数学（广东深圳卷）学易金卷：2026年中考考前预测卷

2026年中考考前预测卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算结果为正有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A中，是负有理数，不符合要求； 选项B中是开方开不尽的数，属于无理数，不符合要求； 选项C中，，且是分数，属于正有理数，符合要求； 选项D中，是负有理数，不符合要求． 2．“十四五”我国农业综合生产能力迈上新台阶，粮食产量连续两年稳定在1.4万亿斤以上，2025年产量达到14298亿斤，总产和单产均创历史新高，14298亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：亿． 3．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 4．如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 5．深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵设传统方式配送速度为，无人机配送速度是传统方式配送速度的倍 ∴无人机配送速度为， ∴传统配送时间为，无人机配送时间为， ∵无人机配送时间比传统方式快，即传统配送时间比无人机配送时间多， ∴列方程得 ． 6．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【详解】解：∵菱形，，， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是4，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：四边形是矩形， ，， ∵点的坐标为， ∴，， 则点E的坐标为，点F的坐标为， ∴ ， 解得，， ∵反比例函数的图象经过第二象限， ∴． 8．如图，在正方形中，点在对角线上，且，点在上，连结，，且，连结交于，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】 过 E 作于 M． 正方形中是对角线，， 设，则，， 正方形边长． 由是等腰直角三角形， ，． 由， ， ，即F是中点． 正方形中， 故，相似比， ． 由， ​， 又， ． 在中，，， 由勾股定理： ． 故选：B． 第二部分（非选择题 共76分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．已知n是常数，若和是同类项，则________． 【答案】8 【详解】解：和是同类项， ， ． 10．已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为__________． 【答案】 【详解】解：解不等式组得：， ∴正整数的值为4、5、6、7， 解分式方程得：， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴分式方程有整数解的概率为， 故答案为： 11．小宇利用尺规在内作出点E，又在边上作出点F，作图痕迹如图所示，若，则之间的距离为___． 【答案】4 【分析】 【详解】解：过点E作于点M，交的延长线于点N． 由作图可知，平分，平分，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴之间的距离为4． 故答案为：4． 12．如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________． 【答案】 【详解】解：连接， ，是圆的切线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 危险区（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 13．如图，  为直角三角形，且，以O为圆心，为半径作圆与交于点E．过点A作于点F交圆O于点C，延长交圆O于点D，连结交于点M，若圆O的半径为5， 则的长为 _______． 【答案】 【分析】 【详解】解∶如图：连接， ∵圆O的半径为5， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴设，则， ∴，解得：(舍弃负值)， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得：． 故答案： ． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（6分）计算：． 【详解】解：原式 ． 6分 15．（7分）先化简，再求值：，其中． 【详解】解： ． 4分 当时，原式． 7分 16．（8分）联合国教科文组织设定每年4月23日是“世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣．在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了100名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 阅读时长（分钟） 频数（人数） 第1组 5 第2组 a 第3组 35 第4组 20 第5组 15 (1)请直接写出_____，_____，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是____度； (2)请补全上面的频数分布直方图； (3)若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少？ 【详解】（1）解：， 1分 第4组所占百分比为：，则， 2分 第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角为：； 4分 （2）解：由（1）得，则频数分布直方图如图， 6分 （3）解：周末阅读时长达到30分钟所占百分比为， （人） 答：若全校有学生1800人，估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有1260人． 8分 17．（8分）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 【详解】（1）解：设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元， 根据题意得：． 2分 解得：． 答：A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元． 3分 （2）解：设购进A型设备m台，则购进B型设备台， 根据题意得：， 4分 解得：． ∵m为整数， ∴，8，9，10， ∴共4种购进方案； 6分 总费用， ∵，故W随m增大而减小， ∴当时，W最小，此时， 最小费用（万元）， 答：有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱． 8分 18．（10分）如图1，为的弦，经过圆心交于点，，若，长为． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在原有条件下，若，连接，求的长． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 1分 如图，连接， ，， ，， ， ， 的半径为， 3分 长为，   ， ，， ， ， ， 为的半径， 直线与相切； 5分 （2）如图，连接， 由（1）得，，， ， ， ， 7分 ， ， ， ， ． 10分 19．（10分）对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题： (1)已知点． ①若点，则 ； ②已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围； (2)已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足，若点在图象上，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，为动点，且，的圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； 1分 ②点是直线上的一个动点， ， ， 2分 当时，， 解得：， 则； 3分 当时，恒成立， 当时，， 解得：， 则； 综上，当时，； 4分 （2）解：①点在图象上， 设， ， ， ， ，即， 6分 当时，，解得或， 当时，，解得（舍)或（舍)； 或； 7分 （3）解：， 点在以为中心，边长为的正方形上， ，圆的半径为1， ， ， ， 8分 当时，如图2，， ， ； 9分 当时，如图3，只需即可， ， ； 由对称性，同理可得； 综上所述：或． 10分 20．（12分）综合与实践 把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究． 已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形． 、 图1 图2 备用图 特例研究 (1)如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________． 类比探究 (2)如图2，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数． (3)若（2）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵点A在对角线上，， ∴，即相似比为； 2分 （2）解：如图，延长交于点，交的延长线于点， ∵、为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 4分 ∴， ∵，，， ∴， 即，所在直线的夹角（锐角）的度数为； 5分 （3）解：由（1）可得：， ∴， ∴， ∵A，D，E三点在同一条直线上， 6分 ∴分两种情况：如图，当在直线右侧时， 设，则，， 作于，于， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 8分 ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 9分 如图，当在直线左侧时，作于， 则， 设，则， ∴， 作于， 同理可得：四边形为矩形， ∴，， 11分 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷 三 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×【1【/) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B]IC][D] 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、 填空题（每小题3分，共15分） 10. 11 2 13. 三、解答题（共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(7分) 16.(8分) 人数个 35 25 15 5 0 102030405060分钟 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) D B C 图1 D 0 E 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) 珠 4 1 -5-4-3-2-1912345x 2 3 -4 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-1QL12345x 3 -4 5外 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(12分) E D A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【W1[/】 一、 选择题（每小题3分，共24分） 1[A][B][CD] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A[B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共15分) 9. 10 11. 12 1 三、解答题（共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(7分) 16.(8分) 人数 35 25 5 102030405060分钟 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) D B 0 图1 D A 0 C 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) 4 3 2 1 -5-4-3-2-1912345x -3 -4 -5 4 34 2 -5-4-3-2-1012345x -2 人 5 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(12分) E D A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算结果为正有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．“十四五”我国农业综合生产能力迈上新台阶，粮食产量连续两年稳定在1.4万亿斤以上，2025年产量达到14298亿斤，总产和单产均创历史新高，14298亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 第6题 第7题 第8题 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是4，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 8．如图，在正方形中，点在对角线上，且，点在上，连结，，且，连结交于，则的值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．已知n是常数，若和是同类项，则________． 10．已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为__________． 11．小宇利用尺规在内作出点E，又在边上作出点F，作图痕迹如图所示，若，则之间的距离为___． 12．如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________． 第12题 第13题 13．如图，  为直角三角形，且，以O为圆心，为半径作圆与交于点E．过点A作于点F交圆O于点C，延长交圆O于点D，连结交于点M，若圆O的半径为5， 则的长为 _______． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（6分）计算：． 15． （7分）先化简，再求值：，其中． 16．（8分）联合国教科文组织设定每年4月23日是“世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣．在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了100名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 阅读时长（分钟） 频数（人数） 第1组 5 第2组 a 第3组 35 第4组 20 第5组 15 (1)请直接写出_____，_____，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是____度； (2)请补全上面的频数分布直方图； (3)若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少？ 17．（8分）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 18．（10分）如图1，为的弦，经过圆心交于点，，若，长为． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在原有条件下，若，连接，求的长． 19．（10分）对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题： (1)已知点． ①若点，则 ； ②已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围； (2)已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足，若点在图象上，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，为动点，且，的圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围． 20．（12分）综合与实践 把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究． 已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形． 图1 图2 备用图 特例研究 (1)如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________． 类比探究 (2)如图2，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数． (3)若（2）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究与之间的数量关系． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算结果为正有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．“十四五”我国农业综合生产能力迈上新台阶，粮食产量连续两年稳定在1.4万亿斤以上，2025年产量达到14298亿斤，总产和单产均创历史新高，14298亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 第6题 第7题 第8题 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是4，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 8．如图，在正方形中，点在对角线上，且，点在上，连结，，且，连结交于，则的值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．已知n是常数，若和是同类项，则________． 10．已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为__________． 11．小宇利用尺规在内作出点E，又在边上作出点F，作图痕迹如图所示，若，则之间的距离为___． 12．如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________． 第12题 第13题 13．如图，  为直角三角形，且，以O为圆心，为半径作圆与交于点E．过点A作于点F交圆O于点C，延长交圆O于点D，连结交于点M，若圆O的半径为5， 则的长为 _______． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（6分）计算：． 15． （7分）先化简，再求值：，其中． 16．（8分）联合国教科文组织设定每年4月23日是“世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣．在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了100名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 阅读时长（分钟） 频数（人数） 第1组 5 第2组 a 第3组 35 第4组 20 第5组 15 (1)请直接写出_____，_____，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是____度； (2)请补全上面的频数分布直方图； (3)若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少？ 17．（8分）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 18．（10分）如图1，为的弦，经过圆心交于点，，若，长为． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在原有条件下，若，连接，求的长． 19．（10分）对于平面直角坐标系中的任意两点，，给出如下定义：点与点的“直角距离”为：．例如：若点，点，则点与点的“直角距离”为：．根据以上定义，解决下列问题： (1)已知点． ①若点，则 ； ②已知点是直线上的一个动点，且，求的取值范围； (2)已知点，为平面直角坐标系内一点，且满足，若点在图象上，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，为动点，且，的圆心为，半径为1．若上存在点使得，求的取值范围． 20．（12分）综合与实践 把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究． 已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形． 、 图1 图2 备用图 特例研究 (1)如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________． 类比探究 (2)如图2，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数． (3)若（2）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究与之间的数量关系． / 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前预测卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 2 6 6 B B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.8 10. 11.4 12.275-27 13.7.5 三、解答题（本大题共7个小题，共61分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14.【详解】解：原式=3+1-4-(2-)-3x5 =3+1-4-2+V5-V5 =-2，… … 6分 15.【详解】解： 23) a2-2a+1 a =2a-2 a a (a-1)2 -2(a-1) a a(a-12 、2 a-1 4分 当a=2+1时，原式=2+1- =2 2 7分 16.【详解】(1)解：a=100×25%=25, 12分 第4组所占百分比为： 20 ×100%=20%，则m=20, .2分 第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×35 100 =126°；…4分 (2)解：由(1)得a=25,则频数分布直方图如图， 1/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 人数 35 25 6分 5 102030405060分钟 (3)解：周末阅读时长达到30分钟所占百分比为35+20+15 100%=70%, 100 1800×70%=1260(人) 答：若全校有学生1800人，估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有1260人..8分 17.【详解】(1)解：设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元， 3x+2y=21 根据题意得： 2x+3y=23 .2分 x=3.4 解得 y=5.4 答：A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元..3分 (2)解：设购进A型设备m台，则购进B型设备10-m)台， 3.4m+5.4(10-m≤40 根据题意得： m≥10-m …4分 10-m≥0 解得：7≤m≤10. :m为整数， m=7,8,9,10, 共4种购进方案； 6分 总费用W=3.4m+5.410-m)=-2m+54, :-2<0,故W随m增大而减小， .当m=10时，W最小，此时10-m=0, 最小费用=-2×10+54=34（万元）， 答：有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱. 8分 18.【详解】(1)解：直线BD与⊙0相切，理由如下： 1分 如图，连接0D, 2/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B :0A=OD,AD=BD, 图1 :∠A=∠ADO,∠A=∠B, :∠AD0=∠B, “0A=3, 00的半径为3，.3分 :CD长为π， ·元=3a 180 :∠C0D=n=60°，：∠A+∠AD0=∠C0D, :∠A=∠AD0=∠B=1∠COD=30°， 2 :∠0DB=180°-LAD0-∠B=90°， OD⊥BD, “0D为00的半径， :直线BD与⊙O相切； 5分 (2)如图，连接OE, D 0 图2 由(1)得0A=0D=0C=3,∠0DB=90°，∠C0D=60°， ∠B=30°， ·0B=20D=6, AB=0A+0B=3+6=9,… 7分 AE=EC, 3/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·LA0E=∠C0E=90°， :0A=0E=3, ·AE=V0A2+0E2=3√2， AB-AE=9-3√2.… 10分 19.【详解】(1)解：①dP,A=4-2+-3+4=2+1=3, 故答案为：3；… 1分 ②：点C(m,n)是直线y=-x+2上的一个动点， n=-m+2, d(P,C）=4-m+2-m+3=4-m+5-m<5,. 2分 当m<4时，4-m+5-m=4-m+5-m<5, 解得：m>2, 则2<m<4; …3分 当4≤m≤5时，4-m+5-m=m-4+5-m=1<5恒成立， 当m>5时，4-m+5-m=m-4+m-5<5, 解得：m<7, 则4<m<7; 综上，当2<m<7时，d(P,C)<5; 4分 (2)解：①：点P在y=x2-8x+17图象上， 设P(6,12-81+17, .d(P,C)=2, ∴-3到+2-81+17=2， -3+t-4+1=2, 1-3到+(t-3-12=1,即(t-32-2(t-3到+1-3到=0，…6分 当t≥3时，(t-3)2-(t-3)=0,解得t=3或t=4, 4/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当t<3时，(t-3-3t-3=0,解得1=3（舍）或1=6（舍）； P(3,2）或|4,1；.7分 (3)解：：d0,P)=4, P点在以O为中心，边长为42的正方形上， :PN=1,圆M的半径为1， ∴.MP≥2， :0A=0D, .∠0DA=45°， 8分 当0<t<4时，如图2，MP=PD, 5 yD -5-43-2-10 M23/45x 图2 .MD=√2MP≥2√2， .t=0D-MD≥4-22； 9分 当t≥4时，如图3，只需DM≤2即可， 5/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5 以 31 2 -5-43-2-19123y4678x -2 -3 -4C 5 图3 .1≤6， .4-2V2≤t≤6； 由对称性，同理可得6≤t≤2√2-4； 综上所述：4-22≤t≤6或-6≤t≤2W2-4. 10分 20.【详解】(1)解：：四边形BCDE为正方形， .BC=BE=CD,∠E=∠BCD=90°， .BD=BC2+BD2=2BC, :点A在对角线BD上，△EBD∽△ABC, BD=√2，即相似比为V2: 2分 B (2)解：如图，延长EA交BF于点H,交FC的延长线于点G, E P A H B G :△BEF、ABC为等腰直角三角形， AB=AC,BE=EF,∠BEF=∠BAC=90°，∠EBF=∠ABC=45°， ·BF=√BE2+EF2=V2BE,BC=VBA2+AC2=V2AB, 6/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BC_BF=, AB BE :∠EBF-∠ABF=∠ABC-LABF, ∠EBA=∠FBC, .△EBA∽△FBC,.4分 .∠BEA=∠BFC, :∠BEH+∠EBH+LBHE=180°，∠GFG+∠GHF+∠G=180°，∠BHE=∠GHF, .∠G=LEBH=45°， 即EA,CF所在直线的夹角（锐角）的度数为45°；… .5分 (3)解：由(1)可得：△EBA∽△FBC, .cF-BC-, ·AFAB :CF=2AE, :A,D,E三点在同一条直线上， 6分 :.分两种情况：如图，当DE在直线AB右侧时， F D B 设BC=2b,则AB=AC=√2b,BE=CD=DE=2b, 作AN⊥BC于N,EM⊥BC于M, .AN∥EM, :DE∥BC, :四边形ANME为平行四边形， :EM⊥BC, .四边形ANME为矩形， .AE=MW,AN=EM,.8分 :ABC为等腰直角三角形， :BN=CN=AN=IBC=b=EM, 7/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .BM =BE2-EM2=3b, :MN BM-BN =3b-b=AE, :CF=V2AE=(6-2b, :cr（6-2b6-2, CD 2b 2 C=6-2CD 2 9分 如图，当DE在直线AB左侧时，作AN⊥BC于N, E D BM N 则AN=BN=CN=二BC, 设AN=BN=CN=c,则BC=2c, .CD=BC=DE=2c, 作DM⊥BC于M, 同理可得：四边形ADMN为矩形， AW=DM=C,AD=MW,11分 CM=CD2-DM2=3c, :AD=MN=CM-CN=(3-1)c, :AE=DE+AD=（N5+Ic, :CF=2AE=(6+V2)c, :CF(6+2e6+5, CD 2c 2 .CF-6+CD: 8/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 综上所达，CF=6,5cD或cF=6+5cD. 2 2 12分 9/9