专题7 一次函数与几何图形综合-2025-2026学年八年级数学人教版下册专题提优训练及压轴题易错题专项训练

专题7 一次函数与几何图形综合 类型一 动点问题的函数图象 1．（2024春•本溪期末）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD的边AB在x轴上，直线y＝﹣x沿x轴正方向平移，在平移过程中，该直线在x轴上平移的距离为n．直线被平行四边形的边所截得的线段长为m，且m与n对应关系图象如图2所示，则▱ABCD的面积为（　　） A． B．4 C．5 D． 2．（2024•永昌县模拟）如图①，BD是菱形ABCD的对角线，AD＜BD，动点P从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以1cm/s的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，CP的长y（cm）随时间t（s）变化的函数图象如图②所示，则菱形ABCD的周长为（　　） A．12cm B．16cm C．20cm D．24cm 类型二 一次函数图象上点的坐标特征 3．（2025春•鄞州区期中）如图，直线yx+4与x轴，y轴分别交于点A点和B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当∠APC＝∠OPD时，点P的坐标为　 ． 4．（2025春•崇明区期中）一次函数y＝x+1的图象交x轴于点A，交y轴于点B．点C在坐标轴上，且使得△ABC是等腰三角形，符合题意的点C有（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2024秋•乌海期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数yx+2的图象上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2020•路南区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第3个阴影三角形的面积是　 　 ，第2020个阴影三角形的面积是　 ． 7．（2023•枣庄二模）如图，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为 　　 ． 类型三 一次函数图象与几何变换 8．（2024春•获嘉期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为4，点C的坐标为（﹣1，0），将直线y＝﹣x+5向下平移m个单位长度后，与正方形ABCD有且只有一个交点，则m的值为 ． 9．（2024春•郧西县期末）如图，在直角坐标系中，过点A（6，6）分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点B、C，取AC的中点P，连接OP，作点C关于直线OP的对称点D，直线PD与AB交于点Q，交y轴于点E，则OE＝　 　 ． 10．（2020春•曲靖期末）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3与x轴，y轴分别交于A、C两点． （1）求出A、C两点的坐标； （2）B（﹣1，0）为x轴上一点，将直线AC沿着直线AB平移，使得点A落在点B处，此时点C的对应点为D，求出点D的坐标，请判断四边形ABDC的形状，并说明理由； （3）点M为x轴上一点，点N为坐标平面内另一点，若以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出所有符合条件的点N的坐标． 四．待定系数法求一次函数解析式 11．（2024春•海门区期末）如图，在正方形OABC中，点B的坐标为（2，2），点E、F分别在边BC、BA上，点E为BC的中点，若∠EOF＝45°，则线段OF所在直线的解析式为（　　） A． B． C． D． 12．（2024春•瑞金市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+b过点M（1，3），与x轴、y轴分别交于点A，B，过点M的直线l2：y＝kx+m与x轴、y轴分别交于点C，D． （1）求点A，B的坐标； （2）若点B，O关于点D对称，求直线l2的解析式； （3）若直线l2将△AOB的面积分为1：3两部分，直接写出k的值． 类型五 一次函数与一元一次不等式 13．（2025春•盐山县期末）如图，已知直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，直线y＝﹣2x﹣2交x轴于点D，与直线AB相交于点C（m，2）． （1）求m的值与求直线AB的解析式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式﹣2x﹣2＞kx+b的解集； （3）求四边形OBCD的面积． 14．（2024春•东平县期末）如图，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），与直线l2：y2＝4x﹣4交于点P（m，4），直线l1交y轴于点B，直线l2交x轴于点C． （1）求直线l1的表达式； （2）请直接写出使得不等式kx+b＜4x﹣4成立的x的取值范围． （3）在直线l2上找点M，使得S△MAC＝S△PBC，求点M的坐标． 类型六 两条直线相交或平行问题 15．（2024•阜新模拟）如图，平面直角坐标系中，在函数y＝x和的图象之间由小到大依次画出若干个直角三角形（图中所示的阴影部分），其短直角边与x轴垂直，长直角边与x轴平行，斜边在函数的图象上，已知点A的坐标是（1，0），则第100个直角三角形的面积是（　　） A．2196 B．2197 C．297 D．298 类型七 一次函数的应用 16．（2024秋•闵行区期中）等腰三角形的周长是20，底边长y与腰长x的函数关系式是 　 （同时写出x的取值范围） 17．（2024秋•市南区期末）如图，直线y＝﹣x+6分别与x轴，y轴交于A、B两点，从点P（3，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，又经直线OB反射后回到P，则光线所经过的路程是（　　） A． B．6 C． D． 类型八 一次函数综合题 18．（2024春•凉州区期中）在平面直角坐标系中，边长为3的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．在旋转正方形OABC的过程中，△MBN的周长为　 　 ． 19．（2025春•香河县期末）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点． （1）请直接写出直线l的表达式； （2）求出△ABC的面积； （3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值． 20．（2025春•新罗区期中）（1）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA； （2）模型应用：已知直线y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，在AB左侧过点B作线段BC，使BC＝AB，BC⊥AB，过点A，C作直线，求直线AC的解析式； （3）如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（6，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 21．（2024秋•梅州期中）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（﹣3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线于点D，连接OC，AD． （1）填空：k＝ 　　 ，点A的坐标是 　　 ； （2）求证：四边形OADC是平行四边形； （3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒． ①当t＝2时，求△CPQ的面积； ②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请求出此时t的值． 22．（2024春•新罗区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（b≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（0，2），D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且OC＝5OA，连接BC，CD，已知S△ADC＝2S△ABC． （1）求直线AB的解析式； （2）求点D的坐标； （3）分别在线段AD，CD上取点M，N，使得MN∥x轴；在x轴上取一点P，连接MN，MP，NP．探究：是否存在点M，使得∠MPN＝90°，且PM＝PN？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（2024秋•建邺区期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P（x，y）（xy≠0）是平面内任意一点．过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点M和点N．若四边形PMON的周长为6，则点P叫做“周六点”．例如：如图中的P（2，﹣1）是一个“周六点”． （1）若D（m，2m+2）为“周六点”，求m的值； （2）点Q的坐标为（2，2），若点P是“周六点”，则PQ的最小值为A ； A. B.1 C. D.2 （3）若一次函数y＝kx+k﹣4的图象上存在“周六点”，则k的取值范围是 ． 24．（2025秋•大丰区月考）如图所示，已知点M（1，4），N（5，2），P（0，3），Q（3，0），过P、Q两点的直线的函数表达式为y＝﹣x+3，动点P从现在的位置出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，设移动时间为ts． （1）若直线PQ随点P向上平移，则： ①当t＝3时，求直线PQ的函数表达式． ②当点M，N位于直线PQ的异侧时，确定t的取值范围． （2）当点P移动到某一位置时，△PMN的周长最小，试确定t的值． 25．（2023春•蕲春县期末）如图：在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y与一次函数y＝﹣x+7的图象交于点A． （1）求点A的坐标； （2）在y轴上确定点M，使得△AOM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标； （3）如图，设x轴上一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交y和y＝﹣x+7的图象于点B、C，连接OC，若BCOA，求△ABC的面积及点B、点C的坐标； （4）在（3）的条件下，设直线y＝﹣x+7交x轴于点D，在直线BC上确定点E，使得△ADE的周长最小，请直接写出点E的坐标． 26．（2025春•柳南区期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，OA＝3，OC＝6，点B是y轴上的一动点，以AC为对角线作▱ABCD． （1）直接写出点A，C的坐标以及直线AC的函数解析式； （2）设点B为（0，m），其中0＜m＜6，▱ABCD的面积记为S，请写出S与m之间的函数关系式；我们知道线段BD的值随着点B的运动而变化，研究发现，当BD∥OA时（如图2），线段BD的值最小，求出此时S的值； （3）线段OC上是否存在点B，使得▱ABCD是菱形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2024秋•五华县期中）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线于点D，连接OC，AD． （1）填空：k＝ 　 　 ，点A的坐标是 　 　 ； （2）求证：四边形OADC是平行四边形； （3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值． 28．（2025春•德宏州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，C两点． （1）求出A，C两点的坐标； （2）若点B的坐标为（﹣2，0），将线段AC沿着直线AB平移，使得点A落在点B处，此时点C的对应点为点D，可得到四边形ABDC．请判断四边形ABDC的形状，并说明理由； （3）若点M为x轴上一点，点N为坐标平面内另一点，以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7 一次函数与几何图形综合 类型一 动点问题的函数图象 1．（2024春•本溪期末）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD的边AB在x轴上，直线y＝﹣x沿x轴正方向平移，在平移过程中，该直线在x轴上平移的距离为n．直线被平行四边形的边所截得的线段长为m，且m与n对应关系图象如图2所示，则▱ABCD的面积为（　　） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据图象可知当移动的距离是1时，直线经过点A，当移动距离是3时，直线经过点D，当移动距离是a时经过点B，当移动距离是7时，直线经过点C，则DC＝7﹣3＝4，当直线经过D点，设直线交AB于N，则DN＝5，作DM⊥AB于点M，利用勾股定理可求得DM，即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【解答】解：根据图象可知当移动的距离是1时，直线经过点A，当移动距离是3时，直线经过点D，当移动距离是a时经过点B，当移动距离是7时，直线经过点C， ∴AB＝DC＝7﹣3＝4， 如图所示： 当直线经过D点，设直线交AB于N，则，作DM⊥AB于点M， ∵y＝﹣x与x轴的夹角是45°，边AB在x轴上， ∴∠DNM＝45°， ∴DM＝MN，则由勾股定理得DM＝MN＝1， ∴平行四边形ABCD的面积是AB•DM＝4×1＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，等腰直角三角形，平行四边形的性质，根据图象分析得出AB的长度，正确求得平行四边形的高是解题的关键． 2．（2024•永昌县模拟）如图①，BD是菱形ABCD的对角线，AD＜BD，动点P从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以1cm/s的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，CP的长y（cm）随时间t（s）变化的函数图象如图②所示，则菱形ABCD的周长为（　　） A．12cm B．16cm C．20cm D．24cm 【答案】C 【分析】由图②得，P应从点A出发延AB运动到点B，再运动到点D，或从点A出发延AD运动到点D，再运动到点B，设点P应从点A出发延AB运动到点B，再运动到点D，连接AC交BD于点O，根据点P的位置，求出AC＝8cm，AB＝acm，BD＝a+1（cm），根据菱形性质求出OA＝4cm，OBcm，再根据勾股定理求出a，即可解答． 【解答】解：由图②得，当0＜t≤a时，y在减小， 当a＜t≤2a+1时，y先变小后变大， ∴判断点P应从点A出发延AB运动到点B，再运动到点D， 或从点A出发延AD运动到点D，再运动到点B， 设点P应从点A出发延AB运动到点B，再运动到点D， 如图，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴当点P位于点A处时，y＝8，即AC＝8cm， ∴OA＝4 当点P位于点B处时，x＝a，即AB＝acm， 当点P位于点D处时，x＝2a+1，即BD＝a+1（cm）， ∴OBcm， ∴在Rt△OAB中，OB2+OA2＝AB2，即42+（）2＝a2， ∴a1＝5，a2（舍去）， ∴AB＝5cm， ∴菱形ABCD的周长为5×4＝20cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 类型二 一次函数图象上点的坐标特征 3．（2025春•鄞州区期中）如图，直线yx+4与x轴，y轴分别交于点A点和B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当∠APC＝∠OPD时，点P的坐标为　（，0）　 ． 【答案】（，0）． 【分析】连接CD，过点P作PE⊥CD于点E，由点C，D分别为线段AB，OB的中点，可得出CD是△ABO的中位线，进而可得出CD∥AO，利用“两直线平行，内错角相等”及∠APC＝∠OPD，可得出∠PCD＝∠PDC，结合等腰三角形的三线合一，可得出点E为线段CD的中点，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点C，D的坐标，结合点E为线段CD的中点，可得出点E的坐标，进而可得出点P的坐标． 【解答】解：连接CD，过点P作PE⊥CD于点E，如图所示． ∵点C，D分别为线段AB，OB的中点， ∴CD是△ABO的中位线， ∴CD∥AO， ∴∠PCD＝∠APC，∠PDC＝∠OPD， 又∵∠APC＝∠OPD， ∴∠PCD＝∠PDC， ∴点E为线段CD的中点． 当x＝0时，y0+4＝4， ∴点B的坐标为（0，4）， ∴点D的坐标为（0，2）； 当y＝2时，x+4＝2， 解得：x＝﹣3， ∴点C的坐标为（﹣3，2）， 又∵点E为线段CD的中点， ∴点E的坐标为（，2）， ∴点P的坐标为（，0）． 故答案为：（，0）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的中位线、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用平行线的性质及等腰三角形的性质，确定点E的位置是解题的关键． 4．（2025春•崇明区期中）一次函数y＝x+1的图象交x轴于点A，交y轴于点B．点C在坐标轴上，且使得△ABC是等腰三角形，符合题意的点C有（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分AB＝BC、AC＝BC、AB＝AC三种情况分别作图找到点C，然后统计即可解答． 【解答】解：∵一次函数y＝x+1的图象交x轴于点A，交y轴于点B．点C在坐标轴上， ∴B（0，1），A（﹣1，0）， 如图：当AC＝BC时，△ABC2是等腰三角形； 当AB＝BC时，△ABC1，△ABC5，△ABC7是等腰三角形； 当AB＝AC时，△ABC4，△ABC6是等腰三角形． 综上，符合题意的点C有7个． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定、一次函数的有关知识等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 5．（2024秋•乌海期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数yx+2的图象上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】设C（m，m+2）．构建方程即可解决问题； 【解答】解：设C（m，m+2）． ①当CA＝CB时，点C在线段AB的垂直平分线上，此时C（﹣1，）． ②当AC＝AB时，（m+4）2+（m+2）2＝36， 解得：m， ∴C（，）或（，） ③当BC＝AB时，（m+2）2+（m+2）2＝36， 解得m， ∴C（，）或（，）； 综上所述，满足条件的点有5个， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 6．（2020•路南区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第3个阴影三角形的面积是　32　 ，第2020个阴影三角形的面积是　2×42019 ． 【答案】32；2×42019． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A1的坐标，结合等腰直角三角形的性质及三角形的面积可得出点B1的坐及△A1OB1的面积，同理可求出△A2B1B2和△A3B2B3的面积，设第n个阴影三角形的面积为Sn（n为正整数），根据三角形面积的变化，即可找出变化规律“Sn＝2×4n﹣1（n为正整数）”，再代入n＝2020即可求出结论． 【解答】解：当x＝0时，y＝0+2＝2， ∴点A1的坐标为（0，2）． ∵△A1OB1为等腰直角三角形， ∴OB1＝OA1＝2， ∴点B1的坐标为（2，0），2×2＝2； 当x＝2时，y＝2+2＝4， ∴点A2的坐标为（2，4）． ∵△A2B1B2为等腰直角三角形， ∴点B2的坐标为（6，0），4×4＝8； 当x＝6时，y＝6+2＝8， ∴点A3的坐标为（6，8）， ∵△A3B2B3为等腰直角三角形， ∴点B3的坐标为（14，0），8×8＝32． 设第n个阴影三角形的面积为Sn（n为正整数），则Sn＝2×4n﹣1， ∴S2020＝2×42020﹣1＝2×42019． 故答案为：32；2×42019． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、规律型：点的坐标以及三角形的面积，根据三角形面积的变化，找出“Sn＝2×4n﹣1（n为正整数）”是解题的关键． 7．（2023•枣庄二模）如图，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为 　4　 ． 【答案】4． 【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，根据题意以及平行四边形的性质得出DE、OD的长，然后运用平行四边形面积计算公式计算即可． 【解答】解：∵直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，x＝﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∵点D为OB的中点， ∴， ∴点D的坐标为D（0，2）， ∴把y＝2代入y＝x+4得：x＝﹣2， ∴点E的坐标为E（﹣2，2）， ∴DE＝2， ∴S▱OCDE＝OD⋅DE＝2×2＝4； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标，掌握一次函数图象的性质以及平行四边形的性质，根据题意得出图中各边的长是解本题的关键． 类型三 一次函数图象与几何变换 8．（2024春•获嘉县期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为4，点C的坐标为（﹣1，0），将直线y＝﹣x+5向下平移m个单位长度后，与正方形ABCD有且只有一个交点，则m的值为 　5或5　 ． 【答案】5或5． 【分析】根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用勾股定理可求出点D的坐标，进而可得出点B的坐标，最后根据直线平移后与正方形只有一个交点建立关于m的等式即可解决问题． 【解答】解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 则CD＝2． 又∵点C的坐标为（﹣1，0）， ∴OC＝1． 在Rt△COD中， OD， ∴点D的坐标为（0，）． 过点B作x轴的垂线，垂足为M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠BCM+∠DCO＝∠CDO+∠DCO＝90°， ∴∠BCM＝∠CDO． 在△BCM和△DCO中， ， ∴△BCM≌△DCO（AAS）， ∴BM＝CO＝1，CM＝DO， ∴MO， ∴点B的坐标为（，1）． ∵直线y＝﹣x+5向下平移m个单位后所得直线的函数解析式为y＝﹣x+5﹣m， 则将点D坐标代入平移后的直线函数解析式得5﹣m， 解得m＝5． 将点B坐标代入平移后的直线函数解析式得﹣（）+5﹣m＝1， 解得m＝5． 综上所述，m的值为：5或5． 故答案为：5或5． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的性质及正方形的性质，熟知一次函数的图象和性质及正方形的性质是解题的关键． 9．（2024春•郧西县期末）如图，在直角坐标系中，过点A（6，6）分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点B、C，取AC的中点P，连接OP，作点C关于直线OP的对称点D，直线PD与AB交于点Q，交y轴于点E，则OE＝　10　 ． 【答案】10 【分析】根据题意可得OB＝AB＝AC＝OC＝6，P（3，6），根据轴对称的性质可证明Rt△ODQ≌Rt△OBQ（HL），设BQ＝DQ＝x，则PQ＝3+x，AQ＝6﹣x，根据勾股定理求出x，即得点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线PE的解析式，进而求解． 【解答】解：连接OQ，如图， ∵点A（6，6）， ∴OB＝AB＝AC＝OC＝6， ∵点P为AC中点， ∴PA＝PC＝3，P（3，6）， ∵点C关于直线OP的对称点为D， ∴OD＝OC＝OB＝6，∠ODQ＝∠ODP＝∠ACO＝∠ABO＝90°，PD＝PC＝3， ∵OQ＝OQ， ∴Rt△ODQ≌Rt△OBQ（HL）， ∴BQ＝DQ， 设BQ＝DQ＝x，则PQ＝3+x，AQ＝6﹣x， 在直角△APQ中，根据勾股定理可得：AP2+AQ2＝PQ2， ∴32+（6﹣x）2＝（x+3）2， 解得x＝2， ∴Q（6，2）， 设直线PQ的函数表达式为y＝kx+b， 则，解得， ∴直线PQ的函数表达式为； 当x＝0时，y＝10，即OE＝10； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了图形与坐标、勾股定理、全等三角形的判定和性质以及利用待定系数法求函数的解析式等知识，熟练掌握相关图形的性质、求出点Q的坐标是解题的关键． 10．（2020春•曲靖期末）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3与x轴，y轴分别交于A、C两点． （1）求出A、C两点的坐标； （2）B（﹣1，0）为x轴上一点，将直线AC沿着直线AB平移，使得点A落在点B处，此时点C的对应点为D，求出点D的坐标，请判断四边形ABDC的形状，并说明理由； （3）点M为x轴上一点，点N为坐标平面内另一点，若以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）当x＝0，可得y＝3，当y＝0，可得x＝﹣4，可求解； （2）由平移的性质可得AB＝3＝CD，AB∥CD，可证四边形ABDC是平行四边形，可得点D（3，3）； （3）分三种情况讨论，由菱形的性质可求解． 【解答】解：（1）∵直线yx+3与x轴，y轴分别交于A、C两点． ∴当x＝0，可得y＝3， 当y＝0，可得x＝﹣4， ∴点A（﹣4，0），点C（0，3）； （2）∵将直线AC沿着直线AB平移，使得点A落在点B处， ∴AB＝3＝CD，AB∥CD， ∴点D（3，3）； 四边形ABDC是平行四边形， 理由如下：∵将直线AC沿着直线AB平移，使得点A落在点B处， ∴AB＝3＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABDC是平行四边形； （3）∵点A（﹣4，0），点C（0，3）， ∴OA＝4，OC＝3， ∴AC5， 若AC与CM为两邻边时， ∵以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形， ∴AC＝AM＝5＝CN，CN∥AM， ∴点N2（5，3），N1（﹣5，3）； 若AM与AN为邻边时， ∵以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形， ∴AM∥CN，AM＝CM＝NC， ∵CM2＝CO2+MO2， ∴AM2＝9+（4﹣AM）2， ∴AM， ∴CN＝AM， ∴点N3（，3）； 若AC与CM为邻边时， ∵以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形， ∴AM与CN互相垂直平分， ∴点N4（0，﹣3）； 综上所述：点N的坐标为（5，3）或（﹣5，3）或（，3）或（0，﹣3）． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 四．待定系数法求一次函数解析式 11．（2024春•海门区期末）如图，在正方形OABC中，点B的坐标为（2，2），点E、F分别在边BC、BA上，点E为BC的中点，若∠EOF＝45°，则线段OF所在直线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△OCE≌△OAD和△EOF≌△DOF，得EF＝FD，设AF＝x，在直角△EFB中利用勾股定理列方程求出x，根据正方形的边长写出点F的坐标，并求直线OF的解析式． 【解答】解：延长BF至D，使AD＝CE，连接OD， ∵四边形OABC是正方形， ∴OC＝OA，∠OCB＝∠OAD＝90°， ∴△OCE≌△OAD（SAS）， ∴OE＝OD，∠COE＝∠AOD， ∵∠EOF＝45°， ∴∠COE+∠FOA＝90°﹣45°＝45°， ∴∠AOD+∠FOA＝45°， ∴∠EOF＝∠FOD， ∵OF＝OF， ∴△EOF≌△DOF（SAS）， ∴EF＝FD， 由题意得：OC＝2，CE＝1， ∴OE， ∴BE＝1， 设AF＝x，则BF＝2﹣x，EF＝FD＝1+x， ∴（1+x）2＝12+（2﹣x）2， 解得：x， ∴F（2，）， 设OF的解析式为：y＝kx， 2k， k， ∴OF的解析式为：yx， 故选：A． 【点睛】本题是利用待定系数法求一次函数的解析式，考查了正方形的性质及全等三角形的性质与判定，作辅助线构建全等三角形是本题的关键，利用全等三角形的对应边相等设一未知数，找等量关系列方程，求出点F的坐标，才能运用待定系数法求直线OF的解析式． 12．（2024春•瑞金市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+b过点M（1，3），与x轴、y轴分别交于点A，B，过点M的直线l2：y＝kx+m与x轴、y轴分别交于点C，D． （1）求点A，B的坐标； （2）若点B，O关于点D对称，求直线l2的解析式； （3）若直线l2将△AOB的面积分为1：3两部分，直接写出k的值． 【答案】（1）A（4，0），B（0，4）； （2）y＝x+2； （3）或3． 【分析】（1）把点M（1，3）代入直线l1：y＝﹣x+b中，求得b的值，即得到直线l1的解析式，再分别令y＝0，x＝0，即可求得点A，B的坐标； （2）根据点B，O关于点D对称可得D（0，2），采用待定系数法，将D（0，2），M（1，3）代入直线l2：y＝k x+m即可求解； （3）根据三角形的面积公式求得S△AOB＝8，连接OM，可求得，满足题意，此时直线l2过原点O，根据待定系数法求出k的值；当时，根据三角形面积公式可求出点C的坐标，进而根据待定系数法求出k的值． 【解答】解：（1）将点M（1，3）代入直线l1：y＝﹣x+b得，3＝﹣1+b， 解得：b＝4， ∴直线l1：y＝﹣x+4， 令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝4， ∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4）； （2）∵点B，O关于点D对称， ∴点D是BO的中点， ∴点D的坐标为（0，2）， 将D（0，2），M（1，3）代入l2：y＝k x+m，得 ，解得， ∴直线l2的解析式为y＝x+2； （3）∵A（4，0），B（0，4）， ∴． 连接OM， 则， ∴， ∴直线l2过原点O时，满足直线l2将△AOB的面积分成1：3两部分， 将点O（0，0），M（1，3）代入直线l2：y＝k x+m，得 ，解得； 当时， 即， ∴， ∴点C的坐标为， 将点，M（1，3）代入直线l2：y＝k x+m，得 ，解得； 综上所述，或3． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣旋转，熟知以上知识是解题的关键． 类型五 一次函数与一元一次不等式 13．（2025春•盐山县期末）如图，已知直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，直线y＝﹣2x﹣2交x轴于点D，与直线AB相交于点C（m，2）． （1）求m的值与求直线AB的解析式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式﹣2x﹣2＞kx+b的解集； （3）求四边形OBCD的面积． 【答案】（1）y＝x+4； （2）x＜﹣2； （3）5． 【分析】（1）把C（m，2）代入y＝﹣2x﹣2可求出m的值，从而得到C点坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式； （2）结合函数图象，写出直线y＝﹣2x﹣2在直线y＝kx+b上方所对应的自变量的范围即可； （3）先确定B（0，4），D（﹣1，0），然后根据三角形面积公式，利用四边形OBCD的面积＝S△AOB﹣S△CAD进行计算即可． 【解答】解：（1）把C（m，2）代入y＝﹣2x﹣2得﹣2m﹣2＝2， 解得m＝﹣2， 把C（﹣2，2），A（﹣4，0）分别代入y＝kx+b得， 解得k＝1，b＝4， ∴直线AB的解析式为y＝x+4； （2）当x＜﹣2时，﹣2x﹣2＞kx+b， 即关于x的不等式﹣2x﹣2＞kx+b的解集为x＜﹣2； （3）当x＝0时，y＝x+4＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，﹣2x﹣2＝0， 解得x＝﹣1， ∴D（﹣1，0）， ∴四边形OBCD的面积＝S△AOB﹣S△CAD4×43×2＝5． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了待定系数法求一次函数解析式． 14．（2024春•东平县期末）如图，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），与直线l2：y2＝4x﹣4交于点P（m，4），直线l1交y轴于点B，直线l2交x轴于点C． （1）求直线l1的表达式； （2）请直接写出使得不等式kx+b＜4x﹣4成立的x的取值范围． （3）在直线l2上找点M，使得S△MAC＝S△PBC，求点M的坐标． 【答案】（1）y1＝x+2； （2）x＞2； （3）（，﹣2）或（，2）． 【分析】（1）先把P（m，4）代入y2＝4x﹣4可求出m＝2，则P点坐标为（2，4），然后把A、P两点坐标代入y1＝kx+b可求出k、b的值，得到直线l1的表达式； （2）观察函数图象，写出直线l2在直线l1上方所对的自变量的取值范围即可； （3）先利用y1＝x+2确定B点坐标，再利用y2＝4x﹣4确定C点坐标，则根据S△BPC＝S△PAC﹣S△BAC可计算出S△BPC＝3，设M点坐标为（t，4t﹣4），根据三角形面积公式得到所以（1+2）×|4t﹣4|＝3，然后解绝对值方程求出t的值即可得到M点的坐标． 【解答】解：（1）把P（m，4）代入y2＝4x﹣4，得4m﹣4＝4，解得m＝2， 所以P点坐标为（2，4）， 把A（﹣2，0），P（2，4）代入y1＝kx+b， 得，解得， 所以直线l1的表达式为y1＝x+2； （2）根据图象可知，使得不等式kx+b＜4x﹣4成立的x的取值范围是x＞2； （3）∵y1＝x+2， ∴当x＝0时，y1＝x+2＝2，则B（0，2）， ∵y2＝4x﹣4， ∴当y＝0时，4x﹣4＝0，解得x＝1，则C（1，0）， ∴S△PBC＝S△PAC﹣S△BAC（1+2）×4（1+2）×2＝3， 设M点坐标为（t，4t﹣4）， ∵S△MAC＝S△PBC＝3， 所以（1+2）×|4t﹣4|＝3，解得t或t， 所以M点的坐标为（，﹣2）或（，2）． 【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，三角形的面积． 类型六 两条直线相交或平行问题 15．（2024•阜新模拟）如图，平面直角坐标系中，在函数y＝x和的图象之间由小到大依次画出若干个直角三角形（图中所示的阴影部分），其短直角边与x轴垂直，长直角边与x轴平行，斜边在函数的图象上，已知点A的坐标是（1，0），则第100个直角三角形的面积是（　　） A．2196 B．2197 C．297 D．298 【答案】A 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第1个直角三角形的直角边长，求出第1个直角三角形的面积，用同样的方法求出第2个直角三角形的面积，第3个直角三角形的面积，…，找出其中的规律即可求出第100个直角三角形的面积． 【解答】解：如图： ∵点A的坐标是（1，0）， ∴OA＝1， 当x＝1时，yx，y＝x＝1， ∴BC＝1， 当y＝1时，1x， ∴x＝2， ∴CD＝2﹣1＝1， ∴第1个直角三角形的面积为BC×CD14﹣1， 同理可得DE＝1，EF＝2，FG＝2，GH＝4， ∴第2个等腰直角三角形的面积为DE×EF1×2＝1＝40， 第3个等腰直角三角形的面积为FG×GH2×4＝4＝41， 第4个等腰直角三角形的面积为4×8＝16＝42， …， 依此规律，第100个等腰直角三角形的面积为4100﹣2＝498＝2196， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及直角三角形的面积，找出规律是解题的关键． 类型七 一次函数的应用 16．（2024秋•闵行区期中）等腰三角形的周长是20，底边长y与腰长x的函数关系式是y＝﹣2x+20（5＜x＜10）　 （同时写出x的取值范围） 【答案】y＝﹣2x+20（5＜x＜10） 【分析】等腰三角形的底边长＝周长﹣2×腰长，根据2腰长的和大于底边长及底边长为正数可得自变量的取值． 【解答】解：∵等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长为20， ∴y＝20﹣2x， ， 解得：5＜x＜10． 故答案为：y＝﹣2x+20（5＜x＜10）． 【点睛】此题考查了根据实际问题列一次函数关系式；判断出等腰三角形腰长的取值范围是解决本题的难点． 17．（2024秋•市南区期末）如图，直线y＝﹣x+6分别与x轴，y轴交于A、B两点，从点P（3，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，又经直线OB反射后回到P，则光线所经过的路程是（　　） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】由题意由题意知y＝﹣x+6的点A（6，0），点B（0，6），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO＝∠BNM．由P2A⊥OA而求得． 【解答】解：由题意知y＝﹣x+6的点A（6，0），点B（0，6）， ∵点P（3，0） 设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点， 根据反射规律，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO＝∠BNM． 作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则： ∠P2MA＝∠PMA＝∠BMN，∠P1NO＝∠PNO＝∠BNM， ∴P1，N，M，P2共线， ∵∠P2AB＝∠PAB＝45°， 即P2A⊥OA； PM+MN+NP＝P2M+MN+P1N＝P1P23． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，主要利用物理中反射角等于入射角，以及形成三角形之间的关系来解． 类型八 一次函数综合题 18．（2024春•凉州区期中）在平面直角坐标系中，边长为3的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．在旋转正方形OABC的过程中，△MBN的周长为　6　 ． 【答案】6 【分析】通过证△OAE≌△OCN（ASA）和△OME≌△OMN（SAS），把△MBN的各边整理成与正方形的边长有关的式子即可． 【解答】解：∵A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，直线y＝x与y轴的夹角是45°， ∴OA旋转了45°． 如图所示：延长BA交y轴于E点， 则∠AOE＝45°﹣∠AOM，∠CON＝90°﹣45°﹣∠AOM＝45°﹣∠AOM， ∴∠AOE＝∠CON． 又∵OA＝OC，∠OAE＝180°﹣90°＝90°＝∠OCN， 在△OAE和△OCN中， ， ∴△OAE≌△OCN（ASA）． ∴OE＝ON，AE＝CN． 在△OME和△OMN中， ， ∴△OME≌△OMN（SAS）． ∴MN＝ME＝AM+AE． ∴MN＝AM+CN， ∴△MBN的周长为：MN+BN+BM＝AM+CN+BN+BM＝AB+BC＝6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，注意求一些线段的长度或角的度数，总要整理到已知线段的长度上或已知角的度数上进而得出是解题关键． 19．（2025春•香河县期末）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点． （1）请直接写出直线l的表达式； （2）求出△ABC的面积； （3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，即可求解； （2）证明△ABC为等腰直角三角形，则S△ABCAB2； （3）分点P在第一象限、点P在第四象限两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）设直线AB所在的表达式为：y＝kx+b，则，解得：， 故直线l的表达式为：； （2）在Rt△ABC中， 由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13 ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴S△ABCAB2； （3）连接BP，PO，PA，则： ①若点P在第一象限时，如图1： ∵S△ABO＝3，S△APOa，S△BOP＝1， ∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO， 即，解得； ②若点P在第四象限时，如图2： ∵S△ABO＝3，S△APOa，S△BOP＝1， ∴S△ABP＝S△AOB+S△APO﹣S△BOP， 即，解得a＝﹣3； 故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为或﹣3． 备注：②还看参考一下方法： 过点P作PD∥y轴交AB于点D，则点D（1，）， 则△PAB的面积DP×（xA﹣xB）3×|a|，解得a或﹣3． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 20．（2025春•新罗区期中）（1）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA； （2）模型应用：已知直线y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，在AB左侧过点B作线段BC，使BC＝AB，BC⊥AB，过点A，C作直线，求直线AC的解析式； （3）如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（6，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由条件可求得∠EBC＝∠ACD，利用AAS可证明△BEC≌△CDA； （2）过C作CD⊥x轴于点D，由直线解析式可求得A、B的坐标，利用模型结论可得CD＝BO，BD＝AO，从而可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式； （3）分三种情况考虑：当∠ADP＝90°时，AD＝PD，分点P与点B重合，点P与点B不重合，当∠APD＝90°时，AP＝PD，由全等三角形的性质可得D点坐标． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠ACD， 在△BEC和△CDA中， ， ∴△BEC≌△CDA（AAS）； （2）解：如图，过C作CD⊥x轴于点D， 直线y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点， 令y＝0可求得x＝﹣2，令x＝0可求得y＝4， ∴OA＝4，OB＝2， 同（1）可证得△CDB≌△BAO， ∴CD＝BO＝2，BD＝AO＝4， ∴OD＝4+2＝6， ∴C（﹣6，2），且A（0，4）， 设直线AC解析式为y＝kx+4， 把C点坐标代入可得2＝﹣6k+4，解得k， ∴直线AC解析式为yx+4； （3）解：∵B的坐标为（6，4）， ∴AB＝6，BC＝4， 如图，当∠ADP＝90°，点P与点B重合时，AD＝PD， ∴点D在AB的中垂线上，即点D横坐标为3， ∴D点坐标（3，1） ∵当D点坐标（3，1）时， AD2＝32+（4﹣1）2＝18， PD2＝（6﹣3）2+（4﹣1）2＝18， AP2＝62＝36， ∴AD2+PD2＝AP2， ∴∠ADP＝90°， ∴点D的坐标为（3，1）； 如图，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，点P不与点B重合时，过点D作EF⊥AO，交AO于E，交BC于F，则EF⊥BC， ∵∠ADE+∠DAE＝90°，∠ADE+∠PDF＝90°， ∴∠DAE＝∠PDF，且∠AED＝∠DFP＝90°，AD＝PD， ∴△ADE≌△DPF（AAS）， ∴AE＝DF，PF＝DE， 设点D（x，2x﹣5）， ∴DE＝x，DF＝AE＝6﹣x， ∴OA＝OE﹣AE， ∴2x﹣5﹣（6﹣x）＝4， ∴x＝5， ∴点D的坐标为（5，5）； 如图，当∠APD＝90°时，AP＝PD，过点P作EF⊥AO，交AO于E，过点D作DF⊥EF于F，则EF⊥BC， 同理得△APE≌△PDF（AAS）， ∴AE＝PF，DF＝PE， 设点D（x，2x﹣5）， ∴EF＝x，DF＝PE＝6，AE＝PF＝x﹣6， ∴OE＝OA﹣AE＝2x﹣5﹣DF， ∴4﹣（x﹣6）＝2x﹣5﹣6， ∴x＝7， ∴点D的坐标为（7，9）； 综上所述：点D坐标为：（3，1）或（5，5）或（7，9）． 【点睛】本题为一次函数的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第（3）注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 21．（2024秋•梅州期中）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（﹣3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线于点D，连接OC，AD． （1）填空：k＝ 　3　 ，点A的坐标是 　（﹣5，0）　 ； （2）求证：四边形OADC是平行四边形； （3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒． ①当t＝2时，求△CPQ的面积； ②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请求出此时t的值． 【答案】（1）3，（﹣5，0）； （2）证明见解析； （3）①△CPQ的面积为9；②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，t的值为或． 【分析】（1）代入C点坐标即可得出k值确定直线的解析式，进而求出A点坐标即可； （2）求出A，D点坐标，根据CD＝OA，CD∥OA即可证四边形OADC是平行四边形； （3）①作CH⊥OD于H，设出H点的坐标，根据勾股定理计算出CH的长度，根据运动时间求出PQ的长度即可确定△CPQ的面积； ②先证四边形CPAQ为平行四边形，根据对角线相等确定PQ的长度，再根据P、Q的位置分情况计算出t值即可． 【解答】解：（1）∵y＝kx+15经过点C（﹣3，6）， ∴6＝﹣3k+15，解得：k＝3， ∴y＝3x+15， 当y＝0时，3x+15＝0， ∴x＝﹣5， ∴A（﹣5，0）， 故答案为：3，（﹣5，0）； （2）证明：由（1）得OA＝5， ∵线段CD平行于x轴， ∴点D、C的纵坐标相同， ∵点D在直线上， ∴， ∴D（﹣8，6）， ∵C（﹣3，6）， ∴CD＝OA＝5， ∵CD∥OA， ∴四边形OADC是平行四边形； （3）①如图，过C作CH⊥OD于点H，则∠DHC＝∠OHC＝90°， ∵点H在直线上， ∴设点H坐标为， ∵C（﹣3，6），D（﹣8，6）， ∴，，OD2＝（﹣8﹣0）2+（6﹣0）2＝100， ∴OD＝10， ∴， 整理得：25m2+320m+960＝0， 解得：，m2＝﹣8（舍去）， ∴CH＝3， ∵PQ＝OD﹣2t＝10﹣2t， ∴当t＝2时，PQ＝10﹣2×2＝6， ∴△CPQ的面积为； ②如图，设OD与AC交于点N， 由（2）得四边形OADC是平行四边形， ∴CN＝AN，DN＝ON， ∵OP＝DQ， ∴QN＝PN， ∴四边形CPAQ为平行四边形， ∵OD＝10， ∴当0≤t≤5时，PQ＝10﹣2t，当5≤t≤10时，PQ＝2t﹣10， 当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，AC＝PQ， ∵点A的坐标是（﹣5，0），点C（﹣3，6）， ∴， ∴①当0≤t≤5时，， 解得：； ②当5≤t≤10时，， 解得：； 综上可知： ∴当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，两点间的距离，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 22．（2024春•新罗区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（b≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（0，2），D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且OC＝5OA，连接BC，CD，已知S△ADC＝2S△ABC． （1）求直线AB的解析式； （2）求点D的坐标； （3）分别在线段AD，CD上取点M，N，使得MN∥x轴；在x轴上取一点P，连接MN，MP，NP．探究：是否存在点M，使得∠MPN＝90°，且PM＝PN？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）线段AB的表达式y＝2x+2； （2）点D的坐标为（1，4）； （3）存在，点M的坐标为（，）． 【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式； （2）根据三角形面积公式得到D到AC的距离等于B点到AC的距离的2倍，即D点的纵坐标为4，然后利用直线AB的解析式计算函数值为4所对应的自变量的值，从而得到D点坐标． （3）先求出直线CD的表达式，再求出点N的坐标为（3﹣2a，2a+2），结合∠MPN＝90°且PM＝PN，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（0，2）代入y＝kx+b（k≠0）， 得， 解得， ∴线段AB的表达式y＝2x+2； （2）已知OC＝5OA，且点C在x轴正半轴上， ∴点C（5，0），AC＝OA+OC＝5+1＝6， ∴S△ABCAC•OB6×2＝6． 设点D的坐标为（m，2m+2），如图，过点D作x轴的垂线交x轴于点H， 则DH＝2m+2， ∴S△ADCAC•DH6×（2m+2）＝2S△ABC＝2×6＝12． 即6×（2m+2）＝12． 解得m＝1， ∴点D的坐标为（1，4）； （3）存在，点M的坐标为（，）．设直线CD的表达式为y＝k'x+b'（k'≠0）， 将点D（1，4），C（5，0）代入y＝k'x+b'（k'≠0）， 得， 解得， ∴直线CD的表达式y＝﹣x+5． 已知点M在线段AD：y＝2x+2上，设点M的坐标为（a，2a+2），则﹣1≤a≤1， ∵MN∥x轴，且点N在CD上， ∴将y＝2a+2代入y＝﹣x+5， 得，2a+2＝﹣x+5， 解得x＝3﹣2a． ∴点N的坐标为（3﹣2a，2a+2）， 当PM＝PN，∠MPN＝90°时， 如图，过点P作PQ⊥x轴，交MN于点Q， 易得点Q为MN的中点，且PQ＝MQ，点Q的坐标为（，2a+2）， ∴MQa， ∵PQ＝MQ， ∴2a+2， 解得a， ∴2a+2， ∴点M的坐标为（，）． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数图象与结合图形的综合，掌握一次函数与坐标交点的计算方法，待定系数求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，两点之间距离的计算方法是解题的关键． 23．（2024秋•建邺区期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P（x，y）（xy≠0）是平面内任意一点．过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点M和点N．若四边形PMON的周长为6，则点P叫做“周六点”．例如：如图中的P（2，﹣1）是一个“周六点”． （1）若D（m，2m+2）为“周六点”，求m的值； （2）点Q的坐标为（2，2），若点P是“周六点”，则PQ的最小值为A ； A. B.1 C. D.2 （3）若一次函数y＝kx+k﹣4的图象上存在“周六点”，则k的取值范围是k≥1或k＜﹣2　 ． 【答案】（1）m的值为或； （2）A． （3）k≥1或k＜﹣2． 【分析】（1）根据新定义“周六点”即可求得答案； （2）由点P是“周六点”，可得|x|+|y|＝3，再分四种情况：当x＜0，y＞0时，当x＞0，y＞0时，当x＜0，y＜0时，当x＞0，y＜0时，分别求解即可； （3）由直线y＝kx+k﹣4＝k（x+1）﹣4，可得直线y＝kx+k﹣4始终经过点P（﹣1，﹣4），分两种情况：当k＞0时，当k＜0时，分别求得k的范围即可． 【解答】解：（1）∵D（m，2m+2）为“周六点”， ∴2（|m|+|2m+2|）＝6， ∴|m|+|2m+2|＝3， 当m＜﹣1时，则﹣m﹣2m﹣2＝3， 解得：m； 当﹣1≤m＜0时，则﹣m+2m+2＝3， 解得：m＝1（舍去）； 当m≥0时，则m+2m+2＝3， 解得：m； 综上所述，m的值为或； （2）∵点P是“周六点”， ∴|x|+|y|＝3， 当x＜0，y＞0时，y＝x+3， 过点Q（2，2）作直线y＝x+3的垂线，垂足为H，过点O作OK⊥直线y＝x+3于点K，如图， ∵OA＝OB＝3， ∴AB＝3， ∵OK⊥AB， ∴OKAB， ∵点P是直线y＝x+3上的动点， ∴QH是PQ的最小值， ∵Q（2，2）， ∴OQ的解析式为y＝x， ∴OQ∥AB， 则QH＝OK， ∴此时PQ的最小值为； 当x＞0，y＞0时，则y＝﹣x+3，如图，过点Q作QH⊥AB于点H，过点Q作QD⊥y轴于D，作QE⊥x轴于E， 则D（0，2），E（2，0），F（1，2），G（2，1）， ∴△QFG是等腰直角三角形，QF＝QG＝1， ∴QH， 此时PQ的最小值为； 当x＜0，y＜0时，则y＝﹣x﹣3，如图， 同理可得：PQ的最小值为； 当x＞0，y＜0时，则y＝x﹣3，如图， 同理可得：PQ的最小值为； 综上所述，PQ的最小值为， 故答案为：A． （3）由（2）知：点P（x，y）（xy≠0）是“周六点”时， 则点P的图象如图所示： ∵直线y＝kx+k﹣4＝k（x+1）﹣4，当x＝﹣1时，y＝﹣4， ∴直线y＝kx+k﹣4始终经过点P（﹣1，﹣4）， 当k＞0时，则k﹣4≥﹣3， ∴k≥1； 当k＜0时，则﹣3k+k﹣4＞0， ∴k＜﹣2； 故答案为：k≥1或k＜﹣2． 【点睛】本题考查函数的综合应用，解题关键是熟练掌握一次函数图象的性质，掌握图象交点与方程的解的关系，通过数形结合方法求解． 24．（2025秋•大丰区月考）如图所示，已知点M（1，4），N（5，2），P（0，3），Q（3，0），过P、Q两点的直线的函数表达式为y＝﹣x+3，动点P从现在的位置出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，设移动时间为ts． （1）若直线PQ随点P向上平移，则： ①当t＝3时，求直线PQ的函数表达式． ②当点M，N位于直线PQ的异侧时，确定t的取值范围． （2）当点P移动到某一位置时，△PMN的周长最小，试确定t的值． 【答案】（1）①y＝﹣x+6； ②2＜t＜4； （2）秒． 【分析】（1）①设平移后的函数表达式为y＝﹣x+b，其中b＝3+t，即可求解； ②当直线PQ过点M时，将点M的坐标代入y＝﹣x+3+t可得t＝2；当直线PQ过点N时可得t＝4，即可求解； （2）作点N关于y轴的对称点N′（﹣5，2），连接MN′交y轴于点P，则点P为所求点，即可求解． 【解答】解：（1）①∵过P、Q两点的直线的函数表达式为y＝﹣x+3，P（0，3），Q（3，0）， 动点P从现在的位置出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，设移动时间为ts，设平移后的函数表达式为y＝﹣x+b， 当x＝0时，y＝b， ∴此时P（0，b）， ∴b＝3+t， ∴y＝﹣x+3+t， 当t＝3时，直线PQ的函数表达式为y＝﹣x+6； ②当直线PQ：y＝﹣x+3+t过点M（1，4）时， 得：﹣1+3+t＝4， 解得：t＝2， 当直线PQ：y＝﹣x+3+t过点N（5，2）时， 得：﹣5+3+t＝2， 解得：t＝4， ∴当点M，N位于直线PQ的异侧时，t的取值范围为2＜t＜4； （2）作点N关于y轴的对称点N′，连接MN′交y轴于点P， ∴N′（﹣5，2），PN＝PN′， ∴△PMN的周长：PM+PN+MN＝PM+PN′+MN＝MN′+MN， 此MN′+MN为△PMN的周长的最小值， 则点P即为所求点， 设直线MN′的表达式为y＝k1x+b1，过点M（1，4），N′（﹣5，2）， ∴， 解得：， ∴直线MN′的表达式为， 当x＝0时，， ∴点， ∴， ∴t的值为秒． 【点睛】本题是一次函数综合运用，本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，点的对称性及图形的平移等，正确理解题意并掌握一次函数的性质是解题的关键． 25．（2023春•蕲春县期末）如图：在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y与一次函数y＝﹣x+7的图象交于点A． （1）求点A的坐标； （2）在y轴上确定点M，使得△AOM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标； （3）如图，设x轴上一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交y和y＝﹣x+7的图象于点B、C，连接OC，若BCOA，求△ABC的面积及点B、点C的坐标； （4）在（3）的条件下，设直线y＝﹣x+7交x轴于点D，在直线BC上确定点E，使得△ADE的周长最小，请直接写出点E的坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）联立正比例函数与一次函数解析式组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，确定出A坐标即可； （2）利用勾股定理求出OA的长，根据M在y轴上，且△AOM是等腰三角形，如图1所示，分情况讨论，求出M坐标即可； （3）设出B与C坐标，表示出BC，由已知BC与OA关系，及OA的长求出BC的长，求出a的值，如图2所示，过A作AQ垂直于BC，求出三角形ABC面积；由a的值确定出B与C坐标即可； （4）如图3所示，作出D关于直线BC的对应点D′，连接AD′，与直线BC交于点E，此时△ADE周长最小，求出此时E坐标即可． 【解答】解：（1）联立得：， 解得：， 则点A的坐标为（3，4）； （2）根据勾股定理得：OA5， 如图1所示，分四种情况考虑： 当OM1＝OA＝5时，M1（0，5）； 当OM2＝OA＝5时，M2（0，﹣5）； 当AM3＝OA＝5时，M3（0，8）； 当OM4＝AM4时，M4（0，）， 综上，点M为（0，5）、（0，﹣5）、（0，8）、（0，）； （3）设点B（a，a），C（a，﹣a+7）， ∵BCOA5＝14， ∴a﹣（﹣a+7）＝14， 解得：a＝9， 过点A作AQ⊥BC，如图2所示， ∴S△ABCBC•AQ14×（9﹣3）＝42， 当a＝9时，a9＝12，﹣a+7＝﹣9+7＝﹣2， ∴点B（9，12）、C（9，﹣2）； （4）如图3所示，作出D关于直线BC的对称点D′，连接AD′，与直线BC交于点E，连接DE，此时△ADE周长最小， 对于直线y＝﹣x+7，令y＝0，得到x＝7，即D（7，0）， 由（3）得到直线BC为直线x＝9， ∴D′（11，0）， 设直线AD′解析式为y＝kx+b， 把A与D′坐标代入得：， 解得：， ∴直线AD′解析式为yx， 令x＝9，得到y＝1， 则此时点E坐标为（9，1）． 【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两直线的交点，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 26．（2025春•柳南区期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，OA＝3，OC＝6，点B是y轴上的一动点，以AC为对角线作▱ABCD． （1）直接写出点A，C的坐标以及直线AC的函数解析式； （2）设点B为（0，m），其中0＜m＜6，▱ABCD的面积记为S，请写出S与m之间的函数关系式；我们知道线段BD的值随着点B的运动而变化，研究发现，当BD∥OA时（如图2），线段BD的值最小，求出此时S的值； （3）线段OC上是否存在点B，使得▱ABCD是菱形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（﹣3，0），C（0，6），直线AC的函数解析式为：y＝2x+6； （2）S＝﹣3m+18，S＝9； （3）B为（0，）． 【分析】（1）利用待定系数法可求解； （2）由平行四边形的面积公式可求S与m之间的函数关系式；当BD∥OA时，可证AD＝BC＝OB，即可求解； （3）由菱形的性质可得AB＝BC，由勾股定理可求解． 【解答】解：（1）∵OA＝3，OC＝6， ∴A（﹣3，0），C（0，6）， 设直线AC解析式为：y＝kx+b， 由题意得：， ∴， ∴直线AC的函数解析式为：y＝2x+6； （2）∵▱ABCD的面积＝BC×OA， ∴S＝3×（6﹣m）＝﹣3m+18， ∵BD∥OA，AD∥BC， ∴四边形AOBD是平行四边形， ∴AD＝OB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝OB， ∴OBOC＝3， ∴S＝﹣3×3+18＝9； （3）存在， 当▱ABCD是菱形时，AB＝BC， ∴AB2＝BC2， ∴OA2+OB2＝（6﹣m）2， ∴9+m2＝36﹣12m+m2， ∴m， ∴B为（0，）． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 27．（2024秋•五华县期中）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线于点D，连接OC，AD． （1）填空：k＝ 　﹣3　 ，点A的坐标是 　（5，0）　 ； （2）求证：四边形OADC是平行四边形； （3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值． 【答案】（1）﹣3，（5，0）； （2）见解析； （3）t的值为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出D点坐标，根据CD＝OA，OA∥CD，即可证四边形OADC是平行四边形； （3）先证四边形CPAQ为平行四边形，根据对角线相等确定PQ的长度，再根据P、Q的位置分情况计算出t值即可． 【解答】（1）解：∵直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6）， ∴3k+15＝6， 解得k＝﹣3， 即直线的解析式为y＝﹣3x+15， 当y＝0时，x＝5， ∴A（5，0）； （2）证明：∵线段CD平行于x轴， ∴D点的纵坐标与C点一样， 又∵D点在直线上，C（3，6）， 当y＝6时，x＝8， 即D（8，6）， ∴CD＝8﹣3＝5， ∴OA＝5， ∴OA＝CD， 又∵OA∥CD， ∴四边形OADC是平行四边形； （3）解：t的值为或；理由如下： 由（2）知四边形OADC是平行四边形， ∴OD与AC互相平分， 又∵P点和Q点的运动速度相同， ∴PQ与AC互相平分， ∴四边形CPAQ为平行四边形， ∵D（8，6）， ∴OD＝10， 当0≤t≤5时，PQ＝10﹣2t， 当5≤t≤10时，PQ＝2t﹣10， 当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，PQ＝AC， ∵， 当0≤t≤5时，， 解得， 当5≤t≤10时，， 解得， 综上，当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，t的值为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，平行四边形的性质和矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键． 28．（2025春•德宏州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，C两点． （1）求出A，C两点的坐标； （2）若点B的坐标为（﹣2，0），将线段AC沿着直线AB平移，使得点A落在点B处，此时点C的对应点为点D，可得到四边形ABDC．请判断四边形ABDC的形状，并说明理由； （3）若点M为x轴上一点，点N为坐标平面内另一点，以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1）A（8，0），C（0，6）；（2）四边形ABDC是菱形，理由见解答；（3）（5，3）或（﹣5，3）或（，3）或（0，﹣3）． 【分析】（1）当x＝0，可得y＝6，当y＝0，可得x＝4，可求解； （2）由平移的性质可得AB＝3＝CD，AB∥CD，可证四边形ABDC是平行四边形，可得点D（3，3）； （3）分三种情况讨论，由菱形的性质可求解． 【解答】解：（1）∵直线yx+6与x轴，y轴分别交于A、C两点． ∴当x＝0，可得y＝6， 当y＝0，可得x＝8， ∴点A（8，0），点C（0，6）； （2）∵将直线AC沿着直线AB平移，使得点A落在点B处， ∴AB＝10＝CD，AB∥CD， ∴点D（10，6）； ∴四边形ABDC是平行四边形， ∵AC＝AB， ∴四边形ABDC是菱形， 理由如下：∵将直线AC沿着直线AB平移，使得点A落在点B处， ∴AB＝10＝CD，AB∥CD， ∵AC＝AB， ∴四边形ABDC是菱形； （3）∵点A（8，0），点C（0，6）， ∴OA＝8，OC＝6， ∴AC10， 若AC与CM为两邻边时， ∵以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形， ∴AC＝AM＝10＝CN，CN∥AM， ∴点N2（10，6），N1（﹣10，6）； 若AM与AN为邻边时， ∵以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形， ∴AM∥CN，AM＝CM＝NC， ∵CM2＝CO2+MO2， ∴AM2＝9+（4﹣AM）2， ∴AM， ∴CN＝AM， ∴点N3（，6）； 若AC与CM为邻边时， ∵以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形， ∴AM与CN互相垂直平分， ∴点N4（0，﹣6）； 综上所述：点N的坐标为（10，6）或（﹣10，6）或（，6）或（0，﹣6）． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $