专题03四边形（期中复习专项训练，全章29大题型）2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（苏科版）

专题03 四边形 （期中复习专项训练，全章29大题型） 题型导览 题型01利用平行四边形的性质问题 题型16 正方形的折叠问题 题型02平行四边形的证明 题型17 利用正方形的性质证明 题型03利用平行四边形的判定与性质求解类问题 题型18 正方形的证明 题型04 矩形的性质问题 题型19 正方形的判定与性质求解类问题 题型05 利用矩形的性质证明 题型20 添加条件类问题 题型06 矩形与坐标系 题型21 四边形中的动点问题 题型07矩形的折叠问题 题型22 四边形中的线段最值向题 题型08矩形的证明 题型23 四边形综合问题 题型09矩形的性质与判定的求解类问题 题型24 三角形中位线的性质 题型10平行线间距离解决问题 题型25 三角形中位线的证明 题型11菱形的性质问题 题型26 三角形中位线的应用 题型12 利用菱形的性质证明 题型27 中点四边形 题型13菱形的证明 题型28 等腰梯形的性质 题型14 菱形的性质与判定求解类问题 题型29 等腰梯形的判定 题型15 正方形的性质问题 题型汇总 题型01利用平行四边形的性质问题 1．如图，在中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，结合平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 、、， 故选项A、B正确； ， ， 故选项C正确； ， ， 故选项D错误． 2．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，证明出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ， ， ． 的长为． 3．如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质结合已知条件，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，即    ， 点是的中点， 在和中，      题型02平行四边形的证明 4．如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】只要证明，即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，即， 又， ，即， 四边形是平行四边形． 5．如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用和是边的中点可以得到全等条件证明； （2）根据（1）的结论和平行四边形的判定，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． ， ． （2）证明：如图，连接 ， ，． 四边形是平行四边形． 6．如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 题型03利用平行四边形的判定与性质求解类问题 7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）当运动到的中点时，根据时间等于路程除以时间即可求得，进而求得的坐标； （2）证明，则，，则和平行且相等，则四边形为平行四边形； （3）分两种情况，即点在线段上或点在线段延长线上，再利用勾股定理分别求得平行四边形的两边即可． 【详解】（1）解：点，的坐标分别是，， ，， 点运动到线段的中点， ， 则， ， ， ， 则的坐标是， 故答案为：；； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （3）解：当点在线段上时， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 如图，当点在线段的延长线上时， 同（2）中原理可得， ，， ， 四边形是平行四边形， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 综上，四边形的周长为或． 【点睛】注意第三小问，需要考虑点在线段上或点在线段延长线上，两种情况，再结合第二小问，考虑到用勾股定理求出平行四边形的两边长即可． 8．问题探究： (1)如图①，在和中，，，，求证：； (2)如图②，在五边形中，，，，，的平分线交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，，，，求证：； (3)问题解决：某区现有一块三角形空地，如图③所示，经测量：，，政府准备在空地内修建景观以丰富市民生活．为了方便游览，现计划在点处设立入口，在点和点处设立出口，并修建两条步道和．其中，点，分别在，上，要求，，若步道，请直接写出步道的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为 【分析】（1）根据已知条件证明， （2）根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，利用其性质以及角平分线的定义，得出，则，结合平行四边形的性质，得出；分别连接，，根据旋转的性质得出是等边三角形，进而证明，再证明是等边三角形，即可得出结论； （3）设，以、为边作，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，可得是等边三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中： ； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ； 如图，分别连接，， 点绕点逆时针旋转，得到点， ，， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， 在和中： ， ； ，， ， 即， 是等边三角形， ； （3）解：如图，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，， 设，则， ， ， 又， 是等边三角形， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，， ， ， ， 即， ， 即的长为． 9．【问题背景】在中，连接，若，点E为边上一点，连接，交于点F． (1)如图1，若点E为中点，对角线与相交于点O，连接，且的面积为，，求的长； (2)【深入探究】如图2，若，，点N在边上，，且平分，线段（点P在点Q的左侧）在线段上，且，连接，过点N作，交于点G，连接，请判断与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）首先由平行四边形的性质得到，，，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）如图所示，过点C作于点M，求出，，，得到为等腰三角形，然后利用勾股定理求出，证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点G作于点M， ∵，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 题型04 矩形的性质问题 10．如图，将长方形绕点旋转至长方形的位置，此时的中点恰好与点重合，交于点若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，先证明是等边三角形，则，再由勾股定理，可得 ，， 由矩形的性质和直角三角形的性质分别求出的长，即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是矩形，， ，， 将矩形绕点旋转得到矩形， ，，，， 的中点恰好与点重合， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 11．如图，在矩形中，是对角线，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由矩形的性质可得，则可求出，由作图方法可知，垂直平分，则，由等边对等角即可得到答案． 【详解】解；∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∴， 故选：B． 12．如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为（　　） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】 本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，先证明是等边三角形，可得，则，利用所对的直角边等于斜边的一半得的长，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ，， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ． 题型05 利用矩形的性质证明 13．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质等一系列知识，灵活运用是解题的关键．判定是等边三角形，得，；由得， 进而可得垂直平分，求得；再证明，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得是等边三角形，从而可判断①；由平行的性质得是等边三角形，从而有，则可判断②；利用含30度直角三角形的性质得，即可判断③；设的面积为a，则得的面积为，从而，则得矩形面积为，从而，则可判断④；最后得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， O是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，； ∵， ∴，垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴；故①是正确的； ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，故③正确， 设的面积为a， ∵， 则， 而M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 14．如图，在矩形中，；，垂足分别为、．连接、． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为平行四边形，理由见解析 【分析】（1）证明，即可得证； （2）先证明，再结合即可得证． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ∴，， ， ，， ， ， ． （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ， 又， 四边形是平行四边形． 15．如图1，在正方形中，交于点F，连接． (1)探究与之间的数量关系，并证明； (2)如图2，过点A作于点N，分别交于点M，P，探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）过点C作交于点H，根据正方形的性质得到，即可得到，进而得到结论； （2）证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 理由：过点C作交于点H， ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2），理由如下： 如图2，过点A作直线于H， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型06 矩形与坐标系 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【详解】∵，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∴由轴对称变换可知，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 17．在平面直角坐标系中有矩形，，． (1)如图1，矩形的顶点B的坐标是______； (2)如图2，将矩形沿对角线折叠，使得点落在点处，交轴于点．点是对角线上一动点，求的最小值； (3)点P为x轴负半轴上一动点，Q是平面内一点，若以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出Q点坐标______ 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用矩形的性质和含有角的直角三角形求出即可得解； （2）过点作轴于点，作轴于点，在中，得出，则；在中，,，得出，过点作于点，并延长交于点，连接，根据折叠可得，，，，进而得出，当且仅当点三点共线时，取得等于号，在中，勾股定理求得，即可求解． （3）分类讨论，画出图形求解即可． 