2026年中考数学一轮专题复习之二次函数压轴题

二次函数压轴题专项综合提优训练 1.(24-25九年级上·内蒙古通辽月考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+5 与x轴相交于点A和点B(5,0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C,点D与点A关于 y轴对称，E为该抛物线上一点，连接AC,CD,DE,BE B x (1)求该抛物线的解析式， (2)若△BDE的面积与△ACD的面积相等，请直接写出点E的横坐标， (3)当点E在第一象限时，连接CE,设△ECD的面积为S,求S的最大值， 2.(24-25九年级上山东济宁月考)如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴相交于点 A-1,0)、B(4,0),与y轴相交于点C. B (1)求该函数的表达式： (2)点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC,垂足为点Q,连接PC, ①若△BOC∽aCQP,求线段PO的长度 ②求线段PQ的最大值， 3.(25-26九年级上湖南郴州期末)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A4,0),点B(1,3)及原点，直线AB与y轴交于点C· B B D 图1 备用图 (1)求二次函数的表达式； (2)点P是二次函数图象在直线AB上方的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E,与直线AB交 于点D,设点P的横坐标为m ①m为何值时aPAB的面积最大，并求出其最大值； ②是否存在点P,使得△BPD与△AOC相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说 明理由， 4.(2025青海中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A, B两点，点B的坐标为1,0)，点C(2,5)在抛物线上， OB (1)求抛物线的解析式： (2①)求点A的坐标； ②当y<0时，根据图象直接写出x的取值范围； 3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角 形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由， 5,(23-24九年级上·吉林月考)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x 轴交于A-3,0,B1,0)两点，与y轴交点C. 0 备用图 (1)求抛物线与直线AC的解析式； (2)若点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F,交直线AC于点D, 求线段PD的最大值； (3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由， 6.(24-25九年级上海南三亚期末)如图1，已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点， 与y轴交于点C(0,3). F A 0 B D G B x 图1 图2 (1)求该抛物线所对应的函数关系式： (2)已知点M是抛物线的顶点，点E是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），过点E 作ED⊥x轴于点D,交抛物线于点F ①求四边形ABMC的面积； ②求aCEF的边CE上的高的最大值； ③如图2.在2的条件下，在x轴上是否存在点G,使得5G+46的值最小？若存在，请求 出这个最小值；若不存在，请说明理由· 7.(2025广东清远二模)【问题背景】 如图1，已知抛物线经过A-3,0),B4V3,0,C(0,4)三点， y F B D 图1 图2 【知识技能】 (1)求此抛物线的解析式： (2)在平面直角坐标平面内，求点P的坐标，使以P,A,C,B为顶点的四边形是平行 四边形； 【深入探究】 (3)如图2，Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D(4,0),直线D9分别与y轴、直线 AC交于E,F两点，当△CEF为等腰三角形时，直接写出CE的长 8.(2025河北廊坊一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),点B,与y轴 交于点C(O,3),直线1∥BC,且与抛物线交于M,N两点 B A 图1 图2 (1)求抛物线和直线BC的函数表达式： (2)设点M,N的横坐标分别为xM,xw,试判断x,+xv的值是否会改变？若不变，求出该值 若改变，请说明理由； (3)若直线I在直线BC上方运动，交点M在点N的左侧.作直线MC与NB交于点P,如图 2所示，在直线1运动的过程中，试说明：点P的横坐标是一个定值， 9,(2026河北秦皇岛一模)已知二次函数y=ax2+2ax+4的最大值是5，其图象记为抛物 线C. P o C (1)求出C的对称轴及a的值； (2)当0≤x≤t时，函数的最大值是m,最小值是n,若m-n=6,求t的值； (3)如图，将抛物线C,:y=ax2+2ax+4先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 得到抛物线C,· ①直接写出抛物线C,的解析式； 2点P在x轴的负半轴上，过点P作x轴的垂线，与直线：y=-2x-4交于点Q,与抛物线 C,C分别交于点M,N·当PM=QN时，直接写出点P的横坐标 10.(2025湖南永州二模)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交 于点A-1,0),和点B,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是x=2 备用图 (1)求抛物线的解析式； ②将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点，求 P4+0PM的最小值. 10 (3)连接BM,点Q是抛物线上一动点，连接BQ,是否存在点Q,使得∠CBM+∠ABQ=45 ,若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由 11.(2025河南平顶山模拟预测)已知二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)的图象与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C,已知点B的坐标为(1,0)，且AO=C0 B 图1 备用图 (1)求二次函数的解析式： 亿在抛物线上位于第一象限的部分是否存在点卫，使得S一}、，苦存在，请求出点P 坐标，若不存在，说明理由 (③)将线段BC向左平移k(k>0)个单位长度，若线段BC与抛物线有唯一交点，请直接写出k 的取值范围. 12,(Q05河北那邦二模)知图已知相%线？a4,91a0交于点48（点A 在左侧)，顶点为Q,交y轴于点C(0,5),且线y=2x+b交y轴于点E,线段MN在第一象 限，其中点M(2,1),N(23)· P D P W M A B A 备用图 (1)求a的值，并写出点A,B的坐标 (2)本小题需任选一题进行解答 ①若直线y=2x+b平分△A0C的面积，求b的值； ②连接CQ,过点Q作QH⊥y轴于点H,求cos∠QCH的值； (3)若直线y=2x+b与抛物线交于A,D两点，点P为线段AD上方抛物线上任一点（不与 A,D两点重合)，求△PAD面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (4)在(3)的条件下，将抛物线沿直线AE方向向上平移m个单位，使抛物线刚好经过线段 MW的中点K,直接写出m的值. 13.(2025河北邢合三模)如图，点A0,2),B(-1,-1在抛物线L:y=-x2+bx+c(b,c为 常数)上.抛物线L与x轴的交点为点C,点D(点C在点D的左侧)，M(1-1,m)在抛物 线L上，已知点N(t,0),其中t<0 (1)求抛物线L的函数表达式及顶点坐标； (2)当m=0时，求点N的坐标 (3)当抛物线在点C和点M之间的部分（包括端点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2-1时 求t的值； (4)当点M在x轴上方时，过点M作MQ⊥y轴于点9，连接ON、MO.若四边形NOMQ的 边和抛物线有两个交点（不包括四边形WOMQ的顶点），设这两个交点分别为点E、点F, 线段M0的中点为P,当以点Q,E,O,P(或以点QF,O,P)为顶点的四边形的面积 是四边形NOMQ面积的一半时，直接写出所有满足条件的t的值· 14.(2025湖北武汉：中考真题)抛物线y=x2-3与直线y=x交于4B两点(A在B的左 4 边) (1) (2) (1)求A,B两点的坐标. (2)如图1，若P是直线AB下方抛物线上的点.过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，过 点P作y轴的平行线交线段AB于点N,满足PM=PN，,求点P的横坐标. (3)如图2，经过原点0的直线CD交抛物线于C,D两点（点C在第二象限），连接AC,BD分 别交x轴于E,F两点.若S&DOF= 5。co,求直线CD的解析式。 4 15.(2025湖南长沙一模)如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A1,0),点B(4,0), 与y轴交于点C(0,4).过点A作AD∥BC交抛物线于点D,P是AD下方抛物线上的点， 过点P与x轴垂直的直线分别交BC,AD于点E,F,EG⊥AD于点G D (1)求该抛物线的解析式； (2)求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标； (3)当△PEG的面积最大时，在抛物线上是否存在点Q,使得∠PMB=2LPCB,其中M为 直线PQ与直线BC的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 16.(2025湖南长沙模拟预测)如图1，抛物线y=x2+bx与x轴交于点A,与直线OB交 于点B(6,6),过点A作直线OB的平行线，交抛物线于点C. B G 图1 图2 (1)求抛物线y=x2+bx的表达式： (2)点D为直线AC下方抛物线上一点，过点D作DE1x轴交直线OB于点E,过点E作 EF⊥AC于点F,连接DF·求aDEF面积的最大值，及此时点D的坐标， (3)如图2，在(2)问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过(2)问条件下的点D时， 新抛物线与x轴交于点M,N(M在N左侧)，与y轴交于点G,点P为新抛物线上的一点， 连接DP,并延长DP交直线GN于点H,使得LDHN=2LDGN,写出所有符合条件的点H 的坐标，并写出求解点H的坐标的其中一种情况的过程. 17.(2025青海西宁.中考真题)如图，在平面直角坐标系x0y中，以P为顶点的抛物线的 解析式为y=ax2-4ax(a<0),点A的坐标是(-l,0),以原点为中心，把点A顺时针旋转 90°，得到点 (1)直接写出A点的坐标和抛物线的对称轴： (2)当3≤x≤5时，y有最大值为1-2a,求抛物线的解析式： (③)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A,P,M,N为 顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说 明理由 18.(2024河北石家庄·二模)如图，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于点A(-1,0)和点B, 与y轴交于点C,抛物线的顶点为点P,对称轴与x轴交于点Q A (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴及点C关于对称轴的对称点C的坐标； (2)点M是线段AC'上的一个点，过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N· ①若点M在对称轴上，判断此时点M是否为线段PO的中点，说明理由； ②当MN最大时，求点M的坐标； (3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位得到线段EF,若抛物线 y=a-x2+bx+3(a≠0)与线段EF只有一个交点，请直接写出a的取值范围 1 19.(25-26九年级全国一轮复习)如图，抛物线y=二x2+bx+c与x轴交于A,B两点， 2 与y轴交于点C,直线BC的解析式为y=x-6,点P是x轴上的一个动点，过点P作直线 PE⊥x轴交直线BC于点E,交抛物线于点F, B 备用图① 备用图② (1)求抛物线的解析式： (2)若点P在线段OB上运动（且不与点O重合），当AE=2V10时，请你猜想∠AEP与 ∠AC0的数量关系，并说明理由； (3)是否存在点P,使得△CEF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说 明理由， 20.(25-26九年级上湖南株洲期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c关 于直线x=-3对称，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C, VA C B x=-3 x=-3 (1)若点A的坐标为-1,0)，求抛物线的解析式： (2)若此抛物线经过点-1，m,(1,n,求证：mn≥-36； (③)在(1)的条件下，点P为抛物线对称轴上一点，连接BP,将线段BP绕点P逆时针旋转 90°，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标， 答案 1.(1)y=-x2+4x+5; (2②4±V26或4±v46 2 时 【分析】(1)利用待定系数法，把点B的坐标代入解析式中，求得b的值，即可求解； (2)由抛物线解析式可求得点A、C的坐标，则可求得点D的坐标，从而可求得aACD的面 积；由题意求得△BDE的边BD上的高，由点E在抛物线上，可求得点E的横坐标； (3)设点E的坐标为m,-m2+4m+5,由待定系数法求得直线CE的解析式为 y=(-m+4)x+5;过点D作DFIy轴，交CE于点F.则可得点F的坐标，从而求得DF; 则可得S关于m的二次函数关系式，由二次函数的性质即可求得S的最大值· 【详解】(1)解：将点B(5,0的坐标代入抛物线y=-x2+bx+5, 可得：-25+5b+5=0, 解得：b=4, :抛物线的解析式为y=-x2+4x+5; (2）解：y=-x2+4x+5, :当y=0时，可得：-x2+4x+5=0, 解得：x1=-1,x2=5, :点A的坐标为(-1,0)， 当x=0时，可得：y=5, ·点C的坐标为(0,5， 0C=5, :点D与点A关于y轴对称， :点D的坐标为1,0)， AD=2, 1 S4cm=7AD0C=)×2x5=5, 2 2 .S.o-7BDh=5. 其中h为aBDE的边BD上的高，BD=5-1=4, h 2 ·点E的纵坐标为 5 .-x2+4x+5= 或-r+4r+5= 5 2 4±26或x-4±y46 ∴x= 2 :点E的横坐标为4±26或4±46； 2 2 (3)由2)知D1,0),C(0,5): 设点E的坐标为m,-m2+4m+5, B 设直线CE的解析式为y=r+t, 将C(0,5),E(m,-m2+4m+5代入解析式y=x+t中， t=5 可得 mk+t=-m2+4m+5 [k=-m+4 解得 t=5 .y=(-m+4)x+5. 如上图所示，过点D作DFIy轴，交CE于点F· 当x=1时，y=(-m+4+5=-m+9 :点F的坐标为1，-m+9), :.DF =9-m, 5=0F9-mm=-m-g+8 2m-2+8 肖m=号时，S的值最大，且最大值为8 放©的最大值为 1 3 2.(1)y=-5x2+三x+2 2 2 20P0=35；②最大值为45 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定以及性质等知识，掌握二次 函数的图像和性质是解题的关键 (1)把点A-1,0)、B(4,0)代入y=ax2+bx+2组成二元一次方程组求解即可得出a,b的值， 进而可求出该函数的表达式。 OC BC (2）①由相似三角形的性质得出∠CB0=∠Pc0.P0CP· 进而可得出PC∥x,进而可 得出点C和点P关于对称轴直线x=3对称，求出C(0,2),再求出0C,CP,BC,即可得 2 出线段PQ的长度 ②过P点作PN∥y轴，交BC于M点，交x轴于N点，求出直线BC的解析式，设 Pe++2.则M+2.进而可得台PM=+2,再证明P0MB0C 2 ，由相似三角形的性质可得出=PM,即可得出P0=-5( -22+45 再利用二次 OB BC 5 函数的性质求解即可， 【详解】(1)解：点A-1,0)、B(4,0)在y=ax2+br+2的图象上， a-b+2=0 16a+4b+2=0 1 a=- 解得 2 3 b= 2 ∴.二次函数的解析式为y= -1x2+3x+2 2 (2)解：①：'△BOC∽aCQP OC BC .∠CBO=∠PCQ, PO CP ∴PC∥OB,即PC∥x轴 “点℃和点P关于对称轴直线x=对称， 当x=0时，y2×0+ 3 2 ×0+2=2, .C(0,2 .CP=3,0C=2 又B4,0, .BC=√42+22=2V5, 2、2v5 PO 3 Pg=35 5 ②解：过P点作PN∥y轴，交BC于M点，交x轴于N点，如图所示 B 由①知，C(0,2),BC=25 设直线BC的解析式为y=mx+n, 把C(0,2,B(4,0代入y=mx+n, [n=2 得 4m+n=0' 1 m=- 解得 2 (n=2 直线BC的解析式为y= 2x+2, 设u产++2.奥M+2》. 1 .PM=- + 2 1+2-(21+2)=二52+2 又PN/y轴 ,∴.∠PMQ=∠OCB 又.'∠PQM=∠COB=90 ∴.△PQM∽aBOC, ..Po_PM OB BC 即PQ=4PM 25' 、一、—2—之 5 5 当1=2时，线段P的值最大，最大值为45 3.(1)y=-x2+4x ②@当m时，Sw的值最大.最大值为受：②(3)或2 8 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，相似三角 形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键 (1)利用待定系数法即可求解： (2)①先求出直线AB的表达式为y=-x+4,由题知P(m,-m2+4m),则D(m,-m+4), 则PD=yp-yp=-m2+5m-4,所以SPB=- 3(52 m- 22 27,最后通过二次函数的性质即 可求解； ②要使△BPD与AAOC相似，只有保证△BPD是直角三角形即可，然后分)当△BPD∽△AOC 时，过)当△PBD∽△AOC时，两种情况求解即可， c=0 【详解】(1)解：把0(0,0)，A4,0),B(1,3)代入y=ax2+bx+c,得16a+4b+c=0 a+b+c=3 a=-1 解得 b=4 c=0 ∴二次函数的解析式为y=-x2+4x; (2)解：①点P是二次函数图像在直线AB上方的点， .1<m<4, 设直线AB解析式为y=kx+b, 4k +b=0 把A(4,0),B1,3代入得， k+b=3 k=-1 解得 b=4' 直线AB的表达式为：y=-x+4, 由题知Pm,-m2+4m),则Dm,-m+4), .PD=yp-yp =-m2+5m-4, …、3 <0, 2 当m-时，S46的值最大，最大值为？ 2 ②存在，理由如下 PE⊥x轴，即PE∥y轴 ∴.∠BDP=∠ACO, △AOC是直角三角形， ∴.要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形即可， i)当△BPD∽△AOC时，如图， B .∠BPD=∠A0C=90°， 此时BP∥x轴，B、P关于抛物线的对称轴x=2对称， .P(3,3 过当APBD△AOC时，如图， VA D C B D ∴.∠PBD=∠A0C=90°， 0C=0A=4, .∠BDP=∠ADE=∠0AC=45°， ∴△BDP为等腰直角三角形， ·PD=√2BD 由①知PD=-m2+5m-4, B(1,3,D(m,-m+4, BD=Vm-12+(-m+4-3)2=2(m-1) ∴.-m2+5m-4=2(m-1, 解得m,=2,m2=1(舍去)， .P2,4 综上，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为3,3)或2,4)： 4.(1)y=x2+2x-3 (2X①A-3,0),②-3<x<1 3)存在，P(0,7),P(0,-3 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二 次函数解析式，勾股定理等· (1)将A1,0、C(2,5)代入y=ax2+bx-3(a≠0)得方程组，解方程组即可； (2)①冷y=0,则x2+2x-3=0,解方程即可求出点A的坐标； ②根据图象可知，当y<0时，即抛物线在x轴下方的部分，根据A,B两点的坐标即可得出 结论， (3)设点P的坐标为(0，a,先由两点间的距离公式得AC2=50,AP2=9+a2, CP2=a2-10a+29,再分两种情况讨论：当AP为斜边时，则AP2=AC2+Cp2; 当CP为斜边时，则CP2=AC2+AP2；分别解方程即可. 【详解】(1)解：将A1,0)、C(2,5)代入y=ax2+bx-3(a≠0)得， a+b-3=0 4a+2b-3=5' a=1 解得b=2 .抛物线的解析式为y=x2+2x-3; (2)解：①令y=0,则x2+2x-3=0, 解得x=-3或x=1, 点A的坐标为(-3,0)： ②根据图象可知，当y<0时，x的取值范围为-3<x<1, 故答案为：-3<x<1; (3)解：设点P的坐标为(0，a, A-3,0),C(2,5), .AC2=(2+32+5-0)2=50,Ap2=(0+3)2+(a-02=9+a2, Cp2=(0-22+(a-5)2=a2-10a+29 :△ACP是以AC为直角边的直角三角形 分以下两种情况讨论： 当AP为斜边时，则AP2=AC2+CP2, .9+a2=50+a2-10a+29, 解得a=7, .P(0,7）i 当CP为斜边时，则CP2=AC+AP2, .a2-10a+29=50+9+a2, 解得a=-3, .P2(0,-3). 综上所述，存在符合条件的P点，P(0,7),P,(0,-3) 2 5.(1)y=- 2、4 +2;y=三x+2; 3 3 3 3 3)0(-5,0),2(-1,0),0(2+V7,0）,Q(2-V7,0 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象及性质、平行四边形的性质 托知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键 (1)利用待定系数法即可求得抛物线与直线的函数解析式即可； 2 (2)设点Pm, 3m2、4 -m+2 ,2 则Dm,二m+2 1 再得出 3 4 2 PD=- m2 m+2 m+2 然后利用二次函数的性质求最值即可； 3 3 (3)分CM平行于x轴和CM不平行于x轴两种情况，分别根据平行四边形的判定定理求 解即可 【详解】(1)解：：二次函数y=ar2+bx+2的图象与x轴交于A-3,0),B(1,0)两点， 2 9a-3b+2=0 a=- 解得： 3 a+b+2=0 4 b=- 3 这个二次函数的解析式为y=-2x- x+2; 31 3 ·二次函数y=-2x2-4 +2与y轴交于点C, 33 点C的坐标为(0,2 设直线AC的解析式为y=c+2, 直线AC经过点A-3,0) 六0=-3张+2，解得：k= 3 直线AC的解析式为y=三x+2: 3 (2)解：由(1)得y= x+2 3 设点号-+奥n号+ PD=-2m2-4 3 m+- 3 3 2 ∴当m=时，PD最大，最大值是 (3)解：存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形 假设存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形 ①若CM平行于x轴，如图所示，有符合要求的两个点g,9,此时Q,A=Q,A=CM. A CM∥x轴， ∴点M、点C(0,2)关于对称轴x=-1对称， .M(-2,2, CM=2, 由2，A=QA=CM=2,得到Q-5,0),Q2-1,0) ②若CM不平行于x轴，如图：过点M作GM⊥x轴于G, BG .∠MGQ=∠COA=90°，AC=MQ,∠CAO=∠GQM, ∴.△MGQ≌△COA, ..OG=0A=3,MG=OC=2,,y=-2, 设M(x,-2,则有-2=-2x-4x+2.解得：x=-1t万 3 3 又0G=3, .xg=x6+3=2士√7， ∴0(2+V7,0),0(2-V7,0 综上所述，存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形·Q点坐标为： 0,(-5,0),0(-1,0),02+7,0,0(2-7,0 6.(1)y=-x2+2x+3 2X09;29V2 35+35 8 4 【分析】(1)根据抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，设函数解析式为 y=a(x+1)(x-3),再将点C(0,3代入求解即可. (2)①先求出抛物线的顶点M坐标为L,4),再根据四边形ABMC的面积 =S.4oc+S.woc+S.Bow计算即可； ②求出直线BC的解析式为：y=-x+3,求出∠BED=45°，设△CEF的边CE上的高为FH ,设点E为t,-1+3,则F(t,-+21+3,在Rt△FHE中， FH=EF·sin∠FEH= 92 即可求出答案； ③以点A为顶点作LGAM=30°，过点G作GM⊥AM于点M,得到E、G、M三点共线时， G+)4G有最小值，即为EM的长，此时点G在点G的位置，利用解直角三角形求出答案 即可 【详解】(1)抛物线与x轴交于A(-1,0),B3,0)两点， .设该抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x-3)· 过点C(0,3), ∴.a(0+1)(0-3)=3, 解得a=-1, ∴.该抛物线的解析式为：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3· (2）y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴.抛物线的顶点M坐标为1,4) E D B 图1 ∴，四边形ABMC的面积=S。4Oc+S.Moc+S.BOM; 即四边形ABMC的面积=x1×3+x3x1+x3x4=9 1 2 2 ②设直线BC的解析式为：y=c+b, 把点C(0,3),B3,0)代入，得 b=3 k=-1 3认+b=0:解得 b=3 ∴直线BC的解析式为：y=-x+3. 0B=0C=3,∠C0B=90°， ∴∠0CB=∠0BC=45°， DF⊥x, ∠BDE=90°， ∴.LBED=LCEF=90°-∠0BC=45°， 设△CEF的边CE上的高为FH,如图， 设点E为t,-1+3),则F(1,-2+2t+3 则EF=（-2+2t+3-(-1+3)=-2+31, 车m中，H-Fm∠E-+刘-- 0<3<3, 2 小当：时，下H有最大值，最大值为巨 8 ③以点A为顶点作LGAM=30°，过点G作GM⊥AM于点M, E G M .GM=。AG, EG+)AG=EG+GM≥EM,即E、G、M三点共线时，EG+)4G有最小值，即为EM的 长，此时点G在点G的位置， 如图： O G A DGB衣 M、 图2 233 由可知，当1=3时，-1+3=- ∴.FH有最大值时，点E的坐标为 则ED=3 在RtaEDG'中，∠EG'D=∠AG'M'=60°， 3 六EG=， ED .2=5DG=, ED 2 sin∠EG'Dsin60° tan∠EG'Dtan60°2 ∴.AG=AD-DG= 55 EM=EG+GM'=V5+55_5+35 44 4 即EG+)4G的最小值为5+3W⑤ 7. )y=-5+4- -x+ 9 x+4 3 (2)-45-3,4,(45+3,4,(4v5-3,-4: 6 3 【分析】(1)先设出抛物线的解析式，利用待定系数法，将三点坐标代入求出抛物线的解析 式 (2)先利用平行四边形的性质，得出PC∥AB,PC=AB,PC∥AB,PC=AB PB∥AC,PC=AC,再利用点的位置关系与对称性分别求出三个点的坐标 (3)分CE=CF,CE=EF,CF=EF三种情形，分别求解，求出CE的长. 【详解】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,(a,b,c为常数，a≠0)， 拋物线经过A-3,0),B4V3,0,C(0,4), a=-3 9a-3b+c=0 9 (4a+43b+c=0,解得{b= 4-V3 3 c=4 c=4 ∴抛物线的解析式为y=-5x+4- -x+4 9 3 (2)如图，有三种情况 P A-3,0),B45,0,C(0,4),以P,A,C,B为顶点的四边形是平行四边形， PC∥AB,PC=AB,P,C∥AB,PC=AB,PB∥AC,PC=AC,AB=45+3, 点P在C点的左边距离为AB处，坐标为-4V3-3,4, 点B在C点的右边距离为AB处，坐标为45+3,4)， 点乃与B的连线的中点是B点，坐标为(45-3，-4) 3)分类讨论：①当CE=CF,点F在点C的左侧时，过点F作FG⊥CE于点G, 则FG∥A0, :△CFG∽△CA0,△FGEn△DOE, FG:CG:CF-0A:OC:AC.OD-OE FG EG G :0A=3,0C=4, E .AC=V0A2+0C2=5, .FG:CG CF=0A:OC:AC=3:4:5, 设FG=3m,则CG=4m,FC=5m, .CE CF =5m, .GE=m,0E=0C-CE=4-5m, 点D(4,0), .∴.D0=4, 0,解得：m=0合去)或m 44-5m 15 8 .CE=5m=9 3 当CE=CF,点F在点C右侧时，如图，过点F作FG⊥y轴于点G, B 则FG∥x轴， △CFG∽△CA0,△FGE∽△DOE, :FG:CG:CF-0A:OC:AC.OD-OE FG EG 0A=3,0C=4, AC=0A2+0C2=5. .FG:CG:CF=0A:0C:AC=3:4:5, 设FG=3m,则CG=4m,FC=5m, .CE CF =5m, GE=9m,0E=CE-0C=5m-4, 3m=9m :45m-4解得：m=0(舍去)或m=16 ②如图，当CE=EF时，过点A作AG∥EF交y轴于点G,则AG=CG, 设0G=m,则AG=CG=4-m, .042+0G2=AG2, 3+m2=(4-m2,解得：m=7 -8 G0g, 设直线AG的关系式为y=x+b, [-3k+b=0 7 则{ ,解得：k= 241 8 ·直线AG的关系式为y=7x 7 24 8 1 设直线DF的关系式为y 24+b, ×4+6=0,解得：6=-7 24 6 7 :直线DF的关系式为y 24x+b 7 E(0,- 6 731 .∴.CE=4+- 66 ③如图，当CF=EF时，过点C作CG∥DE交x轴于点G,则 ∠GC0=∠OED=∠ECF=∠AC0, :∠A0C=∠C0G,C0=C0, GD .△A0C≌△G0C, .0G=0A=3, G(3,0), 设直线CG的关系式为y=mx+n, m=4 4 解得： 1m= 则 3m+n=0 n=4 :直线CG的关系式为y= 4 x+4, 3 4 设直线DE的关系式为y=专x+, D(4,0), 0=-×4+m',解得：m=16 4 3 :直线DE的关系式为y=-4x+16 x+ 3 6 E0,3 CE=16-4=4 3 3 综上所述，CE的长为或31或号或16 31 6 3 8.(1)y=-x2+2x+3,y=-x+3 (2)不变，xM+xw=3 (3)证明见解析 【分析】(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出B点坐标，待定系数法求出 直线BC的解析式： (2)根据两直线平行k值相等，设出MN的解析式，联立直线MW和抛物线的解析式，得 到一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出结果； (3)设出MC,NB的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点M,N的横坐标，进而得到 两条直线的k值的数量关系，联立两条直线的解析式求出P点的横坐标，即可得出结果 【详解】(1)解：抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),点C(0,3), c=3 -1-b+c=0 [b=2 解得 c=3 .抛物线为y=-x2+2x+3: 当y=0时，则：-x2+2x+3=0, 解得：x1=-1,x2=3, .B(3,0), 设直线BC的解析式为y=x+3,把B(3,0)代入，得k=-1, y=-x+3; (2)解：不会改变：理由如下： 直线1∥BC, 设直线1的解析式为：y=-x+b, 直线1与抛物线交于M,N两点， .令-x2+2x+3=-x+b, 整理，得：x2-3x-3+b=0, 则：xM,xw是方程x2-3x-3+b=0的两个实数根， .xM+xw=3,为定值； (3)解：设直线CM的解析式为：y=mx+3, y=mx+3 联立 0=2+2x+3则：2+(m-2x=0. 解得：x=0,x2=2-m, .XM=2-m, 设直线BN的解析式为：y=nx+1,把B(3,0)代入，得：3n+t=0, .t=-3n, ∴.y=nx-3n 联立 y=nx-3n =-2+2x+3则：-x2+2x+3=m-3n, 解得：x=3,x2=-n-1, .xw=-n-1, 由(2)得：xw+xw=3, .∴.2-m-n-1=3, ∴.m=-2-n, .直线CM的解析式为：y=(-2-n)x+3, 联立 y=(-2-nx+3 ,则：(-2-nx+3=nx-3n, y=nx-3n BC,BN不重合， .n≠-l, 鸭 子即：点P的横华标是一个定值 9,(1)对称轴为直线x=-1,a=-1 (2)t=-1+V7 3)0y=-x2+2x+2:②1或1-☑ 31 2 【分析1（①）由抛物线的对称轴为直线x=-力计算即可，再根据当x=-1时，y=5,列式 2a 即可得出b的值 (2)先得到当x=0和口x=t对应的y的值，再得到二次函数图象在0≤x≤1时的增减性， 即可得到m、的值，最后根据m-n=6列式计算即可； (3)①先将抛物线C的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减， 上加下减”，得到平移后的抛物线C的解析式；②设点P(m,0)(m<0),即可得到点Q,M ,N的坐标，进而可表示出PM,QN的长，最后根据PM=QN列式计算即可， 【详解】(1)解：抛物线的对称轴为直线x=-20-1, 2a 当x=-1时，y=a-2a+4=5, 解得a=-1 (2)解：由(1)知，抛物线的表达式为：y=-x2-2x+4, 当x=0时，y=4, 当x=1时，y=-f2-2t+4, :对称轴为直线x=-1,抛物线开口向下， :当0≤x≤t时，y随x的增大而减小 “当0≤x≤t时，函数的最大值是m,最小值是n, :当x=0时，y取最大值m,当x=t时，y取最小值n, 即4=m,-t2-2t+4=n, :m-1=6, 4-（-2-2t+4=6, 解得=-1+万，5，=-1-√万（负值舍去）， t=-1+√7； (3)解：①y=-x2-2x+4=-(x+12+5 则C2:y=-(x+1-2)2+5-2=-(x-1)2+3=-x2+2x+2, ②设点P(m,0)(m<0),则点2(m,-2m-4),Mm,-m2-2m+4),N(m,-m2+2m+2), PM=m2-2m+4-0=m2+2m-4. QN=-2m-4+m2-2m-2=m2-4m-6. 当PM=0N时，即m2+2m-4=m2-4m-6, 解得m减m上或1+ 2 1(不合题意，舍去)， 2 上当W0时点P的横坐标为减上 2 10.(1)y=x2-3x-4 (2,3vi0 2 3)存在， 416 点39 。214 或0-59)使得∠CBM+∠AB0=45 【分析)确定抛物线的对称轴是直线x-》再利用待定系数法进行解答即可： 2连接BM,过A作AH L BM于H,交拋物线对称轴直线x)于P,由垂线段最短可 知，当P与P重合时，PA+PM最小，最小值为AH的长度，进一步解答即可； 10 (3)画出图形，分两种情况进行解答即可· 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1,0),B两点，交y轴于点C, 抛物线的对称轴是直线x=2 3 [（-1)2-b+c=0 1b 3 22 b=-3 解得 lc=-4 :抛物线的表达式为y=x2-3x-4 3于P (2)连接BM,过A作AH⊥BM于H,交抛物线对称轴直线x= 设直线x=交辅于N,如图 ￥M 在y=x2-3x-4中，令y=0得x2-3x-4=0. 解得x=-1或x=4, B(4,0), BN=43=5 22 :将抛物线的顶点 325 2-4 向下平移个单位长度得到点M, 4 [3》w只 .BM =BN2+MN2 5v10 2 5 .sin∠BMW= BN 2 V10 BM 510 10· 2 P'H 10 'P'M10 ·PH= 10 P'M, PA+PM=PA+PH-AH 10 由垂线段最短可知，当P与P重合时，PA+PM最小，最小值为H的长度 10 :2 SABM=AB·MN=BM·AH, .AH=AB.MN 5x 15 2 310 BM 510 2· 2 PA+0PM的最小值为3 10 2 (3)过B点作BQ⊥BM交对称轴于点D,交抛物线于点Q, D A B .∠MBQ=90° -1O NE 在Rt△0BC中，0B=0C=4, L0BC=0CB=45°， .∠CBM+∠ABQ=∠QBM-∠OBC=45° 在Rt△DBM中，BN⊥DM, ∠BDN+∠DBN=∠BDN+∠BMN=90°， .∠DBN=∠BMN, :∠BND=∠MNB=90°， .∴.△BNDAMNB, ..BN_DN MN BN .BN2 =DN.MN, 国2可知BN=2灯 v-名则8}) 2'6 设BD表达式为y=kx+b 6 4k+b=0 传、1 解得{ 3 4 14 :直线BD的表达式为：y=- 3 J=_ 14 3 y=x2-3x-4 4 x=- x=4 解得 或 3 y=0 16 y= :点Q的坐标为 416 3'9 作D点关于的对称点[名)》】 同理可求得直线BE的表达式为：y 14 34- 联立扣物线表达式可术得Q号一号》】 综上所达，存在点@(9}或e号 使得∠CBM+∠ABQ=45°. 11.(1)y=x2+2x-3 (2)存在，（2,5) (3)2≤k≤4 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，平移的性质，掌握二次函数的图像和性质是解 题的关键 (1)用待定系数法求二次函数解析式即可. 5 (2)根据已知条件可得出，-0C=5,将，=5代入y=r+2x-3,解出x,再结合点P 在第一象限，即可得出答案. (3)根据题意可知线段BC的平移轨迹为平行四边形，数形结合即可得出答案 【详解】(1)解：将x=0代入y=ax2+br-3(a≠0)，得y=-3. ∴点C的坐标为0，-3). 0A=0C, .点A的坐标为-3,0). 已知点B的坐标为1,0)，设函数解析式为y=ax+3(x-1)· 将点C(0,-3)代入，得a=1· ∴.二次函数的解析式为y=x+3)(x-1=x2+2x-3 (2)解：：ABC与△ABP等底，且S4BP= &m30c=5 将yp=5代入y=x2+2x-3, 得关于x的方程x2+2x-8=0, 解得x=-4(舍)，x2=2· ∴点P的坐标为(2,5)· (3)解：根据题意可知线段BC的平移轨迹为平行四边形 数形结合可得若线段BC与抛物线有唯一交点时，k的取值范围为2≤k≤4· 5 12.(a)a=-34-3.0,B(10) 20b=V5;②534 34 3)△P4D面积最大值为343 此时点P 891 75 5'15 4m=v5或31v5 5 【分析)】题目主要考查二次函数综合问题，包括面积问题，平移，相似三角形的判定和性质， 理解题意，作出铺助线，构造相似三角形是解题关键 (1)根据待定系数法代入确定函数解析式，然后求与坐标轴的交点即可； ②0连接4C.根据题意得出Sr片设直线y=2x+b交结于点G,设 G(,0)(n<0),代入y=2x+b,得出b=-2n,再由题意得出方程求解即可；②将解析式化 20 为顶点式得出Q -1, 确定QH=1,0H=20 再由勾股定理及余弦函数求解即可： 3 (3)利用待定系数法确定直线的解析式为y=2x+6,联立两个函数确定点A-3,0),点 过点P作PR∥y轴交AE于点R,根据三角形面积SpD-?PR,设 3 ,R(x,2x+6),得出相应函数关系式即可求解； (4)设平移后点Q,D对应的点为Q,D',连接QQ,DD',过点D作x轴的平行线DF, 过点D作y轴的平行线交DF于点F,利用相似三角形的判定和性质及平移的性质求解即可 [详解割)解：超物线y=ax++a≠0交y轴于点c05)。 20 .5=a+ 3 5 .a=- 3 3x+1)2+20 =0, x1=-3,x2=1, .A(-3,0,B(1,0): (2)①如解图①，连接AC, :A-3,0),C(0,5), 15 .S.40c=2' 如解图①，设直线y=2x+b交x轴于点G, 设Gn,0)(n<0),代入y=2x+b得， b=-2n, E0,-2n, :直线y=2x+b平分△AOC的面积， S.cOE=G0.OE=15 2 4 n2=15 41 ∴.n1=- 2’h 2 5(舍去)， b=-2n=5; 2如解图2， 由(1)可知，抛物线的解析式为y=- + e-9） ÷0H=,0H=20 ..CHI=OH-OC= 3 在R△CQH中，cQ=VCH'+OH=34 3 cos∠QcH=CH5V34 C034 M M A A 7G0 B B 图① 图② (3):直线y=2x+b与抛物线交于A,D两点， 将点A-3,0)代入直线y=2x+b中， 得b=6, :直线的解析式为y=2x+6, y=2x+6, 1 x=-3, 3= 解得 y=0 或 51 28 2= 51 点A(-3.0),点D55) 128 如解图③.过点P作PR∥y轴交AE于点R, S.m=S.pm+S.m=PR-1+3=7pR 21 （55 设Pxx++9) R(x,2x+6) :当x=-8时，PR最大，最大值为 5 15 749_343 :APAD面积的最大值为S.PD=5×1575 此时P 7891 5'15 0 P M A 0 因 图③ (4)m=5或35 如解图④，设平移后点Q,D对应的点为Q',D',连接QQ,DD',过点D作x轴的平行线 DF,过点D作y轴的平行线交DF于点F, D K M 0 B 图④ 由题意得m=Qg'=DD' ∴△EAO△D'DF, :40=DF1 OE FD2 设DF=a,则FD'=2a, DD'=√DF2+FD'2=V5a, g-9 g-++20 :平移后的抛物线解折武为p::1-,0+2。 3 “线段MN的中点坐标为K(2,2), 当y= 3x+1-a2+20 +2a经过点K(2,2)时， 3 解得a=l,a2= 31 5 31v5 m1=V5,m2= 5 13.(1)抛物线L的解析式为y=-(x-1)+3,(1,3) 2(-5,0) (3)1=-1或1=-2 ④1=5-2或1=2-26或1=月 【分析】(1)利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； (2)求出抛物线与x轴的交点的横坐标，即可得到点M的坐标，进而求出t的值即可得到 答案； (3)可证明点M一定在对称轴右侧，当1-t<1+√5，即-√5<t<0时，抛物线在点C和 点M之间的部分（包括端点）的最高点为抛物线的顶点，最低点为点C,当1-t≥1+√5， 即1≤-√时，最高点为顶点(L,3),最低点为点M,据此讨论求解即可， (4)当E是QN的中点，如图1，则S△Exo=S△E00,可证明此时SI边形EoPe= 2 S四边形QNOM' 则E 1-12+3 22 把E+3 22 +2×{+2,解方 程可得答案；当F为N0的中点时，如图2，同理可证明此时S边形ro0=) Sg边形0OM, 则 子=1-5，解方程即可得到答案：如图3，设50=5，则S=50mS,结合 1 5am+5网Swe+Sm）.得到5oe=S,则可证明Qr=N0.则 F(-,-P+3)·由M,F关于直线：=1对称得到1+1-1=1解方程即可得到答案. 2 【详解】(1)解：将0,2-1，-1代入y=-x2+bx+c中，得 c=2 -1=-(-12+(-1)×b+c c=2 解得b=2 :抛物线L的解析式为y=-x2+2x+2=-(x-1)2+3 ·顶点坐标为1,3) (2）解：在y=-x2+2x+2,当m=y=0时，-x2+2x+2=0, 解得：x=1-V5,x,=1+V5. M(1-t,m在抛物线L上，已知点N(t,0),其中t<0. .1-t>0, ∴点M得坐标为1+V3,0 1-t=1+5, t=-5, 点N的坐标为-V5,0: (3)解：由(2)可得点C1-V5,0,D1+V5,0), t<0, .1-t>1, 抛物线对称轴为直线x=1, 点M一定在对称轴右侧， 当1-t<1+√5，即-√5<t<0时，抛物线在点C和点M之间的部分（包括端点）的最高点 为抛物线的顶点，最低点为点C, .3=2-t, 解得1=-1 .M1-t-t2+3 当1-t≥1+√5，即t≤-V5时，最高点为顶点(L,3),最低点为点M· 依题意，3--t+3)=2-1, 解得：t=-2或t=1(舍去)， 综上所述，1=-1或t=-2. (4)解：M在x轴的上方， :1-5<1-t<1+√5，且t<0, -V5<t<0 在y=-x2+2x+2中，当x=1-t时，y=-(1-t)2+21-t)+2=-t2+3, .M1-t,-t2+3, MQ1y轴于点Q, 0(0,-+3). :以点Q,E,O,P为顶点的四边形的面积是四边形NOMQ面积的一半，线段M0的中点为 P S.MOP=S.ooP 情况一：当E是QN的中点，如图1，则SANo=S△o, :S因边形NOM0=S,EOv+SEo0+S△M0P+S△oP0, D 图2 SE边形EOP0=S△EO0+S△OPe, .S四边形EOP0= +2x+2 2 2 解得t=-V2-2(舍去)，t2=V2-2 情况二：当F为N0的中点时，如图2， 图2 1 同理可证明此时S四边形FoPo= S边形Oow,则F 即此时点F是抛物线与x轴的一个交 点（对称轴左侧）， 1- 解得t=2-2V5; 情况三：如图3，设S.Mog=S, F “P为线段MO的中点， 图3 ∴.SMP=Seop= :以点Q,F,P,O为顶点的四边形的面积是四边形NOMQ面积的一半， 1 S.oo+Smre-(S.wo+S.owo) 即s+m5+o ∴.QF=NO, .F(-t,-2+3 M01y轴， .M,F关于直线x=1对称， -+1-1=1. 2 解得：1=2 1 1 综上所述，t=√2-2或1=2-2V5或t= 2 14.(1)A-2,-2),B(6,6) (2)2或6-4√5 3y=-4 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数综合，熟知二次函数的 相关知识是解题的关键 (1)联立两函数解析式，并求出对应的解即可得到答案； 2)设Pp-则M-pp2-3.N(pp.可得PM=2n.pw=4p+p+3. 根据PM=PN,可得-4P+p+3=2p,解方程即可得到答案； a设co-pr-3 设直线CD解析式为y=x,利用待定系数法可得 c+,迷而可得d2:求出宜线4C解析式为（日》+c-,得到 同理可得F 6d+12,0. d+6 进一步可得F 0则0r=0,E S△DoF= 可得3c=-4d,据此可得d=3,c=-4,K=4+3- 4 4 即直线CD解 4 1 析式为y=- x=-2.x=6 【详解】(1)解：联立 -3解 或 [y=x (y=-2y=6 .A-2,-2,B6,6) 2解设Pp- “抛物线解析式为y式-3。 抛物线对称轴为y轴， 'PM∥x轴，PN∥y轴， M-p好p2-3 N(p,p). .PM-pP-p-3tp+3. .PM PN, p2+p+3=p p+p+3=2p或-p2+p+3=2p 解得p=2或p=6(舍去)或p=6-4V3或p=6+4V3(舍去)， ∴.点P的横坐标为2或6-4√5； (3)解： 返c(e-a,- 设直线CD解析式为y=kx, -3= die c≠d, =c+d, 4 c+d, ∴.cd=-12; 设直线AC解析式为y=k"x+b”, 「-2k”+b”=-2 ck"+b°=c2-3' 4 1 b"=5c-3 2 直线4C解析式为y=任0》+c-3. 在-得c-》*安-3年当y(任》+-30时= c-2 同理可得F /6d+120 d+6 cd=-12, 6d+12 -12+12 6 2c-12 d+6= -12 +6 c-2 .0F=0E, :S6p0e=4 3 OFOEd -日-小-- .3c2+4d2-84=0, .3c2+4d2+7cd=0, .(3c+4d)(c+d=0, .3c=-4d或c=-d(此时△C0E,△D0F的面积相等，不符合题意)， d42 d=3或d=-3(舍去)， .∴.c=-4 k'=4+31 44 1 直线CD解析式为y=- x 4 15.(1)y=x2-5x+4 (2)△PEG面积的最大值为3，此时点P的坐标为(2，-2) 2290 (310, 54)或 7， 49 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，两点之间的距离公式 及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度· (1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=x2-5x+4; (2)过A作AK⊥BC于K,过G作GH⊥PE于H,设PPp2-5p+4,求出直线BC解 析式为y=-x+4,可得E(p,-p+4),PE=p+4-（p2-5p+4=-p2+4p,再求出 G1-号-可得e0mp服--4p小-子o-23.根提=次属数性 质可得答案； (3)当M在B上方时，可得CM=PM,设M(m,-m+4),有 直线PQ解析式为 [y=7x-16 y=7x-16,联立 y=x2-5x+4' 即可解得Q10,54);当M'在B下方时，可得PM=PM' ,设M'(m,-m'+4),即得 2 =m2-2°+-m2+4+2,即可得 116 M' 7113 ,联立少= 116 求出直线PQ解析式为y=二x- 7x-7,即可解得 y=x2-5x+4 2290 7,49 【详解】(1)解：把A1,0),点B(4,0)代入y=x2+bx+c得： [1+b+c=0 16+4b+c=0 b=-5 解得{c=4‘ ∴.抛物线的解析式为y=x2-5x+4; (2)解：过A作AK⊥BC于K,过G作GH⊥PE于H,如图： 设直线BC的解析式为y=c:+b, 把84,0)，C(0,4到代入得.6=4 4k+b=0 k=-1 解得： b=4· :0B=0C=4,直线BC解析式为y=-x+4, .∠OCB=∠OBC=45°， △AKB是等腰直角三角形， AK=4B=4-132 √2V22 AD∥BC,EG⊥AD,AK⊥BC, .四边形AKEG是矩形， GE=AK= √2 ∠GEB=90°， 2 ∠PEB=∠0CB=45°， .∠GEP=45°， ∴.△GEH是等腰直角三角形， GE 3 ∴.GH= √22' 设P(p,p2-5p+4,则E(p,-p+4, .PE=-p+4-p2-5p+4=-p2+4p e-0H-p听--㎡+4n小=n-2f+3 -3<0. 4 ∴.当p=2时，SPeG取最大值3，此时P(2,-2) (3)解：在抛物线上存在点Q,使得LPMB=2LPCB,理由如下： 当M在B上方时，如图 ○ M '∠PMB=∠PCB+∠CPM,∠PMB=2LPCB .∠PCB=∠CPM :CM =PM, 设M(m,-m+4, :P(2,-2),C0,4) ∴Vm2+-m+4-42=m-22+(-m+4+27 解得m=2 引 设直线PQ解析式为y=mx+n, 3 、m+n= P2,-2)代入得 2 2m+n=-2 m=7 解得 n=-16 所以，直线PQ解析式为y=7x-16, 联立 y=y=7x-16 y=x2-5x+4' x=2 [x=10 解得 y=-2 (舍去) y=54 010,54), 当M'在B下方时，如上图， ∠PMB=2∠PCB=∠PMB, :PM =PM' 设M'(m',-m'+4), 2(---4 解得m(舍去或m=】 w份》 同是，主加侣引12-得直绽P释武为y片 7 116 联立 y=7x-7 y=x2-5x+4 22 x=2 x= 解得 y=-2 (舍去) 90 y=- 49 2290 7-49 22 综上所述，Q是坐标为10,54)或 90 49 16.(1)y=x2-5x (2)DEF面积的最大值为 4 点D的坐标(3,6)； 9939 见解析 【分析】本题考查了二次函数的表达式求解、一次函数表达式的确定、二次函数的最值应用、 抛物线的平移以及几何角度关系与图形性质的综合应用，解题的关键是熟练运用待定系数法 求函数表达式，将几何问题转化为代数表达式进行计算，以及利用几何性质（如平行、垂直、 中垂线、对称)转化角度关系 (1)将点B(6,6)代入抛物线表达式y=x2+bx,通过解方程求出b的值，进而得到抛物线 表达式 (2)先确定点A坐标及直线OB、AC的表达式；设点E坐标，进而表示出点D的坐标： 通过几何关系得出△DEF的底DE和高FW的表达式；用二次函数表示三角形面积，通过求 二次函数最值得到面积最大值及对应点D的坐标 (3)设抛物线平移距离，代入点D坐标求出平移距离，得到新抛物线表达式并确定点M、 N、G坐标；利用中垂线性质构造满足∠DHN=2∠DGN的点H;通过对称点构造找到另一 个满足条件的点H,联立方程求出两点坐标· 【详解】(1)解：将点B的坐标代入函数表达式得：6=36+6b, 解得：b=-5, 则抛物线的表达式为：y=x2-5x; (2)由抛物线的表达式知，点A(5,0), 由点B的坐标得，直线OB的表达式为：y=x, FC∥OB且直线FC过点A, 则直线FC的表达式为：y=x-5 设点E(m,m）,则点Dm,m2-5m),Q(m,m-5, 则DE=-m2+6m,EQ=5, 过点F作FW⊥ED于点W, D :EF⊥AC,AC和水平线的夹角为45°， 则△EFW为等腰直角三角，同理可得△FWQ为等腰直角三角形， 则FW=EQ=S 5 2 2 则ADEF面积=×DExFW=x5x(-m2+6m)=-5m-3》+45s45 22 4 44 即DEP面积的最大值为袋，比时m=3,则点D的坐标3-6： (3)设抛物线向右平移m个单位后过点D,则y=(x-m)2-5(x-m, 将点D的坐标代入上式得：-6=(3-m)-5(3-m), 解得：m=0(舍去)或1， 故新抛物线的表达式为：y=(x-1)-5(x-1)=x2-7x+6, 则点M、N、G的坐标分别为：(1,0)、(6,0)、(0,6)； 连接GD,作GD的中垂线交GN于点H,则此时LDHN=2LDGN, D 由点G、D的坐标得，直线GD的表达式为：y=-4x+6,同理可得，直线GN的表达式为： y=-x+6, 由中点坐标公式得，GD的中点为，0)， 1 3、 则GD的中垂线的表达式为：y=二(x-), 21 联立上式和GN的表达式得：-x+6=4一2， 1 3 4 解得：x=l 10 即点H19 10'10 过点D作DT⊥GN于点T,作点H关于DT的对称点H',则∠DHN=2LDGN,则点T是 HH'的中点， 直线DT⊥GN且过点D, 则直线DT的表达式为：y=(x-3-6=x-9 联立直线DT和GN的表达式得：-x+6=x-9, 解得：x克则点7唱 由中点坐标公式得，点H' 9939 10’-10 综上，H19 )或 9939、 10’10 10’10 17.(1)A'(0,1;x=2 (2)y=-x2+4x 3)存在；(2,1， (2到 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出 函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： (1)根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； (2)根据二次函数的增减性，列出方程求出a的值即可； (3)分A'P为对角线，A'M为对角线，MP为对角线，三种情况进行讨论求解即可 【详解】(1)解：点A的坐标是（-1,0)， .0A=1, 以原点为中心，把点A顺时针旋转90°， ∴.∠AOA'=90°，OA=OA=1, 此时点A在y轴正半轴上， .A'0,1 .y=ax2-4axa<0). ∴对称轴为直线r=-4=2: 2a (2）'y=ax2-4axa<0),对称轴为直线x=2, .当x>2时，y随x的增大而减小， 3≤x≤5， .当x=3,y有最大值为a×32-4×3a=-3a=1-2a, .∴.a=-1, .y=-x2+4xi (3)存在 y=-x2+4x, .当x=2时，y=-22+4×2=4, .P(2,4), 设M(0,m,N(s,t, 由(1)知：A'(0,1: 当以点A,P,M,N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当A'P为对角线时，则△AMP为以M为顶点的直角三角形，PN∥A'M,即PNy轴， A'N∥PM, ∴.PM⊥y轴， ,N⊥y轴， .M(0,4),N(2,1; 0+0=2+s ②当以A'M为对角线时，则： 解得 8=-2 1+m=4+t' m=t+3' .M(0,t+3,N(-2,), A'M PN, +3-=2+2+4-,解得1=号 …2引月 ③当以PM为对角线时，要满足A,P,M,N为顶点的四边形是矩形，则需要满足△A'PM 是以∠PA'M为直角的直角三角形，即PA⊥y轴，与题意不符；故此种情况不存在 综上：N(2,或N-23 N 18.(1)y=-x2+2x+3,直线x=1,(2,3) (2①点M是线段PQ的中点，理由见解析； 引 ③a=2或a>1或a5- 41 5 【分析】(1)将点A(-1,0)代入可求b=2,则y=-x2+2x+3,抛物线的对称轴为直线 2x-1,可求C(0,3),进而可得点C关于对称轴的对称点C的坐标， 2 X= (2)①待定系数法求直线AC'的解析式y=x+1,进而可求M的坐标为1,2)，由P的坐标 为1,4)，可知点M为线段P9的中点.2设M(1,1+1,-1<t<2,则N1,-+21+3, MN=-2+t+2=- 9 然后求解作答即可； 3)由平移可知E为0,3)，F为(4,3)，y=a-x2+2x+3=-ax-1)+4a,①当a>0时， 图象开口向下，顶点P为1,4a,当4a=3时，a=子此时顶点在线段EF上，抛物线 3 y=a-x2+bx+3(a≠0)与线段EF只有一个交点；当x=0时，y=3a>3,可求a>1;当 =4时.y=-5a≤3，可求a2号即a>1:②a<0时，图象开日向上.当顶点P4a在 线段你上时，同理0.a-子（含去：当=4时。=5a≥3，可求a≤号当=0时。 4 弘<3.可求a<L,即a≤然后作答 【详解】(1)解：将点A(-1,0)代入y=-x2+bx+3得，0=-1-b+3, 解得b=2, .∴.y=-x2+2x+3, 2 抛物线的对称轴为直线x=2x-可1， 当x=0时，y=3,即C(0,3), ∴点C关于对称轴的对称点C的坐标为(2,3)， ∴.y=-x2+2x+3,抛物线的对称轴为直线x=1,点C关于对称轴的对称点C的坐标为2,3) (2)①解：点M是线段PQ的中点，理由如下； 设直线AC的解析式为y=c+b, 0=-k+b 将A(-1,0),C'(2,3)代入得 3=2k+b 解得 k=1 b=1 .直线AC'的解析式为y=x+1, 当x=1时，y=2, 此时点M的坐标为1,2)， 当x=1时，y=-12+2+3=4,即P的坐标为1,4)， 点M为线段PQ的中点. 2解：设M1,1+1,-1<t<2,则N(t,-2+2t+3, w+2-- -1<0, 当t=时，MN最长， 将1片代入1是y=号即加兮》 一当线段Mw最长时点M的坐标为引》】 (3)解：由平移可知E为(0,3)，F为(4,3)， .y=a-x2+2x+3=-a(x-1)+4a, ①当a>0时，图象开口向下，顶点P为1,4a, 3 当4a=3时，a=4 此时顶点在线段EF上，抛物线y=a-x2+bx+3)(a≠0)与线段EF只有一个交点，如图： 当x=0时，y=3a>3,如图 y 4 E 12345X 解得a>1; 当x=4时，y=-5a≤3，如图： 4 3 E 2 -2-】 解得a之号 (舍) .a>1 综上所述，当a=3或a>1时，抛物线y=a(-r+bc+3)(a≠0)与线段EF只有一个交点： 4 ②当a<0时，图象开口向上 3 当顶点p(1,4a在线段EF上时，同理①，a=三（舍去）； 4 当x=4时，y=-5a23,如图： 1 2B45x 解得as-3 当x=0时，y=3a<3, 解得a<1(舍)， 综上所述，a= a>1或a≤ 3 4 5 19.(0)y=5x2-2x-6 (2)LAEP+∠AC0=90°，见解析 3)点P的坐标为(6+22,0)或(6-22,0或(2,0)或(4,0) 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，两点间距离公式， 等腰三角形的性质，分类讨论思想等内容，解题的关键是根据题目中的条件得出方程 (1)根据题意可得出点B,C的坐标，代入抛物线解析式，可得出b,c的值即可得出答案； (2)根据(1)中抛物线的解析式可得A-2,0),则AC=2√10，所以AC=AE,所以 ∠ACE=∠AEC,则∠AC0+∠OCB=∠PAE+∠CB0,又0B=OC=6,所以 ∠0CB=∠CB0=45°，∠AC0=∠PAE,由此可得出结论； (3）设P(m,0), m-2m-6 E(m,m-6),用含m的式子表示出EF2,CE2, CF2,由△CEF是等腰三角形，可知需要分三种情况：①当CE=EF时，②当CE=CF时， ③当CF=EF时，分别求解即可得出结论 【详解】(1)解：直线BC分别与x轴、y轴交于点B,C, B(6,0),C(0,-6. 抛物线y= )x2+bx+C经过点B,C 18+6b+c=0 则 ,解得 b=-2 =-6 c=6 =2x2-2x-6 抛物线的解析式为y= (2）解：∠AEP+∠AC0=90°. 证明：由①知抛物线的解析式为y-2x6 令0则52x-6=0,解得x=-2,x .A(-2,0). 0A=2. AC=V0A2+0C2=2V10 :AE=2V10 AC=AE· LACE=LAEC· :ZACO+ZOCB ZPAE +ZCBO 0B=0C, ∠0CB=∠CB0=45°. ∴.∠ACO=∠PAE :∠AEP+∠PAE=90°， :∠AEP+∠AC0=90°. (3)解：存在. 设P0.则Fm2-2m-6 E(m,m-6). -[a-6-2-6-r4 CE2=m2+(m-6+6)2=2m2, cr=㎡-传m-2m-6+6j=w+m传m-2 当△CEF是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当CE=EF时， .CE2=EF2,即2m2= 解得m=0（舍去)或m=6+2√2或m=6-2√2 P(6+2√2,0)或P(6-2V2,0)· ②当CE=CF时， ∴.CE2=CF2, 即2m2=m2+)m2-2m-6+6】 解得m=0（舍去)或m=6(舍去)或m=2, ∴.P(2,0) ③当CF=EF时， :.CF2=EF2, 即m2+m2 m-2j-(+n 解得m=4或m=0(舍去)， .P(4,0) 综上所述，点P的坐标为6+2√2,0或(6-2√2,0或(2,0)或(4,0). 20.(1)y=x2+6x+5 (2)见解析 3)-3,2)或(-3，-1 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的性质，全等三角形判定与性质，解题的关键是作 辅助线，构造全等三角形解决问题. (1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=x2+6x+5; (2)求得抛物线的解析式为y=x2+6x+c,把点(-1，m),(1,n)代入可得m=c-5, n=c+7,，求出m关于C的式子，进行配方，再利用平方的非负性即可解答， (3)设P(-3,,过P作KT∥x轴，过B作BK⊥KT于K,过D作DT⊥KT于T,求出 B(-5,0),得KP=-3-(-5)=2,再证BPK≌PDT,可得BK=PTt|,KP=DT=2, 故D(-3+1,t-2),代入y=x2+6x+5得：t-2=(-3+t)+6-3+t)+5,解出t值得P的坐 标 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx+c关于直线x=-3对称，与x轴交于A(-1,0), （b3 {2 1-b+c=0 b=6 解得 c=5 :抛物线的解析式为y=x2+6x+5; (2)证明：：抛物线y=x2+bx+c关于直线x=-3对称， b-3 2 解得b=6, y=x2+6x+c, 把点(-1，m,（1,n代入y=x2+6x+c, 可得m=1-6+c=c-5,n=1+6+c=c+7, ∴mn=(c-5)(c+7)=c2+2c-35=(c+1)2-36 (c+1)2≥0， .mn≥-36； (3)解：由抛物线的对称轴为直线x=-3,设P(-3,, 当t>0时，如图，过P作KT∥x轴，过B作BK⊥KT于K,过D作DT⊥KT于T, K x=-3 在y=x2+6x+5中，令y=0得0=x2+6x+5, 解得x=-1或x=-5, .B(-5,0), ∴KP=-3-(-5)=2, “将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到DP, ·∠BPD=90°，BP=DP, ∠BPK=90°-∠DPT=∠PDT, :∠K=∠T=90°， :△BPK≌△PDT(AAS), 设BK=PT=t,KP=DT=2, D-3+1,1-2）, 把D(-3+1,t-2)代入y=x2+6x+5得：t-2=(-3+t)+6-3+t+5, 解得t=2(负数舍去)， P的坐标为(-3,2) 当t<O时，如图，过P作KT∥x轴，过B作BK⊥KT于K,过D作DT⊥KT于T, B K P x=-3 同理可得△BPK≌△PDT(AAS, 设BK=PT=-t,KP=DT=2, .D-3+1,1-2, 把D(-3+t,t-2)代入y=x2+6x+5得：t-2=(-3+t)2+6-3+t)+5, 解得1=-1（正数舍去）， P的坐标为(-3，-1) 综上，P的坐标为(-3,2)或(-3，-1).