6.2.2 排列数教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

《6.2.2 排列数》教学设计

一、课标及课标分析

（一）课标要求

通过实例，理解排列数的概念，能利用计数原理推导排列数公式，并能解决简单的实际排列问题；掌握排列数的两种形式，能进行计算、化简与证明，体会分类、分步思想与数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

（二）课标分析

本节课是人教A版选择性必修第三册第六章《计数原理》中排列与组合的核心内容，承接排列的定义，是从“定性描述排列”到“定量计算排列个数”的关键跨越.课标要求学生不仅要记住排列数公式，更要理解公式的推导过程，能区分“排列”与“排列数”，并运用公式解决排队、数字等典型排列问题.本节课是后续学习组合数、二项式定理的基础，也是培养学生有序思考、严谨推理、规范运算的重要载体.

二、教材分析

“排列数”是计数原理体系的关键内容，在排列与组合知识架构中起着承上启下的作用.它建立在分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及排列的定义基础之上，将具体的排列列举转化为公式化计算，极大简化了计数过程.排列数的定义、公式推导、阶乘与全排列、排列数的实际应用，既是计数问题的核心工具，也是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养的优质素材，为后续组合、概率、统计等内容奠定方法基础.

三、学情分析

学生在上一节课已经掌握排列的定义，能判断两个排列是否相同，会用分步乘法计数原理简单计算排列个数.但学生容易混淆排列与排列数，对排列数公式的推导逻辑理解不深，对阶乘、全排列的概念较陌生；解决含特殊元素（如0）、特殊位置、相邻与不相邻等限制条件的排列问题时，容易出现分类不清、分步混乱、重复或遗漏的问题.教师应通过实例引导、公式推导、题型训练，帮

授课人个案修改记录：

助学生厘清概念、掌握方法、规范解题.

四、教学目标/核心素养目标

1. 数学抽象素养：从具体排列问题中抽象出排列数的概念，理解排列数符号的意义，区分排列与排列数.
2. 逻辑推理素养：利用分步乘法计数原理推导出排列数公式，理解阶乘与全排列，能进行排列数的证明与化简.
3. 数学运算素养：熟练运用排列数的连乘形式与阶乘形式进行计算，准确求解排列问题.
4. 直观想象素养：借助空位填空、位置分析等方法，直观理解排列的分步过程.
5. 数学建模素养：将排队、数字、分配等实际问题转化为排列数模型，体会计数原理的应用价值.

五、教学重难点及课时安排

1. 重点：排列数的定义、排列数公式的推导与计算、排列数的实际应用.
2. 难点：排列数公式的推导、排列与排列数的区分、含限制条件的排列问题解法.

六、教学过程

环节一：检查预习

展示预习问题，学生口答并说明思路：

从个不同元素中取出个元素的排列数为______.（答案：）

从个不同元素中取出个元素的排列数为______.（答案：）

判断：排列数是一个具体的排法.（答案：×）

______.（答案：）

对学生回答进行点评，纠正概念误区.

环节二：引入课题

回顾排列相关知识，随机提问：

1.排列的定义：从个不同元素中，取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.

2.两个排列相同的充要条件：元素完全相同，且排列顺序完全相同.

点评并强调：排列关注“顺序”，为引入排列数做铺垫.

环节三：合作探究

1. 排列数的定义（4分钟）

提出问题：用列举法计算排列个数太繁琐，如何用符号简洁表示？

定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，记作.

符号说明：取自arrangement，是元素总数，是取出元素个数.

条件：，.

关键区分：

排列：具体的一列排法，不是数；

排列数：排列的总个数，是一个数.

2. 排列数公式推导（6分钟）

引导学生用分步填空法探究：

假定有个有序空位，从个不同元素中取个填空：

第1位：种选法

第2位：种选法

第3位：种选法

……

. 第位：种选法

由分步乘法计数原理得：

连乘形式特点：共个连续正整数相乘，从开始依次减1.

3. 全排列与阶乘（5分钟）

全排列：从个不同元素中取出个元素的排列，叫全排列.

全排列数：

阶乘：，规定.