【详解】（1）解：如图，设与轴交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由矩形的性质可得，，， ∴， 过点作轴于点，作轴于点， 在中，，， ∴， ∴， 在中，,， 设，则， ∴， 解得， ∴， 过点作于点，并延长交于点，连接， 由折叠可得，， ∴， ∴，， ∴，垂直平分， ∴， ∴，当且仅当点三点共线时，取得等号， 在中，，， ∴， 即的最小值为； （3）解：①若、为边，为对角线， 则作的垂直平分线交轴负半轴于，即第（）问的点， ，即第（）问的点； ②若、为边，为对角线， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 则以为圆心，长为半径画弧，交轴负半轴于点， 将点沿方向平移即向下平移个单位，向左平移个单位得到， ， ③若、为边，为对角线， ∵，， ∴， ∴， 则以为圆心，长为半径画弧，交轴负半轴于点， 将按方向平移，即向右平移个单位向上平移个单位得到， ∴， 综上所述，点坐标为或或． 18．如图，矩形的边、分别在x轴与y轴的正半轴上，点，其中a、b满足．D为上一点，E为上一点，将沿折叠得． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图1，当D点与C点重合时，交于点G，连接，若，求的度数； (3)如图2，当点F在上时，过点F作于点T，交于点H，设，探求y与x满足的等量关系式，并直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）首先根据绝对值和平方的非负性得到，，然后根据矩形的性质求解； （2）设，表示出，证明出，得到，表示出，然后利用勾股定理求出，过点G作于点I，然后利用等面积法求出，得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）首先表示出，，得到，由折叠得，，，然后利用勾股定理得到，整理得到，然后分别当点D和点C重合和点E和点A重合两种情况讨论，分别求出的长度，然后求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴， ∴，； （2）解：设 ∴ 由折叠得，，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 ∴，， ∴， 如图，过点G作于点I， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴； （3）解：∵，设， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∵ ∴ ∴ 整理得，； 如图，当点D和点C重合时， 由折叠得， ∴ ∴的最大值为，即x的最大值为； 如图，当点E和点A重合时，点D，H，T重合， 由折叠得， ∴ ∴的最小值为4，即x的最小值为4， ∴ 综上所述，． 题型07矩形的折叠问题 19．在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点落在点处（如图①所示），连接，和相交于点F，请你连接，试说明四边形为等腰梯形； (2)将矩形纸片折叠，使B与D重合（如图②所示），求折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）利用折叠和矩形的性质可得，，即得，得到，确定，得出，再由等腰梯形的定义即可求证； （）过点作于点，由矩形和折叠的性质可得，，，，设，则，利用勾股定理可得，即得，，再证明，得，进而由四边形是矩形得，，最后利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，由折叠得，， ∵在矩形中，， ∴， 由折叠得，，， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 由图得与不平行， ∴四边形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于点，则， ∵矩形， ∴，， 由折叠可得，，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 20．利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称变换过程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法．已知矩形纸片的边，E为边上的动点（E不与B，C重合），将矩形纸片沿着对折，点B落在点F处． (1)如图1，若点F恰好落在矩形的对角线交点处，求的长． (2)如图2，若的延长线恰好经过点D，，求的长． (3)如图3，若，连接，，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)3 (2) (3)的长为1或 【分析】（1）连接，根据折叠的性质得到点是的中点，，求得；根据勾股定理得到，得到； （2）根据折叠的性质得到，根据勾股定理得到的长度，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到结论； （3）①当时，过点作于，根据折叠的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到求得，进而求解；②当时，根据线段垂直平分线的性质得到，根据折叠的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，求得； 【详解】（1）解：如图，连接， 将矩形纸片沿对折，点落在点处，点恰好落在矩形的对角线交点处， 点是的中点，， ， ， ； （2）解：将矩形纸片沿着对折， ，， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ； （3）解：①当时，过点作于，如图， 正方形沿着对折， ， ， 是等边三角形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ②当时，如图， ， 点在的垂直平分线上， 点在的垂直平分线上， ， 正方形沿着对折， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ∴在中，， ， 综上所述：的长为1或． 【点睛】本题核心是利用折叠的轴对称性，结合矩形/正方形性质，通过分类讨论等腰三角形的不同情况，借助勾股定理、全等三角形和三角函数求解，关键是找准折叠前后的等量关系． 21．综合与实践：折纸中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索】 ①四边形的形状为 ； ②求四边形的边上的高． (2)【实践操作】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接．如图③所示，得到四边形． 【实践探索】判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】(1)①菱形；② (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（）①由折叠可知对角线互相垂直且平分，据此即可得解；②先求出菱形的面积和边长，再利用等面积即可得解； （）由折叠可得，，由矩形可得，从而有，进而可证，则有，再根据菱形的判定即可求证． 【详解】（1）解：①由折叠可知：与互相垂直平分， ∴四边形为菱形． 故答案为：菱形； ②由折叠可得：，， ∴，菱形边长， ∴菱形的高为； （2）解：四边形是菱形，证明如下：如图③， 由折叠可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型08矩形的证明 22．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形． (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1） 由，得到，再由平行四边形性质推出，则可证明平行四边形是矩形． （2）由题意，证明是等边三角形，则可求． 【详解】（1）证明： ∵四边形为平行四边形 ∴， 平行四边形ABCD是矩形； （2）∵， ∴， ， ， 是等边三角形， ． 23．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，则四边形是平行四边形，再由，可推四边形是矩形； （2）由，，，根据勾股定理可求得，则，再利用角平分线证明，根据等角对等边求出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 于点，点在上， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长为5． 24．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】首先，根据四边形是平行四边形，得到 ，进而得到，再由平分，平分及等腰三角形的“三线合一”得出，，，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ． ， ． ，平分， ， 同理可得， ． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是矩形． 题型09矩形的性质与判定的求解类问题 25．勾股定理有着悠久的历史，1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在中，，，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，并按如图所示作长方形，延长交于点M，反向延长交于点J，则长方形的面积为（   ） A．32 B．49 C．8 D．16 【答案】B 【分析】此题重点考查勾股定理、正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，由，，，求得，作于点，由，求得，再证明，，，推导出，可证明，得，同理，则，于是得，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ， 如图，作于点， 则，， ， 四边形和四边形都是长方形， ， ， ， 四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 在和中，， ， ， 同理， ， ， ，， 四边形是长方形， ， ， 故选：B． 26．如图，在中，，点P是边上的一个动点，于点M，于点N，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握矩形的对角线相等，垂线段最短，是解题的关键． 连接，易证四边形为矩形，得到，进而得到最小时，最小，根据垂线段最短，得到时，最小，等积法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点M，于点N，， ∴四边形为矩形， 连接，则：， ∴最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴时，最小， ∴，即：， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 27．在中，平分交对角线于点，交射线于点E，将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当时，连接，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得出，，证明，得出，证明是等边三角形，得出； （2）连接，证明四边形为矩形，得出，，证明，得出， 根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 根据旋转可得：，， ∴是等边三角形， ，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ， ， ， 平分， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， 是等边三角形． ． （2）解：， 理由：如图2，连接， 在中，， ∴四边形为矩形， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 题型10平行线间距离解决问题 28．如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且，是个钝角，若，则a、b两直线的距离可以是（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了平行线之间的距离，两条平行线中，过其中一条直线上任意一点向另外一条直线作垂线，这个点和垂足之间的线段的长就是这两条平行线之间的距离． 【详解】根据平行线之间的距离的定义可得、两直线的距离应该小于10， ∴a、b两直线的距离可以是8． 29．如图，若直线，下列关于直线，之间距离的说法正确的是（    ） A．的长是，之间的距离 B．的长是，之间的距离 C．和的长是，之间的距离 D．的长是，之间的距离 【答案】C 【分析】本题考查了平行线间的距离．熟练掌握平行线间的距离是解题的关键．根据平行线间的距离定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，表示直线m，n之间距离的是线段和的长， 故选：C． 30．2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣．古往今来，一直有大量的数学工作者在研究勾股定理的证法． 已知：在中，，以为边，在的外部作正方形，．连接．    (1)证明：； (2)证明：； (3)如图2，过点作，垂足为与交于点．请你运用（1）（2）的结果，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证即可求证； （2）由可得边上的高为，据此即可求证； （3）由结合（2）中的结论可得，同理可得，即可求证． 【详解】（1）证明：由题意得： ∴ ∴ （2）证明：由题意得： ∴ ∵ ∴ （3）证明：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 同理可得： ∴ ∴ 【点睛】本题以勾股定理的证明为背景，考查了全等三角形的判定与性质、同底等高的三角形与矩形（或正方形）的面积关系．掌握相关知识点是解题关键． 题型11菱形的性质问题 31．如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的额性质可得：，，推出，由垂直的定义可得：，进而得到，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 于点，于点， ， ， ， 故选：C． 32．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 【答案】 () 【分析】利用勾股定理求得的长，再利用菱形的性质求得，再根据菱形对边平行可得点B与点C的横坐标相同，据此求解即可． 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴B点的坐标为，即． 33．如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为2，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形性质得出，证明四边形是平行四边形．根据，证明平行四边形是矩形，再根据矩形的性质即可证明结论； （2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵为菱形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． ∴． （2）解：∵在菱形中，，， 为等边三角形， ， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴在中，由勾股定理得． 题型12 利用菱形的性质证明 34．如图，在菱形中，点M在对角线上，过M作于点E，连接并延长交于点F． (1)如图1，当时． ①求证：； ②若点F恰为边的中点，求证：． (2)如图2，若，．求证：． 【答案】(1)①证明见详解，②证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）①利用菱形的性质得到，再结合已知条件得到，从而推出，利用等腰三角形三线合一的性质即可证得结论； ②分别延长、交于点G，证明，，利用全等三角形的性质结合线段的和差关系即可证得结论； （2）过点C作交延长线于点N，利用菱形的性质得出，，，证明是等腰三角形，结合已知条件证得是等腰三角形，再证得和是等腰直角三角形，从而得出相关线段的等量关系，然后证明，利用线段和差关系即可证得结论． 【详解】（1）①证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②证明：如图，分别延长、交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，点F，E分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，，， ∴． （2）证明：如图，过点C作交延长线于点N， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即, ∴． 35．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． (1)填空：点的坐标为 ， 度． (2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 【答案】(1)， (2)① ②见解析 【分析】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并数形结合分类讨论是解题的关键． （1）利用勾股定理，可求得的长度，从而知道菱形的边长，再利用菱形的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，即可求得点的坐标和的度数； （2）①利用等腰三角形“三线合一”的性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半计算，即可得出答案； ②连接，设交于点，先利用菱形的性质，求得，接着利用外角得，从而推出，接着证明，得到，，接着证明，推出，从而知道，，借助，，可得到四边形是平行四边形，加上邻边相等，即可得证． 【详解】（1）解：∵点，的坐标分别是和， ∴，． ∵°， ∴， ∵以线段为边向右侧作菱形， ∴，， ∴，． ∴． 故答案为：，． （2）①解：当时，点在上时，作交于，如图， 由（1）可知，，，， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ②证明：连接，设交于点，如图所示， 由（1）可知，四边形是菱形，，，， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 36．已知，在中，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边作菱形，且，连接，如图1，当点D在线段上时，我们易得三条线段之间的数量关系为：． (1)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，请探究三条线段之间的数量关系并证明； (2)如图3，当时，点D在线段的反向延长线上，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出三条线段之间的数量关系； ②若菱形的边长为，对角线相交于点O，连接，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据菱形的性质得出相等的边，证明，得出对应边相等即可得出结论； （2）①根据菱形的性质得出相等的边，证明，得出对应边相等即可得出结论； ②根据菱形的性质得出直角三角形，得出是斜边的中线，然后利用勾定理求出的长度即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①，理由如下： 因为， 所以，即． 由于四边形是菱形， 所以． 又， 所以，则． 因为， 所以，即； ②因为四边形是菱形， 所以． 因为， 所以． ， 得， 所以． 因为， 所以是斜边的中线（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）． 在菱形中， ，， 根据勾股定理． 所以． 题型13菱形的证明 37．如图，在矩形边上取一点C使，过点作，交的延长线于点B，垂足为点O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)线段的长为 【分析】（1）先推导出，，得到证明出，可得到，即可证明平行四边形是菱形． （2）先求出，，，，根据勾股定理，得到，，可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∴ ∵ ∴， 在和中， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴． ∴， 在中， ． ∴． ∵四边形是菱形， ∴， 在中， ． ∴． 在中， ． ∵四边形是菱形， ∴O为的中点． ∴． 答：线段的长为． 38．如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线定理得出，根据条件证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出，，推出，结合角平分线的性质和等角对等边推出，根据等腰三角形的三线合一推出，进而得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，点为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ，， ， 平分， ， ， ， 在中，，点为中点， ， 平分，， ， ， ，即， ， ， ， ，， 四边形的周长． 39．如图，四边形是平行四边形，若点D、E分别是线段、上一点． (1)当四边形是菱形时，用无刻度的直尺和圆规作出D、E两点（要求保留痕迹，不写作法）． (2)若点O坐标是，点A坐标是，点C坐标是． ①请直接写出点B的坐标________； ②在（1）的条件下求点E的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，即可； （2）①根据菱形的性质得到，然后结合点C坐标是求解； ②过点C作，设，则，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图所示，菱形即为所求； 设，交于点G， 由作图得，垂直平分 ∴，，， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形； （2）解：①∵四边形是菱形，点A坐标是， ∴ ∵点C坐标是 ∴B的坐标为； ②如图，过点C作， ∴ 设，则 在中， ， 解得 点E的坐标． 题型14 菱形的性质与判定求解类问题 40．如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的判定定理得到是菱形，得到，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 是菱形， ， 是等边三角形， ． 故选：D． 41．如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 【答案】 【分析】由条件可先证得四边形为菱形，连接交于点，连接，可求得和的长，则，故当三点在一条线上时，有最小值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， 如图，连接交于点，连接，则，为的中点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴当三点在一条线上时，有最小值，最小值为． 42．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，继而得到四边形是平行四边形，证明即可； （2）根据勾股定理，得到，设，得到 ，解方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是菱形； （2）解： 四边形是菱形，，， ，，，， ， ， 设， ， ， ， 解得． 题型15 正方形的性质问题 43．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，将绕点顺时针旋转至，证明，得到，利用三角形外角的性质可推出，据此可得答案． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至，    ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 44．中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点N恰好是的中点．若图中阴影部分面积为3，则的长度是（　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设交于点H，交于点L，可证明，得到；再证明B，C，E三点共线，则可证明，得到，，根据，，得到，进而求得的长，再利用勾股定理即可求得的长度． 【详解】解：如图，设交于点H，交于点L， ∵，四边形、四边形、四边形都是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴B，C，E三点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．如图，在正方形中，点是边上一点，点在边延长线上，且，连接，过点作交于，交于，若，，求长． 【答案】 【分析】连接，首先结合正方形性质可证得，推出为等腰直角三角形，结合，推出为等腰直角三角形，，再证明，设，得，，然后在中，根据勾股定理求出正方形的边长，最后在中，根据勾股定理求出长，即可求出长． 【详解】解：连接、、， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵设， 又∵，， ∴，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，，即， 解得：， ∴，，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，，即， 解得：， ∴． 题型16 正方形的折叠问题 46．如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数；②由，可得；③由，可得的面积的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，即可证得，易证得四边形是菱形；⑤由菱形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得． 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得： 故，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 故四边形是菱形，故④正确． 四边形是菱形， ， ， ， ， 同理可得．故⑤正确． 综上，正确的结论有①④⑤． 47．如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 【答案】 【分析】连接，求出正方形的边长为4，由正方形的性质可得，则，由折叠的性质可得，，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为16， ∴； 如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 48．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接，若，则= ． (2)折纸2：如图2，操作一：将边长为4的正方形纸片对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕；操作二：将正方形纸片沿着折叠，使得点D落在平面内点处，延长交于点P，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由邻补角的性质先求解再由对折的性质求解结合正方形的性质解答即可； （2）连接，证明，可得，再由勾股定理可得． 【详解】（1）解： ， 由折叠可得：， 正方形， ∴， ； （2）解：如图，连接， ∵由边长为4的正方形纸片对折，再沿对折， 正方形纸片沿着折叠再展开，折痕与边交于点P， ， ， ∵， ， ， 由勾股定理得：， ， 解得：． 题型17 利用正方形的性质证明 49．如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：； (3)若过P点作，交射线于点E，已知，，则_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）证明，即可； （2）过点P作于点M，作于点N，证明，即可； （3）分点在线段的延长线上和点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点P作于点M，作于点N，如图② 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：①当点在线段的延长线上时，如图②： 由（2）可知：四边形为正方形，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图， 同理可知：四边形为正方形，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 50．已知正方形，E为对角线上一点． (1)如图①，连接．求证：； (2)如图②，过点B作，交的延长线于点F，交于点G． 设，和面积分别记为，． ①如图③，若，且，求线段的长； ②直接写出的值（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①② 【分析】（1）证明，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）①根据得到，从而求得，再证明，则，然后由，得，即可由求解； ②设，则，由勾股定理得，则，再根据，则，，所以． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴； ②由（1）知：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 51．问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得； ②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明； （2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算； ②根据正方形和翻折性质得，根据，翻折后和的性质证明，根据等腰三角形三线合一得，由得，由得，由翻折得，等量代换后，根据证明． 【详解】（1）选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 由翻折得，垂直平分， 是等腰三角形，是的角平分线， ， 在中，，， 在中，，， ， ， ，， 在和中， ， ． 题型18 正方形的证明 52．如图，在直角梯形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．连接并展开纸片． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)取线段的中点，连接、，如果，试说明四边形是等腰梯形． 【答案】(1)四边形为正方形．理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，由得，则可判断四边形为矩形，加上邻边相等，由此可判断四边形为正方形； （2）由，可判断四边形是平行四边形，则，，所以，于是可判断四边形是梯形，再利用点为的中点和正方形为轴对称图形得到，则，所以可判断四边形是等腰梯形． 【详解】（1）解：四边形为正方形． 理由如下： 纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为， ，， ， ， 四边形为矩形， 而， 四边形为正方形； （2）解：，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是梯形， 又点为的中点， ， ， ， ， 四边形为等腰梯形． 53．如图，中，，将沿的方向平移得到，连接． (1)当点D移至什么位置时，四边形是菱形，并加以证明． (2)在（1）的条件下，如果，，求四边形的面积； (3)在（1）的条件下，四边形能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给添加一个条件，使四边形为正方形，并写出推理过程． 【答案】(1)当D移至的中点时，四边形是菱形．证明见解析 (2)30 (3)不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．推理见解析 【分析】（1）当D移至的中点时，四边形是菱形；由平移的性质可得且，，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知，再证明四边形是平行四边形，结合即可证明； （2）由勾股定理可得，由平移的性质可得，再根据菱形的性质求面积即可； （3）不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．根据有一内角为直角的菱形是正方形来添加条件即可解答． 【详解】（1）解：如图：当D移至的中点时，四边形是菱形．证明如下： ∵将沿的方向平移得到，连接． ∴且，， 在中，，D是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿的方向平移得到，连接． ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴四边形的面积为． （3）解：如图：四边形不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．推理如下： ∵，D是中点， ，即， ∵四边形为菱形， ∴四边形是正方形． 54．如图，在中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点F． (1)探究线段与的数量关系，并说明理由； (2)当运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由； (3)当点在边上运动时，四边形 是菱形或正方形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点运动到的中点，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形，理由见解析 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）由直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，易证得与是等腰三角形，则可证得，则可得出答案； （2）正方形的判定问题，若是正方形，则必有对角线，所以为的中点，同样在中，当时，可满足其为正方形； （3）菱形的判定问题，若是菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直，进而可判断出不可能为菱形，再通过正方形是有一个角是的菱形，进而可判断出也不可能为正方形． 【详解】（1）解：． 理由如下： 是的角平分线， ， 又∵， ， ， ， 同理可得：， ； ． （2）解：当点运动到的中点，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形．理由如下： 当点运动到的中点时，， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ，即， 四边形是矩形． 已知，当，则 ， ， 四边形是正方形； （3）解：不可能．理由如下： 如图，平分，平分， ， 若四边形是菱形，则， 但在中，不可能存在两个角为，所以不存在其为菱形． ∵四边形不可能是菱形， 又∵正方形是有一个角为的菱形， ∴四边形也不可能是正方形． 题型19 正方形的判定与性质求解类问题 55．如图，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，，交于点O，连接，，． 设． 给出下面三个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 【答案】A 【分析】①先证明四边形是正方形，且边长为a，四边形是正方形且边长为b，四边形和四边形是矩形，长为b，宽为a，在中，由勾股定理得，根据三角形三边之间的关系得，由此可对结论①进行判断； ②在中，由勾股定理得，在中，根据三角形三边之间的关系得，则，由此可对结论②正确； ③在中，由勾股定理得：，则，由此可对结论③进行判断； ④根据即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵，，，，， ∴四边形是正方形，且边长为a，四边形是正方形且边长为b，四边形和四边形是矩形，长为b，宽为a， 在中，，， 由勾股定理得：， 根据三角形三边之间的关系得：， ∴， 故结论①正确； ②在中，，， 由勾股定理得：， 在中，根据三角形三边之间的关系得：， ， ， 故结论②正确； ③在中，，， 由勾股定理得：， ， 故结论③不正确； ④由③可知：， 故结论④不正确， 综上所述：正确结论的序号是 ①②． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，三角形三边之间的关系，熟练掌握正方形的判定和性质，勾股定理及三角形三边之间的关系是解题的关键． 56．如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 _______ ． 【答案】36 【分析】由，，，，得，，由翻折得，，，，，，则，求得，则四边形是矩形，而，所以四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，由勾股定理得，求得符合题意的m值为6，所，于是得到问题的答案． 【详解】解：中，，，，， ，， 由翻折得，，，，，， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ，， ， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为m，则，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：36． 【点睛】此题重点考查翻折变换的性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形是正方形是解题的关键． 57．如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连接，，． (1)求证：； (2)当，且时． 如图，若，，三点共线，求四边形的周长； 如图，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析； (2)； 【分析】（）利用平行四边形对角线性质和对称点性质，通过等腰三角形等边对等角证明角相等； （）根据对称性质、等腰直角三角形判定及性质，结合平行四边形判定与性质求周长； 通过作平行线构造平行四边形，利用角度关系、中点性质设未知数，结合勾股定理求解边长，进而求面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点与关于对称， ∴， ∴； （2）解： ，，三点共线，且点与关于对称， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 根据勾股定理可得：， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴四边形的周长为； 设与交于点，过点作的平行线，交，分别于点，， ∵点关于的对称点为点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰的边的中点， ∴为中点，为中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， 在Rt中，， 解得， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形判定与性质、勾股定理，轴对称性质，熟练掌握这些性质定理，灵活运用判定与性质进行推理、计算是解题的关键． 题型20 添加条件类问题 58．如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键；根据矩形和菱形的判定逐项判断即可． 【详解】解：、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是菱形， 故本选项符合题意； 、， 是直角三角形， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， 故本选项不符合题意； 故选：． 59．小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定和菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的关系是解题的关键． 根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， （2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形， （3）处可填是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， 无法判定两角是不是直角，故该选项符合题意； 故选：D． 60．在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查菱形的性质和正方形的判定，熟记判定定理才可正确解答． 根据有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，不能判定是正方形，故本选项符合题意； B、，根据菱形的对角线互相平分，，对角线相等的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意； C、，根据对角线相等的菱形是正方形，故本选项不符合题意； D、，则，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：A． 题型21 四边形中的动点问题 61．如图，在四边形中，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点，在运动中会存在一个时刻，使得．不正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据题意，用含的代数式表示出的长，利用矩形及平行四边形、梯形的性质逐一判断即可. 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当四边形为矩形时， ∴， 即：， 解得：， ∴不正确； 当四边形是平行四边形时， ∴， 即：， 解得：， ∴②不正确； 当时，若四边形是平行四边形，； 若四边形是梯形，分别过点作于，于， ∴， ∴， ∵， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：当时，或， ∴③正确； 由题意得：， 若， 则， ∵， ∴点，在运动中不存在一个时刻，使得， ∴④不正确． 综上：①②④不正确. 62．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒） ∵，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动， 到达的时间为（秒）， ∴当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点为顶点的四边形是平行四边形时， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 63．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为2或 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； （2）当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【点睛】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 题型22 四边形中的线段最值向题 64．如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） ， A．12 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．确定和最小值时的情况是解题的关键． 作点E关于的对称点，连接，过F作于点G，当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求，由题意确定在边上，证明四边形是矩形，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G， ，， 当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求， 四边形是正方形， ， 点在边上， ，， 四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得，， 的最小值是13 故选：B． 65．如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为______ ． 【答案】 【分析】连接，可得，四边形是矩形，即得，当时，可知最短，再利用三角形的面积解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形中，，， ∴， ∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∵是对角线上一点， ∴当时，最短，此时， ∴， ∴的最小值为． 66．平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解； （2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长交于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决； （3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵E为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； （2）证明：，理由如下： 如图2，设射线与射线交于点M， 由题可设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于N， ∴， 过E作于P， 则， 在与中，   ， ∴， ∴， 过E作于Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 在与中， ，   ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小， 即为线段的长度，如图4， 过N作交其延长线于T， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是解决此问的关键． 题型23 四边形综合问题 67．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． (2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； (3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 【答案】(1)四边形是垂美四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可得； （2）根据垂直的定义及勾股定理解答即可； （3）证明，得出，证明，得出四边形为垂美四边形，结合（2）的结论计算即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形；理由如下： 连接、， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 即四边形是垂美四边形； （2）证明：∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了对新概念的理解、垂直平分线的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定，是一道综合性比较强的题目，灵活运用所学知识是解题的关键. 68．定义：一组对角互补且对角线平分四边形其中一个内角，这样的四边形称为余缺四边形．如图1，在四边形中，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】 （1）用____________（填序号）可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形； 【迁移应用】 如图2，已知，的平分线与的垂直平分线交于点，连接． （2）求证：四边形为余缺四边形； （3）若，则的值为____________．        【答案】（1）①；（2）见解析；（3）15 【分析】（1）根据余缺四边形的定义，结合折叠的思想去思考拼图解答即可； （2）根据的平分线这一条件，判定以满足了一个条件，只需证明或即可； （3）根据勾股定理，三角形全等解答即可． 【详解】（1）解：②两个全等的等边三角形为成的四边形是菱形，而菱形的对角是相等的，故拼不成余缺四边形； ①将直角三角形沿着斜边折叠，得到四边形符合余缺四边形的条件， 故答案为：①． （2）证明：如图3， ∵的平分线，是四边形的一个内角， ∴对角线平分四边形其中一个内角成立； 过点P作于点E，交的延长线于点G， ∵平分， ∴， ∵的平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为余缺四边形． （3）解：如图3，过点P作于点E，交的延长线于点G， ∵平分， ∴，， ∵的平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∴． ∴， ∵ ∴． ∴， 根据勾股定理，得 ， ∵， ∴． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了新定义问题，线段的垂直平分线性质，角的平分线性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 69．综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用矩形纸片进行探究活动． 如图1，勤奋小组准备了矩形纸片，与交于点O，将矩形纸片折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，得到折痕，与相交于点F． 如图2，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在点E处，得到折痕，与相交于点G，连接，． 【猜想发现】 （1）如图1，是__________三角形，__________°；如图2，是__________三角形． 【深入探究】 （2）如图2．试探究线段和线段之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在图2的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为，连接，交于点M，请直接写出，，三条线段之间的关系式． 【答案】（1）直角，30；等腰；（2）且，理由见解析；（3）． 【分析】（1）在如图1中，先根据矩形的性质得出，，再根据折叠的性质，可得，，进而由所对的直角边为斜边的一半得出；在如图2中，由正方形和折叠的性质可得，，，进而得，，再根据三角形内角和可得，，，由等边对等角可得，即△是等腰三角形． （2）由（1）得，，，根据平行线的性质，即可得出且． （3）过点作的垂线，垂足为，设交于点，由矩形的判定和性质可得，，再根据折叠的性质可得，，进而得出，再由可证，，进而证明，由，，可得，证明，，故，即可证明． 【详解】解：（1）在图1中，四边形是矩形， ，， 由折叠可得， ， ， ， ， 矩形纸片折叠，使点的对应点恰好落在点处，折痕是对称轴， ，即是直角三角形， 在图2中，四边形是正方形， ， ，分别平分和，， ，， 由折叠可得， ， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， 是等腰三角形． 故答案为：直角，30；等腰； （2）且；理由如下： 由（1）得，，， ，，即， 且． （3）．理由如下： 过点作的垂线，垂足为，设交于点，如图3， ， 四边形为矩形， ， 正方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为对称轴， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，所对的直角边为斜边的一半，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型24 三角形中位线的性质 70．如图，在中，，分别是的中点，连接．若，则的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】先说明是的中位线，即；再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是的中点， ∴． 71．如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先由三角形的中位线的性质求得，再根据平行线的性质得到，，再根据平行线的性质与角平分线定义得到，从而得到，然后由求解即可． 【详解】解：∵，分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 72．如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． 根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：D，E是，的中点， ， A，B间的距离为． 故选：D． 题型25 三角形中位线的证明 73．如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接．（1）线段的长为_____；（2）若为的中点，则线段的长为_____． 【答案】 3 //1.5 【分析】（1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解， （2）根据中位线的性质求解即可． 【详解】解：（1）正方形的边长为， ， ； （2）∵， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴为的中位线， ． 74．如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，，，再证明是的中位线，所以，，通过角平分线定义可得，所以，最后通过等角对等边即可求证； （）由中位线定理可得，从而有，然后通过勾股定理求出，最后由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴为斜边的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积=． 75．如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明过程见解答； (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质等； （1）根据等腰三角形的“三线合一”可知，结合已知可推出为的中位线，根据三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ， 是的中点， 为的中位线， ∴； （2）解：∵，是边上的中线， ∴，即， ∵在中，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴． 题型26 三角形中位线的应用 76．如图，在中，，为边的中点． (1)如图1，若，为边的中点，点在上，，求． (2)若在内部，． 如图2，若，求． 如图3，求与度数的比值． 【答案】(1)； (2)；2． 【分析】（1） 过F点作，垂足为，取中点，连接，利用中位线性质可得，进而四边形是矩形，从而得出，利用即可得出，即得是等边三角形，即可得出，进而求解；   （2） ①取的中点，连接，交于，连接，证明，从而得出，进而可得，，这时得出与（1）相同的条件，由此得出，即可得出， ②如图3，过点D作，交于，过点作，交于，延长线交于，连接，连接交于点，同理（2）可得：，，再利用平行+角平分线模型证明：，，进而可得是的垂直平分线，结合已知可得，即是等边三角形，，再利用三角形内角和的计算得出，由此即可解题． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 如图1：过F点作，垂足为，取中点，连接， ∴， ∵为边的中点，为边的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ； （2）①同理（1）可得， 如图2，取的中点，连接，交于，连接， ∵为边的中点，为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 同理（1）可得， ∴． ②如图3，过点D作，交于，过点作，交于，延长线交于，连接，连接交于点， 同理（2）①可得：，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，即是的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题围绕三角形的角度关系、中点性质、等腰三角形及直角三角形的性质展开，关键在于通过构造辅助线构造全等三角形、倍角关系构造等腰三角形，准确识别等腰三角形，通过角度转化建立等式． 77．如图，为估计池塘岸边，两点间的距离，在池塘的一侧选取点，分别取，的中点，，测得，则，两点间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，由已知条件可得出为的中位线，由三角形中位线的性质即可得出．进而可得出，两点间的距离是． 【详解】解：∵，分别是边和的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， 则，两点间的距离是， 故选：C 78．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是关键． （1）作平行四边形并利用平行四边形的性质进行作点E即可； （2）利用三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质进行作图即可． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）所作图形如图所示： 题型27 中点四边形 79．【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出，在射线上找一点G，用测角仪测出，然后用皮尺测量出，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图，   ， ． 80．如图，四边形中，，，，分别是边，，，的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，进而得到即可． 【详解】解：∵四边形中，，，，分别是边，，，的中点， ∴在中，为的中位线，所以且； 同理且；，， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴应满足条件，即， ∴． 81．如图，分别为四边形各边的中点，当四边形满足条件_________时，四边形是菱形；当四边形满足条件________时，四边形是矩形．（请填上你认为正确的一个条件即可） 【答案】 【分析】连接，利用三角形的中位线定理，先证明四边形为平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形为菱形，有一个角是直角的平行四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵分别为四边形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ∵， ∴当时，四边形为菱形， 当，即时，四边形为矩形， ∵， ∴当时，四边形为矩形． 题型28 等腰梯形的性质 82．综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）； (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (3)证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图 ，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点， ．求证：四边形是 ． 【答案】(1)见解析 (2)菱形；矩形；正方形 (3)2；对角线，与不垂直；菱形（答案不唯一）；见解析 【分析】（1）依题意画出图形即可： （2）图2中的中点四边形EFGH是菱形，图3中的中点四边形EFGH是矩形，图4中的中点四边形EFGH是正方形，然后填入表格即可； （3）根据中位线定理得，，，，，，结合已知条件即可判定四边形是菱形、矩形、正方形即可． 【详解】（1）解：依题意画出图形如图所示： （2）解：如下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 菱形 图3 ， 矩形 图4 ， 正方形 （3）解：选择图2时：已知四边形中，对角线，与不垂直，点E，F，G，H分别，，，的中点，求证：四边形是菱形； 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， 又，，与不垂直， 与不垂直， ∴平行四边形是菱形； 选择图3时，已知四边形中，对角线，，点E，F，G，H分别，，，的中点，求证：四边形是矩形； 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， 又，，， ， ， ∴平行四边形是矩形； 选择图4时，已知四边形ABCD中，对角线AC＝BD，AC⊥BD，点E，F，G，H分别AD，AB，BC，CD的中点，求证：四边形EFGH是正方形． 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， ∴平行四边形是菱形， 又，，， ， ， ∴菱形是正方形． 83．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 【答案】C 【分析】此题考查了梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键掌握以上知识点． 设，交于点O，根据题意得到，，，然后利用勾股定理求出，，，进而利用梯形的面积和周长公式求解即可． 【详解】如图所示，设，交于点O， ∵在梯形中，，， ∴，， ∵，， ∴，即 ∴ 同理可得， ∴ ∵ ∴梯形的面积； ∵，， ∴ ∴ ∴梯形的周长． 故选：C． 84．如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 过点分别作的垂线，垂足为点，证明，再证明，最后证明即可． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D不能证明， 故D不符合题意， 故选：D． 85．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为__________cm． 【答案】10 【分析】本题考查了梯形中位线的性质，解题关键是明确梯形中位线的性质，再根据角平分线得出，再根据30度角所对直角边等于斜边一半得出，然后利用即可求解． 【详解】解：在等腰梯形中，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中位线，且， ∴， 即， ， 故答案为：10． 86．如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可． （2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：， 理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴． 87．已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据等腰梯形的概念证明； （）过点作于，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． 88．已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2) 定义：在平面内，如果存在一点到四边形的四条边的距离相等，就称这个点为四边形“内心”；如果存在一点到四边形的四个顶点的距离相等，就称这个点为四边形“外心”．如果一个四边形同时存在“内心”与“外心”，就称这个四边形为“双心四边形”；如果一个四边形只存在“内心”或只存在“外心”，就称这个四边形为“单心四边形”． ①i）四边形为（    ） A．双心四边形        B．存在“内心”的单心四边形 C．存在“外心”的单心四边形    D．以上都不对 ii）设，当四边形的“内心”或“外心”存在且在四边形内时（不包括边界），直接写出的取值范围：__________． ②若四边形的“内心”或“外心”存在，请在图2中作出“内心”点或“外心”点（不需要说明作图理由，保留作图痕迹，并写出作图结论）； ③当时，求出“内心”点到四边形的四条边的距离或“外心”点到四边形的四个顶点的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①i）C；ii）；②见解析；③ 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰梯形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键； （1）延长交于点，根据等腰三角形的性质，得出，进而证明，结合已知即可得证； （2）①i）根据角平分线的性质以及垂直平分线的性质分析，即可求解； ii）根据题意画出图形，找到临界点，即在上时，可得是等边三角形，进而得出的值，结合图形，即可求解；②作的垂直平分线交于点，则外心即为所求； ③过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作分别交于点，则四边形是矩形，进而勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴四边形是梯形， 又∵ ∴四边形是等腰梯形； （2）①i）四边形为存在“外心”的单心四边形；如图， 假设四边形为“内心”的单心四边形 ∴内心为对角平分线的交点， 如图，假设为四边形的内心， ∴ 又∵， ∴ ∴，同理可得 ∴四边形是平行四边形，与四边形为等腰梯形矛盾， ∴四边形不是“内心”的单心四边形 故选：C． ii）设，当四边形的“外心”存在且在四边形内时（不包括边界），如图， 当在上时， 此时， 又∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴即 ∵四边形的“外心”存在且在四边形内时（不包括边界） ∴ 又∵ ∴ 故答案为：． ②如图，“外心”点，即为所求； ③如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作分别交于点，则四边形是矩形， ∵， ∴， 直线是等腰梯形的对称轴，则，， ∴ 在中， 设“外心”点到四边形的四个顶点的距离为， 在中， 在中， ∴ 又∵， 设，则 ∴ 解得： ∴ ∴“外心”点到四边形的四个顶点的距离为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 四边形 （期中复习专项训练，全章29大题型） 题型导览 题型01利用平行四边形的性质问题 题型16 正方形的折叠问题 题型02平行四边形的证明 题型17 利用正方形的性质证明 题型03利用平行四边形的判定与性质求解类问题 题型18 正方形的证明 题型04 矩形的性质问题 题型19 正方形的判定与性质求解类问题 题型05 利用矩形的性质证明 题型20 添加条件类问题 题型06 矩形与坐标系 题型21 四边形中的动点问题 题型07矩形的折叠问题 题型22 四边形中的线段最值向题 题型08矩形的证明 题型23 四边形综合问题 题型09矩形的性质与判定的求解类问题 题型24 三角形中位线的性质 题型10平行线间距离解决问题 题型25 三角形中位线的证明 题型11菱形的性质问题 题型26 三角形中位线的应用 题型12 利用菱形的性质证明 题型27 中点四边形 题型13菱形的证明 题型28 等腰梯形的性质 题型14 菱形的性质与判定求解类问题 题型29 等腰梯形的判定 题型15 正方形的性质问题 题型汇总 题型01利用平行四边形的性质问题 1．如图，在中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 3．如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，交的延长线于点．求证：． 题型02平行四边形的证明 4．如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 5．如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 6．如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 题型03利用平行四边形的判定与性质求解类问题 7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 8．问题探究： (1)如图①，在和中，，，，求证：； (2)如图②，在五边形中，，，，，的平分线交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，，，，求证：； (3)问题解决：某区现有一块三角形空地，如图③所示，经测量：，，政府准备在空地内修建景观以丰富市民生活．为了方便游览，现计划在点处设立入口，在点和点处设立出口，并修建两条步道和．其中，点，分别在，上，要求，，若步道，请直接写出步道的长． 9．【问题背景】在中，连接，若，点E为边上一点，连接，交于点F． (1)如图1，若点E为中点，对角线与相交于点O，连接，且的面积为，，求的长； (2)【深入探究】如图2，若，，点N在边上，，且平分，线段（点P在点Q的左侧）在线段上，且，连接，过点N作，交于点G，连接，请判断与之间的数量关系并说明理由． 题型04 矩形的性质问题 10．如图，将长方形绕点旋转至长方形的位置，此时的中点恰好与点重合，交于点若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 11．如图，在矩形中，是对角线，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为（　　） A． B． C．4 D．2 题型05 利用矩形的性质证明 13．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，在矩形中，；，垂足分别为、．连接、． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 15．如图1，在正方形中，交于点F，连接． (1)探究与之间的数量关系，并证明； (2)如图2，过点A作于点N，分别交于点M，P，探究线段之间的数量关系，并证明． 题型06 矩形与坐标系 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 17．在平面直角坐标系中有矩形，，． (1)如图1，矩形的顶点B的坐标是______； (2)如图2，将矩形沿对角线折叠，使得点落在点处，交轴于点．点是对角线上一动点，求的最小值； (3)点P为x轴负半轴上一动点，Q是平面内一点，若以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出Q点坐标______ 18．如图，矩形的边、分别在x轴与y轴的正半轴上，点，其中a、b满足．D为上一点，E为上一点，将沿折叠得． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图1，当D点与C点重合时，交于点G，连接，若，求的度数； (3)如图2，当点F在上时，过点F作于点T，交于点H，设，探求y与x满足的等量关系式，并直接写出x的取值范围． 题型07矩形的折叠问题 19．在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点落在点处（如图①所示），连接，和相交于点F，请你连接，试说明四边形为等腰梯形； (2)将矩形纸片折叠，使B与D重合（如图②所示），求折痕的长． 20．利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称变换过程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法．已知矩形纸片的边，E为边上的动点（E不与B，C重合），将矩形纸片沿着对折，点B落在点F处． (1)如图1，若点F恰好落在矩形的对角线交点处，求的长． (2)如图2，若的延长线恰好经过点D，，求的长． (3)如图3，若，连接，，当是等腰三角形时，求的长． 21．综合与实践：折纸中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索】 ①四边形的形状为 ； ②求四边形的边上的高． (2)【实践操作】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接．如图③所示，得到四边形． 【实践探索】判断四边形的形状，并加以证明． 题型08矩形的证明 22．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形． (2)若，且，求的长． 23．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 24．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点．求证：四边形是矩形． 题型09矩形的性质与判定的求解类问题 25．勾股定理有着悠久的历史，1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在中，，，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，并按如图所示作长方形，延长交于点M，反向延长交于点J，则长方形的面积为（   ） A．32 B．49 C．8 D．16 26．如图，在中，，点P是边上的一个动点，于点M，于点N，则的最小值为______． 27．在中，平分交对角线于点，交射线于点E，将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当时，连接，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 题型10平行线间距离解决问题 28．如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且，是个钝角，若，则a、b两直线的距离可以是（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 29．如图，若直线，下列关于直线，之间距离的说法正确的是（    ） A．的长是，之间的距离 B．的长是，之间的距离 C．和的长是，之间的距离 D．的长是，之间的距离 30．2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣．古往今来，一直有大量的数学工作者在研究勾股定理的证法． 已知：在中，，以为边，在的外部作正方形，．连接．    (1)证明：； (2)证明：； (3)如图2，过点作，垂足为与交于点．请你运用（1）（2）的结果，证明：． 题型11菱形的性质问题 31．如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 33．如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为2，，求的长 题型12 利用菱形的性质证明 34．如图，在菱形中，点M在对角线上，过M作于点E，连接并延长交于点F． (1)如图1，当时． ①求证：； ②若点F恰为边的中点，求证：． (2)如图2，若，．求证：． 35．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． (1)填空：点的坐标为 ， 度． (2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 36．已知，在中，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边作菱形，且，连接，如图1，当点D在线段上时，我们易得三条线段之间的数量关系为：． (1)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，请探究三条线段之间的数量关系并证明； (2)如图3，当时，点D在线段的反向延长线上，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出三条线段之间的数量关系； ②若菱形的边长为，对角线相交于点O，连接，求的长． 题型13菱形的证明 37．如图，在矩形边上取一点C使，过点作，交的延长线于点B，垂足为点O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长． 38．如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求四边形的周长． 39．如图，四边形是平行四边形，若点D、E分别是线段、上一点． (1)当四边形是菱形时，用无刻度的直尺和圆规作出D、E两点（要求保留痕迹，不写作法）． (2)若点O坐标是，点A坐标是，点C坐标是． ①请直接写出点B的坐标________； ②在（1）的条件下求点E的坐标． 题型14 菱形的性质与判定求解类问题 40．如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 41．如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 42．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型15 正方形的性质问题 43．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 44．中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点N恰好是的中点．若图中阴影部分面积为3，则的长度是（　 ） A． B． C． D． 45．如图，在正方形中，点是边上一点，点在边延长线上，且，连接，过点作交于，交于，若，，求长． 题型16 正方形的折叠问题 46．如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 47．如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 48．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接，若，则= ． (2)折纸2：如图2，操作一：将边长为4的正方形纸片对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕；操作二：将正方形纸片沿着折叠，使得点D落在平面内点处，延长交于点P，求线段的长度． 题型17 利用正方形的性质证明 49．如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：； (3)若过P点作，交射线于点E，已知，，则_______． 50．已知正方形，E为对角线上一点． (1)如图①，连接．求证：； (2)如图②，过点B作，交的延长线于点F，交于点G． 设，和面积分别记为，． ①如图③，若，且，求线段的长； ②直接写出的值（用含k的代数式表示）． 51．问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 题型18 正方形的证明 52．如图，在直角梯形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．连接并展开纸片． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)取线段的中点，连接、，如果，试说明四边形是等腰梯形． 53．如图，中，，将沿的方向平移得到，连接． (1)当点D移至什么位置时，四边形是菱形，并加以证明． (2)在（1）的条件下，如果，，求四边形的面积； (3)在（1）的条件下，四边形能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给添加一个条件，使四边形为正方形，并写出推理过程． 54．如图，在中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点F． (1)探究线段与的数量关系，并说明理由； (2)当运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由； (3)当点在边上运动时，四边形 是菱形或正方形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由． 题型19 正方形的判定与性质求解类问题 55．如图，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，，交于点O，连接，，． 设． 给出下面三个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 56．如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 _______ ． 57．如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连接，，． (1)求证：； (2)当，且时． 如图，若，，三点共线，求四边形的周长； 如图，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 题型20 添加条件类问题 58．如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 59．小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 60．在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 题型21 四边形中的动点问题 61．如图，在四边形中，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点，在运动中会存在一个时刻，使得．不正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 62．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 63．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 题型22 四边形中的线段最值向题 64．如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） ， A．12 B．13 C． D． 65．如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为______ ． 66．平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． 题型23 四边形综合问题 67．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． (2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； (3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 68．定义：一组对角互补且对角线平分四边形其中一个内角，这样的四边形称为余缺四边形．如图1，在四边形中，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】 （1）用____________（填序号）可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形； 【迁移应用】 如图2，已知，的平分线与的垂直平分线交于点，连接． （2）求证：四边形为余缺四边形； （3）若，则的值为____________．        69．综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用矩形纸片进行探究活动． 如图1，勤奋小组准备了矩形纸片，与交于点O，将矩形纸片折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，得到折痕，与相交于点F． 如图2，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在点E处，得到折痕，与相交于点G，连接，． 【猜想发现】 （1）如图1，是__________三角形，__________°；如图2，是__________三角形． 【深入探究】 （2）如图2．试探究线段和线段之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在图2的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为，连接，交于点M，请直接写出，，三条线段之间的关系式． 题型24 三角形中位线的性质 70．如图，在中，，分别是的中点，连接．若，则的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 71．如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 72．如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 题型25 三角形中位线的证明 73．如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接．（1）线段的长为_____；（2）若为的中点，则线段的长为_____． 74．如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 75．如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 题型26 三角形中位线的应用 76．如图，在中，，为边的中点． (1)如图1，若，为边的中点，点在上，，求． (2)若在内部，． 如图2，若，求． 如图3，求与度数的比值． 77．如图，为估计池塘岸边，两点间的距离，在池塘的一侧选取点，分别取，的中点，，测得，则，两点间的距离是（    ） A． B． C． D． 78．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使． 题型27 中点四边形 79．【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         80．如图，四边形中，，，，分别是边，，，的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（   ） A． B． C． D． 81．如图，分别为四边形各边的中点，当四边形满足条件_________时，四边形是菱形；当四边形满足条件________时，四边形是矩形．（请填上你认为正确的一个条件即可） 题型28 等腰梯形的性质 82．综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）； (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (3)证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图 ，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点， ．求证：四边形是 ． 83．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 84．如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 题型29 等腰梯形的判定 85．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为__________cm． 86．如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 87．已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 88．已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2) 定义：在平面内，如果存在一点到四边形的四条边的距离相等，就称这个点为四边形“内心”；如果存在一点到四边形的四个顶点的距离相等，就称这个点为四边形“外心”．如果一个四边形同时存在“内心”与“外心”，就称这个四边形为“双心四边形”；如果一个四边形只存在“内心”或只存在“外心”，就称这个四边形为“单心四边形”． ①i）四边形为（    ） A．双心四边形        B．存在“内心”的单心四边形 C．存在“外心”的单心四边形    D．以上都不对 ii）设，当四边形的“内心”或“外心”存在且在四边形内时（不包括边界），直接写出的取值范围：__________． ②若四边形的“内心”或“外心”存在，请在图2中作出“内心”点或“外心”点（不需要说明作图理由，保留作图痕迹，并写出作图结论）； ③当时，求出“内心”点到四边形的四条边的距离或“外心”点到四边形的四个顶点的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $