反比例函数与一次函数综合、反比例函数与特殊四边形的性质综合专项训练-2026年中考数学一轮复习

反比例函数与一次函数综合、反比例函数与特殊四边形的性质综合专项训练 反比例函数与一次函数综合、反比例函数与特殊四边形的性质综合专项训练 考点目录 反比例函数与一次函数综合 反比例函数与特殊四边形的性质综合 考点一 反比例函数与一次函数综合 例1.(2026·贵州毕节·二模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $$y _ { 1 } = \frac { k _ { 1 } } { x }$$ 与一次函数 $$y _ { 2 } = k _ { 2 } x + b$$ 的图象相交于 点A和点C， 一次函数 $$y _ { 2 } = k _ { 2 } x + b$$ 图象与 x 轴相交于点B，其中点A的坐标是(2，3). y (2， $$\textcircled 4 \left( 2 ， 3 \right) \\ y _ { 1 } = \frac { k _ { 1 } } { x }$$ = B x C $$y _ { 2 } = k _ { 2 } x + b$$ (1)求反比例函数 $$y _ { 1 } = \frac { k _ { 1 } } { x }$$ 的解析式： (2) $$S _ { \triangle A O B } = 6 ，$$ ，求一次函数 $$y _ { 2 } = k _ { 2 } x + b$$ 的解析式； 【答案】( $$\left( 1 \right) y _ { 1 } = \frac { 6 } { x }$$ $$\left( 2 \right) y _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } x + 2$$ 【详解】(1)解： ∵ 4(2，3)在反比例函数图象上 $$\therefore k _ { 1 } = 2 \times 3 = 6 ，$$ ：反比例函数解析式为： $$y _ { 1 } = \frac { 6 } { x } ；$$ $$\left( 2 \right) \because S _ { \triangle A O B } = 6 ，$$ $$\therefore \frac { 1 } { 2 } \times O B \times 3 = 6 ，$$ ，解得 OB=4， ∴B(-4，0)， ：点 A(2，3)，B(-4，0) 在一次函数 $$y _ { 2 } = k _ { 2 } x + b$$ 的图象上， $$\left\{ \begin{array}{l} 2 k _ { 2 } + b = 3 \\ - 4 k _ { 2 } + b = 0 \end{array} \right. ，$$ 解得 $$k _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ，$$ b=2 1 反比例函数与一次函数综合、反比例函数与特殊四边形的性质综合专项训练 1 次函数解析式为：片=2X+2。 例2.(2026：安徽宿州一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+k≠0)与双曲线方-(k,±0，x>0)交 A,m),点B(4,m),连接OA,OB,直线=kx+)与x轴、y轴分别交于点D、点 D (1)求k,飞的值； ②)直接写出不等式kx+之的解集， 1 【答案】(0k=2k=2 (2)1≤x≤4 【详解】1)解：把4L,m,B4)分别代入直线片=kx+与双曲线冬， 2 5 5 k1+。=m 4k+ =n 2 得 2 和 k,=m k2二n 4 5 k+。=k3 整理，得 2 4k+ 24 1 解得 k2-2 k2=2 (2)解：不等式k +之的解集为≤x≤4. 例3.(2026江西宜春一模)如图，已知一次函数y=+b的图象与反比例函数y=”的图象交于A1,m), B(-2,-1)两点，与y轴相交于点C. 2 反比例函数与一次函数综合、反比例函数与特殊四边形的性质综合专项训练 (1)求一次函数与反比例函数的解析式： (2)若OC=OD,求△ABD的面积. 【答案】(0)一次函数解析式为y=x+1,反比例函数的解析式为y=2。 (2)△ABD的面积为3. 【详解】(1)解：：B-2,-1刂在反比例函数y=”的图象上， m=-2×-1=2, 2 :反比例函数的解析式为y=二； :A山，n也在反比例函数y=俨的图象上， 2, 2 .n= 即A1,2), :A1,2,B(-2,-1在一次函数y=ax+b的图象上， a+b=2 -2a+b=-1' a=1 解得 b=1’ 即一次函数解析式为y=x+1. (2)解：：一次函数y=x+1的图象与y轴相交于点C, .C(0,1, 即0D=0C=1, D(0,-1, 又A1,2),B(-2,-1, 5m8D,-Wx2x3=3. 例4.(2026江苏苏州模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与反比例函数y=(k≠0)的图象 交于A、B两点，点A的横坐标为1. 反比例函数与一次函数综合、反比例函数与特殊四边形的性质综合专项训练 (1)求k的值及点B的坐标. ②点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当Sm4m,求PM的最小值， 【答案】(1)k=3,B(-3,-1 22vf0 5 【详解】(1)解：当x=1时，可得：y=x+2=3, :点A的坐标为1,3)， 把点4,3)的坐标代入y=, 可得：3 解得：k=3, :反比例函数的解析式为y=3 3 y= 解方程组 x y=x+2 整理可得：x2+2x-3=0, 可得：x1=-3,x2=1, 当x=-3时，可得：y1=x+2=-1, 当x2=1时，可得：y2=x+2=3, :点B的坐标为(-3，-1， (2)解：如下图所示，过点P作PM⊥BO,根据垂线段最短，可知当PM⊥BO时，PM的值最小， 1 S.BPO=S.APO :BP=AP, 反比例函数与一次函数综合、反比例函数与特殊四边形的性质综合专项训练 :点A的坐标为1,3)，点B的坐标为-3，-1)， AB=V1+3)2+3+12=42,0A=P+32=V10,0B=V-12+(-3)2=10, 0A=0B, n=0-号B=25 0P=OB2-Bp=io-(2=2, LBPOP=1OBPM, 2xxM PM=210 5 变式1.(2026山西太原.一模)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点C,与反比例函数y=二(k≠0) 的图象相交于点A,B,己知点A的坐标为(-1，n),点B的坐标为3，. B (I)求反比例函数的解析式，并直接写出的值和点C的坐标； (2)连接OA,OB,直接写出△0AB的面积， 【答案】①y=3,n=-3,C(0,-2) (2)4 【详解】1)解：将83，)代入y=k≠0)得，1= ∴k=3 反比例函数与一次函数综合、反比例函数与特殊四边形的性质综合专项训练 反比例函数的解析式为)一 3 3 将A-1,n)代入y=三得，n=二 =-3 -1 A-1,-3 设直线AB的表达式为y=+b [-k+b=-3 将A-1,-3),B(3,1代入y=+b得， 3k+b=1 k=1 解得1b=2 ∴直线AB的表达式为y=x-2 ∴当x=0时，y=-2 ∴C(0,-2）; (2解：△048的面限=0C+00×2x1+分2x3=4 变式2.(2026安徽阜阳一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数 y=气x<0)的图象交于4-5,3)，B两点，且点B的横坐标为-2，一次函数的图象与X轴交于点C,连接OB. (1)求一次函数的解析式。 (2)求△0BC的面积. 3,21 【答案】（①一次函数的解析式为y=2x+ 2 a 【详解】(1)解：：点4-5,3)在反比例函数y=的图象上， .k=-5×3=-15, “反比例函数的解析式为y=-15 :点B的横坐标为-2，且点B在反比例函数y=-5的图象上， 6 反比例函数与一次函数综合、反比例函数与特殊四边形的性质综合专项训练 点(2》 将点A-5,3)， 15 代入y=ax+b, -5a+b=3, 得 -2a+b= 2 3 解得 a=2 21 b= 2’ :一次函数的解析式为y=x+2斗 2 21 (2)解：在一次函数y=。x+ _3x+21中，令y=0,则x=1, 2 2 :点C-7,0, .0C=7. 点》 20Cy%=}x×7x15_105 1 2 41 变式3.(2026山东济南一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=2x+b的图象与x轴交于点A-3,0 k ,与反比例函数y=二(x>0)交于点B(1,m). B A 备用图 (1)求反比例函数的表达式： (2)点C为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点C作x轴垂线，交一次函数y=2x+b图象于点D,连接BC, 若△BCD是以CD为底边的等腰三角形，求点C的坐标； 3)点P为反比例函数y=《(x>0)图象上一点，点Q是坐标系内一点，当四边形ABPQ为矩形时，求点Q的坐标 【答案】0)y=8x>0) (2)4,2) 7 反比例函数与一次函数综合、反比例函数与特殊四边形的性质综合专项训练 ®e2- 【详解】(1)解：将点A-3,0代入一次函数表达式得：0=-6+b, 解得：b=6, 即一次函数的表达式为：y=2x+6, 将1，m代入y=2x+6,得m=8, :点B的坐标为1,8)， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k=1×8=8, 即反比例函数表达式为：y=8(x>0: 2)解：设点D的坐标为，24：61，则点c)】 若△BCD是以CD为底边的等腰三角形，则点B在CD的中垂线上， 则+6+》8 解得：1=1（舍去），t2=4, :点C的坐标为：(4,2)： (3)解：主 :四边形ABPQ为矩形， .AB⊥BP, AB2+BP2 =AP2, -+8-+p-8--[p-8j 4g-g-j-+ a16+64+p2-2p+1+64-128+64=p2+6p+9+64 p2 P 145-2p-128-6p+9 p ,12 °+8p-136=0 16+p-17=0 反比例函数与一次函数综合、反比例函数与特殊四边形的性质综合专项训练 p2-17p+16=0, 解得，=1（舍去），P2=16, 8、1 162 1 P162 :四边形ABPQ是矩形， AB=QP,AB∥OP, 即B到A的平移方式和P到Q的平移方式相同， ×A-3,0),B(1,8), B到A的平移方式为向左4个单位，再向下8个单位， e12 变式4.2026河南许台一模)如图。直线1：y=号-2与反比例函数y=k≠0)的图象交于点4a,2。 VA 2 (1)求反比例函数的解析式。 (2)将直线I向上平移，在x轴上方与反比例函数的图象交于点C,连接OA,OC,直线y=x(x20)与反比例函数 y=(k≠0)的图象交于点E,当点A与点C关于直线y=x对称时，求点C的坐标及直线I平移的距离。 【答案】(1)A(5,2) ②)点C2,5)；直线1向上平移的距离为2 5 【详解】0棉：将点4a,2代入y-等-2。 4 得50-2=2， 解得a=5, 0 反比例函数与一次函数综合、反比例函数与特殊四边形的性质综合专项训练 A5,2, 格点452到代入套，得2= 解得k=10, 反比例函数的解析式为y=10 (2)解：点A与点C关于直线y=x对称， ∴LC0E=LA0E,0A=OC, ∴45°-∠A0E=45°-LC0E, .∠1=∠2， 如图所示，过点A作AB⊥x轴于点B,过点C作CD⊥y轴于点D, D中- .∠AB0=∠CD0, B 在Rt△ABO和Rt△CDO中， ∠ABO=∠CDO ∠1=∠2 OA=OC AAOB≌aC0DAAS, :0B=OD,AB=CD, A5,2, ∴0D=0B=5,CD=AB=2, “点C(2,5), 设直线向上平移后的直线对应的解析式为y=4x+, 5 4 4 将点C(2,5)代入y=x+n,得×2+n=5, 5 5 朝得号， 5 10反比例函数与一次函数综合、反比例函数与特殊四边形的性质综合专项训练 反比例函数与一次函数综合、反比例函数与特殊四边形的性质综合专项训练 考点目录 反比例函数与一次函数综合 反比例函数与特殊四边形的性质综合 考点一 反比例函数与一次函数综合 例1．（2026·贵州毕节·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点A和点C，一次函数图象与x轴相交于点B，其中点A的坐标是． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，求一次函数的解析式； 例2．（2026·安徽宿州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，点，连接，，直线与x轴、y轴分别交于点D、点C． (1)求，的值； (2)直接写出不等式的解集． 例3．（2026·江西宜春·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 例4．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当，求的最小值． 变式1．（2026·山西太原·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象相交于点，．已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式，并直接写出的值和点的坐标； (2)连接，，直接写出的面积． 变式2．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且点的横坐标为，一次函数的图象与轴交于点，连接． (1)求一次函数的解析式． (2)求的面积． 变式3．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点C为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点C作x轴垂线，交一次函数图象于点D，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点C的坐标； (3)点P为反比例函数图象上一点，点Q是坐标系内一点，当四边形为矩形时，求点Q的坐标． 变式4．（2026·河南许昌·一模）如图，直线：与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)将直线向上平移，在轴上方与反比例函数的图象交于点，连接，直线与反比例函数的图象交于点．当点与点关于直线对称时，求点的坐标及直线平移的距离． 考点二 反比例函数与特殊四边形的性质综合 例1．（2026·安徽合肥·一模）如图，四边形为矩形，顶点A，D，C的坐标依次为，，，对角线相交于点E，反比例函数的图象经过点B． (1)求反比例函数的表达式； (2)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 例2．（2026·河南平顶山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，，反比例函数 的图象经过正方形的中心 Q． (1)求反比例函数的表达式． (2)将边上一点E绕点 Q 逆时针旋转，若旋转后的点 恰好落在 的图象上，求点 E 的坐标． 例3．（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，已知点，点．点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿轴正半轴平移个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值． 例4．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)在轴右侧坐标平面内，是否存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（2026·福建厦门·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，其中，，反比例函数经过点，与对角线的另一个交点为点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，点是线段下方反比例函数图像上的一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点，过点作的平行线交轴于点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 变式3．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)菱形的对角线与相交于点，将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，求扫过的面积． 变式4．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点O与原点重合，均在反比例函数的图象上，点B在第四象限，与y轴相交于D． (1)求证：四边形是菱形； (2)求点D的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $