4.3.2 利用“ASA”“AAS”判定两个三角形全等（课件） 2025--2026学年北师大版数学七年级下册

4.3 探索三角形全等的条件 4.3.2 利用“ASA”“AAS”判定两个三角形全等 探索三角形全等的条件 情境导入 小明踢球时，不小心把学校花架上一块三角形玻璃击碎了，想赶紧去配一块，可是玻璃已经碎了，你能帮他想想办法吗？ 问题1：上节课中，我们虽然找出了一种方法，利用SSS就可以得到一个与原三角形全等的三角形，但是玻璃已经碎了，我们无法测出它的三条边，小明是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具？如果可以，带哪块去合适？ 新知初探 探究一：角边角与角角边三角形全等判定定理 问题1：如果已知一个三角形的两角及一边的大小，那么有几种可能的情况呢？ A B C A B C 图一 图二 “两角及夹边” “两角和其中一角的对边” 它们能判定两个三角形全等吗？ 问题2：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′， 使 A′B′ = AB，∠A′ =∠A，∠B′ =∠B (即两角和它们的夹边分别相等).把画好的△A′B′C′ 剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？ A C B 作法： （1）画线段 A'B' = AB； （2）在 A'B' 的同旁画∠DA'B' =∠A，∠EB'A' =∠B， A'D，B'E 相交于点 C'. A′ B′ C′ E D 想一想：从中你能发现什么规律？ A C B 知识要点 “角边角”判定方法 文字语言：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”. 几何语言： 因为∠A =∠A′（已知）， AB = A′B′（已知）， ∠B =∠B′（已知）， 在△ABC 和△A′B′C′ 中， 所以△ABC≌△A′B′C′（ASA）. A B C A′ B′ C′ 例1 如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗? 为什么? 所以 △AOC ≌ △BOD（ASA）。 解：全等。理由 在△AOC和△BOD中 ∠A = ∠B， OA = OB ∠AOC = ∠BOD， ∵ O是 AB 中点， ∴ OA = OB。 典 例 精 析 解:△AEC≌△AED. 理由:∵AB平分∠CAD, ∴∠CAE=∠DAE. ∵∠1=∠2,∠AEC=180°-∠1,∠AED=180°-∠2, ∴∠AEC=∠AED. 如图所示,AB平分∠CAD,点E在AB上，∠1=∠2，△AEC和△AED全等吗?试说明理由. 在△AEC≌△AED中， ∠CAE=∠DAE， AE=AE, ∠AEC=∠AED ∴△AEC≌△AED(ASA). 针对训练 合 作 探 究 如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A =∠α， ∠B =∠β，AB = c. β c α 回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤. 合 作 探 究 作法： （1）作∠DAF =∠α． （2）在射线AF上截取线段AB=c； （3）以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C．△ABC就是所要作的三角形. A F D B A D F C A B D F E 合 作 探 究 议一议：(1)如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,情况会怎样呢?你能将它转化为探究一中的条件吗? 探究二：三角形全等的判定（“角角边”） 解:(1)如果两个角都确定了，那么第三个内角一定是确定的，如此一来，可将“两角及其中一角的对边”转化为“两角及其夹边”. 你能证明你的结论吗？ 合 作 探 究 ∴△ABC≌△DEF（ASA）. ∴∠C＝180°－∠A－∠B. 同理 ∠F＝180°－∠D－∠E. 在△ABC和△DEF中， (2)在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？ 解： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°. 又∠A＝∠D，∠B＝∠E, ∴∠C＝∠F. ∠B＝∠E， BC＝EF， ∠C＝∠F. A B C D E F 新 知 小 结 文字语言：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. （简写成“角角边”或“AAS”） 几何语言： A B C D E F 三角形全等的判定方法三：“角角边” （AAS） 在△ABC和△DEF中， ∠A＝∠D， ∠B＝∠E. BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF（AAS）. 典 例 精 析 证明：∵AC是∠BAE的平分线, ∴∠BAC=∠DAE. ∴△BAC≌△DAE(AAS). 在△BAC和△DAE中, 例2 如图所示,AC是∠BAE的平分线,D是线段AC上的一点，∠C=∠E，AB=AD.试说明:△BAC≌△DAE. ∠BAC=∠DAE, ∠C=∠E, AB=AD, 知识归纳 针 对 练 习 解:△ABC≌△ADE. 理由:∵∠1=∠2, ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE. 2.如图所示,已知∠C=∠E,∠1=∠2,AB=AD,△ABC和△ADE全等吗?试说明理由. 在△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE, ∠C=∠E, AB=AD, ∴△ABC≌△ADE(AAS). 情 境 答 疑 如图,莉莉不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 现在你知道带哪块去了吗? 带“1”，“1”中已知两角夹边， 利用全等条件“ASA” 能配到和原模具一样的三角形 1 2 3 例题1.如图，AB与CD相交与点O，O是AB的中点，∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗？为什么？ 角边角与角角边三角形全等判定定理的应用 解：因为O是AB的中点， 所以AO=BO, 在△AOC和△BOD中， 因为∠A=∠B,AO=BO,∠AOC=∠BOD, 所以△AOC≌△BOD（ASA) 变式一：如图,∠A=∠B，∠AFC=∠BED，那么要得到△ACF≌△BDE，还应给出的条件是( ) A.∠C=∠D B.AC=ED C.CF=BD D.AE=BF D 变式二：如图,AF=BE，AC∥BD，∠C=∠D，试说明，CF∥ED 解：因为AC∥BD， 所以∠A=∠B 在△AFC和△BED中， 因为∠C=∠D，∠A=∠B，AF=BE， 所以△AFC≌△BED（AAS) 所以∠AFC=∠BED 所以CF∥ED 例题2.如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD.试说明：BC＝DE. 解：因为AC是∠BAE的平分线 归纳总结： 1.直接条件：即已知中直接给出的三角形的对应边或对应角. 2.隐含条件：即已知没有给出，但通过读图很容易得到的条件，如公共边、公共角、对顶角等. 3.间接条件：即已知中所给条件不是三角形的边和角，需要进一步推理.比如平行、角平分线、垂直(同角的余角相等）等都可得到角相等.中点、等式的基本性质可推出线段相等等. 当堂达标 1. 在△ABC 和△DEF 中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，则下列补充的条件中错误的是（ ） A．AC＝DF B．BC＝EF C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F 2. 在△ABC 与△A′B′C′ 中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°，∠A′＝44°，且 AC＝A′C′，那么这两个三角形（　 ） A．一定不全等　 B．一定全等　 C．不一定全等　　 D．以上都不对 A B A B C D E F 3. 如图∠ACB =∠DFE，BC = EF，那么应补充一个条件 ，才能使△ABC≌△DEF (写出一个即可). ∠B =∠E 或∠A =∠D （ASA） （AAS） AB = DE 可以吗？ × AB∥DE 4.如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢? 如果可以，带哪块去合适? 你能说明其中理由吗? 3 2 1 答：带 1 去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等. 5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝ BC，AE⊥CD于点E，BD⊥CD于点D，AE＝5 cm，BD＝2 cm. （1）求证：△AEC≌△CDB；（2）求DE的长. 课堂小结 角边角 角角边 内容 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成 “ASA”) 尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形 注意 注意“角边角”和“角角边”中两角与边的区别 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成 “AAS”) 1.如图所示,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,则直接判定△ABD≌△CBD的依据是 (　　) A.SSS B.ASA C.AAS D.以上均不正确 课 后 作 业 B 2. 如图，已知∠A =∠D，∠1 = ∠2，那么要得到△ABC ≌ △DEF，还应给出的条件是（ ） A.∠E =∠B B.ED = BC C.AB = EF D.AF = CD D A B C D E F 1 2 课 后 作 业 3. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上， BE//DF，∠A=∠F，AB=FD。 试说明：AE=FC。 解：∵BE // DF， ∴∠ABE = ∠D。 又∵ AB = FD，∠A = ∠F， ∴ △ABE ≌ △FDC（ASA） F A C B D E ∴ AE = FC。 解:(1)∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°. 又∵AD∥BC,∴∠BAD=90°, 即∠BAF+∠DAE=90°. ∵DE⊥AC,∴∠DEA=90°, ∴∠DAE+∠ADE=90°.∴∠ADE=∠BAF. ∵BF⊥AC,∠ABF=63°, ∴∠ADE=∠BAF=90°- 63°=27°. 4.如图所示,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD,连接AC,过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F. (1)若∠ABF=63°,求∠ADE的度数; 课 后 作 业 (2)DE=BF+EF. 理由:∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠BFA=∠AED=90°. 在△ABF和△DAE中, ∵∠BFA=∠AED,∠BAF=∠ADE,AB=DA, ∴△ABF≌△DAE(AAS), ∴BF=AE,AF=DE. ∵AF=AE+EF, ∴DE=BF+EF. (2)请写出线段BF,EF,DE三者之间的数量关系,并说明理由. 课 后 作 业 $