2026年中考数学一轮专题复习之圆的解答题专项综合提优训练

圆的解答题专项综合提优训练 1.(2026黑龙江佳木斯一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点0在AB上，以0为圆 心，OA为半径作OO,交AB于点D,交AC于点E,且LCEB=∠ADE· E B D (1)求证：BE是⊙0的切线； 2诺4E=8,Q0s∠A=手求00的半径和BC的长. 2.(2026河南周口一模)如图，AB是⊙0的直径，点C在O0上，AD⊥CD于点D, AC平分∠DAB (1)求证：CD是⊙0的切线； (2)若AD=4,AC=5,求O0的直径AB的长， 3.(25-26九年级下内蒙古通辽月考)如图，AB是⊙0的直径，C是BD的中点，过点C 作AD的垂线，垂足为点E, D◇ B (1)求证：AC2=AB·AE; (2)求证：CE是⊙0的切线： (3若AD=2CE,AB=3,求BC的长度. 4.(2026江苏扬州一模)如图，在ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是 AB上一点，以OA为半径的OO经过点D,与AB,AC分别交于点E,F· 0 B (1)求证：BC是00的切线； (2)若AF=12,DC=8,求00的半径. 5.(2026山西吕梁一模)如图，AB为O0的直径，AC为O0的弦，OD1AB交AC于点 D,过点C作O0的切线交OD的延长线于点E,交AB的延长线于点F,求证： LECD =LEDC B 6.(2026广东佛山一模)如图，在ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，以A为圆心 的圆过点D (1)求证：BC与0A相切； (2)若AB=10,simB=) 求阴影部分的面积. 7,(2026安徽黄山一模)如图，以AB为直径的⊙O经过ABC的顶点C,CD是⊙O的切 线，过点A作CD的垂线AD,并延长AD,交BC的延长线于点E,延长DA,交⊙O于点 F F D (1)求证：AB=AE; (2)若AB=10,AC=6,求AF的长. 8.(2026江苏无锡二模)如图，AB是O0的直径，C为圆弧上一点，D为劣弧BC的中点， 过点D作OO的切线交射线AC于点E,连接AD、BD, D (1)求证：AE⊥DE; (2)若AE=6.4,AB=10,求AC的长 9.(2026辽宁抚顺一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，点0为AC上一点，以0C为 半径的OO经过斜边AB上点D,连接CD,点E在CD上，过点E作EF LCD,交BC于点 F,作EG⊥AB,垂足为点G,且CE=DG,EG=EF, B D G (1)求证：AB是⊙0的切线， 4 (2)若BC=4,sin∠A= 求00的半径. 10.(2026山东济南一模)如图，ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D, 过点D作DE⊥AC,垂足为E,延长CA交⊙O于点F,连接DF· E (1)求证：DE是⊙O的切线， (2)若DF=12,CE=9,求AC的长. 11.(2026陕西咸阳·二模)如图，⊙0为△ABD的外接圆，AB为⊙0的直径，BC与00相 切于点B,交AD的延长线于点C,E是O0上一点，AE=BE,连接AE,DE, sin∠DAB= 3 4 D (1)求证：LC=LE; (2)若AE=2√万，求CD的长 12.(2026辽宁铁岭一模)如图1，在00中，半径0A10B,点C为OB延长线上一点， 点D为OO上一点，连接CD,且CD=CE,连接AD交OB于点E· D B 图1 图2 (1)求证：CD与00相切； (2)如图2，连接BD,若LBDA=∠C,CD=2,求OE的长 13.(2026江苏无锡一模)如图，⊙0为△ABD的外接圆，点C在⊙0上，AB为00的直 径，DE是O0O的切线，且DE⊥CB交CB的延长线于点E, D (1)求证：∠ABD=∠DBE; (2)连接CD,若CE=7,BE=3,求DE的长. 14.(2026九年级下北京西城专题练习)如图，AB为⊙0的弦，C为AB的中点，D为 OC延长线上一点，DA与O0相切，切点为A,连接BO并延长，交O0于点E,交直线 DA于点F· B A (1)求证：∠B=∠D; ②若AF=4反血D方求00的半径 15.(2026广西南宁.二模)如图，BD是ABC的外接圆⊙0的直径，线段BE与00相切于 点B,连接CE,交BD,AB于点F,G,∠EBG=∠BFE· D G B 图1 图2 (1)求证：CG⊥AB; (2)求证：AC·BC=BD·CG; (3)如图2，若AC=√6，AG=V3BG,∠ABC=60°，求阴影部分的面积， 16.(2026内蒙古包头一模)如图，AB是00的切线，E为切点，以0为顶点作∠C0D, 交OO于点C,交AB于点D,连接CE,交OD于点F, A (1)LOCF与∠CED有什么数量关系，请说明理由： 2若00的半径为2,4C0D=90°，cosC=2y5,求0D的长. 5 17.(2026年辽宁省本溪市一模数学试题)如图，在ABC中，BC是⊙0的弦，CD是00 的直径，连接BD,∠ABC=∠BDC· (1)求证：AB是⊙0的切线； 3 ABC=53°，4B=56,求BC的长·（参考数据：sim539 4 tan53°≈- 3 18.(2026贵州遵义一模)如图，AB是00的直径，直线MN与00相切于点C, AD⊥MN于点D,延长AB交MN于点P,连接AC,BC· MD ●入 (1)求证：AC平分∠DAB: Q清∠P<CP,求L4CD的度数 (3)若tan∠ABC=√2，求cosP的值. 19.(2026辽宁铁岭二模)如图，AB为00的直径，C,D是⊙0上的点，连接BC,CD ∠DCB=135° D (1)求证：AD=BD (2)若CE是O0的切线，交AB的延长线于点E.若BC=5,AB=13,求CE的长 20.(2026辽宁沈阳一模)在△0AB中，LA=40°，∠B=55°，AB与⊙0相切于点C,OA与 OO相交于点D,E为OO上一点，连接CE,DE, D B C (图1) (图2) (1)如图1，求∠CED的大小； (2)如图2，EC与OA相交于点F,延长A0与O0相交于点G,若EC∥OB,且DE=4,求 EG的长（结果保留）. 21.(2026甘肃兰州模拟预测)如图，已知AB是⊙0的直径，点F在⊙0上，点C为AB延 长线上一点，AE⊥CF,垂足为E,AF平分∠EAC,AG=BG,连接AG,BF E F G (1)求证：EC是00的切线； (2)若AG=6√2，AF=8,求线段EF的长 22.(2026安微芜湖二模)如图，AB是半圆O的直径，BC与半圆O相切于点B,点E在 半圆O上，ED垂直平分BC,垂足为点D,AC与DE交于点F,连接BF. ()求即 的值， (2)连接BE交AC于点G,若BG=BC,求证：AC平分∠BAE· 23.(2026辽宁沈阳一模)如图，AB为O0的直径，点F在00上，0F⊥AB,点C在 OO上，AC与OF相交于点E,点D在EF的延长线上，且DC=DE,直径AB与DC的延 长线相交于点P. (1)求证：PC是⊙0的切线： 2法如A=片 DF=4,则AC的长为 (直接填空)· 24.(2026山东济南一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,以CD 为直径的OO交BC于点E,交AC于点F,M为线段DB上一点，连接OM,ME, OM∥BC. E DMB (1)求证：ME是⊙0的切线； 2若CF=3,cosB=号求oM的长 25.(25-26九年级下山东聊城月考)如图，在ABC中，D是BC边上的点.过点D作 DE⊥BC交AC于点E,垂足为D,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接EF,经过点D E,F的OO与边BC另一个公共点为G,连接GF,GE. G (1)求证：∠B=LEGF; (2)若LB=LEGF,BC=7,CD=2,tanC=2,求o0的半径 26.(2026年河北省张家口市中考一模数学试题)如图1和图2，口ABCD中，对角线 BD上AD,P是AB上一点（不与点A重合），以AP为直径作半圆，圆心为点O,交AD于 点E 图1 图2 (1)如图1，若半圆与BD相切，点F为切点，连接AF并延长，交CD于点G,求证： DA=DG (2如图2，若半圆与BD交于点M.N,且OM10N,BN=V2,am∠ABD=3 ①求MN的长； 2连接PE,直接写出MN与PE长的大小关系·（注：取3.14） 27.(2026云南文山一模)如图，AB是00的直径，AC是00的弦，点D是BC的中点.过 点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E,四边形ACFG内接于⊙O,CF是OO的直径，连 接AF,CG· (I)若AC=BC,求∠BAC的度数： (2)求证：DE是⊙0的切线 (3)若∠FCG=30°，试探究线段AC,AF,AG之间的数量关系. 28.(2026四I川成都二模)如图，AB是00的直径，E为OA上一点，过点E作CD⊥AB, 交⊙O于C,D两点，连接CO并延长交⊙O于点F,连接BD交CF于点G· D G B (1)求证：∠A0C=2LABD; 2过点B作00的切线交CF的延长线于点H,若OC=,CD=5,求BH和DG的长 29.(25-26九年级下四川绵阳期中)如图1，AB为⊙0直径，P为AB延长线上一点，弦 CD⊥AB,垂足为D,CB平分∠PCD,连接AC,E为AB下方OO上一点，且 LACE=2LPCB,连接EB G D B D E 图1 图2 (1)求证：PC是⊙0的切线， (2)求证：AC=CE; (3)如图2，在CP上取一点F,连接BF,使AB=2CF,过点B作BF的垂线交AC于点G, 若AG=28,BF=13,求CE和sin∠E· 30.(25-26九年级下北京月考)如图，AB是00的直径，点C为00上的一点，过点A作 Q0的切线交BC的延长线于点D,连接AC,OC,过点A作OC的垂线，交0C,BC于点 G,E,交⊙0于另一点F. D G B (1)求证：AE=AD; (2若CE-3 3G=,OG三10，求AF和AD的长 答案 1 【详解】(1)证明：如图，连接OE B D 0D=0E, ∴.∠OED=∠ADE, '∠CEB=∠ADE, ∴.∠OED=LCEB, AD是O0的直径， .∠AED=90°， .LCED=180°-∠AED=90°，即∠BED+∠CEB=90°， .∠BED+∠0ED=90°， ∴.∠OEB=90°，即0E⊥BE, OE是00的半径 ∴.BE是⊙0的切线 (2）解：LAED=90°， cos∠A=AE=4 AD 5 AE=8, 8=4 AD 5 AD=10, .⊙0的半径为5，DE=VAD2-AE2=V102-82=6, 设AC=4a,则CE=4a-8, ∠C=90°， .CosZA=AC 4a 4 AB AB 5 .∴.AB=5a :.BC=AB2-AC2=(5a)2-(4a)2=3a. ,'∠AED=LC=90°，∠ADE=∠CEB, ∴.△ADEn△BEC, DE AE CE BC 即6=8 4a-83a 静得0兴 八BC=3a=96 2. 【详解】(1)证明：如图，连接0C, D 0A=0C, .∴.∠0AC=∠0CA AC平分∠DAB, .∠DAC=∠0AC, .∠OCA=∠DAC, .0C∥AD AD⊥CD ∴.0C1CD. 0C是⊙0的半径， CD是o0的切线 (2)解：如图，连接BC, D :AB是⊙0的直径 .∠ACB=90°. AD⊥CD, .∠ADC=90°， .LADC=∠ACB 由(1)可知，∠DAC=LBAC, :△ADCn△ACB, AD AC AC AB :AD=4,AC=5, 45 5 AB 解得，AB=25 4 答：00的直径4AB的长为25 4 3 【详解】(1)证明：C是BD的中点， .CD BC. :∠EAC=LBAC. AB是O0的直径， ∠ACB=90° :CE⊥AE, LAEC=90°. ∠AEC=LACB, △ACE∽△ABC; AE AC ”ACAB .AC2=ABAE (2)证明：连接0C,如图， D◇ 0A=0C, .∠0AC=∠0CA, 由(1)知：∠EAC=∠BAC, ,∠EAC=∠OCA, .OC∥AE, :CE⊥AE, 0C⊥CE. 0C为00的半径， .CE是⊙0的切线， (3)解：过点O作OF⊥AD于点F,如图， B 1 则AF=FD=2AD, AD 2CE, .AF=CE· :OF⊥AD,CE⊥AE,OC⊥CE, .四边形EFOC为矩形， :.OF CE. :.OF AF, “△AF0为等腰直角三角形， ∠FA0=45°， OC∥AE, ∠B0C=∠FA0=45°， 45°.3π3π 3608 4 【详解】(1)证明：连接0D, :AD是∠BAC的平分线， D :∠BAD=∠CAD, :0A=0D ∠BAD=∠ODA, .∠ODA=LCAD, 0D∥AC, :∠0DB=∠C=90°， OD⊥BC, 又：0D是00的半径 BC是⊙0的切线： (2)解：过点0作0G1AC,垂足为点G, :OG⊥AC,0D⊥BC, .L0DC=∠0GC=∠C=90°， :四边形ODCG是矩形， :0G=DC=8 :0G⊥AC,AF=12, 1 1 AG=GF=AF=×12=6, 2 2 在Rt△A0G中，AG2+OG=OA, .0A=VAG+OG=V62+82=10 :00的半径为10 5. 【详解】证明：过点C作⊙O的切线交OD的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连接 0C, ∠0CE=90°， D B ∠0CA+∠ECD=90°， :OD⊥AB, :∠A+∠AD0=90°， :0A=0C, ∠A=∠0CA, :ZADO ZECD :∠AD0=∠EDC, :∠ECD=LEDC 6 【详解】(1)证明：：AB=AC,点D是BC的中点 ·AD⊥BC OA以点A为圆心，且过点D AD是0A的半径 .BC与0A相切； 2)解：在R1△ABD中，AB=10,sinB=2 1 sinB=AD、1 AB 2 ÷AD=AB=5,∠B=30° 2 BD=AB·c0s30°=10×- 2=5V5, 2 点D是BC的中点 ·BC=2BD=10V3, AB=AC ∠C=∠B=30°， ∴∠BAC=180°-∠C-∠B=120°， 5ec4Dx105x5=256 .S鼠形 120m×5225元 360 3 5影=5c-Sg5=255-25n 答：阴影部分的面积为25√525π 3 7 【详解】(1)证明：如图所示，连接0C, D CD是00的切线， ..OC ICD, AE⊥CD, .0C∥AE, .LOCB=∠E, 0B=0C, .∠B=∠OCB, .∠B=∠E, .AB=AEi (2)解：如图所示，连接BF, F D C E AB为直径，AB=10,AC=6, .∠ACB=∠F=90°， BC=AB2-AC2=8. .'AB=AE=10 ∴.EC=BC=8, .∴.BE=16 .BF2=AB2-AF2=BE2-EF2, 102-AF2=162-(AF+10)2, AF= 5 8. 【详解】(1)证明：连接0D, :DE是O0的切线， OD⊥DE, D是劣弧BC的中点， .CD=BD ∴.∠CAD=∠BAD 又：0A=0D, :∠BAD=∠ODA, :∠CAD=∠ODA, .OD‖AE, .OD I DE, .AE⊥DEi (2)解：连接BC,交OD于点F, :AB是O0的直径 ∠ACB=∠ADB=90°，即BC⊥AC, 又AE⊥DE,ODI AE, ∴.四边形DECF是矩形， ..DE=CF, '∠EAD=∠DAB,∠E=∠ADB=90°， .△AED△ADB, :E-4D AD AB 即AD2=AE·AB=6.4×10=64, ∴.AD=8 在RIAED中：DE=√AD2-AE2=V82-6.42=4.8, .CF=DE=4.8, ODI AE,BC⊥AC, .0D⊥BC, ∴.根据垂径定理，F是BC中点， BC=2CF=9.6, 在RtAABC中：AC=VAB2-BC2=V102-9.6=2.8· 【详解】(1)证明：连接0D, EF⊥CD,EG⊥AB, DG .∠CEF=∠EGD=90° 又EG=EF,CE=DG, ∴.RtaCEF≌RtADGE(SAS), .∠ECF=LGDE, :0C=0D, L0DC=∠0CD, :∠ACB=90°， .∴.∠0CD+∠BCD=90 .∴.∠0DC+∠BCD=90° ∴∠BD0=90°，即OD⊥AB, :0D是半径 AB是O0切线； (2)解：sinA=4-BC 5 AB' BC=4, AB=5, AC=AB2 -BC2=52-4=3. 设半径为r,则OD=r,A0=3-r, OD 4 =sinA=- AO 3-r51 解得r= 3, 00的半径为号 10 【详解】(1)证明：连接0D, C.:AB=AC. D :ZABD =ZC, :0B=0D, ∠ABD=∠ODB, .∠C=LODB, OD∥CE, :DE⊥AC, OD⊥DE, 又：0D是⊙O的半径， :DE是⊙O的切线； (2)解：连接AD, E D 由(1)知∠ABD=∠C, AD=AD. ∴.∠ABD=∠AFD, ∠AFD=LC, :DF=DC=12, :DE⊥AC, ..COsC=CE9 3 DC12=4' :AB为⊙O直径， LADB=90°， :∠ADC=90°， .'.cosC= 即123 AC 4 .AC=16 11. 【详解】(1)证明：AB为⊙0的直径， .∠ADB=90°， .∠BAD+∠ABD=90°， ∠ABD=∠E, .∠BAD+∠E=90°， ,BC与O0相切于点B, .AB⊥BC,即∠ABC=90°， .∠BAD+∠C=90°， ∠C=LE (2)解：如图，连接BE, D AB为O0的直径， .∠ADB=90°，∠AEB=90°， ,'sin∠DAB= BD 3 AB 4' .可设BD=3x,AB=4x AD=√7x, .cOs∠BAD= AD√7 AB 4 :AE=BE' .AE BE=- -AB =22x=27 2 心xs4 2 .AB=214, 7v5 AD= 2 'cos∠BAD=AB-V万 AC 4 2i4万 AC 4 .AC=82, CD=AC-AD=8v5-72_92 2 12 【详解】(1)证明：半径0A10B, .∠DA0+∠AE0=90°， 0A=0D, .∠DA0=∠AD0, .CD =CE, .∠CDE=∠CED, '∠CED=∠AEO, .∠CDE=∠AE0, ∴.CD0=∠AD0+∠CDE=∠DA0+LAE0=90°， .OD⊥CD ∴.CD与00相切 (2）解：：∠BDA和LB0A是AB所对的圆周角和圆心角，LBOA=90°， ∠BDA=∠B0A=45°， 2 ∠BDA=∠C, ∠C=45°， ∠CD0=90°，CD=2, .△CD0是等腰直角三角形，0D=CD=0B=CE=2,OC=√2CD=2V2, .0E=0C-CE=2√2-2· 13 【详解】(1)证明：如图，连接0D, B D DE是OO的切线， OD⊥DE, :DE⊥CB, OD∥CB, .∠DBE=∠ODB :0B=0D, :ZOBD Z0DB ·∠DBE=∠ABD (2)解：AB为O0的直径 ·LADB=90°， .∠BAD+∠ABD=90°， :DE⊥CB ∠BDE+∠DBE=90° .∠BAD=∠BDE, 由圆周角定理得：LBAD=∠DCE, :∠BDE=∠DCE, ∠E=∠E, ..△BDE∽△DCE, BE DE 即3、DE DE CE DE 7 解得：DE=√21（负值舍去）， 14 【详解】(1)证明：连接OA,AE, ○ :0A=0B, :∠B=∠OAB, :DA与00相切， ∠0AD=90°， .∠0AB+∠DAC=90°， :0A=0B, 4A0B是等腰三角形， C为AB的中点 :OC⊥AB, LACD=90°， ∠D+∠CAD=90°， :∠OAB+∠DAC=90=∠D+∠CAD, :∠D=∠OAB=LB; (2)解：设00的半径为r O为BE的中点，C为AB的中点， 1 .AE∥OC,OC=AE, .∠FEA=∠FOD,∠EAF=∠D, ∴.△AFE∽△DFO, .FAAE FD OD :∠B=∠D,sinB=1 sinD=sin∠OAC=sinB= 3 在RA0AD中，OD=0A=3n,AD=OD-OF=2N2 sin D 1 在Rta0AC中，OC=04.sin∠OAC=二r 3 2 .AE=20C=r .AF=42, .4v2 r 3 4W2+2V2r3r 化得子 解得r=7, 经检验，r=7是原方程的解 .⊙0的半径为7. 15. 【详解】(1)证明：BE是⊙0的切线， .BD⊥BE,即∠DBE=90°， ∴.∠E+∠BFE=90°. '∠EBG=∠BFE, .∠E+∠EBG=90° .∴.∠EGB=90o 即CG⊥AB; (2)证明：连接CD B BD是OO的直径 .∴.∠BCD=90 '∠BDC=∠BAC,∠BCD=∠AGC=90°， .∴.△BCDn△CGA, BC CD BD CG AG AC .AC.BC BD.CG (3)解：连接C0, G E B 在Rt△BCG中，LABC=60°， .∠BCG=30°， .BC =2BG, 根据勾股定理，得CG=√BC2-BG2=√5BG· 在RtAACG中，AG2+CG=AC2, 3BG+(3BG=(V6. 解得BG=1(负值舍去)， .AG=CG=3,BC=2, .∠CAG=∠ACG=45°， .∠BDC=LBAC=45°， ∴.∠B0C=2LBDC=90° 在RtaB0C中，BO2+C02=BC2, 即2B02=4, 解得B0=√2（负值舍去）， Sme-5.me-90 360 2 16. 【详解】(1)解：L0CF+∠CED=90°，理由如下： 如图，连接OE, :0C=0E, :∠OCF=LOEF, :AB是OO的切线，E为切点， :∠0ED=90°，即∠OEF=∠CED=90°， :∠0CF+∠CED=90°； D B 2)解：：1C00=90°，c0sC-25 :LCF0+L0CF=90°， 0C=25,即2-25 5 CF 5 CF=5. 0F=CF2-0C2=5°-2=1， :∠CFO=∠EFD, ·∠EFD=∠CED :DE=DF, 设DE=DF=x,则OD=OF+DF=1+x, 由勾股定理得0E+DE2=0D2,即22+x2=(x+1)2, 3 解得x=2 :0D=1+x=1+2-2 35 17 【详解】(1)证明：如图1，连接OB DCD为O0的直径， .∠CBD=90°， .∠BDC+∠BCD=90° 0C=0B, .∠OBC=∠BCD, ·∠ABC=LBDC, .∠ABC+∠0BC=90°， .∠0BA=90°， .AB⊥OB, OB是O0的半径， AB是⊙0的切线. (2)解：过点C作CE⊥AB于点E,则LAEC=∠BEC=90°· D在RIAAEC中，∠AEC=90°，LA=45°， E .∠A+∠ACE=90°， .∠A=∠ACE=45°， .CE=AE. 在RtaBEC中，∠BEC=90°，∠ABC=53°， sin∠ABC=CE tan∠ABC=CE BC BE sin53°=CE、4 am53°=CE、4 BE 3 设BE=3a,则CE=AE=4a, BC=BE2+CE2=(3a)2+(4a)2=5a. .AB AE BE =4a+3a=7a=56, .∴.a=8 .BC=5a=40, CD是O0的直径， ∴.∠CBD=90°， ∠ABC=∠BDC=53°， 在RIACBD中，∠CBD=90°，∠BDC=53°， .sin∠BDC= CB CD ,.sin53°= 404 ..CD=50 .半径r=25 BC=BC. .∠B0C=2∠BDC=106°， BC的长为=106×mx25_265m 180 18 答：BC的长为265m 18 18 【详解】(1)证明：连接0C, MD :直线MW与圆O相切于点C, 0C⊥MN, :AD⊥MN, ..ADI OC, :∠DAC=∠OCA, :0A=0C, .∠0AC=∠0CA, :∠DAC=∠OAC,即AC平分∠BAD; (2)解：设∠P=x☐， ∠CAP, :∠P=2 .∠CAP=2x, 由(1)知AC平分∠DAB, ∴.∠DAC=∠CAP=2X ∴.∠DAP=∠DAC+∠CAP=4X :AD⊥MN, ∴.∠ADP=90° 在Rt▲APD中，∠DAP+∠P=90°， 即4x°+x°=90°，解得x°=18°， ∴.∠DAC=36°， 在Rt▲ACD中，∠ACD=90-36=54°； (3)解：如图，过点C作CE⊥AB于点E, MD :OC⊥MN,AD⊥MN, ∴.OC∥AD :∠OCE=∠CAD, 又，∠P+∠CAP=90°，L0CA+∠0CE=90D,且LCAP=L0AC=L0CA, ∠P=∠OCE, 在RIAACB中，an∠ABC-4C-5, BC 设BC=a,则AC=√2a, AB=VAC2+BC2=V5a,∠ACB=90□， o8=0c-48=9。 -a, 在Rt△BEC中，∠BEC=90D,设BE=m, :tan∠ABC=CE-2. BE ∴.CE=V2m, 由CE2+BE2=BC2得2m2+m2=a2, m=3 a,即BE= 3 -a 3 ·CEs6 a, G 在Ra0EC中，cos∠0CE=CE 、3 2W2 C5 3 -a 2 ∴.cosP=cos∠OCE= 2V2 3 19 【详解】(1)证明：连接AD,BD, 则四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ·∠DAB+∠DCB=180°， :∠DCB=135°， D E∠DAB=45° :AB为OO的直径， .∠ADB=90°， ∠DBA=45°， ∴.∠DBA=∠DAB, ∴.弧AD=弧BD (2)解：连接AC,OC,过点C作CG⊥AB于点G, :AB为O0的直径， LACB=90°， BC=5,AB=13, ..AC=AB2 -BC2 =12, 1 S.AuC =AC.BC=AB.CG. 2 故CG=4C·BC60 AB 13 oc-548 2 0G=0c2-cG=-119 26 .tan∠CoE= CG120 OG 119 :CE是⊙0的切线， ∠0CE=90°， o .tan∠COE= CECE 120 E OC -13119 GB 解得CE=780 119 20 【详解】(1)解：连接0C, :AB与O0相切于点C, B (图1) OC⊥AB, LAC0=90°， :∠A=40°， :∠A0C=90°-40°=50°， 弧CD=弧CD, ∴∠CED=∠AOC=25°； (2)解：连接OC,OE G B C (图2) 由(1)知0C1AB LA=40°，∠B=55°， ∴.∠B0C=90°-55°=35°，∠A0C=90°-40°=50°， :EC∥OB, .L0CE=∠B0C=35°， :0C=0E, L0CE=L0EC=35°， ∠E0C=180°-35°-35°=110° LE0D=∠E0C-∠A0C=110°-50°=60°， :0E=0D :aEOD是等边三角形， DE=0E=4, LE0G=180°-∠E0D=120°， :EG的长=120m×48m 1803 21. 【详解】(1)证明：如图，连接0F, 0A=0F, .∠OAF=∠0FA, AF平分∠EAC, .∠OAF=∠EAF, .∠EAF=∠OFA, .OF∥AE, AE⊥CF, .OF⊥CF, 0F是00的半径， .EC是O0的切线； E F B G (2)解：AB是O0的直径， .∠AGB=∠AFB=90°， .BG=AG=62, .AB=√AG2+BG2=12, BF=AB2-AF2=45 ∠E=∠AFB,∠EAF=∠FAB, .∴.△AEF∽△AFB, EF AF EF 8 即 BF AB 4512 解得：EF= 8v5 3 22. 【详解】(1)解：：BC与半圆0相切于B, :AB⊥BC, :∠ABC=90°， :ED垂直平分BC, :∠EDC=90°，FC=FB, LABC=LEDC=90°， :ED∥AB, :△CDF∽△CBA, CF CD 1 CA CB2' F为AC的中点， BF 1 .在Rt△ABC中， AC-2 (2)证明：：BG=BC, LC=∠BGC=LAGE, :AB是半圆O的直径 LAEB=90°， :∠C+∠BAC=90°，∠AGE+∠GAE=90°， .∠BAC=∠GAE, AC平分∠BAE· 23 【详解】(1)证明：如图，连接0C, D DC=DE, D ∠AEO=LDEC=∠DCE, :OF⊥AB, :∠A+∠AE0=90°， :0A=0C, :∠A=∠AC0, LA+LAE0=LAC0+∠DCE=LDC0=90°， :0C为00的半径 :PC是⊙0的切线 (2)解：连接BC, D P 0 B 在Rt△A0E中，tan∠A=OE_I 04 3 :设OE=x,0A=3x, 0F=0A=0C=3x, :EF=OF-0E=3x-x=2x, :DF=4, ..OD=OF+DF=3x+4,DE=EF+DF=2x+4, :DC=DE=2x+4, :∠0CD=90°， :在Rt△0CD中，由勾股定理得：OD2=DC2+OC2, (3x+42=(2x+42+(3x)2 整理得：4x2-8x=0, 解得：x=2,x=0(不合题意，舍去)， 0A=3x=6, AB=20A=12, :AB为O0的直径 ∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，tan∠A= BC 1 :AC =3BC 由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=V0BC, ·BC= AB=i x12=6vf0 10 10 5 AC=3BC=180 5 24 【详解】(1)证明：连接OE,如图所示， F E DMB OC=OE, .∠0CE=LOEC, OM∥BC, .LEOM=∠OEC,∠DOM=LOCE, .∠EOM=∠DOM, 在OME和aOMD中， OE=OD ∠EOM=∠DOM, OM=OM .AOME≌AOMD(SAS). ∴.∠OEM=∠ODM, CD⊥AB .∴.∠0DM=90° .∠0EM=90°， .ME是⊙0的切线. (2)解：连接DF,如图所示· F 0 $$\because \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ， C D \bot A B$$ $$\therefore \angle A + \angle B = 9 0 ^ { \circ } ， \angle A + \angle D C F = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ∴∠B=∠DCF， $$\cos \angle D C F = \cos B = \frac { 3 } { 5 }$$ ∵ 为 ⊙O 的直径， $$\therefore \angle D F C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ 在 Rt△DCF 中， ∠DFC=90°， cos∠ $$9 0 ^ { \circ } ， \cos \angle D C F = \frac { C F } { C D } = \frac { 3 } { 5 } ，$$ ∵ ：CF=3， ∴CD=5， $$\therefore O D = \frac { 1 } { 2 } C D = \frac { 5 } { 2 }$$ ∵OM∥BC， ∴∠OMD=∠B， Rt△DOM 中， oDM= $$= 9 0 ^ { \circ } ， \cos \angle O M D = \frac { D M } { O M } = \frac { 3 } { 5 }$$ 设 $$D M = 3 x ， O M = 5 x ， O D ^ { 2 } + D M ^ { 2 } = O M ^ { 2 } ，$$ $$\left( \frac { 5 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( 3 x \right) ^ { 2 } = \left( 5 x \right) ^ { 2 } ，$$ $$\therefore x = \frac { 5 } { 8 }$$ $$\therefore O M = 5 x = \frac { 2 5 } { 8 }$$ 25. 【详解】(1)证明： $$\because \angle E D B = \angle B F D = 9 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle B + \angle B D F = 9 0 ^ { \circ } ， \angle E D F + \angle B D F = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ∴∠B=∠EDF, “EF=EF .∠EGF=LEDF, .∠B=LEGF; (2)解：AB=AC, ∴LB=LC, .'tan B=tan C=2, ∴.tanC= DE=2. DC .DE=4. 由题意可得：LBGF=∠DEF, 由(1)知∠B=∠EDF, ∴△BGF∽△DEF, DE DF ·BG BF' 在RtABFD中，∠BFD=90°， ,∴.tanB= DF=2 BF DE=2. BG BG=2, BC=7,CD=2, ∴.GD=BC-BG-CD=3. 在RIAGED中，∠GDE=90°， .GD2+DE2=GE2, .GE=V32+42=5, 点D在00上， .⊙0的半径为 26 【详解】(1)证明：如图所示，连接0F, D G 半圆与BD相切，点F为切点 .OF⊥BD, BD⊥AD, .AD∥OF, ∴.∠DAG=∠OFA; 0A=0F, ∴.∠0AF=∠0FA, .∠DAG=∠OAF; ,四边形ABCD是平行四边形 .AB∥CD .∠DGA=∠OAF, ∠DAG=∠DGA, ..DA=DG i (2)解：①如图所示，过点O作0T⊥BD于点T, P B ∵0M⊥0N, .∠M0N=90°， 0M=0N, ∴.∠0NM=∠0MN=45°； 设0T=3x, 在RIA OTN中，TN=OT 3x tan∠ONT tan45o =3x, 在RtaOTB中，tan∠OBT=tan∠ABD=3 4 073 BT 4' .BT =4x i :BT=TN+BN,BN=√2， .3x+V2=4x, x=2 .TW=3√2； .0T⊥MN, .MW=2TN=6√2； 2如图所示，由(2)①可得0T=TN=3√2， …0N=V0T2+TW2=6, 4P=20N=12,N的长为90xx6=3玩≈9.42； 180 AP是半圆O的直径 .∠AEP=90°，即AE⊥PE, AD⊥BD .PE∥BD, ∴·∠APE=∠ABD, tan∠APE=tan∠ABD=3 E-3 PE 4 设AE=3m,PE=4m, 在Rt△AEP中，由勾股定理得AP2=AE2+PE2, .122=(3m)2+(4m)2, 解得m=长或m三一 (舍去)， PE=48=9.6, 9.42<9.6, .MN的长小于PE的长. 27, 【详解】(1)解：如图，连接BC· B ,AB是0O的直径， .∴.∠ACB=90°. AC=BC, .AC =BC, 则ABC是等腰直角三角形， ∴.∠BAC=45°； (2)证明：如图，连接AD,BC· ,点D是BC的中点， 0D⊥BC, ∠ACB=90°， .0D∥AC, :DE⊥AC, ..OD I DE, 0D是00的半径， ∴.DE是O0的切线； (3)解：如图，过点G作GH交AF于点H,使∠FGH=∠CGA. '∠GFH=∠GCA, .△GFH∽aGCA, GF FH GC CA 则GF.CA=GC·FH①) ∠FGH=∠CGA, ∴.∠FGC=∠HGA. ZFCG ZHAG, .△GFC∽aGHA, GC_FC GA HA 则GA·FC=GC·HA② ①与②等号左右两边分别相加得，GF·CA+GA·FC=GC·FH+GC·HA· GF.CA+GA.FC=GC.(FH+HA)=GC.FA. CF是O0的直径 .∠CGF=90 在Rt△CGF中，∠FCG=30°， ∴.CF=2FG, 则CG=V3FG 代入GF·CA+GA·FC=GC·FA得，CA+2GA=√5FA· 28. 【详解】(1)证明：连接0D, A AB是OO直径，CD⊥AB, B 由垂径定理得AC=AD LA0C=∠A0D, 又：∠AOD=2LABD, LAOC=2∠ABD (2)解： 0C5 FG 3 :设OC=5x,FG=3x 0G=2x, 连接BC, A E D G F B H 由(1)知AC=AD .∠ABC=∠ABD, 0B=0C, .∠BCG=LABC, .∴.∠BCG=∠ABD, 又LOGB=LBGC, .∴.△OBGn△BCG, OG OB BG BC' BC OB OC 5 8G0G=0G=2' CD⊥AB, :BC BD, BD 5 BG 2' DG3 BG 2' BH是O0的切线， .BH⊥AB, :CD⊥AB, BH∥CD, ∴.△CDGAHBG, CD-DG3 BH BG 2 CD=2, BH 2V2 3 CD 3 BH 2' CE3 BH 4' BH∥CD, .△CE0naHB0, CE OE 3 BH OB 4' 令OB=OD=4k,OE=3k, 在Rta0ED中，0E2+DE2=0D',即(3k)2+DE2=(4k)2, 解得：DE=Vk= 2 k 14 在Rt△BED中，BE2+DE2=BD',即(7k2+N7k=BD ·BD=2W14k, 政DGD=x214xM46 5 14-5 29 【详解】(1)证明：如下图所示，连接0C,延长CD交⊙O于点M,连接BM, :AB⊥CD, :CD MD, .BC BM :∠BCM=LBMC, BC=BC. :ZA=ZBMC, :∠A=∠BCM=∠BMC, :0A=0C, :∠A=∠AC0, :CB平分∠PCD, :∠PCB=∠BCM=∠A=∠ACO, :AB是⊙O的直径， :∠ACB=90°， ∠AC0+∠0CB=90°， .LPCB+L0CB=90°， 0C⊥CP, 又：点C在⊙O上， PC是⊙O的切线； y B E (2)证明：由下图所示，连接AE, 由(1)可知LPCB=∠AC0,∠PCD=2LPCB, :∠ACE=2∠PCB, :LACE=∠PCD, :∠ACE=2∠AC0, :LC0B是△AC0的外角， :∠C0B=∠AC0+∠0AC=2∠AC0, :∠COB=∠ACE, AC=AC :ZAEC=20BC, ∴.△OBC∽△CAE, OC OB CE AC 0C=0B :AC=CE DA B P (3)解：如下图所示，连接OC,过点F作FR⊥BC, :∠CRF=90°， :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， :∠ACB=∠CRF, LBAC+∠ABC=90°， :CD⊥AB, ∠BDC=90°， .∠BCD+∠ABC=90° ·LBCD=∠BAC, :CB平分∠PCD, :∠PCB=∠BCD, :∠BAC=∠PCB, △ABC∽△CFR, .AC=BC AB CR FR CF AB=2CF, :AC=2CR,BC=2FR, :BF⊥BG, ∠BRF=∠GCB=90°， ∴∠FBR=∠BGC=90°-∠CBG, ∴.△BRF∽△GCB, GC-CB_GB ·BR RF BF BC=2FR,BF=13, :GC=2BR,BG=2BF=26, 设BR=t,则GC=2t, AG=28, AC=AG+GC=21+28, cR-4c=14+ :BC CR+BR=2t+14, 在RtABCG中，BC2+GC2=BG2, (2t+14)2+(21)2=262, 解得：t=5或1=-12（负值，舍去）， GC=2t=10, AC=AG+GC=28+10=38, :CE=AC=38; BC=BC. ·LBEC=LA, :sin ZBEC sin A :BC=CR+BR=2t+14=24, .AB=VAC2+BC2=V382+242=2W505 ÷sin∠BEC=sin∠A=BC-24-12N505 AB2√505505 C O D B E 30 【详解】(1)证明：：AD是切线，AB是O0的直径 .AD⊥AB,即∠BAD=90°， .∠D+∠ABD=90° AF⊥0C, ∴.∠CGF=90°， .LGCE+∠GEC=90°， 0B=0C, ∠0BC=∠OCB, .∠0BC+∠AEC=90°， .∠D=∠AEC, .AE=AD· (2)解：AB是⊙0的直径， .∠AFB=90°， ∵∠CGE=90°， ∠CGE=∠AFB, .0C∥BF, .△A0Gn△ABF, AG OG AO 1 AF BF AB 2 BF=20G=2x10 =10,4G= 2 AF OC∥BF, ∴.△CEG∽△BEF, CG=CE_GE 3 BF BE FE2 .0C=0G+CG=210 .0A=0B=0C=2V10 .AB=20A=410, 在RtaABF中，AF=VAB2-BF2=V4而-(o=56 AG-AF. 2 GF=号Ar=5y 2 GE3 FE=2 GE+FE=GF, EF-2GF-6 .AE=AF-EF=5V6-V6=46, AD=AE=46