2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题）

2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题） 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点B，连接，抛物线的对称轴为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交于点G，交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移，平移后抛物线顶点的横坐标为，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 2．如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为，点是轴上方抛物线上一点，其横坐标为． (1)求的值； (2)作直线，若，且点是抛物线上另一点，横坐标为，轴交于点，轴交于点，求的值； (3)过点作轴的平行线和垂线，垂线交直线于一点，过这一点再作轴的平行线，直线、、与轴围成一个矩形，这个矩形的周长记为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴交抛物线于另一点，过分别作轴的垂线，轴的平行线交直线于一点，过这一点作轴的垂线，，，与轴围成一个伴随矩形，这个伴随矩形的周长记为，若，求的值 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、点C，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标，并求 出周长的最小值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求a，b的值； (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，交于点E，作轴，交于点F，点M是y轴上一动点，点N是直线上一动点，连接，，．当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线绕原点O旋转得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点G，点H是新抛物线上一动点，当时，请写出所有符合条件的点H的坐标及其中一种情况的求解过程． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与交于，两点，已知的图象与轴交于点，且关于直线对称． (1)求二次函数的函数解析式； (2)直线分别与和的图象交于，两点，与轴交于点．若，求的值： (3)定义：为较小函数，即，直线与的图象交于，，，四点（，，，从左到右依次排布），若，求出的值． 6．已知抛物线与x轴交于点A，点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上一点，过点A作交y轴于点D，在直线上有一动点M，当四边形面积的最大时，求P点坐标及的最小值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点E为点A经过平移后的对应点；在抛物线上是否存在点M，满足，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C，点A在x轴的负半轴上，，点D是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是线段下方抛物线上的一个动点，过点P作交y轴于点E，过点P作轴交AD于点F，点M，N为x轴上两个动点，点M在点N的左侧，，连接．当取得最大值时，求P点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，过点A作于点R，点Q是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q横坐标的其中一种情况的过程． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标，交y轴负半轴于点C，C点坐标． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，若抛物线上有一点D，，求点D的坐标； (3)如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线与抛物线交于另外一点Q．连接、，分别交y轴于M、N两点．若，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由． 9．如图，已知抛物线交轴于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，点是轴上一动点，连接，当最大时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点为抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (3)在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连接，求的最小值． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，为轴上一动点，且满足，点为轴上一动点，连接．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，新抛物线与直线分别交于、点，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； (2)如图2，D是直线上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到线段，连接，求线段的最小值． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交轴于，两点，交轴于点，连接，，其中，抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式： (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交直线于点，轴交直线于点．点是直线轴上的动点，当周长最大时，求的最小值； (3)将抛物线沿的角平分线方向平移个单位长度得到新抛物线，平移后的抛物线顶点为且与轴交于点，点为抛物线上一动点．若，请直接写出符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，过作交轴于点，线段在直线上移动且，当取得最大值时，求此时点的坐标及的周长的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点的对应点为点，平移后的新抛物线的对称轴上有一点，点为新抛物线上一动点，若，请直接写出点的坐标，并写出求的坐标的其中一种情况的过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)的最大值为， (3)或或；过程见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出b，c即可； （2）证明，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可； （3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，抛物线的对称轴为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，取得最大值，为，此时； （3）解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵平移后抛物线顶点的横坐标为， ∴抛物线沿水平方向向左平移5个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为，， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，，即， 抛物线的对称轴为， ∴设，， 分情况讨论： ①当为对角线时， 则， 解得：，此时， ∴； ②当为对角线时， 则，即， 此时， ∴； ③当为对角线时， 则，即， 此时， ∴， 综上所述，点的坐标为：或或． 2．(1) (2)4 (3)①；② 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键． （1）先求出，将代入，求出即可； （2）由题意知：，，，，得到，，再根据进行计算即可； （3）由题意知：，①当时，矩形相邻两边长分别为，，当且时，矩形相邻两边长分别为m，，分别进行计算即可； ②分当时，当时，当时进行计算即可； 【详解】（1）解：当时，， ， 点B在上， ， 解得：； （2）解：由题意知：，，，， ，， ； （3）解：由题意知：， ①当时，矩形相邻两边长分别为，，如图2， ， 当且时，矩形相邻两边长分别为m，，如图3，4， ， 综上：； ②． 当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图2， ， ， ，无解， 当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图3， ， ， ，（舍去）， 当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图4， ， ， （舍去）， 综上：m的值为． 3．(1) (2) (3)存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：， 【分析】（1）将、的坐标代入解析求解即可； （2）连接，由勾股定理得，要使的周长最小，只要最小，则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立，即可求解； （3）分类讨论：当时，当时，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 故二次函数的解析式为； （2）解：令，即， 解得或， 则二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 连接， 则， 要使的周长最小，只要最小． 是对称轴上一点，且点A与点C关于对称轴对称， 则， 则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立， 因而与对称轴的交点P就是所求的点． 设直线的解析式为， 根据题意，可得：， 解得， 所以直线的解析式为； 联立，解得， 故所求的点P的坐标为， 此时的周长即为； （3）解：存在． ，， ， ，， ， ，， ， 当时， ， ， 解得：， ； 当时， ， ， 解得：， ， 故E点坐标为：， 综上所述：存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似，点E的坐标为：，． 4．(1)， (2) (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，证明是等腰直角三角形，得，，可知周长，则当最大时的周长最大，设，则，得出，求出当时取得最大，此时的周长最大，此时，作点关于轴的对称点，连接，作原点关于直线的对称点，连接，，分别求出，，求长即可； （3）先求出新抛物线解析式为，设新抛物线与轴交于点R，证明，得出，当点H在轴左侧时，过点R作，交轴于点Q，过点Q作于点S，得出，，利用勾股定理求出，求出直线的解析式为， 则直线的解析式为，与新抛物线解析式联立即可求解；当点H在轴右侧时，设此时H为，利用对称性得出直线的解析式为，与新抛物线解析式联立即可求解． 【详解】（1）解：将、代入抛物线， 得方程组， 解得； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 令，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴周长， ∴当最大时的周长最大， 设， 则， ∴， ∵二次项次数，对称轴为直线， ∴当时取得最大，此时的周长最大， 此时，即， 作点关于轴的对称点，连接， 则， 则， 作原点关于直线的对称点，连接，， 则， 则， 当、、共线时，取得最小值， 连接，交于点，连接， 由对称性可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：原抛物线解析式为， 顶点坐标为， ∵将该抛物线绕原点O旋转得到新抛物线， ∴新抛物线的二次项系数是，顶点坐标为， ∴新抛物线解析式为， 当时，， ∴， 设新抛物线与轴交于点R， 当时，， 解得，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 当点H在轴左侧时， 如图，过点R作，交轴于点Q，过点Q作于点S， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，（点H在轴左侧，故舍）， ∴； 当点H在轴右侧时，设此时H为， 由， 可知直线和直线关于y轴对称， 则直线的解析式为， 联立， 解得：，（点H在轴右侧，故舍）， ∴， 综上，满足条件的为或． 5．(1) (2)或； (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可解答； （2）设，则，则可得，解方程即可； （3）解方程可得，，列方程即可． 【详解】（1）解：过，对称轴， ，， ， ∴二次函数的函数解析式； （2）解：设，则，， ，， 由， 可得， 可得或， 解得或或， ， 或； （3）解：如图， 令， 可得， 解得， ， 令， 可得， 解得， ， ， ， 解得． 6．(1) (2)； (3)，；过程见解析 【分析】（1）先求出点C坐标，再得出点B坐标，结合对称轴，利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式为，由，得出，可得．则当面积取最大值时，四边形的面积也有最大值．过点P作轴交于点Q，设，则，得出．利用二次函数性质求出最大时．过点M作轴，交x轴于点N．得出，则，当P，M，N共线时，取最小值，即可求解； （3）先利用平移求出新抛物线解析式为，再求出，证明．得出，当点M在下方时，设交x轴于点G，得出，求出直线的表达式为：，与联立求解即可；当点M在上方时，在上取一点K，使得，求出，可得直线的表达式为，证明，可得直线的表达式为：，与联立求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ． ． ， ， ． 由抛物线过点，抛物线的对称轴是直线， 得，解得， 所以抛物线的表达式为； （2）解：由，抛物线的对称轴是直线， ∴点的横坐标为， ∴， 设直线的表达式为：， 则，解得， 直线的表达式为， ， ∴与同底等高， ． ． 当面积取最大值时，四边形的面积也有最大值． 过点P作轴交于点Q， 设，则， ， ． ， 当时，有最大值，此时， ∴此时． 过点M作轴，交x轴于点N． ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当P，M，N共线时，取最小值， 此时轴． 此时的最小值为； （3）解：当M点的坐标为，，满足，理由如下： ，， ， ∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，即水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度， ∴新抛物线解析式为， ，由平移可得． ， 又，， ． ， 当点M在下方时，设交x轴于点G， ． ，即， ∴， ∴，则， 如图，可设直线的表达式为：， 代入，，则，解得， 直线的表达式为：， 由题意可得：点为直线与的交点， 令得：． 解得：，（舍去）， ， ； 当点M在上方时，在上取一点K，使得，如图， 设， 由，得， 解得：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，，则，解得， 直线的表达式为：， 由题意可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为：， 将代入，得，即直线的表达式为：， 令得：． 解得：，（舍去）， ， ； 综上，当M点的坐标为，． 7．(1) (2)P 点坐标为 ，的最小值为 (3)或 【分析】（1）先求出，再根据，在 轴负半轴，求出，将、代入抛物线即可求解． （2）先求出顶点 ，从而求出直线 解析式，根据，，得出，从而得，求出，设 ，则，即可表示出，得出当时，取得最大值，求出P 点坐标为 ，将 向左移1个单位得 ，则，证出四边形是平行四边形，则，作点关于轴的对称点，得，则当点共线时，最小，最小值为，求出，即可解答． （3）根据题意得出抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，求出新抛物线解析式为：，分①当点位于直线上方时，②当点位于直线下方时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：在抛物线 中，令，则，则， ∴， ∵，在 轴负半轴， ∴， 将、代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：∵抛物线表达式为：， ∴顶点 ， 设直线解析式为， 则，解得：， ∴直线解析式为 ， ∵， 设直线解析式为， 则，解得：， ∴直线解析式为 ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，故当时，取得最大值， 将代入得 ​， ∴P 点坐标为 ， ∵，将 向左移1个单位得 ，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作点关于轴的对称点，连接， 则， ∴， 当点共线时，最小，最小值为， ∵， ∴的最小值为． （3）解：∵，，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度， 新抛物线解析式为：， ①当点位于直线上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即，点是与轴的交点， 在中，令， 解得：（舍去）或， ∴点的横坐标为； ②当点位于直线下方时， 如图，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作，则， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立和，整理得， 解得：或（舍去，此时为钝角）， ∴点的横坐标为． 综上，点的横坐标为或． 8．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过作交于点，作轴于点，证明，可得，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立解即可得出的坐标； （3）设，联立直线与抛物线解析式得出，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，可得，得出，进而根据，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 代入可得，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，， 解得：或， ， 如图 1，过作交于点，作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），或， ∴． （3）解：设， 依题意，， 消去得，， ， 如图所示，过点P， Q分别作x轴的垂线，垂足分别为G， F， ， ， ， 即， ， 又， ， 即， ， ． 整理得：． 9．(1) (2)，的最小值是 (3)点的坐标为， 【分析】（1）把，代入，解方程组求出、的值即可得答案； （2）过点作轴于，交于，先求出，，得出最大时，取最大值，求出直线解析式为，设，则，得出，利用二次函数的性质可得，过点O作于，过点作交直线于，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合三角函数可得，得出、、三点在同一条直线上时，取最小值，为，根据三角形内角和定理得出，利用三角函数得出，此时，点与点重合，，即可得出答案； （3）先利用平移的性质及待定系数法求出平移后的抛物线解析式为，分点在轴下方和上方两种情况，分别求出直线的解析式为，的解析式为，联立直线与抛物线的解析式，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点作轴于，交于， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，取最大值， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，即取最大值， 当时，， ∴， 过点作于，过点作交直线于， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、、三点在同一条直线上时，取最小值，为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴此时，点与点重合，， ∴， ∴的最小值是． （3）解：如图，设平移后的抛物线的顶点为，平移前抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴，，， ∵直线解析式为， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵，， ∴， 当点在轴下方时，交轴于， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和平移后的解析式得，， 解得：，（舍去）， ∴； 当点在轴上方时，交轴于， 同理可得，，直线的解析式为， 联立直线和平移后的解析式得，， 解得：，（舍去）， ∴； 综上所述：点的坐标为，． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、解直角三角形、勾股定理、二次函数的性质，合理作出辅助线是解题关键． 10．(1) (2)存在，或 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得出，再将代入得出c的值即可； （2）设，则，分两种情况：①当P在直线的下方时，如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设点C关于对称轴的对称点为E，则，验证，可得点P与点E重合；当P在直线的上方时，作点P关于的对称点，求出直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求解； （3）在上取一点F，使得，得出，在上取一点G，使得轴，垂足为B，则，作B关于的对称点，连接交于点T，根据轴对称的性质得当M在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法计算出，进而计算出，再证，根据即可求解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，即， ， 将代入，得：， 解得， 二次函数关系式为； （2）解：在中，令，得， 解得或， ，， 当时，， ， ，， 设，则， ①当P在直线的下方时，如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ，， 设点C关于对称轴的对称点为E，则， ， ， ， ，， ， 点P与点E重合， ； 当P在直线的上方时，作点P关于的对称点， ，都是等腰直角三角形，， 点在y轴上，， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，抛物线上存在点P，使，坐标为或； （3）解：如图，在上取一点F，使得， 设，则， 在中，，，， 由，得， 解得， ， ， ， 在上取一点G，使得轴，垂足为B， ， ， 即， 如图，作B关于的对称点，连接交于点T， ， ∴当M在上时取得最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 11．(1)抛物线的函数表达式为 (2)点的坐标为，的最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出，，即可得出结果； （2）先求出直线的函数表达式，令点的坐标为，点坐标为，可得表达式，过点作轴交于点，可得，故得出的表达式，得出其最小值时点的坐标，过点作平行线，过点作交于点，连接，证出，故的最小值为的最小值，即、、三点共线时，最小，过点作交于点，求出的值即可得出结果； （3）由（2）可知，沿射线方向平移个单位等同于向右移动个单位，再向上移动个单位，得出新抛物线表达式，过点作轴，当点在直线左上方时，，过点作交于点，由直角等腰三角形的性质求出坐标，作点关于直线的对称点，延长交抛物线于点，由对称的性质，求出点坐标，得出直线表达式，求出交点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 即， 将点代入 ， 得到， 解得， 故抛物线的函数表达式为． （2）解：对于抛物线， 当时，解得或， 即点， 当时，， 得点， 令直线的函数表达式为， 代入，， 得，解得， ∴直线的函数表达式为， 令点的坐标为， 则点坐标为， ∴， 过点作轴交于点，如下图所示： ∵， ∴， ∴， ∴当取最大值时，， 此时点， 过点作，过点作交于点，连接，如下图所示： ∵， ∴， 令直线的函数表达式为， 代入， 得，解得， ∴直线的函数表达式为， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为的最小值， 即、、三点共线时，最小， 过点作交于点， 故的最小值为的最小值，即的值， 令点的坐标为， 由点，， ∵， ∴， 即， 化简得， 解得（舍去）或， 点的坐标为， ∴， 即的最小值为； （3）解：由（2）可知，沿射线方向平移个单位等同于向右移动个单位，再向上移动个单位， ∵，， ∴，， 且新抛物线表达式为， 过点作轴，当点在直线左上方时，，过点作交于点，如下图所示： ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 令点坐标为，则， ∴，， 即， 化简得， 解得或（舍去）， 此时点坐标为； 作点关于直线的对称点，延长交抛物线于点，如下图所示： 令， 可得，中点在直线上， 故，解得（舍去），， 即， 令直线的表达式为， 代入，， 得，解得， ∴直线的函数表达式为， 联立和， 得， 化简得， 解得（舍去）或， 得， ∴点坐标为； 综上，点的坐标为或． 12．(1) (2)存在，点D的坐标为或或 (3)线段的最小值为 【分析】（1）过P作轴交于点G，设，则，求得，根据，用的二次函数表示出，利用二次函数的性质即可求解； （2）用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：如图，过P作轴交于点G， 设，则， ∴， 对于一次函数，令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，为最小值； （2）解：对于抛物线表达式，当，， ∴， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点D的横坐标为t， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， ①当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ②当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ③当时，， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ∴， ∴； 综上，是等腰三角形时，点D的坐标为或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 13．(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求得，再由，求出，即可得到，再根据抛物线的对称轴求出点，即可设，再代入，即可求解抛物线表达式； （2）延长交轴于点，可求直线，而，设，则，那么，则当时，取得最大值，证明，求出，，则周长，因此可得当取得最大值时，周长取得最大值，此时，过点作的平行线，延长交平行线于点，过点作于点，连接，则由得到，故，那么，故的最小值为，设交轴于点，由求得，，则，那么，即可求解的最小值； （3）先求出平移后的抛物线，则顶点，，当点在上方抛物线上时，过点作，过点作，然后延长至点，使得，连接，可证明，则，求出，则，设，代入求得，再与抛物线联立求解即可；当点在下方抛物线上时，则，设直线交于点，则，设，得到方程，求出，那么，再与抛物线求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时， ∴，则， ∵ ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线与轴的交点， 设， 代入，则 解得， ∴ ∴抛物线的解析式为； （2）解：延长交轴于点， 设直线， 代入点，得： ，解得， ∴直线， ∵， ∴， ∴， 设 ∵轴交直线于点 ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， ∵轴 ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴周长， ∴当取得最大值时，周长取得最大值， ∴此时， 过点作的平行线，延长交平行线于点，过点作于点，连接， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴的最小值为， 设交轴于点， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵的角平分线与轴正方向夹角为， ∴当抛物线沿的角平分线方向平移个单位长度时，相当于向上平移个单位长度，向右平移个单位长度， ∵， ∴平移后的抛物线，即 ∴顶点， 令，则 ∴， 当点在上方抛物线上时，过点作，过点作，然后延长至点，使得，连接， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴同（2）可求， ∴设， 代入得，， 解得， ∴， 与抛物线联立得， 解得，（舍去）， ∴； 当点在下方抛物线上时，则， 设直线交于点， ∴， 设 ∴， 解得 ∴， 同理可求， 与抛物线联立得，， 解得，（舍去）， ∴， 综上：符合条件的点的坐标为或． 14．(1) (2)， (3)或． 【分析】（1）将代入得到关于a、c的二元一次方程组求解即可解答； （2）利用坐标与图形以及勾股定理可得，易得，如图：过D作于F，则，进而得到，即；再求出直线的函数解析式为， 设点，则，，，，易得 ；再根据二次函数的性质可确定点p的值，进而确定点P的坐标；如图：过P作，在上截取，此时四边形是平行四边形可得，则求出最小值即可；点是P向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即；如图：作点P关于直线的对称点，连接，，易得当共线时，有最小值，即的最小值为；再求出的坐标，最后运用两点间距离公式求出的长，进而求出的周长的最小值； （3）先说明将抛物线向右平移3个单位长度、向上平移3个单位长度得到新抛物线，即新抛物线；易得、；再说明，如图：过F作轴于L，则，易得；再分当点G在右侧和左侧两种情况作答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵抛物线与轴交于点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图：过D作于F，则， ∴，即， ∴， 设直线的函数解析式为， 则，解得：， ∴直线的函数解析式为， 设点，则，， ∴，， ∴ ， ∴当时，最小，此时，； 要求的周长的最小值，即求的最小值，即求出的最小值， 如图：过P作，在上截取，此时四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值， ∵， ∴，即， 如图：过P作轴，过作轴， ∵， ∴， ∴， ∴点是P向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即； 如图：作点P关于直线的对称点，连接，， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值，即的最小值为， ∵点P与点关于直线对称， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． （3）解：∵， ∴，即， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴将抛物线向右平移3个单位长度、向上平移3个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线， ∴平移后的对称轴为，即 ∵点的对应点为点， ∴， 如图：过H作轴于I，则，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图：当点G在右侧时， ∵， ∴， ∴， 设，如图：过G作于K，则， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴； 如图：当点G在左侧时，如图：过H作对称轴的垂线交对称轴于J，则，在对称轴上取一点，使得，连接交新抛物线于， ∴，， ∴，即，解得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 则，解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立，解得：或（不合题意舍弃）， ∴． 综上，点G的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $