精品解析：北京市丰台区2025-2026学年第二学期期中练习高二数学

北京市丰台区2025-2026学年第二学期期中练习高二数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数， 则，故A正确. 2. 函数在区间上的平均变化率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数平均变化率定义求解即可 【详解】因为函数，所以函数在区间上的平均变化率为： . 3. 一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则时，其瞬时速度（单位：m/s）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，求导得，则， 所以当时的瞬时速度为5 m/s. 4. 用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，从个不为零的数字选个排列的个数为. 5. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的定义和性质分析求解. 【详解】由题意知，①，此时无解； ②，解得. 经检验可知符合题意. 6. 在的展开式中，含x的项的系数为（ ） A. B. 40 C. D. 80 【答案】B 【解析】 【详解】的展开式的通项为， 令，则， 故的展开式中含x的项的系数为. 7. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二项分布方差计算公式和方差运算性质即可求解. 【详解】由题意可得， 则. 8. 已知为定义在上的函数，其导函数的图象如下图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 在区间上单调递增 C. 是在区间上的最小值 D. 曲线在点处的切线斜率大于零 【答案】D 【解析】 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 仅在和时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，不是函数的极小值点，故A错误， 由图象可知在区间上不单调，B错误； 当时，，当时，， 则在上单调递减，在单调递增， 即是在区间上的极小值也是最小值，C错误， 由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D正确. 9. 已知函数的定义域为，其导函数满足，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断函数在定义域内为单调递增，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解. 【详解】令，， 因为， 则 ， 所以在上单调递增. 因为，所以关于的不等式， 可化为，即 因为在上单调递增，所以由 可得， 由定义域知，解得. 即不等式的解集为 10. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，， 又抽取男生30名和女生20名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令， 解得， 因为，所以当时，取得最大值. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则___． X 0 1 P 2m m 【答案】 【解析】 【分析】由离散型随机变量的性质，概率之和为1即可求解. 【详解】由概率之和为1可得：，解得. 12. 某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为___． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算. 【详解】乘火车、飞机的事件分别为，这人迟到的事件为， 则，， 因此， 所以这个人迟到的概率为0.38. 13. 已知函数在区间上不单调，则的一个取值为___． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】由，得， 令，解得或， 当时，；当时，；当时，； 即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由于函数在区间上不单调， 故，或，解得或， 故的一个取值可为0. 14. 已知，则___；___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】①令，代入等式，左边，右边，故. ②令，左边，右边，即 (1) 令，左边. 右边，即 (2) (1)+(2)得：，即. 代入，得，故. 15. 已知函数 . 给出下列四个结论： ①，无零点； ②若在处取得极小值，则； ③当时，，，使得； ④当时，，集合恰有3个元素. 其中正确结论的序号是___． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，需分和讨论，函数的零点问题等价于；当时，对于一元二次方程，利用判别式判断是否存在零点；对于②，先对求导，根据在处取得极小值，分析导函数在附近的符号变化，推导的取值范围；对于③，当时，判断在上是否有最大值，先分析的单调性，结合极限趋势，判断是否存在实数使得恒成立；对于④，集合元素个数等价于方程的解的个数，先分析时的单调性与极值，结合，判断方程解的个数. 【详解】对于①，当时，，无零点； 当时，令，，只需即可； ，此时方程无解； ，无零点，故①正确. 对于②，当时，，无极值； 当时，，； 令，得或； 当时，，当时，，单调递减； 时，，单调递增；时，，单调递减； 此时，在处取得极小值，在处取得极大值；. 当时，， 当时，，单调递增； 时，，单调递减；时，，单调递增； 此时，在处取得极小值，在处取得极大值；. 综上所述，当时，在处取得极小值，故②错误. 对于③，由②知，当时，时，，单调递增；时，，单调递减； 当时，在处取得极大值，也是最大值，即； 当时，，，即，，使得，故③正确. 对于④，由②知，当时，时，，单调递减； 时，，单调递增；时，，单调递减； 此时，在处取得极小值，即，在处取得极大值，即； 当时，；当时，； ，集合有3个元素. 当时，时，，单调递增； 时，，单调递减；时，，单调递增； 此时，在处取得极小值，即，在处取得极大值，即； 当时，；当时，； ，集合有3个元素. 综上所述，，集合有3个元素，故④正确. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 从3名男生和6名女生中选出4人去参加一项创新比赛． （1）如果所选4人中恰有男生1人，女生3人，且女生甲必须在内，那么有多少种选法？ （2）如果所选4人中男生不少于2人，那么有多少种选法？ 【答案】（1）30 （2）51 【解析】 【分析】（1）先选男生有种选法，再选满足条件的女生有种选法，再由分步乘法计数原理即可得出答案. （2）方法一直接法，求出符合条件的两类选法，由分类加法计数原理即可得出答案；方法二排除法，用总的方法总数减去两种不符合条件的情况，即可得出答案. 【小问1详解】 选1名男生，有种选法， 选3名女生，且女生甲必须在内，有种选法． 所以符合条件的不同选法有（种）． 【小问2详解】 方法一（直接法）：符合条件的选法有两类： 第1类，2名男生，2名女生的选法有种； 第2类，3名男生，1名女生的选法有种； 所以男生不少于2名的不同选法有（种）． 方法二（排除法）： 因为从9名学生中，选4名代表的选法共有种， 其中包括1男3女和4女0男两种不符合条件的情况， 所以男生不少于2名的不同选法有（种）． 故共有51种不同的选法． 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）根据导数与最值的关系求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，则或. 当在区间上变化时，，的变化情况如表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以当时，在区间上取得最大值，最大值为. 18. 李华参加一次招聘考试，已知共有8道题目，他只能答对其中5道. 若随机抽取3道让李华回答，规定至少要答对其中2道才能通过考试. （1）记为李华答对的题目数，求的分布列及数学期望； （2）求李华能通过考试的概率. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列的求法及期望公式求解即可； （2）利用互斥事件和的概率公式求解. 【小问1详解】 由已知可得的所有可能取值为0，1，2，3. ，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为. 【小问2详解】 因为至少答对其中2道才能通过考试， 所以通过考试包括答对2道题和答对3道题两种情况， 这两种情况是互斥的， 由（1）知， ，， 所以. 所以李华能通过考试的概率为. 19. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.40 m以上（含9.40 m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.90，9.78，9.65，9.54，9.42，9.40，9.38，9.35，9.30，9.25； 乙：9.79，9.58，9.52，9.50，9.39，9.37，9.36，9.33，9.27，9.23； 丙：9.85，9.75，9.66，9.50，9.46，9.41，9.35，9.30，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望； （3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3）甲 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率结合古典概率计算可得； （2）依题意列出的可能取值，求出对应的分布列，再代入期望公式计算可得； （3）由概率比较可得. 【小问1详解】 甲以往的10次成绩中有6次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； 【小问2详解】 用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为； 由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为； 【小问3详解】 由于铅球比赛成绩最远者胜，且甲、丙取得优秀奖的概率相同，均大于乙，但甲的最好成绩高于丙，故甲获得冠军的概率最大. 20. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； （2）若，求的极大值； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义求解即可； （2）利用导数分析单调性求解可得； （3）两边同乘后转化为恒成立，构造函数，求导后根据的取值讨论单调性和最值可得. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为曲线在点处的切线与直线平行，且， 所以，所以； 经检验，符合题意； 【小问2详解】 当时，， 此时，函数的定义域为，， 令，则， 当在区间上变化时，、的变化情况如表所示： 单调递增 单调递减 所以，当时，有极大值，并且极大值为； 【小问3详解】 若恒成立，即恒成立， 设， 只要即可； ， ①当时，令，得， ，，变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 所以，故满足题意； ②当时，令，得舍，或； ，，变化情况如下表： ↗ 极大值 ↘ 所以，得； ③当时，存在，满足， 所以不能恒成立，所以不满足题意； 综上，实数的取值范围为. 21. 对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，，对于数列与，定义.若数列满足，则称数列为数列. （1）若，直接写出，； （2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列；若不存在，说明理由； （3）若数列满足，求数列的个数． 【答案】（1）， （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用变换的定义即可得解； （2）利用数列的定义，记中有个，有个，则，进而即得； （3）由题可得，进而可得，然后结合条件即得. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 因为， 由数列为数列，所以， 对于数列中相邻的两项， 令，若，则，若，则， 记中有且个，则有个1， 则. 因为与的奇偶性相同，与的奇偶性不同， 所以不存在符合题意的数列. 【小问3详解】 首先证明， 对于数列，，…，，有，，…，，， ，，…，，，，，…，，， ，，…，，，，，…，，， 因为， 所以， 故， 其次，由数列为数列可知，， 解得， 这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次， 若数列中的个数为个，此时数列有个， 所以数列的个数为个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市丰台区2025-2026学年第二学期期中练习高二数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 2. 函数在区间上的平均变化率等于（ ） A. B. C. D. 3. 一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则时，其瞬时速度（单位：m/s）为（ ） A. B. C. D. 4. 用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 或 6. 在的展开式中，含x的项的系数为（ ） A. B. 40 C. D. 80 7. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知为定义在上的函数，其导函数的图象如下图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 在区间上单调递增 C. 是在区间上的最小值 D. 曲线在点处的切线斜率大于零 9. 已知函数的定义域为，其导函数满足，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则___． X 0 1 P 2m m 12. 某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为___． 13. 已知函数在区间上不单调，则的一个取值为___． 14. 已知，则___；___． 15. 已知函数 . 给出下列四个结论： ①，无零点； ②若在处取得极小值，则； ③当时，，，使得； ④当时，，集合恰有3个元素. 其中正确结论的序号是___． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 从3名男生和6名女生中选出4人去参加一项创新比赛． （1）如果所选4人中恰有男生1人，女生3人，且女生甲必须在内，那么有多少种选法？ （2）如果所选4人中男生不少于2人，那么有多少种选法？ 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值. 18. 李华参加一次招聘考试，已知共有8道题目，他只能答对其中5道. 若随机抽取3道让李华回答，规定至少要答对其中2道才能通过考试. （1）记为李华答对的题目数，求的分布列及数学期望； （2）求李华能通过考试的概率. 19. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.40 m以上（含9.40 m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.90，9.78，9.65，9.54，9.42，9.40，9.38，9.35，9.30，9.25； 乙：9.79，9.58，9.52，9.50，9.39，9.37，9.36，9.33，9.27，9.23； 丙：9.85，9.75，9.66，9.50，9.46，9.41，9.35，9.30，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望； （3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 20. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； （2）若，求的极大值； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 21. 对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，，对于数列与，定义.若数列满足，则称数列为数列. （1）若，直接写出，； （2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列；若不存在，说明理由； （3）若数列满足，求数列的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $