第19章 二次根式专题【计算+材料阅读】2025-2026学年人教版数学八年级下册

二次根式运算 姓名：______班级：________ 类型一：二次根式的计算 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 3．计算： 4． 计算：． 5． 计算：． 6． 计算：． 7． 计算： 8． 计算： 9． 计算：． 10． 计算： 类型二：材料阅读题——分母有理化 11．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． 问题1： (1)的有理化因式是______________（写出一个即可）； (2)的有理化因式是______________（写出一个即可）； (3)[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子和分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 问题2：利用分母有理化化简下列式子：； (4) [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子和分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：； 问题3：试利用分子有理化比较和的大小．． 12．在数学实践课上，老师给同学们展示了一种“根式裂项法”：对形如（为正整数）的式子我们可以利用平方差公式进行分母有理化： 请根据以上方法解决下列问题： (1)计算： ①______； ②______． (2)求出的值． (3)已知，求的值． 13．在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ，即 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：． (2)若，求的值． 类型三：材料阅读题——规律 14．，，，…； (1)观察上述计算，根据式子的规律写出后面连续的两个等式； (2)用含n的等式表示你所发现的规律，并证明你发现的规律是否正确． 15．学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题： 具体运算，发现规律 (1)，，，计算：________ 观察归纳，写出结论 (2)________（n为正整数） 灵活运用，提升能力（备注：，） (3)请利用你所发现的规律，计算的值． 16．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： (2)根据上述思路，试将予以化简． 类型四：材料阅读题——新定义 17．在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，，，所以它是“和谐数组”． (1)判断： “和谐数组”， “和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 18．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于 的最大整数，称为a 的根整数，例如： (1)计算： ； ； (2)若则满足题意的x 的所有整数值为 ； (3)如图，数轴上表示1 和 的对应点分别为点 A，B，点A 是 BC 的中点，点O 为原点，设点 C 表示的数为x，试求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次根式运算 姓名：______班级：________ 类型一：二次根式的计算 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义解题，先将每个选项化为最简二次根式，再比较最简二次根式的被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：对各选项逐一化简判断： A选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A错误； B选项：，与的被开方数相同，是同类二次根式，故B正确； C选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C错误； D选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故D错误． 2．下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的化简和混合运算的法则逐一判断即可． 【详解】解：对于A：和不是同类二次根式，无法合并，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误． 3．计算： 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂，二次根式的化简，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方、绝对值、负整数指数幂。零指数幂，二次根式，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 4．计算：． 【答案】8 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行负整数指数幂，取绝对值，乘方，乘法和零指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先运算零次幂，化简绝对值，负整数指数幂，以及结合二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 6．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式、绝对值、有理数乘方的运算法则化简，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 7．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简等知识点，熟练掌握运算法则解题的关键． 先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂以及化简二次根式，再进行实数的混合运算即可． 【详解】解： ． 8．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算（涉及绝对值、负整数指数幂、乘方、零指数幂、二次根式化简），解题的关键是熟练掌握各运算的法则并准确计算． 先分别计算绝对值、负整数指数幂、乘方、零指数幂、二次根式化简的结果，再进行加减运算得出最终结果． 【详解】解： 9．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的运算，先进行乘方，负整数指数幂，零指数幂，化简二次根式，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 10．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先进行乘方，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂，平方差公式的计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 类型二：材料阅读题——分母有理化 11．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． 问题1： (1)的有理化因式是______________（写出一个即可）； (2)的有理化因式是______________（写出一个即可）； (3)[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子和分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 问题2：利用分母有理化化简下列式子：； (4) [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子和分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：； 问题3：试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】(1)(2)（3） (4) 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据有理化因式的定义即可求得答案； （3）根据所得规律计算即可； （4）利用分子有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； （2）解：∵， ∴的有理化因式是； （3）解： ； （4）解：，理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 12．在数学实践课上，老师给同学们展示了一种“根式裂项法”：对形如（为正整数）的式子我们可以利用平方差公式进行分母有理化： 请根据以上方法解决下列问题： (1)计算： ①______； ②______． (2)求出的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）利用分母有理化的方法，给分式的分子分母同乘分母的有理化因式，将分母中的根号去掉，进而化简二次根式； （）先根据分母有理化的结论，将每一项裂项为两个根式相减的形式，再通过裂项相消法，让中间项相互抵消，最后得到首尾两项的差，完成计算； （）先对进行分母有理化，再通过移项、两边平方的操作，构造出含和的代数式的值，最后整体代入所求的代数式，计算出结果． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：根据题干结论，每一项可裂项为：， ； （3）解：， 移项得：， 两边平方：， ， ， 两边同乘得：， 代入所求代数式：． 13．在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ，即 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可； （2）根据阅读材料化简可得，将所求代数式变形为含的式子，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 原式 ． （2）解：， ， ，即， ， ． 类型三：材料阅读题——规律 14．，，，…； (1)观察上述计算，根据式子的规律写出后面连续的两个等式； (2)用含n的等式表示你所发现的规律，并证明你发现的规律是否正确． 【答案】(1)，； (2)（为正整数），证明见解析． 【分析】（1）通过观察已知等式中整数部分、分数分母与结果的变化规律，直接写出后续两个等式． （2）先归纳出含的通用规律等式，再通过分式通分、二次根式化简证明等式成立． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：（为正整数） 证明：为正整数， 为正整数， ， ， （n为正整数）成立． 15．学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题： 具体运算，发现规律 (1)，，，计算：________ 观察归纳，写出结论 (2)________（n为正整数） 灵活运用，提升能力（备注：，） (3)请利用你所发现的规律，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给新运算可进行求解； （2）由（1）及题干可进行求解； （3）根据（2）中的结论把所求式子中的每一项进行展开，再计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ……， 以此类推可知，； （3）解： ． 16．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)、、、、 (2)，过程见解析 【分析】（1）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可； （2）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可． 【详解】（1）解：故答案为：、、、、． （2）解：原式 类型四：材料阅读题——新定义 17．在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，，，所以它是“和谐数组”． (1)判断： “和谐数组”， “和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 【答案】(1)是；不是 (2)或12． 【分析】（1）根据“和谐数组”定义计算后再判断即可； （2）分两种情况根据“和谐数组”的定义计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，则是“和谐数组”； ，不是整数，则不是“和谐数组”； （2）解：因为为“和谐数组”， 则， 若，即，解得，，符合题意； 若，即，解得，，符合题意； 所以或12． 18．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于 的最大整数，称为a 的根整数，例如： (1)计算： ； ； (2)若则满足题意的x 的所有整数值为 ； (3)如图，数轴上表示1 和 的对应点分别为点 A，B，点A 是 BC 的中点，点O 为原点，设点 C 表示的数为x，试求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的正整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义得到结果． 【详解】（1）解：， 根据根整数的定义得，； （2）解：， ， ， 则满足题意的x 的所有整数值为； （3）解：根据题意得，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $