精品解析：湖南永州市2026年中考第一次模拟考试 数学

永州市2026年中考第一次模拟考试 数学 注意事项： 1.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3.本试卷包括试题卷和答题卡．满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 永州历史悠久，文化底蕴深厚，是湖湘文化的重要发源地之一．下列关于永州本土文化的四幅图片中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各个几何体，其主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 国家数据局数据表明，至2026年3月，中国日均“词元”调用量已超过了140万亿，表明中国人工智能发展进入了快速增长阶段．将数据“140万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的外接圆，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 五张形状、大小、材质完全相同的卡片上分别标有实数1，2，3，4，5，置于不透明的盒中，摇匀后，随机抽取1张，则抽到的卡片上标注为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，已知于点C，点D是边的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知甲机器人每天比乙机器人每天少做140个零件，若设甲机器人每天做x个零件，则符合题意的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象经过，，三点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，函数值y随自变量x的增大而增大 C. 当时，x的取值范围是 D. 方程有两个不相等的实数解 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是___________． 12. 因式分解：__________． 13. 若反比例函数的图象过点，则k=_________． 14. 为弘扬传统文化，增强学生劳动意识，某学校在端午节前夕举行了包粽子活动．甲同学包了7个粽子，经称重，每个粽子的质量（单位：）依次为：97，98，99，100，101，103，105，则这组数据的中位数为______． 15. 如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，可得______． 16. 如图，在中，，，点D为的中点，点P为边上的一个动点，当最小时，______． 三、解答题（本大题共8个小题，其中17-20题各8分，21、22题各9分，23题10分，24题12分，共72分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平行四边形中，，点O是的中点，过点O的直线分别交，的延长线于点E，F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 为准备中考体育测试，某校九年级开展跳绳（A）、跑步（B）、排球（C）、立定跳远（D）、实心球（E）五种体育社团活动．为了解学生意向，随机抽取了部分九年级学生进行社团项目意向问卷调查，被抽取的学生每人只能从5种社团活动中选择其中一种，且每个学生都要选．现根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图： 意向项目与人数的条形统计图 意向项目与人数的扇形统计图 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的九年级学生人数为______人，请直接补全条形统计图； （2）在扇形统计图中表示愿意参加“实心球（E）”社团的圆心角的度数为______； （3）若该校九年级人数为1500人，根据本次调查情况，请估计该校九年级有意参加“排球（C）”社团的人数． 21. “湘超”及“”群众足球赛期间，江苏和黄石的企业主动助力永州特色农产品销售．其中甲企业购买了200箱道县脐橙和100袋江永香柚共花费16000元；乙企业购买100箱脐橙和300袋香柚共花费23000元． （1）每箱脐橙和每袋香柚分别需要多少钱？ （2）丙企业准备购买脐橙和香柚共500箱（袋），总费用不超过26000元，最多可购买香柚多少袋？ 22. 永州迴龙塔位于潇水东岸，是一座明代楼阁式砖塔．为了测量塔高，某数学兴趣小组按如下步骤进行实践测量活动，如图： 步骤一：在C处用测角仪测得塔尖点A的仰角为； 步骤二：再向前走到达D处，此时测得塔尖点A的仰角为． 已知C，D，B三点在同一水平直线上，测角仪的高度为，根据测量数据计算迴龙塔的高度．（结果保留整数） （参考数据：，，，，，） 23. 如图，在中，已知是的切线，A为切点，连接并延长与交于C，D两点，B是上一点，弦与交于点E，．连接并延长，交的延长线于点Q． （1）当时，______； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的长． 24. 如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F． ①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长； ②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州市2026年中考第一次模拟考试 数学 注意事项： 1.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3.本试卷包括试题卷和答题卡．满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 永州历史悠久，文化底蕴深厚，是湖湘文化的重要发源地之一．下列关于永州本土文化的四幅图片中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，对各选项进行判断即可． 【详解】解：A. 是轴对称图形，故本选项不符合题意； B. 是轴对称图形，故本选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，故本选项符合题意； D. 是轴对称图形，故本选项不符合题意． 3. 下列各个几何体，其主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项主视图、左视图、俯视图都是圆，三视图相同，故A符合题意； B选项主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，三视图不相同，故B不符合题意； C选项主视图和左视图是长方形，俯视图是圆，三视图不相同，故C不符合题意； D选项主视图和左视图是梯形，俯视图是圆环，三视图不相同，故D不符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，运算结果正确，C正确； 选项D：，D错误． 5. 国家数据局数据表明，至2026年3月，中国日均“词元”调用量已超过了140万亿，表明中国人工智能发展进入了快速增长阶段．将数据“140万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】140万 6. 如图，为的外接圆，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 为的外接圆，， ∴根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，   ． 7. 五张形状、大小、材质完全相同的卡片上分别标有实数1，2，3，4，5，置于不透明的盒中，摇匀后，随机抽取1张，则抽到的卡片上标注为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵五张形状、大小、材质完全相同的卡片随机抽取1张，所有等可能的结果总数为，其中卡片标注为偶数的结果有种，即和， ∴根据概率公式可得抽到标注为偶数的概率为． 8. 如图，在中，已知于点C，点D是边的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵于点C，点D是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 9. 甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知甲机器人每天比乙机器人每天少做140个零件，若设甲机器人每天做x个零件，则符合题意的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 设甲机器人每天做个零件，甲每天比乙少做140个零件， ∴ 乙机器人每天做 个零件. ∵ 时间总工作量日工作量，且二者所用时间相等， ∴ 甲做360个零件的时间为，乙做480个零件的时间为， ∴ 根据时间相等的等量关系，可得方程 ． 10. 如图，二次函数的图象经过，，三点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，函数值y随自变量x的增大而增大 C. 当时，x的取值范围是 D. 方程有两个不相等的实数解 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意求出二次函数的解析式为，然后根据二次函数的图象与性质依次排除选项即可． 【详解】解：由二次函数的图象经过，，三点，可得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为，故A正确； ∴对称轴为直线，开口向上，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，函数值y随自变量x的增大而减小，故B错误； 由图象可知：当时，x的取值范围是或，故C错误； 由可变形为，所以该方程有两个相等的实数根为，故D错误． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0，即可求解． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得， 故答案为：． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 若反比例函数的图象过点，则k=_________． 【答案】-2 【解析】 【详解】试题解析：∵图象经过点（﹣1，2）， ∴k=xy=﹣1×2=﹣2． 考点：待定系数法求反比例函数解析式． 14. 为弘扬传统文化，增强学生劳动意识，某学校在端午节前夕举行了包粽子活动．甲同学包了7个粽子，经称重，每个粽子的质量（单位：）依次为：97，98，99，100，101，103，105，则这组数据的中位数为______． 【答案】100 【解析】 【分析】将数据按照从小到大的顺序排序，当数据个数为奇数时，取最中间的数作为这组数据的中位数． 【详解】解：将7个粽子的质量从小到大排序为：，，，，，，， 本组数据共个，为奇数个，最中间的数为， 故中位数为． 15. 如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，可得______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，利用平行线的性质求出的度数，由作图痕迹可知是的平分线，是线段的垂直平分线，进而求出和的度数，最后利用直角三角形两锐角互余及对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图， 四边形是矩形 由作图痕迹可知，平分，垂直平分线段 ， 16. 如图，在中，，，点D为的中点，点P为边上的一个动点，当最小时，______． 【答案】2 【解析】 【分析】作点A关于的对称点，连接交于点E，连接，，得到，当点D，P，三点共线时，最小，即的值，连接，然后证明出是等边三角形，得到，，然后解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点E，连接，， ∴， ∴， ∴如图，当点D，P，三点共线时，最小，即的值，连接， ∵点A和点关于对称， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵点D为的中点， ∴，， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，其中17-20题各8分，21、22题各9分，23题10分，24题12分，共72分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先计算括号里的减法，再计算乘法，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在平行四边形中，，点O是的中点，过点O的直线分别交，的延长线于点E，F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，由中点的定义得，由对顶角相等得，即可由证明； （2）由勾股定理求出，由中点的定义得，再由勾股定理求出，由（1）中，得，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴在中，， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，， ∴， 由（1）知， ∴． 20. 为准备中考体育测试，某校九年级开展跳绳（A）、跑步（B）、排球（C）、立定跳远（D）、实心球（E）五种体育社团活动．为了解学生意向，随机抽取了部分九年级学生进行社团项目意向问卷调查，被抽取的学生每人只能从5种社团活动中选择其中一种，且每个学生都要选．现根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图： 意向项目与人数的条形统计图 意向项目与人数的扇形统计图 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的九年级学生人数为______人，请直接补全条形统计图； （2）在扇形统计图中表示愿意参加“实心球（E）”社团的圆心角的度数为______； （3）若该校九年级人数为1500人，根据本次调查情况，请估计该校九年级有意参加“排球（C）”社团的人数． 【答案】（1）120， 补全条形统计图如下： （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）将有意参加跑步（B）社团的人数除以其所占百分比即可求出本次抽取的九年级学生人数；先求出有意参加排球（C）的学生人数，再补全条形统计图即可； （2）乘以愿意参加“实心球（E）”社团的学生人数的占比即可； （3）1500乘以本次调查中有意参加“排球（C）”社团的学生人数的占比即可． 【小问1详解】 解：本次被抽取的九年级学生人数为：（人）； 有意参加排球（C）社团的学生人数为：（人）； 图略； 【小问2详解】 解：表示愿意参加“实心球（E）”社团的圆心角的度数为： ； 【小问3详解】 解：（人）， 答：请估计该校九年级有意参加“排球（C）”社团的人数为人． 21. “湘超”及“”群众足球赛期间，江苏和黄石的企业主动助力永州特色农产品销售．其中甲企业购买了200箱道县脐橙和100袋江永香柚共花费16000元；乙企业购买100箱脐橙和300袋香柚共花费23000元． （1）每箱脐橙和每袋香柚分别需要多少钱？ （2）丙企业准备购买脐橙和香柚共500箱（袋），总费用不超过26000元，最多可购买香柚多少袋？ 【答案】（1）每箱脐橙50元，每袋香柚60元 （2）最多可购买香柚100袋 【解析】 【分析】（1）根据两个企业的购买总花费，设出单价未知数后列出二元一次方程组求解即可得到单价； （2）根据总费用不超过26000元的限制，设出香柚购买量后列出一元一次不等式求解，取符合条件的最大整数得到结果． 【小问1详解】 解：设每箱脐橙需要元，每袋香柚需要元， 根据题意得， 化简得， 解得， 答：每箱脐橙50元，每袋香柚60元； 【小问2详解】 解：设可购买香柚袋，则购买脐橙箱， 根据题意得， 解得， 即最多可购买香柚100袋． 22. 永州迴龙塔位于潇水东岸，是一座明代楼阁式砖塔．为了测量塔高，某数学兴趣小组按如下步骤进行实践测量活动，如图： 步骤一：在C处用测角仪测得塔尖点A的仰角为； 步骤二：再向前走到达D处，此时测得塔尖点A的仰角为． 已知C，D，B三点在同一水平直线上，测角仪的高度为，根据测量数据计算迴龙塔的高度．（结果保留整数） （参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】分别解和得到，，再根据，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得，，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：迴龙塔的高度为． 23. 如图，在中，已知是的切线，A为切点，连接并延长与交于C，D两点，B是上一点，弦与交于点E，．连接并延长，交的延长线于点Q． （1）当时，______； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的长． 【答案】（1）60 （2） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据直径对应的圆周角等于得，，即可求解； （2）连接，由得，则结合已知可推出，再根据得，即可得出结论； （3）设交于，连接，，由切线长定理得到垂直平分，则，则，设，则，，根据，解得，再根据是中位线，得到，最后证明，，代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，是的直径， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设交于，连接，， ∵、是的切线， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，，，， ∵是直径， ∴， ∴是中位线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得． 24. 如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F． ①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长； ②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 （3）①； ②当在之间时，；当在右边时，；当在左边时，，证明如下： ∵， ∴， ∴， 同理由可得， 当在、之间时，， ∴； 当在右边时，， ∴； 当在左边时，， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴交于点，利用交点式求解析式即可； （2）∵先求出直线解析式为，当在轴上方时，点在直线上， 即为直线与抛物线的交点，求出直线解析式与抛物线联立解得；当在轴下方时，由，得到，求出直线解析式与抛物线联立解得； （3）①在（2）的条件下，点P在x轴下方时，，由，得到，求出直线解析式为，设，过作轴于，过作轴于，先由，得到，再证明，求出，得到，代入直线解析式解得，最后根据求解即可； ②由得到，由可得，再根据当点与、之间的位置关系分情况讨论，得到的关系，即可得到与的关系． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵与y轴交于点C， ∴， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴直线与对称轴交点坐标为， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴关于对称轴对称， ∴， 当在轴上方时， ∵，， ∴点在直线上， 即为直线与抛物线的交点， 设直线解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 当在轴下方时， ∵， ∴， ∵直线解析式为， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上所述，当时，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，点P在x轴下方时，， ∵， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设， ∵， ∴， ①过作轴于，过作轴于，则， ∵点F恰好与原点O重合， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上任取一点D，直线解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $