专题8 含参二元一次方组复习训练 2025-2026学年七年级数学下册人教版

专题8 复习讲义含参二元一次方组 【课前练习】 1．（2024春•沙洋县期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝10的解，则k的值为（　　） A．﹣2 B．0.5 C．2 D．﹣0.5 2．从关于x，y的二元一次方程组中消去t后，得x，y之间的关系式为y＝　 3．（2023秋•温江区期末）已知关于x，y的方程组的解为． （1）求a，b的值； （2）求的值． 【例题讲解及变式训练】 【例1】（2025春•长沙期末）已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若该方程组的解互为相反数，求m的值，并求出方程组的解． （2）若该方程组的解满足，求出满足条件的m的所有正整数值． 【变式1】已知关于x，y的方程组，求x：y． 【变式2】已知x+y﹣7z＝0，x﹣2y+5z＝0，且xyz≠0，求代数式的值． 【例2】（2025春•莱芜区期中）若关于x，y的二元一次方程组与有公共的解．求a2+b2﹣2ab的值． 【变式1】已知方程组与方程组的解相同，则3a+2b＝　 　 ． 【变式2】（2024春•岳阳期中）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，试求的值． 【例3】已知方程组，当a，b满足什么条件时，方程组有一解？无解？无数解？ 【变式】（2025春•西湖区月考）已知关于x，y的方程组有正整数解，则整数a的值为　 　 ． 【课后作业】 1．（2024春•沐川县期末）若则y用含x的代数式表示为（　　） A．y＝2x+7 B．y＝﹣2x+7 C．y＝2x﹣5 D．y＝﹣2x﹣5 2．（2025秋•肃州区期末）已知方程组的解为，则a+4b的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．4 3．（2025春•迁安市月考）方程组的解x，y的值互为相反数，则k的值等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在5x﹣3y＝4中，用含y的式子表示x，结果是 x ． 5．（2025春•同步）已知关于x，y的方程组与有公共解，则m﹣n的值为　 　 ． 6．（2025春•高密市月考）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来，为　 ． 7．（2025春•乾安县期中）已知方程组的解也是x+y＝8的解． （1）求k的值； （2）这个方程组的解为 　 ． 8．已知：方程组与方程y＝kx﹣1有公共解，求k的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8 复习讲义含参二元一次方组 【课前练习】 1．（2024春•沙洋县期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝10的解，则k的值为（　　） A．﹣2 B．0.5 C．2 D．﹣0.5 【答案】C 【分析】先求出方程组的解，把x、y的值代入方程2x+3y＝10，即可求出k． 【解答】解：解方程组得：， 由题意可得：代入得：8k﹣3k＝10， 解得：k＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识点，能得出关于k的方程是解此题的关键． 2．从关于x，y的二元一次方程组中消去t后，得x，y之间的关系式为y＝　7﹣x 【答案】7﹣x． 【分析】将两个方程相加可得x+y+1＝8，移项、合并后即可． 【解答】解：将两个方程相加可得x+y+1＝8， 整理得y＝7﹣x， 故答案为：7﹣x． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单． 3．（2023秋•温江区期末）已知关于x，y的方程组的解为． （1）求a，b的值； （2）求的值． 【答案】（1）a＝2，b＝3； （2）3． 【分析】（1）先把x＝2，y＝1代入方程组得出关于a，b的方程组，再根据解二元一次方程组的方法求出a，b的值即可； （2）根据（1）中求出的a，b的值，然后求出3a+b的值，最后求算术平方根即可． 【解答】解：（1）∵关于x，y的方程组的解为， ∴可得关于a，b的方程组， ①+②，得4a＝8， 解得：a＝2， 把a＝2代入①，得2×2﹣b＝1， 解得：b＝3， ∴a，b的值分别为a＝2，b＝3； （2）由（1）得a＝2，b＝3， ∴3a+b＝3×2+3＝9， ∴． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，算术平方根，熟练掌握解二元一次方程组的方法，二元一次方程组解的定义，算术平方根是解题的关键． 【例题讲解及变式训练】 【例1】（2025春•长沙期末）已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若该方程组的解互为相反数，求m的值，并求出方程组的解． （2）若该方程组的解满足，求出满足条件的m的所有正整数值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①+②得出3x+3y＝﹣3m+6，求出x+y＝﹣m+2，再根据相反数得出﹣m+2＝0，求出m，再求出方程组的解即可； （2）根据x+y＝﹣m+2和x+y得出不等式，再求出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）， ①+②，得3x+3y＝﹣3m+6， 除以3得：x+y＝﹣m+2， ∵该方程组的解互为相反数， ∴x+y＝0， 即﹣m+2＝0， 解得：m＝2， ∵x+2y＝4，x+y＝0， ∴（x+2y）﹣（x+y）＝4﹣0， ∴y＝4， ∴x＝﹣4， 即方程组的解是； （2）由（1）知：x+y＝﹣m+2， ∵， ∴﹣m+2， 解得：m， ∴满足条件的m的所有正整数值为1和2． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，相反数，解一元一次不等式等知识点，能求出x+y＝﹣m+2是解此题的关键． 【变式1】已知关于x，y的方程组，求x：y． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用加减消元法求出x＝3k，y＝2k，再根据比例的性质可得答案． 【解答】解：， ①+②，得：2x＝6k，解得x＝3k， ②﹣①，得：4y＝8k，解得y＝2k， 则x：y＝3k：2k＝3：2． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和比例的性质，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程组． 【变式2】已知x+y﹣7z＝0，x﹣2y+5z＝0，且xyz≠0，求代数式的值． 【答案】1． 【分析】由已知条件求得x，y与z的数量关系，然后代入分式中计算即可． 【解答】解：由已知条件可得， 解得：， 则 ＝1． 【点睛】本题考查解三元一次方程组及求分式的值，结合已知条件求得x，y与z的数量关系是解题的关键． 【例2】（2025春•莱芜区期中）若关于x，y的二元一次方程组与有公共的解．求a2+b2﹣2ab的值． 【答案】4． 【分析】根据方程有公共解，得到的解，即为方程组与的公共解，进行求解即可，将方程组的解方程组中，求出a，b的值，将代数式转化为（a﹣b）2，再代值计算即可． 【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组与有公共的解， ∴的解即为两个方程组的公共解， 解得：， ∴， 解得：， ∴a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＝（1+1）2＝4． 【点睛】本题考查根据方程组的解的情况，求参数的值，以及代数式求值．熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键． 【变式1】已知方程组与方程组的解相同，则3a+2b＝　﹣3　 ． 【答案】﹣3 【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出解得到x与y的值，代入剩下的方程求出a与b的值，即可确定出3a+2b的值． 【解答】解：联立得：， ①+②得：5x＝10，即x＝2， 把x＝2代入①得：y＝﹣2， 代入得：， 解得：， 则3a+2b＝3﹣6＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 【变式2】（2024春•岳阳期中）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，试求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】把代入②式可求得b的值，把代入①式可求得a的值，再把a、b的值代入进行计算即可． 【解答】解：把代入②式可得4×2＝b﹣2， 解得：b＝10， 把代入①式可得5a+20＝15， 解得：a＝﹣1； ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的错解问题、求代数式的值，求出a、b的值是解题的关键． 【例3】已知方程组，当a，b满足什么条件时，方程组有一解？无解？无数解？ 【答案】见试题解答内容 【分析】方程组消去x得到关于y的方程， （1）根据方程组有一组解，确定出a与b满足的条件即可； （2）根据方程组有无数组解，确定出a与b满足的条件即可； （3）根据方程组无解，确定出a与b满足的条件即可． 【解答】解：， ①×2﹣②得：（2a﹣6）y＝b+4， （1）有一组解，可得2a﹣6≠0，b+4为任意实数， 则当a≠3，b为任意实数时，方程组有一组解； （2）有无数组解，2a﹣6＝0，b+4＝0， 解得：a＝3，b＝﹣4； 当a＝3，b＝﹣4时，方程组有无数组解； （3）无解，可得2a﹣6＝0，b+4≠0， 解得：a＝3，b≠﹣4． 当a＝3，b≠﹣4时，方程组无解． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解的三种情况满足的条件是解题的关键． 【变式】（2025春•西湖区月考）已知关于x，y的方程组有正整数解，则整数a的值为　﹣1　 ． 【答案】﹣1 【分析】先解方程组，用a表示出x与y，再根据方程组有正整数解，求整数a的值即可． 【解答】解： ①×4﹣②×3得：（4﹣3a）y＝42， ∴y ∵方程组的解为正整数，a为整数， ∴a＝1或﹣1， 当a＝1时，y＝42，代入①可得x＝﹣6，不合题意舍去； 当a＝﹣1时，y＝6，代入①可得x＝6， 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法以及正整数解问题． 【课后作业】 1．（2024春•沐川县期末）若则y用含x的代数式表示为（　　） A．y＝2x+7 B．y＝﹣2x+7 C．y＝2x﹣5 D．y＝﹣2x﹣5 【答案】B 【分析】方程组消去m，用x表示出y即可． 【解答】解：， ①×2+②得：2x+y＝7， 解得：y＝﹣2x+7． 故选：B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及解二元一次方程，解方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 2．（2025秋•肃州区期末）已知方程组的解为，则a+4b的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将代入得到，然后①﹣②求解即可． 【解答】解：根据题意，把代入方程组， 得， ∴①﹣②得，a+4b＝﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 3．（2025春•迁安市月考）方程组的解x，y的值互为相反数，则k的值等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】解方程组得到x和y关于k的值，根据“该方程组的解x，y的值互为相反数”，得到关于k的一元一次方程，解之即可． 【解答】解：解方程组得：， ∵该方程组的解x，y的值互为相反数， ∴1k0 解得：k＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 4．在5x﹣3y＝4中，用含y的式子表示x，结果是 x　 ． 【答案】x． 【分析】根据等式的性质1进行计算，再根据等式的性质2方程两边都除以5即可． 【解答】解：5x﹣3y＝4， 5x＝4+3y， x． 故答案为：x． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 5．（2025春•同步）已知关于x，y的方程组与有公共解，则m﹣n的值为　1　 ． 【答案】1． 【分析】由题意可得，解得x，y的值后代入剩余两个方程中，将其变形后进行加减计算即可． 【解答】解：由题意可得， 解得：， 则6n﹣2m＝6①，6m﹣10n＝﹣2②， ①+②得：4m﹣4n＝4， 则m﹣n＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，结合已知条件求得是解题的关键． 6．（2025春•高密市月考）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来，为　　 ． 【答案】． 【分析】设方程组为，而两个解都是第一个方程的解，将两个解代入到第一个方程中得到关于a、b的一元一次方程组求出a和b，再将代入第二方程得到m的值． 【解答】解：设被滴上墨水的方程组为． 由条件可知两组解都是原方程组中第一个方程ax+by＝2的解， ∴， ∴． ∵方程组的解是， ∴3m+14＝8， m＝﹣2． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的应用，先设方程组，再根据给出条件求出方程组中待定的系数． 7．（2025春•乾安县期中）已知方程组的解也是x+y＝8的解． （1）求k的值； （2）这个方程组的解为 　　 ． 【答案】（1）k＝19 （2）． 【分析】（1）根据加减法求解即可，可以用三种方法求解； （2）将（1）中得到的k＝19代入原方程组中，利用加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）（方法一）， 由①+②得5x+5y＝2k+2，整理得5（x+y）＝2k+2，即， ∵x+y＝8③， ∴， 解得k＝19； （方法二）， 由①﹣②得x﹣y＝﹣2④， 联立③④得， 解得：， 把代入①，得k＝3×3+2×5＝19； （方法三）， 由③×3﹣①×2得5y＝k+6， 解得， 将代入①得：， 解得：， 将，代入②得， 解得k＝19； （2）（方法一）由（1）中方法二可知； （方法二）：当k＝19时，方程组为， 由①×3﹣②×2得5x＝15， 解得x＝3， 将x＝3代入①得y＝5， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，主要是利用加减法恒等变换求解，熟练掌握加减消元法是解决问题的关键． 8．已知：方程组与方程y＝kx﹣1有公共解，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】求出方程组的解，代入已知方程求出k的值即可． 【解答】解：①+②×2得：6x＝36，即x＝6， 把x＝6代入①得：y＝﹣4， 把x＝6，y＝﹣4代入已知方程得：﹣4＝6k﹣1， 解得：k． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 1 学科网（北京）股份有限公司 $