专题9 一次函数 单元复习专题提优训练及压轴题易错题专项训练-2025-2026学年八年级数学人教版下册

专题9 一次函数单元复习学案 知识点一 函数的概念 1．（2026春•北京期中）下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列函数中，是一次函数的是　 　 ，是正比例函数的是　 　 ．（填序号） （1）y；（2）y；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x2；（5）y＝6x；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2；（7）y＝x﹣6． 3．（2024秋•天宁区月考）当m　 　 时，函数y＝（m+2）x+1﹣m是正比例函数；当m　 时，函数y＝（m+2）x+1﹣m是一次函数． 知识点二 函数的图象 4．（2025•越秀区开学）如图，已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．甲每分钟走100米 B．两分钟后乙每分钟走50米 C．当x＝2或6时，甲乙两人相距100米 D．甲比乙提前1.5分钟到达B地 5．（2024春•汝州市期中）如图①，在长方形ABCD中，动点P从A出发，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，若y与x的关系如图②所示，则长方形ABCD的面积为（　　） A．36 B．54 C．72 D．81 6．（2024•武威三模）一次函数yx+1的图象如图所示，当﹣1≤y＜3时，x的取值范围是　 　 ． 知识点三 一次函数的性质 7．（2025秋•静安区期末）已知正比例函数y＝（m+1）x的图象经过第二、四象限，则m的值为　 ． 8．（2024春•新市区期末）已知一次函数y＝kx﹣1（k为常数，k≠0），若y随x的增大而增大，则它的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点四 一次函数图象与系数的关系 9．（2025秋•沙坪坝区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　） A．k＞0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0 10．（2025秋•建邺区期末）已知一次函数y＝kx+k+4（k为常数，k≠0）．当x＜1时，y＞0，则k的取值范围是（　　） A．k≤﹣2 B．k≤﹣4 C．﹣2≤k＜0 D．﹣4≤k＜0 知识点五 一次函数图象上点的坐标特征 12．（2025秋•江宁区同步）一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（﹣m，4）两点，则m的值为（　　） A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8 13．（2025秋•宁德期末）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在一次函数y＝x+3的图象上，则y1与y2的数量关系是（　　） A．y2＝y1 B．y2＝y1+1 C．y2＝y1﹣1 D．y2＝y1+3 14．（2024•雁塔区模拟）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（1，0），直线y＝kx﹣3交x轴于点B，交y轴于点C，若△ABC的面积6，则k＝（　　） A．±1 B．± C．1或 D．﹣1或 知识点六 一次函数图象与几何变换 15．（2024秋•秦都区期中）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1），且与y轴的交点坐标为（0，﹣a2﹣4），则下列关于该一次函数的说法，正确的是（　　） A．该一次函数的图象可能是由函数y＝2x﹣1的图象平移得到 B．该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积可能为2 C．该一次函数的图象与x轴交于正半轴 D．该一次函数的图象不经过第一象限 16．（2025秋•西湖区月考）将直线y＝kx向上平移3个单位，再向右平移2个单位，则所得直线的解析式是（　　） A．y＝k（x﹣3）+2 B．y＝k（x﹣2）﹣3 C．y＝k（x﹣2）+3 D．y＝k（x+2）+3 17．直线l与直线y＝2x﹣1关于x轴对称，直线l的解析式为（　　） A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x﹣1 C．y＝﹣2x+1 D．yx﹣1 知识点七 一次函数与方程（组）不等式（组） 18．（2024秋•武侯区月考）如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，4），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 ． 19．（2025春•崇川区月考）已知一次函数y＝kx﹣b与的图象相交于点A（a，1），则关于x的方程（3k﹣1）x＝3b的解x＝　 　 ． 20．（2025春•三水区期中）如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 21．（2025春•海安市期末）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2 22．（2025•沛县模拟）若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣2）﹣b＞0的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜4 D．x＞4 23．（2025春•赣州期末）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3 24．（2025秋•沙坪坝区同步）如图，直线y＝﹣x+m与y＝x+3的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞x+3＞0的取值范围为　 ． 25．如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是　 ． 26．（2025春•梅江区期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积． （3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围． 知识点八 十三．两条直线相交或平行问题 27．（2025春•岱岳区期末）在平面直角坐标系内，若两条直线l1：y＝﹣x﹣2和l2：y＝2x﹣b的交点在第三象限的角平分线上，则b的值为 　 　 ． 28．（2026春•鼓楼区期中）已知直线l1分别交x轴，y轴于点A，点B，其中，B（0，5），直线l2：y＝kx+k﹣2交直线l1于点C，分别交x轴，y轴于点D，点E． （1）如图，当k＝1时． ①求点C的坐标； ②点P是直线l2上一点，若△BCP的面积等于△ACD面积的2倍，求点P的坐标． （2）若直线l2与l1的夹角等于45°，求k的值． 知识点九 一次函数的应用 29．（2024春•皇姑区期末）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为s（km）与甲行驶的时间t（h）之间的关系如图所示． （1）观测图象可知点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P分别填入对应的横线上． ①点 P 表示甲到达终点；②点 M 表示甲乙两人相遇；③点 N 表示乙到达终点． （2）A、B两地之间的路程为 　 千米； （3）求甲骑摩托车的速度； （4）甲出发 　 h后，甲、乙两人相距180千米． 30．（2024秋•金凤区期中）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x其函数图象如图所示． （1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义； （2）求打折前的每次健身费用和k2的值； （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9 一次函数单元复习学案 知识点一 函数的概念 1．（2026春•北京期中）下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 【解答】解：A、在x的取值范围内，对于x的每一个确定的值，y有多个值与其对应，因此y不是x的函数，故A不符合题意； B、y是x的函数，故B符合题意； C、D中的曲线，在x的取值范围内，对于x的每一个确定的值，y有两个值与其对应，因此y不是x的函数，故C、D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 2．下列函数中，是一次函数的是　（1）（3）（5）（6）（7）　 ，是正比例函数的是　（1）（6）　 ．（填序号） （1）y；（2）y；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x2；（5）y＝6x；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2；（7）y＝x﹣6． 【分析】根据一次函数与正比例函数的定义解答即可． 【解答】解：（1）y是一次函数，也是正比例函数；（2）y是反比例函数；（3）y＝3﹣5x是一次函数；（4）y＝﹣5x2是二次函数；（5）y＝6x是一次函数；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2＝﹣4x是正比例函数，也是一次函数；（7）y＝x﹣6是一次函数． 故答案为：（1）（3）（5）（6）（7）；（1）（6） 【点睛】本题主要考查了正比例函数与一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数与正比例函数的定义及关系：一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数． 3．（2024秋•天宁区月考）当m　＝1　 时，函数y＝（m+2）x+1﹣m是正比例函数；当m　≠﹣2　 时，函数y＝（m+2）x+1﹣m是一次函数． 【分析】根据正比例函数及一次函数的定义即可求得答案． 【解答】解：已知函数y＝（m+2）x+1﹣m， 若该函数为正比例函数， 则1﹣m＝0， 解得：m＝1， 则m+2＝1+2＝3≠0，符合题意； 若该函数为一次函数， 则m+2≠0， 即m≠﹣2， 故答案为：＝1；≠﹣2． 【点睛】本题考查正比例函数及一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 知识点二 函数的图象 4．（2025•越秀区开学）如图，已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．甲每分钟走100米 B．两分钟后乙每分钟走50米 C．当x＝2或6时，甲乙两人相距100米 D．甲比乙提前1.5分钟到达B地 【分析】选项A根据函数图象中的数据，可知甲6分钟走了600米，从而可以计算出甲每分钟走的路程，从而可以判断该选项是否正确； 选项B根据图象中的数据可知，乙2分钟到6分钟走的路程是500﹣300＝200（米），从而可以计算出两分钟后乙每分钟走的路程，从而可以判断该选项是否正确； 选项C根据图象，可以分别计算出x＝2和x＝6时，甲乙两人的距离，从而可以判断该选项是否正确； 选项D根据乙2分钟后的速度，可以计算出乙从A地到B地用的总的时间，然后与6作差，即可判断该选项是否正确． 【解答】解：由图象可得， 甲每分钟走：600÷6＝100（米），故选项A说法正确； 两分钟后乙每分钟走：（500﹣300）÷（6﹣2）＝200÷4＝50（米），故选项B说法正确； （500﹣300）÷（6﹣2）＝50（米/分钟）， 乙到达B地用的时间为：2+（600﹣300）÷50＝2+300÷50＝2+6＝8（分钟），则甲比乙提前8﹣6＝2（分钟），故选项D说法错误； 当x＝2时，甲乙相距300﹣100×2＝300﹣200＝100（米），当x＝6时，甲乙相距600﹣500＝100（米），故选项C说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答． 5．（2024春•汝州市期中）如图①，在长方形ABCD中，动点P从A出发，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，若y与x的关系如图②所示，则长方形ABCD的面积为（　　） A．36 B．54 C．72 D．81 【分析】由图象可知AB、BC的长度，进而得出答案． 【解答】解：由图象可知，AB＝6，BC＝18﹣6＝12， 则长方形ABCD的面积为12×6＝72． 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，读懂题意是解题的关键． 6．（2024•武威三模）一次函数yx+1的图象如图所示，当﹣1≤y＜3时，x的取值范围是　﹣4＜x≤4　 ． 【分析】由函数的图象直接解答即可． 【解答】解：由函数的图象可知，当y＝3时，x＝﹣4；当y＝﹣1时，x＝4，故x的取值范围是﹣4＜x≤4． 故答案为﹣4＜x≤4． 【点睛】本题考查了利用图象求解的能力． 知识点三 一次函数的性质 7．（2025秋•静安区期末）已知正比例函数y＝（m+1）x的图象经过第二、四象限，则m的值为　　 ． 【分析】由正比例函数的定义可求得m的值，再由图象的位置进行取舍，可求得m的值． 【解答】解： ∵y＝（m+1）x为正比例函数， ∴m2﹣1＝1，解得m＝±， ∵图象经过第二、四象限， ∴m+1＜0， ∴m， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，由正比例函数的性质求得m的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍． 8．（2024春•新市区期末）已知一次函数y＝kx﹣1（k为常数，k≠0），若y随x的增大而增大，则它的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，可以得到k＞0，b＜0，从而可以得到函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而增大， ∴k＞0， 又∵b＝﹣1＜0， ∴一次函数y＝﹣kx﹣1（k≠0）的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 知识点四 一次函数图象与系数的关系 9．（2025秋•沙坪坝区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　） A．k＞0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可确定k，b的取值范围． 【解答】解：根据图象可知，一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 10．（2025秋•建邺区期末）已知一次函数y＝kx+k+4（k为常数，k≠0）．当x＜1时，y＞0，则k的取值范围是（　　） A．k≤﹣2 B．k≤﹣4 C．﹣2≤k＜0 D．﹣4≤k＜0 【分析】根据一次函数图象与系数的关系得出关于k的不等式组，即可求出答案． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+k+4（k为常数，k≠0），当x＜1时，y＞0， ∴， 解得﹣2≤k＜0， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键． 11．（2026春•鼓楼区期中）若一次函数y＝2x+b经过第一、三、四象限，则b可以是　﹣1（答案不唯一）　 ．（只要写出一个满足条件的b即可） 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，判断出b的符号，再写出符合条件的b的值即可． 【解答】解：由条件可知b＜0， ∴b可以是﹣1（答案不唯一）． 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 知识点五 一次函数图象上点的坐标特征 12．（2025秋•江宁区同步）一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（﹣m，4）两点，则m的值为（　　） A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8 【分析】运用待定系数法求得正比例函数解析式，把点B的坐标代入所得的函数解析式，即可求出m的值． 【解答】解：设正比例函数解析式为：y＝kx， 将点A（3，﹣6）代入可得：3k＝﹣6， 解得：k＝﹣2， ∴正比例函数解析式为：y＝﹣2x， 将B（﹣m，4）代入y＝﹣2x，可得：2m＝4， 解得m＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．解题时需灵活运用待定系数法求出函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程思想解决问题是解本题的关键． 13．（2025秋•宁德期末）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在一次函数y＝x+3的图象上，则y1与y2的数量关系是（　　） A．y2＝y1 B．y2＝y1+1 C．y2＝y1﹣1 D．y2＝y1+3 【分析】将两点坐标代入一次函数解析式，通过计算得出y1与y2的数量关系即可． 【解答】解：∵点B（m+1，y2）在y＝x+3的图象上， ∴y2＝（m+1）+3＝m+4， ∵点A（m，y1）在y＝x+3的图象上， ∴y1＝m+3， ∴y2﹣y1＝（m+4）﹣（m+3）＝1， ∴y1与y2的数量关系是＝y2＝y1+1． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14．（2024•雁塔区模拟）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（1，0），直线y＝kx﹣3交x轴于点B，交y轴于点C，若△ABC的面积6，则k＝（　　） A．±1 B．± C．1或 D．﹣1或 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B，C的坐标，进而可得出OC，AB的长，利用三角形的面积公式结合△ABC的面积为6，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当x＝0时，y＝k×0﹣3＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3），OC＝3； 当y＝0时，kx﹣3＝0， 解得：x， ∴点B的坐标为（，0），AB＝|1|． ∵S△ABCAB•OC＝6，即3|1|＝6， 解得：k＝﹣1或k． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征结合△ABC的面积为6，找出关于k的方程是解题的关键． 知识点六 一次函数图象与几何变换 15．（2024秋•秦都区期中）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1），且与y轴的交点坐标为（0，﹣a2﹣4），则下列关于该一次函数的说法，正确的是（　　） A．该一次函数的图象可能是由函数y＝2x﹣1的图象平移得到 B．该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积可能为2 C．该一次函数的图象与x轴交于正半轴 D．该一次函数的图象不经过第一象限 【分析】先求出一次函数的解析式，然后再运用一次函数的性质逐项判断即可． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1），且与y轴的交点坐标为（0，﹣a2﹣4）， ∴，解得：， ∴， ∵a2＞0， ∴，﹣a2﹣4＜0， 即k＜0，b＜0，则一次函数图象不经过第一象限，故D选项正确； ∵， ∴该一次函数的图象不可能是由函数y＝2x﹣1的图象平移得到，故A选项错误； 如图所示，设点A，B分别为一次函数y＝kx+b与x，y轴的交点， 由条件可知该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积大于，故B错误 ∵﹣a2﹣4＜0， ∴该一次函数的图象与x轴交于负半轴，故C选项错误． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是关键． 16．（2025秋•西湖区月考）将直线y＝kx向上平移3个单位，再向右平移2个单位，则所得直线的解析式是（　　） A．y＝k（x﹣3）+2 B．y＝k（x﹣2）﹣3 C．y＝k（x﹣2）+3 D．y＝k（x+2）+3 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”，即可求出平移后的函数解析式． 【解答】解：根据平移规律“左加右减，上加下减”可知： y＝k（x﹣2）+3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查图象的平移规律，属于基础题型，熟练掌握和运用平移规律是做题的关键． 17．直线l与直线y＝2x﹣1关于x轴对称，直线l的解析式为（　　） A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x﹣1 C．y＝﹣2x+1 D．yx﹣1 【分析】根据直线y＝kx+b（k≠0，且k，b为常数）关于x轴对称的性质求解． 【解答】解：∵直线l与直线y＝2x﹣1关于x轴对称， ∴直线l的解析式为﹣y＝2x﹣1 即y＝﹣2x+1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：直线y＝kx+b（k≠0，且k，b为常数）关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b． 知识点七 一次函数与方程（组）不等式（组） 18．（2024秋•武侯区月考）如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，4），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 x＝﹣2　 ． 【分析】根据交点坐标直接写出方程的解即可． 【解答】解：函数y＝﹣2x与y＝kx+b的图象交于点A（﹣2，4）， ∴关于x的方程kx+b+2x＝0的解为x＝﹣2． 故答案为：x＝﹣2． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，利用数形结合的方法确定方程的解． 19．（2025春•崇川区月考）已知一次函数y＝kx﹣b与的图象相交于点A（a，1），则关于x的方程（3k﹣1）x＝3b的解x＝　3　 ． 【分析】把A（a，1）代入求出a，根据A点的横坐标，即可求出答案． 【解答】解：把A（a，1）代入得：1a， 解得a＝3， ∴A（3，1）， ∴关于x的方程kx﹣bx的解为3， ∴关于x的方程（3k﹣1）x＝3b的解是x＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中． 20．（2025春•三水区期中）如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式﹣2x＞ax+3的解集即可． 【解答】解：∵函数y1＝﹣2x过点A（m，2）， ﹣2m＝2，m＝﹣1， ∴A（﹣1，2）， ∴不等式﹣2x＞ax+3的解集为x＜﹣1． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标． 21．（2025春•海安市期末）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2 【分析】利用一次函数的性质，写出直线y＝ax+b在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：一次函数y＝ax+b的图象与x轴的交点是（1，0）， 观察图象，关于x的不等式ax+b＜0的解集为x＞1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质． 22．（2025•沛县模拟）若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣2）﹣b＞0的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜4 D．x＞4 【分析】根据函数图象可得函数y＝kx﹣b与x轴的交点坐标为（2，0），且y随x增大而减小，再由函数y＝k（x﹣2）﹣b是函数函数y＝kx﹣b向右平移2个单位长度得到的，可得函数y＝k（x﹣2）﹣b与x轴的交点坐标为（4，0），且y随x增大而减小，据此可得答案． 【解答】解：∵函数y＝k（x﹣2）﹣b是函数函数y＝kx﹣b向右平移2个单位长度得到的， ∴函数y＝k（x﹣2）﹣b与x轴的交点坐标为（4，0），且y随x增大而减小， ∴关于x的不等式k（x﹣2）﹣b＞0的解集是x＜4， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数与不等式之间的关系，熟练掌握以上知识点是关键． 23．（2025春•赣州期末）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3 【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可． 【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为x＜﹣1或x＞3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象，一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 24．（2025秋•沙坪坝区同步）如图，直线y＝﹣x+m与y＝x+3的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞x+3＞0的取值范围为　﹣3＜x＜﹣2　 ． 【分析】解不等式x+3＞0，可得出x＞﹣3，再根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出不等式﹣x+m＞x+3的解集，结合二者即可得出结论． 【解答】解：由图象可知：不等式﹣x+m＞x+3的解为x＜﹣2． 在函数y＝x+3中，令y＝0，则x＝﹣3， 综上可知：不等式﹣x+m＞x+3＞0的解集为﹣3＜x＜﹣2． 故答案为：﹣3＜x＜﹣2． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是根据函数图象的上下位置关系解不等式﹣x+m＞x+3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系找出不等式是关键． 25．如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是　　 ． 【分析】先把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2，则两个一次函数的交点P的坐标为（1，2）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解． 【解答】解：把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2， 函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P（1，2）， 即x＝1，y＝2同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于x，y的方程组的解是． 故答案为． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 26．（2025春•梅江区期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积． （3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围． 【分析】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据函数解析式求得B、C两点的坐标，可得BC的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象以及点A坐标即可求解． 【解答】解：（1）解方程组，得， 所以点A坐标为（1，﹣3）； （2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）； 当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）； ∴BC＝4﹣（﹣2）＝6， ∴△ABC的面积6×3＝9； （3）根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了两直线相交时交点坐标的求法以及三角形的面积． 知识点八 十三．两条直线相交或平行问题 27．（2025春•岱岳区期末）在平面直角坐标系内，若两条直线l1：y＝﹣x﹣2和l2：y＝2x﹣b的交点在第三象限的角平分线上，则b的值为 　﹣1　 ． 【分析】先解关于x，y的方程组，得到用b表示x，y的代数式，由于交点在第三象限的角平分线上得到方程，解方程求解即可． 【解答】解：解关于x，y的方程组，解得：， ∵交点在第三象限的角平分线上 ∴，解得b＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题主要考查了两直线平行和相交的问题，将两直线解析式组成方程组是解答此题的关键． 28．（2026春•鼓楼区期中）已知直线l1分别交x轴，y轴于点A，点B，其中，B（0，5），直线l2：y＝kx+k﹣2交直线l1于点C，分别交x轴，y轴于点D，点E． （1）如图，当k＝1时． ①求点C的坐标； ②点P是直线l2上一点，若△BCP的面积等于△ACD面积的2倍，求点P的坐标． （2）若直线l2与l1的夹角等于45°，求k的值． 【分析】（1）①先运用待定系数法求得直线l1的解析式为y＝﹣2x+5，当k＝1时，直线l2：y＝x﹣1，即y＝x﹣1，然后联立即可求得点C的坐标；②先求得D（1，0），E（0，﹣1）、C（2，1），易得，则；再求得S△BCE＝3；设点P（p，p﹣1）（p＞0），则，然后分点P在点C的左侧和右侧两种情况解答即可． （2）联立可得，如图：过B作BD⊥l2于D，易得△BCD是等腰直角三角形可得，即BD2＝CD2，BC2＝2BD2，然后根据两点间距离公式列方程组求解即可． 【解答】解：（1）①设直线l1的解析式为y＝k1x+b1，直线l1分别交x轴，y轴于点A，点B，其中，B（0，5）， 则， 解得：， ∴直线l1的解析式为y＝﹣2x+5， 当k＝1时，直线l2：y＝kx+k﹣2＝x﹣1，即y＝x﹣1， 联立， 解得：， ∴C（2，1）； ②∵直线l2：y＝x﹣1， ∴D（1，0），E（0，﹣1）， ∵， ∴， ∵C（2，1）， ∴， ∴， ∵E（0，﹣1），B（0，5）， ∴BE＝5﹣（﹣1）＝6， ∴， 设点P（p，p﹣1）（p＞0），则， 如图：当点P在点C的左侧时，S△BCP＝S△BCE﹣S△BPE， ∴， 解得：， ∴； 如图：当点P在点C的右侧时，S△BCP＝S△BPE﹣S△BCE， ∴， 解得：， ∴； 综上，点P的坐标为或． （2）联立， 解得：， ∴， 如图：过B作BD⊥l2于D， 由题意可得：△BCD是等腰直角三角形， ∴，即BD2＝CD2，BC2＝2BD2， 设D（d，kd+k﹣2），B（0，5）， ∴BD2＝（d﹣0）2+（kd+k﹣2﹣5）2，， ， ∴， 解得：k＝3或． 【点睛】本题考查两条平行线平行或相交问题，正确进行计算是解题关键． 知识点九 一次函数的应用 29．（2024春•皇姑区期末）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为s（km）与甲行驶的时间t（h）之间的关系如图所示． （1）观测图象可知点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P分别填入对应的横线上． ①点 P 表示甲到达终点； ②点 M 表示甲乙两人相遇； ③点 N 表示乙到达终点． （2）A、B两地之间的路程为 　240　 千米； （3）求甲骑摩托车的速度； （4）甲出发 　或　 h后，甲、乙两人相距180千米． 【分析】根据函数图象和图象中的数据可以解答本题．由图象可得，AB两地之间路程为240千米；出发2小时时，甲乙在途中相遇；出发3小时时乙到达A地；6小时时甲到达B地．据此解答． 【解答】解：（1）分析函数图象知出发2小时时，甲乙在途中相遇；出发3小时时乙到达A地；6小时时甲到达B地． 故答案为：①P；②M；③N； （2）根据函数图象和图象中的数据可以解答本题．由图象可得，AB两地之间路程为240千米， 故答案为：240； （3）甲的速度是：240÷6＝40（千米/时）， 答：甲骑摩托车的速度为40千米/时； （4）①相遇之前：（240﹣180）÷（40+80）（小时）， ②相遇之后：3+（180﹣120）÷40（小时）， 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答． 30．（2024秋•金凤区期中）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x其函数图象如图所示． （1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义； （2）求打折前的每次健身费用和k2的值； （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由． 【分析】（1）把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可； （2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值； （3）将x＝8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可． 【解答】解：（1）∵y1＝k1x+b的图象过点（0，30），（10，180）， ∴， 解得， k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元； （2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元）， 则k2＝25×0.8＝20； （3）选择方案一所需费用更少．理由如下： 由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x． 当健身7次时， 选择方案一所需费用：y1＝15×7+30＝135（元）， 选择方案二所需费用：y2＝20×7＝140（元）， ∵135＜140， ∴选择方案一所需费用更少． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出y1、y2关于x的函数解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $