专题01二次根式易错必刷题型专项训练(16大题型共计52道题)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题01二次根式易错必刷题型专项训练 本专题汇总二次根式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区。 题型01.二次根式有意义的条件 题型02.利用二次根式的性质化简 题型03.最简二次根式的判断 题型04.已知最简二次根式求参数 题型05.同类二次根式 题型06.二次根式的除法 题型07.二次根式乘除混合运算 题型08.二次根式的加减运算 题型09.二次根式的混合运算 题型10.分母有理化 题型11.已知条件式.化简求值 题型12.比较二次根式的大小 题型13.二次根式与绝对值综合化简 题型14.二次根式配方化简求值 题型15.新定义运算 题型16.二次根式规律探究 易错必刷题型01.二次根式有意义的条件 易错点：只考虑被开方数≥0，忽略分式分母不能为0，容易漏写限制条件、漏等号 1．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若，则的值是______． 3．已知实数满足，则化简的结果是（    ） A． B． C．4 D． 4．若，则的最大值是__________． 易错必刷题型02.利用二次根式的性质化简 易错点：混淆和两个公式，化简不判断字母正负，直接去绝对值，符号错误率极高 5．若，则___________． 6．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．计算： 易错必刷题型03.最简二次根式的判断 易错点：看不出被开方数里含有能开得尽方的因数、内含分母，极易出现判断失误 8．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 9．在二次根式、、、、中，最简二次根式有___________个． 10．下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型04.已知最简二次根式求参数 易错点：求出参数后不回头检验，忽略最简二次根式的限制要求，答案不符合题意 11．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 12．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 13．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 易错必刷题型05.同类二次根式 易错点：不先把根式化成最简形式，直接用原式对比被开方数，概念混淆判断出错 14．下列各式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 15．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值是___________． 16．若最简二次根式与能够合并，那么的值为（ 　　） A．2 B．3 C．4 D．5 17．若最简二次根式与可以合并，则__________． 易错必刷题型06.二次根式的除法 易错点：分母有理化时只乘分母、漏掉分子，找错有理化因式，正负符号书写错误 18．计算：_____________． 19．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 20．计算： (1)； (2)； (3)． 易错必刷题型07.二次根式乘除混合运算 易错点：运算顺序混乱颠倒，化简步骤不完整，最终结果不化成最简二次根式 21．计算：___________． 22．计算：等于（   ） A． B． C． D． 23．计算： 易错必刷题型08.二次根式的加减运算 易错点：非同类二次根式强行合并计算，去括号、移项时正负符号写错，化简不彻底 24．计算：______． 25．计算： (1)； (2)． 26．计算： (1)． (2)． 易错必刷题型09.二次根式的混合运算 易错点：运算顺序颠倒乱用，平方差、完全平方公式套用错误，跳步计算容易算错数 27．若x，y为实数，且，求______． 28．计算：． 29．阅读材料：在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： ； ． (1)【类比归纳】填空： ①（ ）2（ ）2 ②（ ）2 (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； (3)【拓展提升】如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 易错必刷题型10.分母有理化 易错点：有理化因式分辨错误，分子分母不同步相乘，负号处理不当，基础步骤频繁出错 30．已知，，则与的关系为________． 31．先化简，再求代数式的值，其中． 32．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：________；________； (2)矩形的面积为，一边长为，求这个矩形的周长． 易错必刷题型11.已知条件式.化简求值 易错点：不先化简式子就直接代入数值硬算，计算量大极易算错，忽略字母隐藏取值范围 33．已知，则_________． 34．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 35．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． (1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 易错必刷题型12.比较二次根式的大小 易错点：乱用平方法不区分正负，根式范围估算偏差，大小关系容易判断弄反 36．比较大小：（1）________    （2）________ 37．阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ； ② (2)计算： ； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 38．【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 易错必刷题型13.二次根式与绝对值综合化简 易错点：结合数轴判断字母正负，去根号、去绝对值时符号容易搞反，正负处理极易出错 39．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果是________． 40．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值____________． 41．如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 42．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型14.二次根式配方化简求值 易错点：不会配方变形、不会整体代换简便计算，直接硬代数值计算量大，步骤繁琐容易算错 43．如果，那么的值是_________． 44．已知， (1)直接写出，，的值； (2)求代数式的值． 45．已知和的小数部分分别为m，n，求代数式的值． 易错必刷题型15.新定义运算 易错点：看不懂题目新定义运算规则，盲目套用公式，审题不仔细，格式书写容易出错 46．我们规定：对于任意的正数m，n的“※”运算为：，计算的结果为_______． 47．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 48．对于任意的正数m，n，定义运算“”： (1)计算的结果； (2)计算的结果． 易错必刷题型16.二次根式规律探究 易错点：找不到式子排列规律，不会归纳推导通用规律，规律总结错误，填空解答都易丢分 49．小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______． 50．小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程： 具体运算，发现规律． 等式1：． 等式2：． 等式3：． （1）观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为______． （2）应用运算规律． 小丽写出一个等式（），若该等式符合上述规律，则的值为______． 51．观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． ．．．．．． (1)按照以上规律，写出第6个等式：___________； (2)按照以上规律，写出你猜想的第个等式：___________（用含的等式表示，为正整数），并证明等式成立． 52．观察下列等式： ，， ，，按上述规律，回答下列问题： (1)填空：_______________，_______________； (2)求的值； (3)知识运用，计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式易错必刷题型专项训练 本专题汇总二次根式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区。 题型01.二次根式有意义的条件 题型02.利用二次根式的性质化简 题型03.最简二次根式的判断 题型04.已知最简二次根式求参数 题型05.同类二次根式 题型06.二次根式的除法 题型07.二次根式乘除混合运算 题型08.二次根式的加减运算 题型09.二次根式的混合运算 题型10.分母有理化 题型11.已知条件式.化简求值 题型12.比较二次根式的大小 题型13.二次根式与绝对值综合化简 题型14.二次根式配方化简求值 题型15.新定义运算 题型16.二次根式规律探究 易错必刷题型01.二次根式有意义的条件 易错点：只考虑被开方数≥0，忽略分式分母不能为0，容易漏写限制条件、漏等号 1．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次根式有意义时被开方数为非负数，则，解得． 2．若，则的值是______． 【答案】5 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴． 3．已知实数满足，则化简的结果是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用二次根式有意义的条件确定的取值，然后代入二次根式化简． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 4．若，则的最大值是__________． 【答案】 【分析】根据题意，得，设，得，继而得到，故得到，配方，利用非负性解答即可． 本题考查了二次根式的定义，换元，配方，非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 设，则， 故， 故， 而， 故， 故当时，此时，y取最大值，且为． 故答案为：． 易错必刷题型02.利用二次根式的性质化简 易错点：混淆和两个公式，化简不判断字母正负，直接去绝对值，符号错误率极高 5．若，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，绝对值的运算，解题思路是利用二次根式的性质将原式化为绝对值的和，再根据的取值范围去掉绝对值符号，合并同类项得到结果． 【详解】解： ，， ． 6．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质判断各式是否正确，二次根式中被开方数必须非负，商的算术平方根性质为 ，积的算术平方根性质为． 【详解】解：A选项：，，等式成立； B选项：，和在初中实数范围内无意义，等式不成立； C选项：，，∴，等式不成立； D选项：，等式中无意义，∴结果错误，等式不成立． 7．计算： 【答案】 【分析】根据绝对值、零次幂、负整数指数幂、二次根式的相关运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 易错必刷题型03.最简二次根式的判断 易错点：看不出被开方数里含有能开得尽方的因数、内含分母，极易出现判断失误 8．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵，被开方数含有能开得尽方的因数，∴选项A中的二次根式不是最简二次根式； ∵，被开方数含有分母，∴选项B中的二次根式不是最简二次根式； ∵，被开方数含有分母，∴选项C中的二次根式不是最简二次根式； ∵满足最简二次根式的两个条件，∴选项D中的二次根式是最简二次根式.，符合题意． 9．在二次根式、、、、中，最简二次根式有___________个． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式的概念，先将各二次根式化简，再判断符合条件的个数即可． 【详解】解：，故不是最简二次根式， 的被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数，是最简二次根式， ，故不是最简二次根式， ，故不是最简二次根式， ，故不是最简二次根式， 综上，最简二次根式只有个． 10．下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 易错必刷题型04.已知最简二次根式求参数 易错点：求出参数后不回头检验，忽略最简二次根式的限制要求，答案不符合题意 11．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了最简二次根式定义，二次根式性质，根据最简二次根式的定义，被开方数不能含有能开得尽方的因数或因式，即 不能是平方数或含有平方因子，尝试最小的正整数，从开始验证． 【详解】解：当时，，16是4的平方，因此不是最简二次根式； 当时，，23是质数，没有平方因子，因此是最简二次根式． 故最小的正整数为2． 故答案为：2． 12．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 13．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)1或 (2)2或 【分析】本题考查最简二次根式合并的性质与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据最简二次根式可合并的性质，得到两个二次根式的被开方数相等，列方程求解后验证被开方数非负得到的值； （2）根据二次根式被开方数必须非负，求出y的值，再代入计算得到的值． 【详解】（1）解：根据题意得，最简二次根式与最简二次根式可以合并， 则， 整理得：， 解得：或， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 因此，的值为1或； （2）解：根据题意得： 解得：， 由（1）知：或， 当、时，， 当、时， 因此，的值为2或． 易错必刷题型05.同类二次根式 易错点：不先把根式化成最简形式，直接用原式对比被开方数，概念混淆判断出错 14．下列各式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，化为最简后被开方数不为，故A不符合要求； ，化为最简后被开方数为，与的被开方数相同，故B符合要求； ，化为最简后被开方数不为，故C不符合要求； ，化为最简后被开方数不为，故D不符合要求． 15．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值是___________． 【答案】2 【分析】几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，这几个就是同类二次根式，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵，且与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 16．若最简二次根式与能够合并，那么的值为（ 　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】能合并的最简二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可得到a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并， ∴两个二次根式的被开方数相等， 即， 移项得， 解得， 检验：当时，且，符合题意． 17．若最简二次根式与可以合并，则__________． 【答案】9 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，解二元一次方程组，掌握最简二次根式的定义，同类二次根式的定义是解题的关键． 由于两个根式都是最简二次根式且可以合并，因此它们的根指数相同且被开方数相等，列方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得 解得 ∴． 故答案为：． 易错必刷题型06.二次根式的除法 易错点：分母有理化时只乘分母、漏掉分子，找错有理化因式，正负符号书写错误 18．计算：_____________． 【答案】8 【详解】解： ． 19．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的除法运算法则，分别对系数和被开方数计算，再化简即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ． 20．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）直接根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据二次根式的除法法则计算即可； （3）直接根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 易错必刷题型07.二次根式乘除混合运算 易错点：运算顺序混乱颠倒，化简步骤不完整，最终结果不化成最简二次根式 21．计算：___________． 【答案】 【详解】解：原式． 22．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 23．计算： 【答案】 【详解】解： ． 易错必刷题型08.二次根式的加减运算 易错点：非同类二次根式强行合并计算，去括号、移项时正负符号写错，化简不彻底 24．计算：______． 【答案】 【分析】先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 26．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 易错必刷题型09.二次根式的混合运算 易错点：运算顺序颠倒乱用，平方差、完全平方公式套用错误，跳步计算容易算错数 27．若x，y为实数，且，求______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴原式． 28．计算：． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式和二次根式的乘法运算法则计算，再算加减法． 【详解】解： ． 29．阅读材料：在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： ； ． (1)【类比归纳】填空： ①（ ）2（ ）2 ②（ ）2 (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； (3)【拓展提升】如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【答案】(1)①；1；②； (2) (3) 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）正方形花圃的面积，根据材料中的方法解得即可． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）由题可知正方形花圃的面积 所以边长为 易错必刷题型10.分母有理化 易错点：有理化因式分辨错误，分子分母不同步相乘，负号处理不当，基础步骤频繁出错 30．已知，，则与的关系为________． 【答案】 【分析】将进行化简得，可判断． 【详解】解：， 又， ∴． 31．先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】先对括号内进行通分后，对分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法后，约分化简，最后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 ． 32．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：________；________； (2)矩形的面积为，一边长为，求这个矩形的周长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）仿照示例进行化简； （2）利用矩形的面积公式求出另一条边长，再计算矩形的周长． 【详解】（1）解：； ； （2）解：∵矩形的面积为，一边长为， ∴另一边长为， ∴这个矩形的周长为：． 易错必刷题型11.已知条件式.化简求值 易错点：不先化简式子就直接代入数值硬算，计算量大极易算错，忽略字母隐藏取值范围 33．已知，则_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对所求代数式变形，得到，结合已知条件求出平方后的结果，最后开方取正根即可得到答案． 【详解】解： 将代入得： ， ∵， ∴． 34．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 35．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． (1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)32或16 【分析】（1）将式子转化为，即可得出答案； （2）先将展开得到，从而得到，，结合，且a，m，n均为正整数，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 由题意得， ， ，， ，且a，m，n均为正整数， ∴m，n的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则； 综上，的值为32或16． 易错必刷题型12.比较二次根式的大小 易错点：乱用平方法不区分正负，根式范围估算偏差，大小关系容易判断弄反 36．比较大小：（1）________    （2）________ 【答案】 > > 【分析】本题考查实数的大小比较，掌握乘方法，差值法比较大小是解题的关键．对于（1），通过将两个数分别取6次方来比较大小；对于（2），通过计算两个数的差来判断大小． 【详解】解：（1）∵，， 且， ∴． 故答案为：>． （2）设 , 则． ∵, , 且, , , ∴, ∴, ∴, ∴． ∴． 故答案为：>． 37．阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ； ② (2)计算： ； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 【答案】(1)①；② (2)2025 (3)，见解析 【分析】（1）①将分子分母同乘以化简即可；②将分子分母同乘以化简即可； （2）利用二次根式分母有理化的计算法则将括号内化简，再算乘法； （3）通过比较，的倒数，然后进行，的大小比较． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴， ∵， ∴． 38．【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用提供的方法进行分母有理化即可求解； （2）先对进行分母有理化，再利用（1）的结论进行比较即可判断； （3）先对，进行分母有理化，再计算，的值，再对所要求的式子分解因式，代入即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：， 由（1）可知， ∵，， ∴，即． （3）解：， ， ∴，， ∴． 易错必刷题型13.二次根式与绝对值综合化简 易错点：结合数轴判断字母正负，去根号、去绝对值时符号容易搞反，正负处理极易出错 39．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果是________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴的定义得出，再根据绝对值、二次根式的性质化简，然后计算加减即可得． 【详解】解：∵， ∴， 则 ． 40．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值____________． 【答案】 / 【分析】根据数轴得出，根据二次根式的性质及立方根的定义得出，去掉绝对值符号后合并即可． 【详解】解：由数轴得， 则原式 ． 41．如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 42．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值．根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴； 故选：C． 易错必刷题型14.二次根式配方化简求值 易错点：不会配方变形、不会整体代换简便计算，直接硬代数值计算量大，步骤繁琐容易算错 43．如果，那么的值是_________． 【答案】 【分析】通过换元法，令，，（），将原方程中的用表示后代入等式，再通过配方将方程整理为三个平方项相加等于的形式，利用“非负数之和为则每一项均为”的性质求出的值，进而反推得到的值，最后计算的结果． 【详解】解：令，，（）， ∴，，， ∵， ∴， 移项整理得：， ， 即：， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 44．已知， (1)直接写出，，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)，，3 (2) 【分析】（1）根据二次根式的加减乘除运算法则分别计算，乘法可以利用平方差公式计算； （2）利用完全平方公式将所求代数式变形为，再代值计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ； （2）解：，， ． 45．已知和的小数部分分别为m，n，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 易错必刷题型15.新定义运算 易错点：看不懂题目新定义运算规则，盲目套用公式，审题不仔细，格式书写容易出错 46．我们规定：对于任意的正数m，n的“※”运算为：，计算的结果为_______． 【答案】 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： ． 47．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，无理数的估算，二次根式的乘法运算，由得，估算出，可得，再根据二次根式的运算法则可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和为两个连续的正整数， ∴， ∴． 故选：B． 48．对于任意的正数m，n，定义运算“”： (1)计算的结果； (2)计算的结果． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据公式直接代入计算即可； （2）根据公式直接代入计算 【详解】（1）解：． （2），， ． 易错必刷题型16.二次根式规律探究 易错点：找不到式子排列规律，不会归纳推导通用规律，规律总结错误，填空解答都易丢分 49．小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______． 【答案】 【分析】通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：由规律可得：， 当时，式子为， ∵， ∴，， ∴． 50．小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程： 具体运算，发现规律． 等式1：． 等式2：． 等式3：． （1）观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为______． （2）应用运算规律． 小丽写出一个等式（），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】 或 【分析】观察已知等式的数字变化特征，归纳得出第个等式的一般规律．再利用所得规律建立关于和的方程，求解后计算的值． 【详解】（1）观察已知等式： 等式：时，， 等式：时，， 等式：时，， 归纳可得，为正整数时，猜想等式为： （2）等式 符合上述规律， ， ， 对 变形得 ， 开平方得 ， 解得或， 当时， ， 当时， 综上所述：的值为或． 51．观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． ．．．．．． (1)按照以上规律，写出第6个等式：___________； (2)按照以上规律，写出你猜想的第个等式：___________（用含的等式表示，为正整数），并证明等式成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）观察第1至第5个等式中相同位置的数的变化规律可知：等式的第1个数、第2个数与等式的序号相同，第3个数、第4个数都是4，结果为等式的序号加2； （2）将猜想的等式左边根号下的式子开展，再合并写成完全平方式，结合为正整数，即可证明等式成立． 【详解】（1）解：观察第1至第5个等式中相同位置的数的变化规律可得， 第6个等式：． （2）解：猜想的第个等式：， 证明：∵， 又∵为正整数， ∴， ∴． 52．观察下列等式： ，， ，，按上述规律，回答下列问题： (1)填空：_______________，_______________； (2)求的值； (3)知识运用，计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据所给式子得出，即可得出、的值； （2）根据（1）中规律，分别将每一项的结果依次代入，化简即可； （3）将各项分母中的根号消去，再相加即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ……， ∴， ∴，． （2）解：由（1）可知， ∴ ． （3）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $