精品解析：浙江省初中名校发展共同体2025--2026学年第二学期八年级学业质量阶段调研数学试卷

2025学年第二学期八年级学业质量阶段调研 数学 考生须知： 1．本卷满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 离差平方和 D. 方差 5. 用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75．这组数据的离差平方和是（ ） A. 70 B. 75 C. 150 D. 350 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数 的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知以等腰的斜边为直角边向外作第1个等腰，再以等腰的斜边为直角边向外作第2个等腰，……，以此类推，若，则第2026个等腰直角三角形的斜边长为（ ） A. B. C. D. 9. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，，则该方程的解为（） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 对于实数x，y，存在正整数n和常数，满足，且．甲和乙两位同学给出了以下看法：甲同学：当，时，则；乙同学：若对于任意的正整数n，都有，则常数k的取值范围是．其中正确的结论有（） A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 某校八年级数学期末总评成绩按平时成绩占，期末考试成绩占计算．若小明平时成绩90分，期末考试成绩80分，则他的数学期末总评成绩为_______分． 13. 一元二次方程的两根为a与β．则的值是________． 14. 已知a，b满足，则________． 15. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 16. 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，运用“出入相补（以盈补虚）”原理，即通过图形割补求解一元二次方程，如图1：在边长为x的正方形的四条边向外作边长为x和的长方形，再把它补充成一个边长为的大正方形，得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形的边长为，得到．聪明的小明也用图形割补法解关于x的方程时，构造了类似的图形，如图2，已知大正方形面积为64，小正方形面积为25，则中的_______；_______． 三、解答题（本大题共8题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列一元二次方程： （1） （2） 19. 【数据收集】某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制成如下统计图． （1）小华利用平均数和方差进行分析．①处应填________环，由表格中的数据可以看出________（填“A”或“B”）的发挥更稳定． 选手 平均数 方差 A 8.5环 1.75 B ① 0.75 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．下表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出A选手8轮射击成绩的四分位数． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 10 B 8 8 9 10 10 （3）根据小华和小颖的分析，A，B两名选手中应选拔________（填“A”或“B”）参加青少年射击比赛． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根； （2）若等腰的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值． 21. 观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… （1）请直接写出第4个等式 ； （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 22. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 23. 已知，如图，在直角梯形中，，，，，，E是中点，．已知动点P从点A出发，沿着方向以的速度向终点B匀速运动，动点Q从点C出发，沿着方向以的速度向终点D匀速运动．当一个点到达终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为． （1）当时，求的长； （2）用含t的代数式表示线段的长； （3）当时，求t的值． 24. 我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：（，），特征数对； 方程②：（，），特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 解答下列问题： （1）【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”． ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为，求k的值． （2）【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q． （3）【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级学业质量阶段调研 数学 考生须知： 1．本卷满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A、原式＝，不是最简最简二次根式，故A不符合题意； B、原式＝3，不是最简最简二次根式，故B不符合题意； C、原式＝，不是最简最简二次根式，故C不符合题意； D、是最简最简二次根式，符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数x，y，不是一元二次方程； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程； C、方程满足一元二次方程的定义，是一元二次方程； D、方程中含有两个未知数x，y，不是一元二次方程． 故选：C 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依次对各选项进行计算后，再进行判断即可. 【详解】A选项：不能直接相加，故错误； B选项：，故错误； C选项：，故正确； D选项：，故错误； 【点睛】考查了二次根式的计算，解题关键是熟记其计算法则进行计算. 4. 在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 离差平方和 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、离差平方和、方差的意义即可判断结果； 【详解】解：∵9个互不相等的数从小到大排序后，中位数是排在中间位置的第5个数，去掉一个最高分和一个最低分后，剩余7个分数重新排序，中位数仍是原数据中的第5个数， ∴中位数一定不会发生改变， 平均数受极端值影响，去掉两端分数后会改变，离差平方和与方差反映数据波动程度，数值也会发生改变． 5. 用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，使用配方法解方程，需将常数项移项后，方程两边加上一次项系数一半的平方，形成完全平方式即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 6. 某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75．这组数据的离差平方和是（ ） A. 70 B. 75 C. 150 D. 350 【答案】D 【解析】 【分析】先求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方的和即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数为：， 则这组数据的离差平方和为： ． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出，再判断出一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可解答； 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 只有选项D符合条件． 8. 如图，已知以等腰的斜边为直角边向外作第1个等腰，再以等腰的斜边为直角边向外作第2个等腰，……，以此类推，若，则第2026个等腰直角三角形的斜边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的性质找出规律，第个等腰直角三角形的斜边长为，即可求解； 【详解】解：在等腰​中，， 由勾股定理得， 在第①个等腰直角三角形中，，； 在第②个等腰直角三角形中，，； 在第③个等腰直角三角形中，，； 故可得规律：第个等腰直角三角形的斜边长为， 则第2026个等腰直角三角形的斜边长为​． 9. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，，则该方程的解为（） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到与的关系，结合一元二次方程两根之和的性质和的条件，即可计算出方程的根． 【详解】∵， ∴， 对于一元二次方程，两根之和满足， ∵， ， 解得， ∴， 即方程的解为，． 10. 对于实数x，y，存在正整数n和常数，满足，且．甲和乙两位同学给出了以下看法：甲同学：当，时，则；乙同学：若对于任意的正整数n，都有，则常数k的取值范围是．其中正确的结论有（） A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件推导x关于的表达式，再代入y的表达式，分别验证甲、乙的看法，判断结论正确性． 【详解】由， 可得， 两边平方得， ， 代入得， 验证甲的看法： ∵，，代入得，整理得， 解得或， ∵是正整数， ∴， 计算得，∴甲错误； 验证乙的看法： 设， 若对任意正整数，都有， ， 解得，∴乙正确． 综上，甲错误，乙正确． 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：若在实数范围内有意义，则被开方数满足，解不等式得． 12. 某校八年级数学期末总评成绩按平时成绩占，期末考试成绩占计算．若小明平时成绩90分，期末考试成绩80分，则他的数学期末总评成绩为_______分． 【答案】84 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义计算即可 【详解】解：他的数学期末总评成绩为（分）． 13. 一元二次方程的两根为a与β．则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的求值，一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两个根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解答本题的关键． 把变形为，然后利用根与系数的关系求得，，，最后代入到中，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为a与β． ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 已知a，b满足，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负性求得、值即可． 【详解】解：、满足， 且， ， ∴， ． 15. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据题意，得，进一步可得，根据根与系数的关系可得，即可求出代数式的值． 【详解】解：根据题意，得，， ， ． 16. 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，运用“出入相补（以盈补虚）”原理，即通过图形割补求解一元二次方程，如图1：在边长为x的正方形的四条边向外作边长为x和的长方形，再把它补充成一个边长为的大正方形，得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形的边长为，得到．聪明的小明也用图形割补法解关于x的方程时，构造了类似的图形，如图2，已知大正方形面积为64，小正方形面积为25，则中的_______；_______． 【答案】 ①. 10 ②. 39 【解析】 【分析】将配方得，得出，，求解即可； 【详解】解：∵， ∴， 配方得：， 根据题意：大正方形是配方后的正方形，面积为， ∴， ∴右上角的小正方形就是配方额外补充的正方形，面积为， ∴它的面积就是； ∵边长为正数， ∴，解得， 代入得，解得． 三、解答题（本大题共8题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再按顺序计算即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后再计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ；． 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 19. 【数据收集】某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制成如下统计图． （1）小华利用平均数和方差进行分析．①处应填________环，由表格中的数据可以看出________（填“A”或“B”）的发挥更稳定． 选手 平均数 方差 A 8.5环 1.75 B ① 0.75 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．下表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出A选手8轮射击成绩的四分位数． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 10 B 8 8 9 10 10 （3）根据小华和小颖的分析，A，B两名选手中应选拔________（填“A”或“B”）参加青少年射击比赛． 【答案】（1）9，B （2）环，环，环． （3）B 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，求中位数，利用合适的统计量做决策，求四分位数，根据方差判断稳定性，运用方差做决策等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据折线统计图中的数据求选手B的平均成绩，比较两个选手的方差，来确定选手的射击成绩的稳定性； （2）根据四分位数的意义，结合折线统计图中的数据求解； （3）通过分析比较两选手的射击成绩的方差、四分位数、平均数，综合后作出决策． 【小问1详解】 解：选手B的平均成绩：， ①处应填9环． 选手A的方差为，选手B的方差为， 由于，因此B的发挥更稳定． 故答案为：9，B； 【小问2详解】 解：将A选手的成绩排序：6，7，8，9，9，9，，， 数据个数为偶数，取第4和第5个数据的平均值． 第4个数据为9，第5个数据为9， 因此环． 下四分位数()是下半部分数据(前4个∶6，7，8，9)的中位数， 取第2和第3个数据的平均值∶环． 上四分位数()∶上半部分数据(后4个∶9，9，，)的中位数， 取第6和第7个数据的平均值∶环． 因此，A选手的四分位数填写如下∶环，环，环． 【小问3详解】 解：小华的分析显示B选手方差更小，更稳定． 小颖的分析显示B选手成绩分布更集中（四分位数范围小），且平均数更高（B为9环，A为环）． 综合来看，B选手成绩更优且更稳定，因此应选拔B参加青少年射击比赛． 故答案为：B． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根； （2）若等腰的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2）或4或3 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根判别式证明即可； （2）根据题意求出，，再分三种情况解答即可，第1种情况：当是腰，2是底边时；第2种情况：当2是腰，是底边时；第3种情况：当、2是腰时． 【小问1详解】 解： ， 该方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， 即，， 第1种情况：当是腰，2是底边时，， ， ， 的三边长为：、、2，能组成三角形； 第2种情况：当2是腰，是底边时，， ， ， 的三边长为：2、2、3，能组成三角形； 第3种情况：当、2是腰时，， ， 的三边长为：2、2、3，能组成三角形，也满足周长为7； 综上所述：或4或3． 21. 观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… （1）请直接写出第4个等式 ； （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 【答案】（1） （2）（的自然数）； 【解析】 【分析】（1）利用前面3个等式的规律写出第4个等式； （2）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式，然后根据规律化简计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：（的自然数） 原式 ． 22. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 23. 已知，如图，在直角梯形中，，，，，，E是中点，．已知动点P从点A出发，沿着方向以的速度向终点B匀速运动，动点Q从点C出发，沿着方向以的速度向终点D匀速运动．当一个点到达终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为． （1）当时，求的长； （2）用含t的代数式表示线段的长； （3）当时，求t的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，，根据，E是中点，得出，再根据勾股定理即可求解； （2）过点D作于点H，结合，得四边形是矩形，则，结合，求出，则，即可得；过点Q作于点G，于点F．则四边形是矩形，，证明是等腰直角三角形，，根据，得出．分，分别解答即可； （3）勾股定理求出，，，根据，得，即，求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，， ∵，E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点D作于点H， ∵， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 过点Q作于点G，于点F． ∵， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴． 若：， ； 若：， ； 综上所述，； 【小问3详解】 解：， ， ， ∵， ∴，即， 整理得：， ， 解得：， 由于：故． 24. 我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：（，），特征数对； 方程②：（，），特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 解答下列问题： （1）【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”． ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为，求k的值． （2）【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q． （3）【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值． 【答案】（1）①，；②1 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）①解方程，得或，因此两根为和； ②根据方程的特征数对为，得出 ，， 根据韦达定理得出，，则，求解即可． （2）根据方程的根为，由韦达定理得，，根据方程的根为，由韦达定理得：，即，代入得，整理得．两根积：，得． （3）解方程，得出，得出方程B的特征数对，．对方程A：，由韦达定理得，，则，，根据“关联全整根方程”定义得出，结合，得，求出，根据方程A是“全整根方程”，得出是非负完全平方数，即可解答． 【小问1详解】 解：①， ∴， 解得：或， 因此两根为和； ②∵其特征数对为， ∴ ，， ∵，， ∴， 由第二个方程得， 代入第一个方程验证：时，，符合要求； 时，舍去，因此． 【小问2详解】 解：∵方程的根为， 由韦达定理得，， ∵方程的根为， 由韦达定理得：，即， 代入得， 整理得． 两根积：，展开得， 代入，得， 因此． 【小问3详解】 解：， ∴，解得：， ∴方程B的特征数对：，． 对方程A：， 由韦达定理得，， ∴（），， ∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程A：是“全整根方程”， ∴是非负完全平方数， ∴时，，符合，此时； 时，，符合，此时； 其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $