精品解析：江苏南京外国语学校 2025一2026学年下学期期中七年级数学试题

南京外国语学校2025—2026学年度第二学期期中初一年级 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下列由一个正方形和两个相同的等腰直角三角形组成的图形中，轴对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，的顶点O在直线上，把沿着线平移到处．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出原题正确的计算结果是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则的值是（ ） A. 0 B. 4 C. 0或4 D. 2或4 8. 18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”．如记；，已知，则m的值是（ ） A. 20 B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 南京金箔锻造技术已经被列入世界非物质文化遗产名录．一张薄的金箔的厚度为0.000000091，用科学记数法可表示_____． 10. 若，，则_____（此处填写x的指数）． 11. 若是完全平方式，则_____________． 12. 将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则______． 13. 已知展开的结果中不含项，则m的值为_____． 14. 已知，则的值为_____． 15. 若规定，若，，则的值是_____． 16. 已知方程组的解满足，则m的值为_____． 17. 如图，有两个正方形，现将放在的内部得图①，将并列放置后构造新的正方形得图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为______． 18. 将一张正方形纸片折叠，点分别在上，沿着和折叠，其中和是折痕，点和点折叠后的对应点分别是点和点，设锐角，则______．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 用指定的方法解方程组： （1）（用代入消元法）； （2）（用加减消元法）． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右平移）后得到，点的对应点是直线上的格点． （1）画出； （2）若连接、，则这两条线段之间的关系是 ； （3）试在直线l上画出格点P，使得由点、、、四点围成的四边形的面积为9． 23. 若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值； 24. 阅读材料解决问题：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b． （1）用“＞”或“＜”填空：∵（a+1）﹣（a﹣1）　 　0，∴（a+1）　 　（a﹣1）； （2）已知n为自然数，P＝（n+1）（n+4），Q＝（n+2）（n+3），试比P与Q的大小； （3）已知A＝654321×654324，B＝654322×654323，直接写出A与B的大小比较结果． 25. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 26. 旋转是一种美丽且浪漫的变化，下面就请你在作图中感受它的魅力吧． （1）如图1，线段绕点O顺时针旋转一定的角度得到对应线段，则 ； ． （2）如图2，已知圆A和点O，请用直尺与圆规画出圆A绕点O顺时针旋转后的对应圆． （3）通过（1）的作图可知：若点P在上运动，则绕点O顺时针旋转后的则在对应线段上作关联运动（如图3），利用此规律尝试下列作图： ①如图4，已知点C是内部一点，分别在射线上作点P、Q使得为等边三角形，小明已作出等边，请你用直尺和圆规帮助小明在射线上画出符合题意的点Q． ②小明得到你的帮助以后又有了新的思考，如图5，如果点P在射线上，点Q在圆B上，又该怎么作等边呢，请你继续帮助小明画出等边． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京外国语学校2025—2026学年度第二学期期中初一年级 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用同底数幂的除法、幂的乘方、完全平方公式、合并同类项的法则，对各选项逐一判断即可 【详解】解：选项A：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，计算正确. 选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，计算错误. 选项C：根据完全平方公式展开得，，计算错误. 选项D：∵合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变， ∴，计算错误. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： 3. 下列由一个正方形和两个相同的等腰直角三角形组成的图形中，轴对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形和正方形的性质、轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：由于正方形和等腰直角三角形都是轴对称图形， 所以图形①④可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其他的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； ∴轴对称图形的个数是个 故选：B． 4. 如图，的顶点O在直线上，把沿着线平移到处．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平角的定义，平移的性质，先根据平角的定义得，再根据平移的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵沿着线平移得到， ∴． 故选：B． 5. 如图，在中，，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，由旋转的性质可得，，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． 6. 某同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出原题正确的计算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意算出这个多项式，再与相加即可． 【详解】解：由题意可知，这个多项式为， 正确的计算结果是， 故选A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解题关键． 7. 若，，则的值是（ ） A. 0 B. 4 C. 0或4 D. 2或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根的含义先求解，，再分类讨论即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 当，， ∴， ∴， 当，， ∴， ∴， 当，， ∴， ∴， 当，， ∴， ∴， 综上：的值是0或4． 故选C． 【点睛】本题考查的是平方根的含义，求解代数式的值，等式的基本性质的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 8. 18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”．如记；，已知，则m的值是（ ） A. 20 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意可得： ， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 南京金箔锻造技术已经被列入世界非物质文化遗产名录．一张薄的金箔的厚度为0.000000091，用科学记数法可表示_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知：． 10. 若，，则_____（此处填写x的指数）． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方及同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 11. 若是完全平方式，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟知完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方．据此可得，解方程即可求出a的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴，解得， 故答案为：． 12. 将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】作，根据平行线的性质得出，，又，即可求解． 【详解】解：如图所示，作， ， 又， ∴， ， 又， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 13. 已知展开的结果中不含项，则m的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．观察题中乘式，可先将其展开；根据整式的乘法运算法则可将原式化简为；接下来根据展开后的多项式中不含项，则展开后的多项式中项的系数为0，由此即可解答本题． 【详解】解：， ∵展开的结果中不含项， ∴，解得：， 故答案为：2． 14. 已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，再将已知条件整体代入，逐步化简即可求出结果． 【详解】解：， ∴ ． 15. 若规定，若，，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，解二元一次方程组得出，，先计算出，再计算出的值即可． 【详解】解：∵规定，，， ∴， 解得：， ∴， ∴ ． 16. 已知方程组的解满足，则m的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组得到，代入中，求出即可． 【详解】解：， ，得， ∴， 又， ∴， ∴． 17. 如图，有两个正方形，现将放在的内部得图①，将并列放置后构造新的正方形得图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据阴影部分的面积分别求列出关于的方程，进而利用方程求出的值即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由图①得， 即， 由图②得， 即， ∴， 故答案为：． 18. 将一张正方形纸片折叠，点分别在上，沿着和折叠，其中和是折痕，点和点折叠后的对应点分别是点和点，设锐角，则______．（用含的代数式表示） 【答案】或 【解析】 【分析】利用折叠的性质得到对应角相等，结合正方形内角为的性质，通过角度和差关系推导的表达式． 【详解】解：如图，当与不重叠时， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，， 根据题意，由角度和差关系得：， 整理得：， 又∵， 代入得：； 如图，当与重叠时， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，， 根据题意，由角度和差关系得：， 整理得：， 又∵， 代入得：； ∴或． 三、解答题（本大题共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂、乘方、零指数幂，再计算乘法，最后计算加法即可得出结果； （2）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算同底数幂相乘，最后合并同类项即可得出结果； （3）先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可得出结果； （4）先将所求式子变形为，再结合平方差公式与完全平方公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】﹣8x＋13，21 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】原式=4（x2-2x+1）-（4x2-9） =4x2-8x+4-4x2+9 =﹣8x+13， 当x=-1时，原式=8+13=21． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：平方差公式、完全平方公式、单项式乘以多项式、去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 21. 用指定的方法解方程组： （1）（用代入消元法）； （2）（用加减消元法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：由①可得：， 将③代入②可得：， 解得：， 将代入③可得：， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：由可得：， 解得：， 将代入①得， 解得：， ∴方程组的解为． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右平移）后得到，点的对应点是直线上的格点． （1）画出； （2）若连接、，则这两条线段之间的关系是 ； （3）试在直线l上画出格点P，使得由点、、、四点围成的四边形的面积为9． 【答案】（1） 如图所示： ； （2）， （3）如图，点P和点即为所作； 【解析】 【分析】（1）画出A，B，C的对应点、、即可； （2）利用平移的性质即可判断； （3）分两种情形分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，； 【小问3详解】 解：∵，， ∴点、、、四点围成的四边形的面积为9． 23. 若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值； 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． 24. 阅读材料解决问题：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b． （1）用“＞”或“＜”填空：∵（a+1）﹣（a﹣1）　 　0，∴（a+1）　 　（a﹣1）； （2）已知n为自然数，P＝（n+1）（n+4），Q＝（n+2）（n+3），试比P与Q的大小； （3）已知A＝654321×654324，B＝654322×654323，直接写出A与B的大小比较结果． 【答案】（1）＞，＞；（2）P＜Q；（3）A＜B． 【解析】 【分析】（1）根据材料用作差法结合整式的加减计算即可得解； （2）结合已知，运用作差法，再运用整式的加减即可比较大小； （3）设n＝654320，将A，B分别用含n的代数式表示出来，再运用作差法比较即可. 【详解】解：（1）∵(a+1)-(a-1)=a+1﹣a+1=2>0 ∴(a+1)>(a﹣1) 故答案为>，>． （2）∵P＝(n+1)(n+4)，Q＝(n+2)( n+3)， ∴P-Q=(n+1)(n+4)- (n+2)( n+3)＝n2+5n+4﹣n2﹣5n﹣6=-2<0 ∴P<Q． （3）设n＝654320，∴A=(n+1)(n+4)=n2+5n+4 B=(n+2)(n+3)=n2+5n+6， ∵n2+5n+4<n2+5n+6 ∴A<B． 【点睛】本题考查的知识点主要是整式的加减运算，，此类题目是间接的整式加减问题，熟练掌握作差法是解题的关键. 25. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）种草区域的面积和为60平方米． 【解析】 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则，进而得，由（1）的结论得，由此即可得出答案； （4）设，则种花区域的面积（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为（平方米）． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）由（1）的结论得：， 又， ； （3）设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ； （4）设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 26. 旋转是一种美丽且浪漫的变化，下面就请你在作图中感受它的魅力吧． （1）如图1，线段绕点O顺时针旋转一定的角度得到对应线段，则 ； ． （2）如图2，已知圆A和点O，请用直尺与圆规画出圆A绕点O顺时针旋转后的对应圆． （3）通过（1）的作图可知：若点P在上运动，则绕点O顺时针旋转后的则在对应线段上作关联运动（如图3），利用此规律尝试下列作图： ①如图4，已知点C是内部一点，分别在射线上作点P、Q使得为等边三角形，小明已作出等边，请你用直尺和圆规帮助小明在射线上画出符合题意的点Q． ②小明得到你的帮助以后又有了新的思考，如图5，如果点P在射线上，点Q在圆B上，又该怎么作等边呢，请你继续帮助小明画出等边． 【答案】（1） （2） 如图所示即为所求； （3）①如图，点Q即为所求； ②如图，等边三角形，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质直接求解即可； （2）连接，分别以O、A为圆心，长为半径画弧交于点，以为圆心，长为半径画圆即可； （3）根据题意得出对应点的运动轨迹在相应的直线上，①在上任意找一点，连接，分别以点为圆心，为半径画弧交于点，则为等边三角形，连接并双向延长交于点Q即为所求；②在上任意找一点，连接，分别以为圆心，为半径画弧，交于点D；在上任意找一点，连接，分别以为圆心，为半径画弧，交于点；连接交圆B于点，连接，同理作等边三角形即为所求． 【小问1详解】 解：∵线段绕点O顺时针旋转一定的角度得到对应线段， ∴； 【小问2详解】 解：连接，分别以O、A为圆心，长为半径画弧交于点， 则为等边三角形， ∴， 以为圆心，长为半径画圆即可； 【小问3详解】 如图，连接， ∵点P在上运动， ∴点在对应线段上运动； ①在上任意找一点，连接，分别以点为圆心，为半径画弧交于点，则为等边三角形， 连接并双向延长交于点Q即为所求； ②在上任意找一点，连接，分别以为圆心，为半径画弧，交于点D，则为等边三角形； 在上任意找一点，连接，分别以为圆心，为半径画弧，交于点，则为等边三角形； 连接交圆B于点， 连接， 同理作等边三角形即为所求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $