精品解析：湖北随州市曾都区第一高级中学实验班2025-2026学年高一下学期四月第二次测试数学试卷

湖北随州曾都一中25级高一实验班下学期四月第二次测试数学试卷 内容：必修一+必修二第六章至第八章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，代入化简，利用复数相等求解得到，再利用复数的除法计算即可. 【详解】设，则， 代入得到， ， 即， 所以，即 ， 所以， 则. 2. 已知实数满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A，可知，无法判断正负，所以选项A错误； 对于选项B，可知时，所以，所以选项B错误； 对于选项C，因为，所以， 可知，当且仅当，即时取等号，所以等号取不到， 所以，选项C正确； 对于选项D，当时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误； 3. 在中，点在边上，.记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线段关系得到向量的关系，再由向量的线性运算求出结果即可. 【详解】∵，∴ . 故选：C. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知化简求得，利用二倍角公式进行弦化切求得，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 显然， ， 于是. 5. 如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则可得相关线段长，将直观图复原为原图形，即可求得答案. 【详解】由题意知，, 如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形， 因为，是的中点，故，且, 故,故， 故选：C 6. 已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的单调性与对称性，结合函数性质得到的最小值，进而求解小于的最小值，再解一元二次不等式得到的取值范围. 【详解】已知，由于在R上单调递减，故是上的增函数. 对任意，有 . 已知，即，由是增函数得：， 因此：，即恒大于. 不等式恒成立，等价于： 整理得，即， 解得：，即的取值范围是. 7. 一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为 A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设圆锥的底面半径为，母线长为，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长． 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为 它的侧面展开图是圆心角为的扇形 又圆锥的表面积为 ，解得： 母线长为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题． 8. 已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数的解析式，再根据周期求函数的解析式，根据平移和伸缩变换求的解析式，最后根据选项，利用代入法求函数的一个单调递增区间. 【详解】 最小正周期，得， 即，图象向下平移2个单位长度后得到函数，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数， A.当，，此区间先减后增，故A错误； B. 当，，是正弦函数减区间的子集，故B错误； C. 当，，是正弦函数增区间的子集，故C正确； D.当，，此区间先增后减，故D错误； 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（且），若，则（ ）． A. 是纯虚数 B. 是实数 C. D. 的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，所以，，因为，所以是纯虚数，故A正确； 对于B，，是实数，故B正确； 对于C，若，则或，此时虚部，与题设矛盾，故C错误； 对于D，表示复平面内点到点的距离， 由题意知点Z在单位圆上，该圆上到点距离最大的点为， 即当，时，取得最大值2，故D正确． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 点在所在的平面内，若，则点为的重心 B. 若，为锐角，则实数m的取值范围是 C. 点在所在的平面内，若，，分别表示，的面积，则 D. 点在所在的平面内，满足且，则点是且的内心 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A:设边上的中点为，证明点在边的中线上即可；对于B:利用为锐角，得到,且不共线，计算即可；对于选项C: 由，，设的中点为，设的中点为，可判断三点共线，进而可得面积关系；对于选项D:利用数量积公式可得，，进而得到点是且的内心. 【详解】对于选项A：设边上的中点为,则易得, 因为，所以, 所以，又点为公共点， 所以三点共线，即点在边的中线上， 同理可得点也在两边的中线上， 所以点为的重心，故A正确； 对于选项B:因为， 所以 因为为锐角，所以,且不共线， 所以，解得且，故选项B错误； 对于选项C: 因为，所以， 如图，设的中点为，设的中点为， 则,所以， 又点为公共点，所以三点共线，且， 所以,又， 所以，故C正确； 对于选项D:由，可得 即， 由，所以， 所以是的角平分线， 由，可得, 即， 由，所以， 所以是的角平分线， 所以点是且的内心，故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：应用向量的坐标表示及夹角的坐标公式，数形结合法求参数或最值，利用向量的线性关系确定的位置，进而判断面积关系或哪种心. 11. 在中，，且为边的中点，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由余弦定理、正弦定理及同角三角函数基本关系化简可得，判断A；由结合余弦定理计算判断B；由二倍角公式结合二次函数性质计算判断C，由向量数量积运算律计算判断D. 【详解】对于A，由余弦定理可得，， 所以， 由正弦定理可得， 而，所以， 因为在中，， 所以，即，故，故A正确； 对于B，由A可知，为等腰三角形，所以， 因为是边的中点， 所以， 由余弦定理可得， 即，解得，故,故为直角，这样题设矛盾，故B错误； 对于C，因为，，所以， 故， 因为，所以，令，， 由二次函数性质可知，当，即时，有最大值，即， 因为，所以不成立，故C错误； 对于D，因为，， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理整理可得，构建，可知在内有2个零点，结合二次函数零点分布运算求解. 【详解】由余弦定理可得，即， 整理可得， 构建，可知在内有2个零点， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知平面向量与夹角为，且对任意实数，的最小值为，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以当时，有最小值为， 即，解得. 14. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，由正三角形性质求出圆柱底面圆半径，利用锥体体积公式求出圆柱的高，再利用圆柱及外接球的结构特征求出球半径即可. 【详解】由圆的内接正的边长为3，得圆的半径， ，三棱锥的高即圆柱的高， 由，解得，圆柱的两底面圆是其外接球的两个截面小圆， 由这两个截面小圆平行且全等，得该球球心到截面小圆距离，则球半径， 所以圆柱的外接球的体积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，中，，，，，为的中点，与相交于点． （1）若，求的值； （2）求的余弦值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用向量共线定理及其推论待定系数计算即可； （2）利用向量数量积公式及模长公式计算即可. 【小问1详解】 易知 ， 因为三点共线，所以，解得； 【小问2详解】 记， 则，， 又，，，故， ， ， ， 则． 16. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，. （1）求角； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解； （2）利用正弦定理结合三角函数的性质求出的范围，再根据三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又因为在锐角中， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，所以， 所以，所以 所以. 17. 如图所示，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，，C点坐标为(－2，0)，平行四边形的面积为S. （1）求·＋S的最大值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)，向量与圆结合，利用平面向量的数量积运算与三角函数结合；(2)，利用向量平行的关系表达与求解关系式就可以顺利解决问题. 【小问1详解】 由已知得，的坐标分别为，， 因为四边形是平行四边形， 所以， 又因为平行四边形的面积为， 所以+1 又因为，所以当时，的最大值为． 【小问2详解】 由题意知，， 因为，所以，因为，所以． 由，，得，， 所以， 所以．. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，． （1）求A； （2）若，求的周长最大值． （3）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O，．记和的面积分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用向量数量积的坐标公式得到一个等式，然后利用正弦定理和和差的正弦函数公式对等式进行化简，最后根据角的范围求出. （2）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数性质得到其值域即可. （3）首先利用正弦定理列出外接圆半径与的关系，然后根据圆心角、圆周角的关系列出的大小，然后根据三角形面积公式列出的表达式，最后根据角的范围求出其范围即可. 【小问1详解】 ，即， 由正弦定理得，， 因为，所以， 又，所以，即， 因为，所以，所以，即． 【小问2详解】 因为，，所以， 所以周长 因为，所以 当时，周长取得最大值，此时． 【小问3详解】 设外接圆半径为，则， 且由正弦定理，即， 因为，， 所以， ， 所以， 由为锐角三角形知，，，令， 则， ∵， ∴． 19. 如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为． （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求； ②，分别在射线，上，，，为线段上两点，且，，求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据定义及向量数量积的运算律即可求解； （2）①根据定义及向量夹角的计算公式即可求解；②设，，，根据向量数量积的运算律，余弦定理，正弦定理及三角函数的值域即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 ①因为，， 所以，， ， 则， 化简并整理得， 解得或（舍去，因为）， 则． ②依题意设，，， 因为为中点，则， 同理， 则 ， 在中，，，，， 依据余弦定理得， 整理得， 所以 在中，，， 由正弦定理， 设，则，， ， 因为，所以，则， 所以当时，取得最小值，即取最小值， 此时取最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北随州曾都一中25级高一实验班下学期四月第二次测试数学试卷 内容：必修一+必修二第六章至第八章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点在边上，.记，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为 A. B. 4 C. D. 8. 已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（且），若，则（ ）． A. 是纯虚数 B. 是实数 C. D. 的最大值为2 10. 下列结论正确的是（ ） A. 点在所在的平面内，若，则点为的重心 B. 若，为锐角，则实数m的取值范围是 C. 点在所在的平面内，若，，分别表示，的面积，则 D. 点在所在的平面内，满足且，则点是且的内心 11. 在中，，且为边的中点，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是___________. 13. 已知平面向量与夹角为，且对任意实数，的最小值为，则_____． 14. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，中，，，，，为的中点，与相交于点． （1）若，求的值； （2）求的余弦值． 16. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，. （1）求角； （2）若，求面积的取值范围. 17. 如图所示，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，，C点坐标为(－2，0)，平行四边形的面积为S. （1）求·＋S的最大值； （2）若，求的值． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，． （1）求A； （2）若，求的周长最大值． （3）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O，．记和的面积分别为，，求的取值范围． 19. 如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为． （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求； ②，分别在射线，上，，，为线段上两点，且，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $