2026年中考数学一轮专题复习之反比例函数专项综合提优训练

反比例函数专项综合提优训练 一、解答题 1.如图，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴上，点O为坐标原点，点B的坐标为 (2,3),反比例函数y=《(x>0)的图像经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE. A 备用图 ()求反比例函数的解析式： (2)求BDE的面积； (3)若点F是y轴上一点，且△FBC与△DEB相似，求点F的坐标. 2.如图，直线y=-x+b与双曲线y=相交于A,B两点，点A坐标为(-2,3)，点B的坐标 (a,-2),点P是x轴负半轴上的一点. 备用图 备用图 ()分别求出直线和双曲线的表达式： (2)连接AP,BP,OA,OB,若SAPB=4SAOB,求点P的坐标； (③)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做"美丽四边形".在(2)的 条件下，平面内是否存在点Q,使得以A,B,P,Q为顶点的四边形是美丽四边形，若存 在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 3.复图，直线子与双情线)=天=0交于4，B两点，点A的坐标为，-小，点C 是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D,且BC=2CD. B M D D 备用图 (1)求k的值并直接写出点B的坐标： (2)点M、N是y轴上的动点(M在N上方)且满足MN=1,连接MB,NC,求 MB+MN+NC的最小值； (3)点P是双曲线上一个动点，是否存在点P,使得∠ODP=LDOB,若存在，请直接写出所 有符合条件的P点的横坐标. 4.如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=x+3与直线y=mx交于点Aa,2),与x轴，y 轴分别交于点B,点C,与反比例函数y=《图象交于第一象限的D点，且AC=CD. 备用图 ①求反比例函数y-的表达式： X (②)若直线AB右侧的点P在反比例函数y=《图象上，△BDP的面积为I2,直线BP与y轴 交于点E,求E的值： PE ③)平移直线4B与坐标轴有且只有一个交点，此时该直线与反比例函数y=《图象交于M, N两点，其中点M在第一象限，在第三象限的反比例函数y=《图象上是否存在点F,使 ∠NMF=∠AOC,若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由. 5.如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=-x+m与直线y=2x相交于点A(2,a,与x轴 交于点B(b,0,点C在反比例函数y=(k<0)图象上. 备用图 (1)求a,b,m的值： (2)若O,A,B,C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值： (③)过A,C两点的直线与x轴负半轴交于点D,点E与点D关于y轴对称.若有且只有一 点C,使得△DAE∽△DBA,求k的值 6.如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=(k>0)与直线y=-x+4交于点A3,)、点B, 经过点A、点O的直线与第三象限的双曲线交于点C,以AC为斜边作直角△AHC,直角顶 点H落在第二象限。 B (1)求双曲线的解析式： (2)当AH+CH=8时，求△ACH的面积； (3)若AH平分∠BAC,求点H的坐标. 7.综合运用： 如图，已知A-3,2),B(n-3)是一次函数y=:+b的图象与反比例函数y=”的图象的两 个交点 y=kx+b (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (2)求A0B的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P,使△AOP是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点 P的坐标. 8.如图，一次函数y=)x+b的图象与反比例函数y=(k>0)的图象分别交于点4(4，m)和 点B(n,-2),且与x轴交于点C(1,0). 图1 图2 (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)如图1，将直线y=)x+b向上平移d(>0)个单位，平移后的直线与y=(k>0)的图象 15 在第一象限交于点P,若S△C=4,求平移距离d: (3)如图2，Q是第二象限内一点，∠QC0=45°，连接QB,将△QCB绕点0顺时针旋转90° ,点Q的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点Q的坐标. 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，顶点C,D k 在第一象限内，正比例函数y=3x的图象经过点D,反比例函数，=(x>0)的图象经过点 D,且与边BC交于点E,连接OE,已知AB=3. O (1)点D的坐标是： (②)求tanEOB的值； (③)观察图象，请直接写出满足y2>3的x的取值范围； 在线段OBE取一点P,使SP:,过点P作PO垂直x轴， ,请求出线段PQ的长. 10.【问题背景】 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC,OA分别在x轴和y轴上，若反比 例函数y=k(K≠0)的图象分别交AB,BC于点M,N. A B 【构建联系】 (1)求证：AM=CN. (2)D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA'D,若反比 例函数y=k (k≠0)的图象经过点A,且OA=3,求k的值. 【深入探究】 (3)在(2)的条件下，连接CA,AN,求sin∠CA'N的值. 3 11.如图，已知直线y=3x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A,B,点A的横坐 2 标为-4，点B的横坐标为2. 备用图 (1)求k和b的值； ②若点C在反比例函数y=k≠0)第一象限内的图象上，直线OC与直线B交于点M, 且SSBCM=SMCM,求点C的坐标； ③)若点C在反比例函数y=《(k≠0)第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一 点，且以点A,B,C,D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标. 12.如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=mx-2(m<0)与x轴交于点A,与y轴交于 点B,且OA=OB,与双曲线y=kx'(k<0)交于点C、D,连接并延长CO与双曲线交于点 E,连接OD. (I)求直线AB的解析式； (2)若△CDE的面积为8，求点D的坐标； 6)若00、3 DE4,求k的值， 13.如图，在平面直角坐标系x0y中，直线4：y=2x+m与反比例函数y=3的图象分别交 于点A-1,a和点B. 图1 图2 (1)求直线的表达式： (2②)如图2，直线马经过点B与反比例函数y=3(x<0)的图象交于点C,与x轴交于点D,点 D将线段BC分成CD,BD两条线段，且-)连接4D,求△4BD的面积 (③)在(2)的条件下，坐标轴上是否存在点E,使△BCE是以BC为斜边的直角三角形，若 存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 14.如图，四边形0ABC是菱形，其中点C(0,5),点A在反比例函数y=(k>0,x>0)的图像 上，01与轴正方向的夹角为0，且ama=子，反比例函数y>0,x>0)的图像与线段 3 BC交于点D. D E M N A 0 (1)求k的值： (②)点E为反比例函数y=(k>0,x>0)图像上的一个动点（点E在点A,D之间运动，不与 A,D重合)，过点E作EM⊥AB,垂足为点M,过点E作EN∥BC,交OC于点N,连 接MN。者：MEN的面积为、求点E的坐标， 15.如图1，直线AB:y=mx-n(n>0)与反比例函数y=二的图象在第一、三象限交于点 A,B,与x轴、y轴分别交于点C,D,过点A作AE⊥x轴于点E,F为x轴上一点，直线 AB与直线AF关于直线AE对称. OEF八 B 图1 图2 (1)若m=1,AC:CD=2:1,点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式. (2)在(1)的条件下，设抛物线y=ar2-2a2x+a3-a+1(a≠0)的顶点为点Q,在平面直角 坐标系中是否存在点Q,使FQ-DQ最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明 理由. (3)如图2，过点F作FG⊥x轴交AB于点G,过点A作AP⊥FG于点P,连接DP.若k为 定值，求证：△ADP的面积为定值， 16.反比例函数y=x>0)的图象经过点4山，2a和点B5-a,3). M 图① 图② (1)求a、k的值； ②如图O,在反比例函数y=(x>0)的图象上有一点P,小明发现将点P绕原点O顺时针 方向旋转90°后得到的点Q在另一个反比例函数图象上，求出点Q所在的函数表达式，并写 出自变量取值范围； (③)如图②，已知直线：y=x和l2:y=-x,将反比例函数y=二(x>0)的图象绕原点旋转 45°后得到新图象，在新图象上任取一点Q,过点Q作QM⊥l,QN⊥12，垂足分别为点M ,点N.求四边形MON的面积. 17.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，0A=2,点B 在反比例函数y=《(k>0)的图象上，△OBA为等边三角形，延长B0与反比例函数y=的 图象在第三象限交于点C.连接CA并延长与反比例函数y=的图象在第一象限交于点D ()求反比例函数的表达式： (②)求点D的坐标及△OAD的面积； (3)在x轴上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与ABC相似，若存在，请直 接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由. 18.如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=2x+2的图像与y轴交于点A,与反比 例函数y= 2x>0)交于点B. B (I)求点A和点B的坐标： 2②点C是x轴正半轴上一点，连接BC交反比例函数yx>0)于点D,连接AD,若 BD=2CD,求△ABD的面积； (3)在(2)的条件下，将线段BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,连接EA,点F是反 比例函数y=。 象上一点，连接FA,若L4ED+LFA0=90 答案 1.0y月 o月 、13 或(0,0)或(0,6) 【分析】(1)求出点D坐标，再利用待定系数法解答即可： (2)求出点E坐标，再根据三角形面积公式计算即可： (3)设点F的坐标为0，m),则CF=m-3,由∠BCF=∠B=90°可得aFBC与△DEB相 似，需满足S5-BC或CF-BC，据此解答即可求解， BD BE BE BD 本题考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定，掌握以上知识点是解 题的关键， 【详解】(1)解：四边形OABC为矩形，点B的坐标为2,3)，点D为BC的中点， D1,3, :反比例函数y=(x>0的图像经过BC的中点D, 3=k 1 k=3, ·反比例函数的解析式为y=3 (2)解：把x=2代入y=3得，y=3 .BE=3 33 22’ BD=IBC=1, 2 :BDE的面积=BDBE=x1x3_3 2 249 (3)解：设点F的坐标为0，m,则CF=m-3引， :∠BCF=∠B=90°， aPBC与△DEB相以，需满足CF=BC或F=%,一 BD BE 当CE-BC时， m-32 1 3, BD BE 2 解得m=或m= 13 3 3 m-3引_2 当CF-BC时，3=i, BE BD 2 解得m=0或m=6; 5) 13 综上，点F的坐标为0或0 或(0,0)或(0,6). 6 2.(1)y=-x+1,y=- (2)P(-3,0) (③)平面内存在点Q,使得以A,B,P,Q为顶点的四边形是美丽四边形，Q点的坐标为 (2,-5)或(4,1)或1,4)或(-8,5) 【分析】此题属于反比例函数与一次函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，坐标与图形性 质，待定系数法求函数解析式，面积问题，平行四边形存在性问题，三角函数的性质，利用 了分类讨论的思想，理解新定义是解本题第三问的关键 (1)把(-2,3)分别代入两个解析式计算即可； (2)设P(x,0),表示出△AB0和△APB的面积，再根据SMPB=4 SMOR列方程计算即可； (3)设Q(m,m),分四种情况：当Rt△ABP≌Rt△QPB时，利用平移的性质可得Q(2,-5); 当Rt△ABP≌Rt△BAQ时，运用平移的性质可得Q(4,1);当Rt△ABP≌Rt△ABQ时，通过 构造全等三角形建立方程即可得出Q1,4)；当Rt△ABP≌Rt△PQA时，利用平移的性质可 得0(-8,5). 【详解】(1)解：(1)：直线y=-x+b经过点A(-2,3), 3=-(-2)+b, 解得：b=1, y=-x+1; :双曲线y=k经过点4-2,3)， 3 解得：k=-6, 2.y=-x (2)如图，设直线AB交x轴于点C,过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点 E, X:y=-6上点B的坐标为(a,-2) B B(3,-2), 又A(-2,3), :AD=3,BE=2, 在y=-x+1中，令y=0,得-x+1=0, 解得：x=1, .C1,0), 0C=1, 设P(x,0),且x<0, :PC =1-x, SMPB=4SM0B SMPC+SACPB=4(SMOC+SAROC), PC.