2026年中考数学一轮专题复习-二次函数压轴题（面积问题）

2026年中考数学一轮专题复习-二次函数压轴题（面积问题） 1．如图：抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，其中， (1)求抛物线的解析式； (2)点G是抛物线上的一点，且满足，请直接写出点G的坐标． 2．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． 　 (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线第一象限上的一点，连接、，过点P作轴于点E，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）． (3)如图3，在（2）的条件下，点H为延长线上一点，连接，在线段上取点F，使，且，延长至点G，使，连接，且，过点G作交y轴于点K，过点A作x轴的垂线交的延长线于点I，连接IF，过点K作于点J，在线段上取点L，连接、，当时，求点L的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中抛物线交y轴于点；交x轴正半轴于点；交x轴负半轴于点A；连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接、，设的面积为S，求出S的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与轴交于两点，与轴交于点． (1)则_______ (2)若点的坐标为， ①若轴上方的抛物线上存在一点，使得，求出点的坐标； ②点为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标． (3)若此抛物线经过点，，求证：； 7．如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．如图，二次函数的图象与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，点C与点D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D． (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； (2)结合图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围； (3)若点P是直线上方抛物线上的一个动点，连接、，当点P在什么位置时，面积最大，求出此时面积的最大值以及点P坐标； (4)若点E（不在x轴上）是直线上一动点，过点E作轴于点F交抛物线于点H，且点E，F，H三点中有两点关于第三点成中心对称，直接写出点E的横坐标． 9．已知抛物线与x轴交于点A，点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上一点，过点A作交y轴于点D，在直线上有一动点M，当四边形面积的最大时，求P点坐标及的最小值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点E为点A经过平移后的对应点；在抛物线上是否存在点M，满足，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 10．如图，二次函数与轴交于点，点，函数与轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)如图1，连接、，在直线上方抛物线上有一动点，过点作轴，交于点．过点作，交于点．当面积最大时，求此时点的坐标，点是直线上一动点，求此时的最小值． (3)在（2）的条件下，函数沿射线方向平移个单位得到函数．点的对应点是，连接并延长交于点，点为抛物线上的一动点，若，且满足，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 11．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点；直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 12．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为B．抛物线关于x轴对称的抛物线为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，点D是抛物线在第四象限上的一点，连接．若，求点D的坐标； (3)当时抛物线与时抛物线组成新的函数G，函数G的图象上有不重合的两点P和Q，点P和点Q的横坐标分别为和，若函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围． 13．如图，已知抛物线，过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上一动点． a．当，求点的坐标． b．连接线段，设直线交线段于点的面积为的面积为，求最大值． 14．如图，直线与抛物线交于两点，直线与y轴交于点C． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)点P在抛物线上，直线交x轴于Q，连接，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标； (3)点M为坐标轴上的动点，当时，直接写出点M的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)抛物线的解析式为 (2)存在；或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）设G的横坐标为m，根据列出关于m的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，解得，， ∴， 又，， ∴， 设点G的横坐标为m， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，； ∴点G的坐标为或． 2．(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 3．(1) (2)取得最大值，此时点的坐标为 (3)存在，满足条件的的坐标为或 【分析】（1）根据已知条件求得点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作轴交直线于，连接，先求得直线的解析式，设，则，可得，再由，根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得，利用二次函数的性质解决问题即可； （3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 抛物线经过点，，， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交直线于，连接， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， 直线与轴交于点， ， ， 轴，即， ， ， ， ， ， 当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形． ①当是矩形的边时，有两种情形， a、如图2﹣1中，四边形是矩形时， 由（2）可知，代入中，得到， 直线的解析式为，可得，， 由可得， , ， ， ． 根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点， ，即， b、如图2﹣2中，四边形是矩形时， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， ， 根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N， ，即． ②当是对角线时，设， 则，，， 是直角顶点， ， ， 整理得，方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的的坐标为或． 4．(1) (2) (3)点L的坐标为 【分析】（1）由，求出．根据，得，即可求得； （2）求出，，得．由．求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）在上取点M使，延长交x轴于点N，连接．延长交于点Q．过点J作于点R，作轴，轴，由 ，得，解得，得，在中，，得，在中，，得．证明，得，，在中，，得．可得≌，得，，证明∽，得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，交y轴于点C， ∴当时，，． ∵， ∴，， ∴把代入抛物线得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵时，， ∴，， ∴，， ∴． ∵P点的横坐标为t， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：在上取点M，使， ∵， ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴．． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 把代入，得， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴． 延长交x轴于点N， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 连接． ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， ∴． 延长交于点Q． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 设， ∴，， ∴． 过点J作于点R， ∴≌， ∴，， ∴设，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 作轴，轴， ∴∽， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴点L的坐标为． 5．(1) (2)的最大值为，点 (3)或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）将代入，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴，交于点M，设点，则点，，，根据二次函数的性质即可求解； （3）先求出新抛物线的表达式，分类讨论当点在轴下方和上方时，可分别求出直线的表达式，与抛物线联立即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：将代入得， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点M 设点，则点， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为， 此时， ∴的最大值为，此时点； （3）解：如图，原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∵， 相当于抛物线先向左平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度， 则新抛物线的表达式为，即． 当点在轴下方时， 设直线交轴于点，过点作于点，此时， ∵为中点，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 当时，为等腰直角三角形， 设， 则在中，， ∴， ， ∵， ∴ ∴； ∴， ∴ ∴， 设直线的函数表达式为， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线得，有， 整理，得， 解得， ∵，舍去， ∴，即点的横坐标为； 当点在轴上方时，此时， 设直线与轴交于， ∵，， ∴在中，， ， 当时，， ∴在中，， ∴， 即， 设直线的解析式为：， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线，得，有， 整理，得， 解得， ∵，舍去， ∴， 即点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 6．(1) (2)①或；②或 (3)证明见解析 【分析】（）根据轴对称性质解答即可求解； （）①求出抛物线的解析式，求出点的坐标，再根据三角形的面积公式列出方程解答即可求解；②设，分和两种情况，分别画出图形，利用旋转和全等三角形的性质表示出点的坐标，再把点坐标代入抛物线解析式求出的值即可求解； （）由（1）可得抛物线，再把点，代入得，，即得，进而即可求证． 【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴抛物线， 把代入，得， 解得， ∴抛物线， 把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 设点纵坐标为， ∵点为轴上方抛物线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴点的坐标为或； ②设， 当时，如图，过作轴，过作于，过作于， 则， ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∴， 把代入，得， 解得（舍去），， ∴； 当时，如图，过作轴，过作于，过作于， 同理可得， ∴，， ∴， 把代入，得， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）证明：由（1）得，抛物线解析式为， 把点，代入，得，， ∴， ∵， ∴． 7．(1) (2)8， (3)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点作轴，交于点，先利用待定系数法，求直线的解析式，设点，则点，可得，从而，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据二次函数图象平移的规律，可得，设点的坐标为，可得，，，再根据题意，分类讨论：当时，列方程求解即可；当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为； （3）解： 在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下： ，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ， 设点的坐标为， 点，点， ，， 是以为直角边的直角三角形， 或， 当时，， 解得或5，此时点或； 当时，， 解得或，此时点或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，符合条件的点的坐标为或或或． 8．(1)； (2)或 (3) (4)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出二次函数的对称轴为，进而得到点D坐标，再利用图象求解即可； （3）先利用待定系数法求出的表达式，设点，过点P作轴于点Q，交于点G，则点G坐标为，进而得到的长，利用进行求解即可； （4）设点，则、，分情况讨论：当①点F和点H关于点成中心对称或②点E和点H关于点成中心对称或③点E和点F的关于点成中心对称点，利用中心对称的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入函数得： ， 解得， 二次函数的解析式为， 当时，， 点C的坐标为； （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 则对称轴为直线， 点C，与D是二次函数图象上的一对对称点， 点D的坐标为， 由图象可知：一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为或； （3）解：设直线的表达式为， 将点、代入得： ， 解得， 直线的表达式为， 设点，过点P作轴于点Q，交于点G， ， ， ， ， 二次函数的图象开口向下， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 面积的最大值为，点P坐标为； （4）解：由（3）可知：直线的表达式为， 设点，则、， ①当点F和点H关于点成中心对称时： 根据题意得：， 解得或， 若，则点E、F、H三点重合，不符合题意， ； ②当点E和点H关于点成中心对称时： 根据题意得：， 解得或（舍去）； ③当点E和点F关于点成中心对称时： 根据题意得：， 解得或（舍去）， 综上所述，点E的横坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，中心对称的性质、三角形面积问题，熟练掌握二次函数和一次函数的图象性质、数形结合的思想方法是运用是解题的关键． 9．(1) (2)； (3)，；过程见解析 【分析】（1）先求出点C坐标，再得出点B坐标，结合对称轴，利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式为，由，得出，可得．则当面积取最大值时，四边形的面积也有最大值．过点P作轴交于点Q，设，则，得出．利用二次函数性质求出最大时．过点M作轴，交x轴于点N．得出，则，当P，M，N共线时，取最小值，即可求解； （3）先利用平移求出新抛物线解析式为，再求出，证明．得出，当点M在下方时，设交x轴于点G，得出，求出直线的表达式为：，与联立求解即可；当点M在上方时，在上取一点K，使得，求出，可得直线的表达式为，证明，可得直线的表达式为：，与联立求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ． ． ， ， ． 由抛物线过点，抛物线的对称轴是直线， 得，解得， 所以抛物线的表达式为； （2）解：由，抛物线的对称轴是直线， ∴点的横坐标为， ∴， 设直线的表达式为：， 则，解得， 直线的表达式为， ， ∴与同底等高， ． ． 当面积取最大值时，四边形的面积也有最大值． 过点P作轴交于点Q， 设，则， ， ． ， 当时，有最大值，此时， ∴此时． 过点M作轴，交x轴于点N． ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当P，M，N共线时，取最小值， 此时轴． 此时的最小值为； （3）解：当M点的坐标为，，满足，理由如下： ，， ， ∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，即水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度， ∴新抛物线解析式为， ，由平移可得． ， 又，， ． ， 当点M在下方时，设交x轴于点G， ． ，即， ∴， ∴，则， 如图，可设直线的表达式为：， 代入，，则，解得， 直线的表达式为：， 由题意可得：点为直线与的交点， 令得：． 解得：，（舍去）， ， ； 当点M在上方时，在上取一点K，使得，如图， 设， 由，得， 解得：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，，则，解得， 直线的表达式为：， 由题意可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为：， 将代入，得，即直线的表达式为：， 令得：． 解得：，（舍去）， ， ； 综上，当M点的坐标为，． 10．(1) (2) (3)或 【分析】（1）将抛物线与轴的两个交点、的坐标代入二次函数的一般式，建立关于系数、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，再将求得的系数代回原一般式，即可得到二次函数的解析式； （2）先根据二次函数解析式求出抛物线与轴的交点的坐标，再利用、两点的坐标通过待定系数法求出直线的解析式，设出抛物线上动点的横坐标为参数，结合平行于轴的条件得到点的坐标，用、两点的纵坐标之差表示出线段的长度，再由平行于推出的形状固定，其面积随长度的增大而增大，将的表达式配方求出最大值对应的参数值，代入抛物线解析式即可得到面积最大时点的坐标；接下来先根据、两点的坐标求出的长度与对应角的三角函数值，利用三角函数的几何意义将带系数的线段转化为点到某条定直线的垂线段长度，再根据垂线段最短的公理，将原式转化为定点到这条定直线的垂线段长度，计算出该垂线段的长度即为所求的最小值； （3）先根据射线的方向和平移距离，确定平移后对应点的横纵坐标变化量，求出平移后抛物线的解析式和点的对应点的坐标，再通过待定系数法求出直线与直线的解析式，联立两直线解析式得到交点的坐标，随后通过构造直角三角形，利用正切值的几何意义推导角度关系，化简，得到的正切值，再分点在轴上方和下方两种情况，求出对应直线的解析式，分别将直线解析式与平移后的抛物线解析式联立，解一元二次方程后舍去不符合题意的根，最终得到符合条件的点的横坐标． 【详解】（1）解：将点，点代入二次函数，得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：∵函数与轴交于点， ∴， ∴设直线的解析式为，代入， 得， 解得， ∴直线解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵，的形状固定，即最大时，面积最大， ∴当时，取得最大值，此时面积最大， 代入，得； ∵，， ∴，，， ∴， 如图，过点作直线轴，过点作，过点作， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当、、三点共线，且时，取得最小值，也就是点到直线的垂线段长度， ∵， ∴此时的最小值为； （3）解：∵函数沿射线方向平移个单位得到函数，，， ∴平移的长度为， ∴平移后，对应点的横坐标增加，纵坐标增加， ∵原抛物线解析式为，顶点为， ∴平移后顶点为，即， ∴平移后抛物线的解析式为， ∵， ∴点的对应点是的坐标为，即， 设解析式为，将，代入得 ， 解得， ∴直线解析式为； 设直线的解析式为，将，代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵是直线和的交点， ∴， 解得， ∴， 如图，过作直线轴（向右为正方向），过作于，过作于， ∴，直线为， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 若点位于点右侧，则为钝角，不符合题意，故点位于点左侧，分两种情况讨论： ①点位于轴上方，设直线交轴于点， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为，将，代入得 ， 解得， ∴直线解析式为， ∵点为直线与抛物线的交点， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）； ②点位于轴下方，设直线交轴于点，则， ∴直线解析式为， ∵点为直线与抛物线的交点， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）； 综上，点的横坐标为或． 【点睛】本题第二问求三角形面积最大值，核心是把“求面积最大值”简化为“求线段的最大值”；第二部分求的最小值，关键是利用直角三角形的三角函数定义，把​​转化为点到定直线的垂线段长度，将“折线段和的最小值”转化为“定点到定直线的垂线段长度”，直接用“垂线段最短”的公理求解；本题第三问核心逻辑是将几何角度关系转化为可求解的代数方程． 11．(1) (2)最大值为，此时， 【分析】（1）先求出，，然后根据待定系数法求解即可； （2）先求出点B的坐标，过点作轴交于点，设，则，表示出的面积，求出面积的最大值及点P的坐标，再求出四边形面积的最大值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴． 当时，，， ∴． 将，代入中， 得， 解得， ∴． （2）解：当时，， 解得， ∴， ∴． 过点作轴交于点，连接，设，则， ， ， 当时，的面积有最大值，此时， ∵，，， ∴， ∴的面积为， 四边形面积的最大值为． ∴四边形的面积最大值为，此时． 12．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得的解析式和直线的解析式，再设点的横坐标为，根据题意列方程即可解答； （3）设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点，求得的横坐标为，根据题意确定的位置，列不等式组即可解答． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点为， 抛物线关于x轴对称的抛物线为， 抛物线的顶点为，与轴交点为， ， 把代入可得， 解得， ， 令， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于点， 设，， ， ，， ， ， 解得（负数舍去）， ， ； （3）解：如图，设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点， 令， 解得，， 在对称轴左侧， 点的横坐标为， 当时，， 要使函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关， 则点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 当时，， 同理，点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 综上，或． 13．(1) (2)a．；b． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、几何图形的旋转变换、相似三角形的判定与性质，以及利用二次函数求最值，解题关键是熟练掌握待定系数法、坐标旋转规律、相似三角形的比例关系，并结合二次函数的性质求解． （1）利用待定系数法，将已知点，代入抛物线解析式，解方程组求出系数，即可得到抛物线解析式； （2）a．利用“构造旋转全等”的方法，将线段绕点顺时针旋转得到，通过求直线的解析式，与抛物线联立求解，得到点的坐标； b．通过作平行线构造相似三角形，将面积比转化为线段比，再结合点的坐标表示出比例式，转化为二次函数，利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：把点，代入中， ， 解得 抛物线的解析式为． （2）a．把绕点顺时针旋转90度得， 连接，交抛物线于点，作，交轴于点， ， ， 又， ， 在和中： ， ， 令代入，得，即， ，， ， 由待定系数法求出的表达式为． 由， 解得（舍去）， ∴． b．作轴，轴，分别交直线于点． ， ，， ． ． 设． ，, ∴． ∴ ． 当时，有最大值为． 14．(1)直线解析式为，抛物线解析式为 (2) (3) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由一次函数解析式可得点C坐标，从而可得，由的面积是面积的2倍可得点P到的距离是点Q到的距离的2倍，再分类讨论点P的位置并结合图像求解即可； （3）分别讨论点M在x轴正半轴，y轴负半轴与正半轴三种情况，由长度不变，角度不变可得为弦所对圆周角，从而可得所对圆心角为直角，进而求解即可． 【详解】（1）解：代入得： ，解得：， ∴抛物线解析式． 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：①点P在x轴上方时，过点P作x轴平行线，交y轴于点F，交直线于点E， 将代入得， ∴点C坐标为， ∵， ∴C为中点，即， ∴当的面积是面积的2倍时，点P到的距离是点Q到的距离的2倍， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P纵坐标为， 将代入得，解得， ∴点P坐标为或． ②点P在x轴下方时，连接，轴于点K， ∵C为中点， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴点Q为中点， 又∵， ∴， ∴，即点P纵坐标为， 将代入得，解得∴点P坐标为或． 综上所述，点P坐标为或或或． （3）解：①点M在x轴正半轴上，作轴于点N， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点M坐标为． ②如图，点M在y轴负半轴，作于点G， ∵长度不变，， ∴点A，B，M在同一个圆上， ∵， ∴点G为外接圆圆心， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴点M坐标为， 此时，， 所以是等腰直角三角形，符合题意； ③点M1与点M关于点C对称，则四边形为平行四边形，， ∴点坐标为． ∴点M坐标为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $