成乘积形式时，不含 ， 分母 根号 这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式(simplest quadratic radical)． 能开得尽方的因数或因式 化简：（1） ; （2） ; （3） . 解：（1） . （2） . （3）当时， . 变式训练 方法技巧 1、形式特征 分母是单独的二次根式，例如或(k为常数)。 2、处理方法 分子、分母同时乘以分母本身的根号部分，构造平方运算，消去分母中的根号。 3、理论依据 利用二次根式的核心性质: =a(a>0) 4、核心关键点 化简完成后必须检查分子分母是否存在公因数，若有公因数需要约分，最终结果化为最简二次根式。 教材P165 练习 课内练习 1.化简 (1)； (2)； (3). 解：(1) (2)； (3). 2.计算 (1)； (2)； (3). 解：(1)； (2)； (3) 3.小狗只要沿着最简二次根式走，就可以吃到美味的骨头，请你帮它找出路径.(只能沿上、下、左、右四个方向走，不能走斜的方向) 基础巩固题 知识点 分母有理化 1.【2025河南安阳调研】 的倒数是( ) B A. B. C. D. 【解析】的倒数是 ，故选B. 2.【2025江苏南京期中】已知,，则与 的关系为( ) C A. B. C. D. 【解析】， ，故选C. 3.【2025江苏宿迁期末】在解决问题“已知,，用含, 的代数式 表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是 ，则下列说法正确的 是( ) A A.甲、乙、丙都对 B.只有甲、乙对 C.只有甲、丙对 D.只有甲对 【解析】,， ，故甲的结 果正确； ，故乙的结果正确； ，故丙的结果正确.故选A. 4.【2025上海闵行区质检】不等式 的解集是_ ______． 【解析】，，，，故答案为 ． 15 能力提升题 2 17 【解决问题】如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝5，AB＝7. (1)请你用“海伦－秦九韶公式”求△ABC的面积． (2)除了利用“海伦－秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其他的解法吗？请写出你的解法． 核心知识点回顾 ▍ 分母有理化 通过一定的变形，化去分母中根号的过程，是根式运算的基础。 ▍ 最简二次根式 被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，是运算的最终标准。 两大核心解题法 ▍ 单项式分母 直接利用分式性质，分子分母同乘“分母本身”，消去根号。 ▍ 二项式分母 构造平方差公式，分子分母同乘“共轭因式”，从而消去根号。 核心数学思想 ▍ 化归思想 将陌生的“分母有理化”问题，通过变形转化为我们熟悉的“整式运算”或“最简根式”问题，即“化复杂为简单，化未知为已知”。 课堂小结 教科书第165页练习 第1,2,3题 布置作业 5.若是最简二次根式，且a为整数，则a的最小值是________. 6.我们把形如a＋b(a，b为有理数且a≠0，为最简二次根式)的数叫作型无理数，如2＋1是型无理数，则(－)2是________型无理数. 原式＝a2·b·＝. 7.计算： (1)2÷·(m＞0); (2)a2·b÷(a＞0，b＞0)． 解：原式＝÷·＝＝＝8m. 解：∵△ABC的三边长分别为4，5，7，∴p＝＝8. ∴S△ABC＝＝4. 解：有其他的解法．如图，过点C作CH⊥AB于点H，设AH＝x，则BH＝7－x，在Rt△ACH中，AC2－AH2＝CH2，在Rt△BCH中，BC2－BH2＝CH2，∴42－x2＝52－(7－x)2， 解得x＝.在Rt△ACH中，CH＝＝，∴S△ABC＝×7×＝4. 8.秦九韶是我国宋元时期的四大数学家之一，他的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦－秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积S＝. $