(AD+BE)=4x-OC.(AD+BI :PC=40C,即1-x=4, 解得：x=-3, ∴P(-3,0); (3)平面内存在点Q,使得以A,B,P,Q为顶点的四边形是美丽四边形 A(-2,3),B(3,-2),P(-3,0), AB=V-2-32+[3-(-2=52,AP=V[-2-(-32+(3-02=0, BP=3-(-3+(-2-0=2W10, :AP2+BP2=(10)2+(2V10)2=50,AB2=(5V2)2=50, :AP2+BP2=AB2, △ABP是直角三角形，∠APB=90°， 设Q(m,n),当Rt△ABP≌Rt△QPB时，如图， [m-(-3)=3-(-2) 则BOIAP,BQ=AP, n-0=-2-3 m=2 解得： n=-5’ ∴02，-5)： 当Rt△ABP≌Rt△BAQ时，如图， 则BOIAP,BQ=AP, [m-(-2)=3-(-3) n-3=-2-0 n=4 解得： n=1’ :Q4,1): 当Rt△ABP≌Rt△ABQ时，如图，设直线AB交x轴于点C,过点A作AE⊥x轴于E,作 AFx轴，过点Q作OF⊥AF于F, 则LBAP=LBAQ,AP=AQ, 由(2)知：CL,0), :A(-2,3),P(-3,0), .E(-2,0), :AE=3,CE=3,PE=1 :△ACE是等腰直角三角形，LACE=LCAE=45°， :AFx轴， ·∠BAF=∠ACE=45°， :∠CAE=∠BAF, .∠BAP-∠CAE=∠BAQ-∠BAF,即∠PAE=∠QAF, :∠AEP=∠AFQ=90°，AP=AQ, △APE≌△AQF(AAS), .AF AE=3,QF=PE=1, .m-(-2)=3,n-3=1, ∴.m=1,n=4, .Q1,4); 当Rt△ABP≌Rt△PQA时，如图， 则AQIIBP,AQ=BP, m-(-2)=-3-3 n-3=0-(-2)’ [m=-8 解得 n=5, .Q(-8,5): 综上所述，平面内存在点Q,使得以A,B,P,Q为顶点的四边形是美丽四边形，Q点的 坐标为(2，-5)或(4,1)或1,4)或(-8,5). 3.(1)k=6,B(2,3); (2)1+√65； (3)点P的横坐标为：4-25,4+2√5,4-2√3 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，相似三角形的性质与判定； (1)运用一次函数与反比例函数的交点坐标即可求解； (2)根据BC=2CD,求得点C的坐标，再把将军饮马模型在坐标系中直接运用，根据勾 股定理求解即可； (3)根据题意画图分析，根据平行求相关函数关系式，再求两条线的交点解方程组，即可 得解 【详解】(1)解：根据题意可知点4m,-3)在直线y=3x和双曲线y=(k≠0的图象上， 3 2m=-3,解得m=-2, :点A的坐标为(-2，-3到，代入双曲线y=《(k≠0)得： k=（-2)×-3)=6, 由图象可知点B与点A关于原点对称， B(2,3; (2)过点B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F,作点B关于y轴的对称点点B, 并向下平移一个单位记为B,连接B"C, B Bi- 则BE∥CF,B'B"=1, ADCF∽△DBE, CF DC BE DB :BC=2CD,B(2,3),B'(-2,3),B"(-2,2), DC 1 DB=3 BE=3, “CF=1,即点C的纵坐标为1， :点C在反比例函数y=6的图象上， C(6,1),B"C=V2-12+[6-(-2)]=1+64=65, :MB+MN+NC的最小值即为B'B"+B"C=1+√65； (3)当∠ODP=∠DOB时，当DP在x轴下方时，DP∥AB, B D 设直线BC的解析式为y=kx+b, 由(2)可知：B(2,3,C6,1, 1 [2k+b=3 +6=1解得 k=- 2, b=4 1 ,y= 2 x+4, 当y=0时，方+4=0，解得=8， D8,0, 3 :DP∥AB,直线AB的解析式为y=。x, 3 :设直线DE的解析式为y=2x+m, 把D(8,0代入得：12+n=0, n=-12, 3 y=x-12, 由P是直线DE与反比例函数的交点可得： 3 y= x-12 2 6 解得x=4+25,x2=4-25, y= 此时点P在第三象限，x=4+2V5不符合题意， 当DP在x轴上方时，则与下方的DP关于x轴对称， 可得直线DP的解析式为：y=- 2+12, 3 联立 y=-2x+l12 得x=4+2V5,x2=4-25, 6 y=9 此时点P在第一象限，两个都符合题意， :点P的横坐标为：4-2√5,4+2V5,4-2√5 4.)y=4 x 白%波： 国r号6j成6到 【分析】(1)由题意易得A(-1,2),y=-2x,B(-3,0,C(0,3),然后根据中点坐标公式可 得D(1,4,进而问题可求解； (2)由题意可分当点P在第一象限时，则过点P作PH∥y轴交直线AB于点H,过点P 作PF⊥y轴于点F,当点P在第三象限时，则过点P作PM⊥x轴于点M,然后根据相似 三角形的性质与判定可进行求解； (3)由题意易得∠M0G=45°，直线MN的解析式为y=x,则有M(2,2),N(-2,-2),然后 可分当点F在直线MN的右侧的第三象限上，当点F在直线MN的左侧的第三象限上，进而 分类求解即可 【详解】(1)解：由直线y=x+3与直线y=mx交于点A(a,2),可知：a+3=2,即a=-1 .A-1,2), .-m=2,即m=-2, .y=-2x, 令x=0时，则有y=3,令y=0时，则有x=-3, B(-3,0),C(0,3, :AC=CD,即点C为中点， ∴.根据中点坐标公式可得点D的横坐标为2×0-（-1=1，纵坐标为2×3-2=4， D(1,4, .k=1×4=4, 4 反比例函数的解析式为y=二； (2)解：由题意可分：当点P在第一象限时，则过点P作PH∥y轴交直线AB于点H, 过点P作PF⊥y轴于点F,如图所示： B 由(1)可知：8(-3,0，D1,4,反比例函数解析式为y=4 则H(pp+3, :PH=p+3-4 :.S.BDP= 1+3列xp+3-4-12, 解得：P1=4,P2=-1（舍去)， .P(4,1, .PF=4, :PF⊥y轴， PF∥OB, .△PFE∽△BOE, BE OB 3 PEpF4 当点P在第三象限时，则过点P作PM⊥x轴于点M,如图所示： 同理可得P(-1,-4), .OM=1,则BM=0B-0M=2, :PM⊥x轴， PM∥OE, OM PE 1 ·BMBP2' BE=3: :.PE 综上所述： 距线 (3)解：由(1)可知B(-3,0),C(0,3),则0B=0C=3, LCB0=45°， 由平移直线AB与坐标轴有且只有一个交点，得到直线MN,可得∠M0G=45°，且直线 MN的解析式为y=x,如图， y=x 联立可得 4,解得： x=2 少2或 x=-2 y= y=-21 .M(2,2),N(-2,-2), .0M=V0-22+(0-22=22, 则可分：当点F在直线MN的右侧的第三象限上，满足LNMF=∠AOC, 设直线MF交x轴于点G,分别过点G、A作GK⊥MN,AT⊥y轴，如图所示， △OGK是等腰直角三角形， A-1,2), .AT=1,OT=2, :tan∠40T=4T_1」 .=二=tan∠NMF, 0T2 设0K=KG=x,则MK=2KG=2x, 3x=2√2， 解得：x=22 3 “0G=20K=4 c 设直线MG的解析式为y=c+b,则有： 2k+b=2 「k=3 解得： b=4' 直线MG的解析式为y=3x-4, y=3x-4 联立得： 4， y= xs、2 x=2 解得： 3或{ (舍去)， y=-6(y=2 当点F在直线MN的左侧的第三象限上，满足∠NMF=∠AOC,如图， 同可得：6-引： 综上所述： (6引 5.(1)a=4,m=6,b=6 (2)点C的坐标为-4,4或(4，-4)，k=-16 (3)k=-1 【分析】(1)把A(2,a)代入y=2x得a=2×2=4,把A(2,4)代入y=-x+m得m=6;把 B(b,0)代入y=-x+6得b=6; (2)设Ct, ,由(1)知A(2,4),B(6,0),而0(0,0)，①当AC,BO为对角线时，AC [t+2=6+0 ,BO的中点重合， +4=0+0②当CB，40为对角线时，CB,40的中点重合， k t t+6=2+0 t+0=2+6 k +0=4+0’ ③当CO,AB为对角线时，CO,AB的中点重合 +0=4+0' 分别解 t 方程组可得答案： (3)设点Dt,O),则点E-6,0,根据△DAE∽△DBA,得AD2=DEDB,即： 16+(2-t)=-2(6-t),解得：4=-2,42=10（不合题意，舍去），求得点D(-20),再用 待定系数法求出直线D解析式为y=x+2,又有且只有一点C,则x+2=人只有一个解， 即x2+2x-k=0有两个相等实数根，可得△=4+4k=0,即可求解. 【详解】(1)解：把点A2,a代入y=2x得a=4, 把点A2,4)代入y=-x+m得m=6,即：y=-x+6,则b=6, 所以a=4,m=6,b=6 k、 (2)解：设Ct,), 由(1)知A(2,4),B(6,0),而0(0,0)， ①当AC,BO为对角线时，AC,BO的中点重合， [t+2=6+0 :{k+4=0+0 t t=4 解得k=-16 经检验，1=4，k=-16符合题意， 此时点C的坐标为(4,4)； ②当CB,A0为对角线时，CB,A0的中点重合， t+6=2+0 .了k +0=4+0’ [t=-4 解得k=-16 经检验，1=-4，k=-16符合题意， 此时点C的坐标为（一4,4）； ③当CO,AB为对角线时，CO,AB的中点重合， [t+0=2+6 +0=4+0: :k 解得 t=8 k=32 k=32>0, :这种情况不符合题意； 综上所述，C的坐标为(4,4)或(4,4)，k的值为-16； (3)解：设点D(,0),则点E-,0), :△DAE∽△DBA .AD2=DEDB,即：16+(2-t)2=-21(6-t), 解得：1=-2，t,=10(不合题意，舍去) 点D(-2,0), 设直线AD解析式为y=px+9, 将点A2,4)、点D(-2,0)代入y=px+9, 4=2p+q 10=-2p+q p=1 解得4=2 :.直线AD解析式为y=x+2, :过AD两点的直线与双曲线有且只有一点C, :=x+2,即：方程+2x-k=0有且只有一个解， .△=4+4k=0,得k=-1. B 6 【点晴】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的 判别式，平行四边形的性质，相似三角形的性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关 点坐标和相关线段的长度， 6.0)y=3 (2)6 3)(-5,5) 【分析】(1)将点A3,代入y=-x+4中，得点A3,1),再将点A坐标代入y=k>0), 即可得出双曲线的解析式， (2)先求出直线0A的表达式为y=了x,进而可求出点C-3,-,根据勾股定理得 AH2+CH2=AC2,再根据AH+CH=8,可得出AH,CH=12,进而求出△ACH的面积. (3)延长CH交AB的延长线于点D,先证明△AHD≌△AHC(ASA),得 HD=HC,AD=AC;根据点D在直线y=-x+4,设D1,-1+4),则t<3,AD=V2(3-t) ,再根据AD=AC,得V2(3-)=210,由此可得D3-2V5,1+2V5,然后根据点H是CD 的中点，即可得到点H的坐标. 【详解】(1)解：：双曲线y=k>0)与直线y=-x+4交于点A(3,) 将A(3,a)代入y=-x+4 .a=-3+4=1 A3,1 将A3,1代入y=(k>0) .k=1×3=3 (2)解：设直线OA的表达式为y=mx 将A3,)代入y=mx,得m=3 :直线04的表达式为y=3× 1 :经过点A、点O的直线OA与第三象限的双曲线交于点C, 可得方程组 3 y=- x=3 x=-3 解方程组得： =i或=- 点C-3,-1 又：A3, :AC=0A+0C=V32+1F+-3+1=0+0=210 :△AHC是直角三角形，且AC为斜线，点H在第二象限 .AHP+CHP-AC,S.cm-ACH :AH2+CH2=(21o=40 .AH+CH=8 ∴(AH+CH)2=82=64 .AH2+CH2+2AH.CH=64 .2AHCH=64-AH2+CH2）=64-40=24 .AH.CH =12 5ew-号4hcH=x12=6 (3)解：延长CH交AB的延长线于点D,如图 :AH平分∠BAC .∠DAH=∠CAH :△AHC是直角三角形，且AC为斜线，点H在第二象限 .∠AHD=∠AHC=90° 在△AHD和△AHC中， ∠DAH=∠CAH AH=AH ∠AHD=∠AHC=90° .△AHD2AAHC(ASA :HD=HC,AD=AC .点H是CD的中点 :点D在直线y=-x+4上 设点D(t,-t+4)(t<3 ·AD=V-t+4-1)2+t-32=V2(3-t) AD=AC .√2(3-t=210 解得t=3-2V5 .-t+4=-3-25+4=1+2V5 D3-25,1+2W5) 设点H(n,h) :点H是CD的中点 n=3+3-2)=-5 A=-1+1+25)=5 :H-5,5 7.(1)y=-6 ’y-x-1 ⊙存在，(-30.（号0小、1@2到或0，号 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角 形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键 (1)先把点A的坐标代入反比例函数y=m，,求得m的值，把A的坐标为(-3,2)，B的坐 标为(2，-3)代入y=x+b,即可得到结论； (2)利用一次数的解析式求得点C的坐标，利用SAo=S△4oc+S△oc即可求解； (3)存在，在x轴和y轴上分两种情况：①若∠0AP=90°时，如图所示，利用两点间的距 离公式和勾股定理即可求解；②若∠AP0=90°时，如图所示，过点A作AP⊥x轴，垂足为 点P,即可求解。 【详解】(1)解：：点A的坐标为(-3,2)在反比例函数的图象上， .m=-3×2=-6, ·反比例函数的解析式为y=-6, :点B的坐标为，-3)也在y=-6上， n=2, :A的坐标为(-3,2)，B的坐标为(2，-3)都在一次函数y=c+b的图象上， 代入可得： 「-3k+b=2 2k+b=-31 k=-1 解得b=-1 :一次函数的解析式为y=-x-1; (2)解：：直线y=-x-1与x轴交于点C, 当y=0时，可得0=-x-1,解得x=-1 .C(-1,0) 0C=1, A的坐标为(-3,2)，B的坐标为(2，-3)， S.4OB=S.40C+= 0x2+月： VA o (3)解：①若∠0PA=90°时，如图所示， m B y=kx+b :A的坐标为(-3,2)， :点P的坐标为(-3,0)； ②当∠0AP=90°时，如图， m y=kx+b 图3 设点P(m,0), 0A2=32+22=13,AP2=(-3-m)2+(0-2)2, ::AOP是直角三角形， 0A+AP2=0P2, 即13+(m-3)2+(0-2)2=m2, 解得m=-3 13 ·点P的坐标为 3,0 ③当∠0AP=90°时，如图， V= m y=kx+b 当点P在y轴上时，设点P(0,n), .0A=32+22=13,AP2=(n-2)2+(0+3)2, :△AOP是直角三角形， ..042+AP2 =OP2, 13+(n-2)}2+(0+3)2=n2, 解得n=13 :点P的华标为》 ④若∠0PA=90°时，如图所示， By=kx+b A的坐标为(-3,2)， :点P的坐标为(0,2). 综上可行点P的坐标为-30、（号0小Q2习到或》 8.0)y=1x- 2,少=6 2x x (3)-2,3) 【分析】1)先将点C1,0)代入一次函数y=+b,求得一次函数解析式，再求出点 4》即可求出把比制系数解新式： (2法1：作PD∥y维交直线48于aD,根据PD,-X-号.闻可求d=PD-月 法2：设直线AB平移前后与y轴分别交于E,F两点，连接AF,CF,根据△ACP与△ACF同 底等商，F化一月，即可限F-务 (3)连接O0,设点9的对应点为点G,过点G作GN⊥x轴于N,过点Q作QM⊥x轴于 M,由旋转的性质可证明△QOM≌aOGN,得QM=ON,OM=GN,设OM=t,则 CM=QM=t+1,得点G的坐标为(t+1,,列方程t(t+1=6,解方程进而可求点Q的坐 标。 【详解】1)解：点C1,0在一次函数y=x+b上， +b=0, 2 一次函数y=)x+b的表达式为y=2- 11 -2 :点A(4,m在直线y 1x1上 F2x-2 1 1 2×42 =m, :m22 3 3 起4引代入海- 解得：k=6, :反比例手数y一兰的表达式为y一兰 x (2)解：法1：作PD∥y轴交直线AB于点D, 5 D SAPCA= 4 xPDxk-tcl-15 1 15 2×PDx4-= PD=5 .d-PD=2' 5 法2：设直线AB平移前后与y轴分别交于E,F两点， 连接AF,CF, P :AACP与△ACF同底等高， 15 ∴SArc4=1 4 2*EFx-=1 4 “2×EFx4-1= 1 15 41 EF=5 d-EF= 5 (3)解：连接00，设点Q的对应点为点G,过点G作GN⊥x轴于N,过点Q作M⊥x轴 于M, 由旋转的性质可知：O2=OG,∠QOG=90°， .∠GON+∠QOM=90°， :QM⊥x轴，GN⊥x轴， ∴.∠QM0=∠GN0=90°， :L0QM+LQ0M=90°， :Z00M =ZGON, .△Q0M≌△OGN, ∴.QM=ON,OM=GN, :点C1,0),∠QC0=45°， :0C=1,△QMC为等腰直角三角形 设OM=t,则CM=QM=t+1, ..ON=OM=t+1,GN OM=t, :点G的坐标为(t+1,), :点G1+1,在反比例函数y=6的图象上， t(1+1=6, 解得：5=2,2=-3（不合题意，舍去）， 当t=2时，t+1=3, :点0的坐标为-2,3). 9.(1)1,3 哈 (3)0<x<1 ④0长为品 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题. (1)根据题意写出点D坐标即可； (2)先求出点E坐标即可得到tanLEOB的值； (3)根据图象直接写出不等式解集即可； 3 (4)先求出DE解析式，过点P作PF∥DE,交AD于点R,则Sr=2,进而求出直线 PF的解析式，得到点P坐标，最后得到PQ长 【详解】(1)解：四边形ABCD是正方形， :AD=AB=3, 在函数y=3x中，当y=3时，x=1, 点D的坐标为1,3)， 故答案为：(1,3)： (2)解：：点D的坐标为1,3)且在反比例函数片，=《图象上， .k=1×3=3, 3 .y2=2, :正方形ABCD的边长为3， .B(4,0), 把x=4代入函数与=3中，得y=3 4’ 3 E4, 4 :EB=4 .tan∠EOB= EB 3 0B16 3 (3)解：在函数2=2中，当y=3时，x=1, :由图象可知y2>3的x的取值范围为0<x<1; （4)解：设直线DE的解新式为y=+a,代入点D,到和E4到得： D m+n=3 4m+n=3, 4 B G 3 m=- 4 解得 15 n=4 315 :直线DE的解析式为y=-二x+ 4 41 过点P作PF∥DE,交AD于点F, S.DEF =S.DEP 即时0r-w-0r 2 21 .DF=1, .AF=AD-DF=3-1=2, F(1,2), :PF∥DE, :设直线PF的解析式为y=- x+b, 4 :直线PF过点F(1,2), 2-3 11 +b,解得b= 4 4 :直线PF的解析式为y=-3x+ 4 4 令y=0,则x= 3 在反比例函数y中，当x=?所，9 11 :.P0=17 9 10.1)证明见解析，2)k=,0:3)6N205 205 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正 确作出辅助线是解题的关键， (1)根据正方形的性质和反比例函数的性质，即可解答； (2)过点A作EF⊥x轴于点E,交AB于点F,证明△A'DF∽△OA'E,由相似三角形的性 质列方程，即可解答： (3)过点N作NH⊥CA'于点H,过点作A'K⊥BN于点K,求得HN,A'N的长，即可解 答 【详解】解：(1)证明：设点M(,y),N(x2,y2), :点M,N都在正方形ABCD上， y=x2,且x1y1=X2y2, x=y2,即AM=CN. (2)如图1，过点作EF⊥x轴于点E,交AB于点F, A DMF B A N 四边形OABC是正方形，OA=3, E C x 图1 .∠0AB=90°，AB=3, AD-AB=1: 根据折叠的性质可得A'D=AD=1,OA'=OA=3,∠0A'D=∠0AB=90°， .∠DA'F=90°-∠OAE=∠A'OE, :EF⊥x轴， LDFA'=∠A'E0=90°， △A'DF∽△OA'E, DE-A'F 4'D 1 A'E OEOA-3' DF=LAE,A'F=TOE. 3 3 .A'F+A'E=OA=3,AD+DF=OE, LOE+4E=3 1+L4E-OE 3 4'E=12 解得 0E=9 5 :点得 把点A 912 5'5 代入y=冬，解得k=108 25 (3)如图2，过点N作NH⊥CA'于点H,过点作A'K⊥BN于点K, D八MF B H E 图2 则四边形AKCE,FAKB为矩形， 由2可知CK=AE是，AF3名4W=Cw08s36 25 25 A'K=FB=3- 9_6. 55BN=3=CN= 5wCK*2治gg 2255125 A'C=CK2+AK 12)2 6 (5 65.5.e-NH C 5 2 1251 :NH= 365 125 AN=AK2+KN2=4K2+(BN-AF) 6 393)2 6V41 5 255 25 36V5 ∴sin∠CAN=NH-125=6205 A'N6V41205 25 11.(1)k=12,b=3 2)点C的坐标为25,67 7 或(2V5,25 (3)点C的坐标为 93或32,22 4 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数 的解析式，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键。 (1)设点A的坐标为-4，)，代入反比例函数的表达式可得点B的坐标为2，-2)，将点A, 3 B的坐标分别代入y=x+b,即可得到结论： 由(1)得，求得直线4B的函数表达式为y=x+3,设Mm,。m+3).①当点M 线段AB上时；②当点M在线段AB的延长线上时；③BM=4AM,知BM>AM,则点M 不在线段AB的延长线上，于是得到结论； 2 (3)设点C的坐标为n, ①当AB为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，分别过点 A,C作这条平行线的垂线，垂足分别为M,N,②当AB为矩形的对角线时，过点C作y 轴的平行线，分别过点A,B作这条平行线的垂线，垂足分别为P,Q,根据相似三角形的 性质即可得到结论 【详解】(1)解：设点A的坐标为-4，，代入反比例函数的表达式y=,得k=-41, 点B的坐标为2，-21， 将点A,B的坐标分别代入y=3 x+b,得 3x-4+b=1 3×2+6=-27 [t=-3 解得b=3' .k=-41=-4×-3)=12; (2)解：由(1)，得A-4,-3),B2,6, :直线AB的函数表达式为y=3x+3, 2 :直线OC与直线AB交于点M, 点M在直线AB上， 设+动。 ①如图1，当点M在线段AB上时， --V 图1 BM =4AM AM 1 AB5’ 由相似比及线段长度与坐标的关系，得=-立_m-(-4 AB xB-x 2-(-4) m-（-41 2-(-45 解得m=-14 146 点M的坐标为 5-5 3 此时直线CM的函数表达式为y= 「3 J=. x=2√7 由 12 得6万（负值舍去）， y= y= 7 点C的坐标为 2,v) ,7 ②如图2，当点M在线段BA的延长线上时， M 图2 BM =4AM, :4M=同O,得4-4-m AB 3 AB2-(-4' （4-m_1 2-(-43' 解得m=-6, .点M的坐标为-6，-6， y=x x=2W5 直线CM的解析式为y=x, 由 12得 (负值舍去)， y=25 :点C的坐标为(25,25)： ③由BM=4AM,知BM>AM,则点M不在线段AB的延长线上， 综上所述，点C的坐标为 或(232)： (3)设点C的坐标为 12 且n>0, ①如图3，当AB为矩形的边时，过点B作x轴的平行线， 图3 分别过点A,C作这条平行线的垂线，垂足分别为M,N, 则△BCN∽aABM, .BNCN AMBM 即”2.6-12 96 化简，得n2-11n+18=0, 解得n,=9,”2=2(与点B重合，舍去)， 点C 94) (39 ②如图4，当AB为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A,B作这条平行 线的垂线，垂足分别为P,Q, 图4 则△APCACOB, AP PC CO OB n+4 2*3 =n 6-12m-2: n 化简，得n2+2n-8n2-18=0, 解得m=3V2,n=-32(负值舍去)，n=-4(负值舍去)，m,=2(与点B重合，舍去)： :点C的坐标为(32,2V2), 综上所述，点C的坐标为 或(32,2W2) 12.(1)y=-x-2 (2)D(1,-3 ⑧4 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练利用数形结合的思想是解题的关键 (1)利用待定系数法即可解答； (2)利用中心对称的性质可得Soc=4,则可得x,-xc=4,表示出C,D坐标，再代入反 比例函数解方程即可； (3)列方程得到x。+,=-2,表示出点E,D的坐标，根据0=3即可得到点C的坐标， DE 4 代入反比例函数即可解答。 【详解】(1)解：把x=0代入y=mx-2(m<0),可得y=0, B(0,-2),即0B=2, :0A=0B, .A-2,0), 把A-2,0)代入y=mx-2(m<0)可得0=-2m-2, 解得m=-1, :直线AB的解析式为y=-x-2; (2)解：：延长CO与双曲线交于点E, :点C,E关于原点中心对称， 0C=0E, 1 SAOCD=SACDE=4. 设点C的横坐标为x,点D的横坐标为xD, 1 1 :.S.ocD=S.oc8+S.oD=BO-(xp-xc)=x2x(xp-xc)=4, 2 .x0-xc=4, 设D(a,-a-2),则点C的横坐标为a-4, 把x=a-4代入直线解析式可得y=-(a-4)-2=-a+2, .C(a-4,-a+2), :点C,D都在双曲线y=kx(k<O)上， a-a-2)=a-4)-a+2), 解得a=1, D(1,-3: y=-x-2 (3)解：列方程 k, y=9 整理得x2+2x+k=0, :直线y=mx-2(m<0)与双曲线y=kx(k<0)交于点C、D, :点C,D的横坐标即为方程x2+2x+k=0的两个解， .Xc+Xp=-2, 设C(,-n-2),则E(-n,n+2),且xp=-2-n, 把xo=-2-n代入直线解析式可得y=-（-2-n-2=n, D-2-n,n, .0D2=(-n-22+n2, DE2=(-n+2+n2+(n+2-n2=8, OD 3 DE-4 :0D--n-22+㎡9 DE2 8 16 解得%=2-5 m=2+5(金去 2 22 ”2 -2+V5k 代入反比例函数可得2-2-√5， 2 :k=2+5x2-51 2 2 4 13.(1)y=2x-1 (2)5 ③0,1+35或01-35或3+m30或3-丽0 2 4 4 【分析】(1)先求出a的值，再利用待定系数法即可求解： y=2x-1 (2)联立方程组得 求出点B的坐标，过点C作CM⊥x轴于点M,过点B作 y= BN⊥x轴于点N,利用平行线成比例求出CM=1,再求出C(-3,-1),求出直线BC的函数 表达式，得到点B,点G的坐标，即可求解； (3)取BC的中点M,以点M为圆心，MB为半径作OM交坐标轴于点E,连接BE,CE, 分点E在y轴上，设点E的坐标为(0，)，点E在x轴上，设点E的坐标为(n,O),两种情况 讨论即可. 3 【详解】(1)解：将4(-1，a)代入y=二， a=-3, 即A(-1,-3), 将A(-1,-3)代入y=2x+m, m=-1, :直线的表达式为y=2x-1: (2)解：：直线4与反比例函数y=3交于点4，B, y=2x-1 :联立方程组得 3 y=- 3 x2=-1 解得 42: 乃=2 2=-3 B,2》, 2 过点C作CM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N, M D CM∥BN, CM CD I BN BD-2 CM=1, 在y=3中，当y=-1时，x:-3, C(-3,-1), 设直线BC的函数表达式为y=x+b(k≠O), 26- -3k+b=-1 k=2 3 b=1 :直线BC的函数表达式为y号+1， :直线BC与x轴交于点D, D-30, 2 :直线AB与x轴交于点G, aG30), DG=2, 1 540=2DG-gy4=2x2x5=5: (3)解：如图，取BC的中点M,以点M为圆心，MB为半径作⊙M交坐标轴于点E,连 接BE,CE, B :BC为⊙M的直径， DO LCEB=90°， M是BC的中点， M, 当点E在y轴上时，设点E的坐标为(0，)， .EM =MB, 5-1+35,4-1-35 2 2 当点E在x轴上时，设点E的坐标为(n,O), :EM MB, %=3+1 4 ，%=3-g 4 综上所述，点E的坐标为0，+35或0,135)或3+而0或3- ,0) 2 2 4 4 14.(1)12 (2)2,6 【分析】(1)延长BA交x轴于点Q,根据题意，得0C=CB=BA=OA=5,结合已知得到 号设40=3张.00=，于是04二40+0g=5水=5，确定=，继而雅定 A4,3,求k=12. (2)延长NE交AB于点F,过点N作NG⊥AB于点G,得OC=CB=BA=OA=5,CN∥BF ，得到四边形NFBC是平行四边形即NP=CB=5,得到am∠EFM二M=C=,设 BM=4,PM=3,求得1弓过点E作EH上x轴于点，则四边形BOM是矩形，当 12 x=2时，y= =6,求解即可. 2 【详解】(1)解：延长BA交x轴于点Q, y D C :四边形0ABC是菱形，点C0,5), ..0C=CB=BA=0A=5,CN//BF, ∠00A=180°-∠W00=90°， :01与x轴正方向的夹角为a,且tana=3 A03 ·004 设AQ=3k,OQ=4k, :..OA=A02+002=5k=5, 解得k=1, .A0=3,00=4, A(4,3, :点A在反比例函数y->0>0的图像上 3=年 解得k=12. (2)解：延长NE交AB于点F,过点N作NG⊥AB于点G, M G :四边形OABC是菱形，点C(0,5, ..OC CB=BA=0A=5,CN//BF, .BCII NF, :四边形NFBC是平行四边形， :NF=CB=5, :∠NO9=∠0QG=∠QGN=90°， .四边形NOQG是矩形， .NG=OQ=4,∠NGM=90°， .FG=NF2-NG2=3, :tan∠EFM=EM_NG_4 FM FG3' 设EM=4t,FM=3t, S.EW=5.m-S.E=x4x31-x41x31= 1 3 2 42-41+1=0, 解得1=2 .EM=41=2, 过点E作EH⊥x轴于点H, 则四边形EHQM是矩形， :EM=HO=2, :OH=00-HO=2, 故当x=2时，y= 26 故点E(2,6). 【点晴】本题考查了待定系数法求解析式，菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的 判定和性质，三角形面积计算，三角函数的应用，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是 解题的关键。 15.(①y=6 (2)存在，（-1,2) (3)见解析 【分析】(1)先求出Cn,0),D(0,-n),得出0C=OD=n,证明△CEA∽△C0D.得出 C0D00C,根据4C:CD=2:1,点A的横坐标为3，求出AE=CE=20C=2,得出 CE AE AC A3,2),即可得出答案： (2)由(1)得C(1,0),A(3,2),D0,-1),E(3,0,求出抛物线的顶点Q的坐标为 a,-a+1),得出点Q是直线y=-x+1x≠0)上一点，证明AB⊥CW,作点D关于直线 y=-x+1的对称点D,连接FD'并延长，交直线y=-x+1于点Q,连接DQ,此时 FQ-DQ最大，求出点D的坐标为2，I),待定系数法求出直线D'F的解析式为 15 1 5 y=- x+ y=- ,联立 3 3,求出点Q的坐标为(-1,2). 3 y=-x+1 (3)求出C”,0,D(0,-m),得出OC=”,OD=m,证明四边形AEFP是矩形，得出 m 11 -F:GE.银据△C00△CE4,得出是2.即C正C0员m,设 AE DO n m AP=CE=,则AE=m1,根据点A在反比例函数y=上的图象上，得出 k=”+i m=+amr,根据S.m号4P(E+00)=m+小=u+m)一即可 1 m 证明结论. 【详解】(1)解：当m=1时，直线AB的解析式为y=x-n(n>0), 把x=0代入y=x-n得y=-n, 把y=0代入y=x-n得x-n=0, 解得：x=n, .C(n,0,D0,-n, .0C=0D=n, :AE⊥x轴， .∠CEA=LC0D=90°， 又LACE=LDC0, .△CEA∽△C0D. 焉总 :AC:CD=2:1,点A的横坐标为3， .AE CE=20C=2, .A3,2, 将A3,2代入y=,得2 31 解得：k=6, “·反比例函数的解析式为y=6 (2)解：存在点Q,使FQ-DQ最大. 由(1)得C1,0),A3,2),D(0,-1,E3,0), :直线AB与直线AF关于直线AE对称， F5,0), y=ax2-2a2x+a3-a+1=ax2-2ax+a2）-a+1=ax-a2-a+1, .抛物线的顶点Q的坐标为a,-a+), 点Q是直线y=-x+1x≠0)上一点. 把y=0代入y=-x+1得：-x+1=0, 解得：x=1, C(0,1在直线y=-x+1, 把x=0代入y=-x+1得：y=1, N(0,1, .DN=2,NC=V2+1P=2,CD=V+1P=√2， .DN2 NC2+CD2, .△CDN为直角三角形，∠NCD=90°， .AB⊥CN, 作点D关于直线y=-x+1的对称点D,连接FD'并延长，交直线y=-x+1于点Q,连接 DQ,如图所示： B 根据轴对称可知，DQ=D'Q, :FO-DO FO-D'O<D'o, 此时FQ-DQ最大， :CD⊥直线y=-x+1, .点D在直线CD上，且CD=CD', 根据中点坐标可知：点D的坐标为2，， 设直线D'F的解析式为y=x+b, 2e+b=1 将D'(2,1,F(5,0代入，得 5e+b=0' 1 e=- 3 解得 5 b= 3 :直线DF的解析式为y=3+3 15 1,5 联立y=3x+3, y=-x+1 x=-1 解得 y=2’ .点Q的坐标为-1,2). (3)证明：把x=0代入y=mx-n得：y=-n, 把y=0代入y=mx-n得：0=mx-n,解得：x=”, m c”0,n0,-n, m 0C=”,0D=n, m :FG⊥x轴，AP⊥FG,AE⊥x轴， 四边形AEFP是矩形， 又直线AB与直线AF关于直线AE对称， .AP EF =CE. 根据解析(1)可知：△C0D∽△CEA, CO DO CE AE AE DO n .CE CO n =m m 设AP=CE=1,则AE=mt, +，mt :A m :点A在反比例函数y=的图象上， k=”+imt=+mr2, m Sem号4P(4E+0D1-=m+川-u+m)-多 即若k为定值，则△ADP的面积为定值. 16.(1)a=3,k=6 (②)点Q所在的函数表达式为y=-6(x>0) (3)矩形QM0N的面积为6 【分析】(1)将点A1,2a和点B(5-a,3)代入y=,解答即可. x (2)作PE⊥y轴，OF⊥y轴，构造一线三垂直全等模型，确定Q的坐标解答即可. (3)在y=(x>0)上取点P,使得∠P00=45°，作PE⊥y轴，PF⊥x轴，根据旋转性质， 三角形全等的判定和性质，反比例函数的性质解答即可。 【详解】1)解：将点4,2a和点B5-a,3到代入y车，得： 2a=k 3(5-a=k' a=3 解得k=6 (2)解：作PE⊥y轴，QF⊥y轴， E力 Fh. 根据题意，得 .P0=Q0,∠P0Q=90°， .∠EOP+∠QOF=90°， PE⊥y轴，OF⊥y轴， ∴.∠PEO=∠QFO,∠EOP=∠OQF, ∴.△EOP≌△FQO .EP=OF,EO=FO, 设ra,则e,-, a 设 a, y=-a y=-6, :点Q所在的函数衣达式为y=:>0。 (3)解：方法①： 在)x0上取点P,使得∠00=S,作PELy轴，PF1r铺， 由旋转得PO=QO, .∠EOP=∠MOQ, 'QM⊥，QN⊥l2, 即四边形PEOF和四边形QMON为矩形， .∴△EOP≌△MOQ, 6 设Paa ·矩形QM0N的面积=矩形PE0F的面积=ax6=6 a 方法②： 作PH⊥OP,交OQ延长线于点H, :△POH为等腰直角三角形， ,66】 :点Ha+，2-a, aa :直线OH的函数表达式为y= 6-a2 6+a2t, 6-a2 设0m6+m” Q0=P0, m=a2+6 √2a a2+66-a2 ..0 2a’2a a2+6a2+6 a2+6a2+6 ∴.E a'v2a F (2a’√2a :EF=2a2+12 0=2 2a a oF=12 2a 2a 矩形QMON的面积=SEor-SEwp-Sew =1EF2-E-1F 4 =6 17.y= (2)点D的坐标为 SAOAD= 3 10 (3)点Q的坐标为3,0)或 ,0 3 【分析】(1)作BF⊥x轴于点F,利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B 的坐标为山，V),再利用待定系数法求解即可； (2)根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为(-1，-5)，利用待定系 数法求得直线AC的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； (3)先求得∠ACB=30°，∠BAC=90°，分当DQ⊥x轴和当DQ⊥AD时两种情况讨论， 据此求解即可 【详解】(1)解：作BF⊥x轴于点F, :△0BA为等边三角形，0A=2, .0B=2,0F=AF=1, .BF=V0B2-0F2=V3, “点B的坐标为山，V), :点B在反比例函数y=k>0)的图象上， k=1xV5=5, :反比例函数的表达式为y= x (2)解：：延长B0与反比例函数y=的图象在第三象限交于点C, .点C与点B关于原点对称， “点C的坐标为(-1，-⑤)， 0A=2, 点A的坐标为2,0)， 设直线AC的解析式为y=:+b, [-k'+b=-√5 '3 ,解得 3 2k'+b=0 b、 25’ 直线AC的解析式为y= 5.23 x- 3 3 联立得5-5,25 3 3 解得x=3或x=-1(舍去)，经检验，x=3是原方程的解， 点D的坐标为3 5.ux0x 3 (3)解：：△OBA为等边三角形，点C与点B关于原点对称， .0A=0B=0C,∠B0A=∠BA0=60°， :∠0AC=∠0CA号∠B0A=30 .∠BAC=90°， 当DQ1x轴时， ∠DAQ=∠OAC=30°=∠BCA,∠DQA=∠BAC=90°， △DQA∽△BAC, 点D的坐标为3， 3 点Q的坐标为(3,0)； 当DQ⊥AD时， D ∠DAQ=∠OAC=30°=∠BCA,∠QDA=∠BAC=90°， △QDA△BAC, :点D的坐标为 3 3 点A的坐标为2,0， 4D=25 3 :A0=- AD 4 0s30°3' 00=2+ 410 33’ 点Q的坐标为 综上，点Q的坐标为3,0)或(0 18.0402,833 (2)1 6)》 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积， 全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，利用平行线转化三角形的面积是求点D坐 标的关键。 (1)在y=2x+2中，令x=0,可求得点A的坐标，联立方程组可求得点B的坐标； (2)过点B作BG⊥x轴于点G,过点D作DH⊥x轴于点H,设BC交y轴于点K,由 BG∥DH,得△BCGn△DCH,可得BG-CG-BC-3,求得DH=BG=l,再求得 DH CH DC 1 进而可得C(2,0),运用待定系数法可得直线BC的解析式为y=-2x+4,进而求 得K(0,4),即可求得答案： (3)过点D作HG∥x轴，作EH⊥HG于H,BG⊥HG于G,连接AE,先证得 △BDG≌△DEH(AAS,可得DH=BG=2,EH=DG=I,得出E 进而得出 an∠F40=an∠DEH-DH-2,再求得直线F的解析式为y=一号x+2,联立方程组 EH 即可求得答案. 【详解】(1)解：：在y=2x+2中，当x=0时，y=2, .A(0,2）, y=2x+2 联立方程组 3 y= 2x 1 3 解得： x122 x2= 2 (舍去)， y=3 y3=-1 (2)解：如图，过点B作BG⊥x轴于点G,过点D作DH⊥x轴于点H,设BC交y轴于 点K, D 州 :∠BGC=∠DHC=90°， BG∥DH, △BCG∽aDCH, BG CG BC 3 DH CH DC 1 .DH=IBG=1x3-1, 1 3 当y=1时，1=2 3 解得：x=2 31=1, :GH=22 :BG∥DH, CH CD 1 GH BD2' :CH=2 1 0C=0H+CH=3+1 22 =2, C(2,0), k+b=3 设直线BC的解析式为y=+b,则 2 2k+b=0 [k=-2 解得： b=4, :直线BC的解析式为y=-2x+4, 当x=0时，y=4, K(0,4), AK=4-2=2, 1 x2x=1 SD=S.ADK-S.ABK三2×2×22X2 2 (3)过点D作HG∥x轴，作EH⊥HG于H,BG⊥HG于G,连接AE,如图， VA B GD 0 Q八末 由旋转得：BD=DE,LBDE=90°， :∠BDG+LEDH=90°，LBDG+LDBG=90°， .∠EDH=∠DBG, :∠H=∠G, .BDGSDEH(AAS), .DH=BG=2,EH=DG=1, 头 AE∥x轴， :∠AED+∠FA0=90°，∠AED+∠DEH=90°， :∠FAO=∠DEH, ∴.tan∠FAO=tan∠DEH= DH=2, EH 设直线AF交x轴于Q, .00=4, ·直线AF的解析式为y=- 2x+2, 2+23 2x 解得：x=1,x2=3, :点F的坐标为或