江苏无锡市大桥实验学校2025-2026学年下学期高二数学期中试卷

**基本信息** 以重阳节志愿服务（第3题）、考场座位安排（第7题）等文化与现实情境为载体，通过开放条件选择（第15题三选一）和梯度设问（第14题两空），考查高二数学核心知识，体现数学眼光观察、思维推理及语言表达的素养融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|排列组合（3）、导数几何意义（2）|传统节日与生活场景结合（3、7）| |多选|3/18|概率独立性（9）、计数原理（10）|多选项区分思维层次（9、10）| |填空|3/15|条件概率（12）、导数最值（13）|分层设问（14单调性与零点）| |解答|5/77|二项式定理（15）、概率分布（16）、导数应用（17、19）|开放条件选择（15）、实际问题建模（16）|

2026学年春学期期中试卷 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则正整数x的值为（ ▲ ） A．2 B．8 C．2或86 D．2或10 2．下列曲线中，存在与轴平行的切线的是（ ▲ ） A． B． C． D． 3．重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ▲ ） A．35 B．40 C．50 D．70 4．的展开式中含的项的系数是（ ▲ ） A．30 B．32 C．34 D．36 5．如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为（ ▲ ） A．530 B．502 C．503 D．505 6．已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ▲ ） A． B． C． D． 7．某校期中考试要将教室按照六行五列进行布置，其中一个特殊考场需要在最后加上一个座位，如图所示．现将甲、乙等31位考生安排在该考场，则甲与乙既不前后相邻，也不左右相邻的概率为（ ▲ ） A． B． C． D． 8．对任意 ，若不等式恒成立，则的取值范围为（ ▲ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9．已知，为两个随机事件，，分别表示，的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ▲ ） A．若，则 B．若，则 C．若，相互独立，则 D．若，则 10．下列说法正确的是（ ▲ ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 C．6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法 D．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 11．已知函数，下列结论正确的是（ ▲ ） A．当时，的图像关于y轴对称 B．当时，的图像关于点中心对称 C．，使得为上的增函数 D．当时，若在上单调递增，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．袋子中有8个大小相同的小球，其中5个红球，3个蓝球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到蓝球的概率是______. 13．设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为________. 14．已知函数，则函数的单调增区间为_________；若函数，在定义域内恰有三个不同的零点，则实数的取值范围_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题. 已知（n∈N*），___________ (1)求的值： (2)求的值. ▲ ▲ ▲ 16．一个盒子中有个大小重量相同的小球，其中个白球，个黑球，甲同学从盒子中分次随机抽取，每次抽取个球. (1)若每次抽出的球放回，求恰有次抽取到黑球的概率； (2)若每次抽出的球不放回. ①记抽取到的黑球个数为随机变量，求的分布列和数学期望； ②在抽取到个黑球与个白球的前提下，求第次抽到黑球的概率. ▲ ▲ ▲ 17．已知函数 (1)求的单调区间和极值； (2)若在单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． ▲ ▲ ▲ 18．已知函数，其中． （1）若，，求的值； （2）若，，求(，1，2，3，…，8)的最大值； （3）若，求证：． ▲ ▲ ▲ 19．已知， (1)若，讨论函数的单调性； (2)已知，判断函数的零点个数． 注： ▲ ▲ ▲ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年春学期期中试卷 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C B B C B ABD ABD 题号 11 答案 BCD 1．C 【解析】利用组合数的性质即可求解. 【详解】, 或， 或. 故选：C. 【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题. 2．D 【分析】原题条件等价于导函数有零点，且对应的切点不在轴上，逐一求导验算即可得解. 【详解】原题条件等价于导函数有零点，且对应的切点不在轴上， 对于A，无零点，故A错误； 对于B，有唯一的零点，此时对应的切点为在轴上，故B错误； 对于C，无零点，故C错误； 对于D，显然有零点，比如即满足条件，此时对应的切点为不在轴上，故D正确. 故选：D. 3．C 【解析】6名学生分配到两所敬老院，每所敬老院至少2人，则对6名学生进行分组分配即可 【详解】解：6名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组2人另一组4人，或每组3人， 所以不同的分配方案为, 故选：C 4．C 【分析】因为，根据二项式定理分析求解. 【详解】因为， 且展开式的通项为， 所以展开式中含的项的系数为. 故选：C. 5．B 【解析】根据题意，分别得到“上升”的正整数包含：两位数有个，三位数有个，，九位数有个，再由组合数的性质，即可求出结果. 【详解】由题意，“上升”的正整数包含：两位数有个，三位数有个，，九位数有个， 则所有“上升”的正整数的个数为 ， 故选：B. 6．B 【分析】令并求导，结合题意可得在上单调递减， 从而，进而得出答案. 【详解】令， ， 因为， 所以， 所以在上单调递减， 又， 所以， 解得 所以. 故选：B 7．C 【分析】计算总基本事件数与甲乙相邻的事件数，再用对立事件求解概率. 【详解】总座位数为31个，甲乙两人随机就座的总排列数为 . 甲乙相邻分两类： ①左右相邻：每行有4对左右相邻的座位，共6行，所以有对， 所以甲乙两人在这些座位上左右相邻的坐法有种； ②前后相邻：前4列每列有5对前后相邻的座位，共对， 第5列有6对前后相邻的座位（包括座位30和31），共6对， 所以共有对， 所以甲乙两人在这些座位上前后相邻的坐法有种. 所以甲乙相邻的概率为： 因此，甲乙既不前后相邻也不左右相邻的概率为： . 8．B 【分析】将变形为，设，利用导数求得，，则，所以恒成立，构造函数，利用导数求得其最小值，即可求得答案. 【详解】对任意 ，若不等式恒成立, 即，即， 设，则， 当时，，在时单调递减， 当时，，在时单调递增， 故当时，取得极小值也是最小值，即， 令，则，所以恒成立， 设, 故是单调递增函数，故， 所以 ，又因为， 所以的取值范围为， 故选：B 【点睛】本题考查了不等式的恒成立成立问题，解答时要注意对不等式进行恰当的变式，从而分离参数，构造新函数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题解决. 9．ABD 【分析】根据事件的包含关系，结合互斥事件的概率公式，可判断A、B的正误；根据独立事件的概率公式，可判断C的正误；根据全概率公式及条件概率公式，可判断D的正误. 【详解】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得A、B互斥， 所以，故B正确； 选项C：若，相互独立，则 所以，故C错误； 选项D：因为，所以， 则，故D正确. 10．ABD 【详解】对于A，由于每封信都有3种投法，则5封信有种投法，故A正确； 对于B，从10人中任选4人有种，若4人全是男生有种， 若4人全是女生有1种，所以共有种选法，故B正确； 对于C，先选2本有种，从余下的书再选2本有种，进而分给甲、乙，余下的2本分给丙、丁有， 所以共有种，故C错误； 对于D，将4个不同的小球分成两组有种分组方法， 再将这两组分配给4个盒子中的两个有种不同的分配方法，故D正确. 11．BCD 【分析】判断奇偶性后可判断A，由计算可判断B，利用可判断C，求出，由得的表达式，求得最小值判断D． 【详解】时，，，是奇函数，A错； 时，，， 所以的图象关于点对称，B正确； ，， 当时，恒成立，在上递增，C正确； ，， ，所以有两个不等的实根，设，在或时，，时，，即在上单调递增， ，， ， 所以时，取得最小值，即取得最小值，D正确． 故选：BCD． 12． 【分析】根据条件概率公式及古典概型计算即可. 【详解】在第1次摸到红球的条件下，袋子中有7个大小相同的小球，其中4个红球，3个蓝球， 则第2次摸到蓝球的概率是. 故答案为：. 13． 【分析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值. 【详解】令，即，解得或. 由已知，，所以，代入曲线方程求得，故切点为， 斜率为的直线方程为， 将两条平行直线的方程化为一般式得， 故两平行直线的距离为，所以的最小值为. 14． 【分析】求出函数的定义域，利用导数与函数单调性的关系即可求得函数的增区间； 对进行变形，得到，利用导数分析函数（且）的单调性与极值，数形结合判断直线与函数的图象有三个不同的交点时的取值范围即可. 【详解】已知，定义域为，则. 令，因为，，所以，解得. 所以函数的单调增区间为. ，定义域为. 令，因为不是方程的解，所以. 令（且），则. 令，则，解得，列表如下： 0 0 增 增 极大值 减 减 极小值 增 所以，极大值为，极小值为. 作出函数的图象如下： 由图可知，当时，函数与函数的图象有三个不同的交点， 因此实数的取值范围为. 15．(1)-1 (2)16 【分析】(1)根据选①，②，③解得都有，所以有， 令，得，再令，得，于是可得； (2)由(1)可得，所以有，两边分别求导得，再令即可得答案. 【详解】（1）解：若选①： 因为只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式中共有9项，即，得， 若选②： 因为第4项与第6项的二项式系数相等， 所以， 若选③： 因为奇数项的二项式系数的和为128， 所以，解得. 因为， 令，则有， 即有， 令，得， 所以； 综上所述：； （2）由(1)可知：无论选①，②，③都有， ， 两边求导得， 令， 则有， 所以. 16．(1) (2)①分布列见解析，数学期望；② 【分析】（1）根据独立重复试验概率问题的求解方法可求得结果； （2）①首先确定所有可能的取值，根据概率乘法公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望； ②根据概率乘法公式可求得所需概率，由条件概率公式可求得结果. 【详解】（1）若每次抽出的球放回，则每次抽取到黑球的概率为， 则随机抽取次，恰有次抽取到黑球的概率. （2）①由题意知：所有可能的取值为， ； ； ； 的分布列为： 数学期望. ②记事件为“抽取到个黑球与个白球”，事件为“第次抽到黑球”， 则事件为“第次和第次抽到白球，第次抽到黑球”； ，，， 即在抽取到个黑球与个白球的前提下，第次抽到黑球的概率为. 17．(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导分析单调性，极值，即可求解. （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【详解】（1），， 令，解得， 当时，，当时，， 所以单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值. （2），， 则， 因为在单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即， 设，， 所以在上单调递增， 所以， 所以，故的取值范围为. （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 由（1）知在上单调递增， 所以当时，， ，， ， 当时，，单调递减， ， ， ， 的取值范围为. 【点睛】方法点睛：不等式的恒成立、存在性问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，， （1）若，有成立，则； （2）若，有成立，则； （3）若，有成立，则. 18．（1）（2）1792（3）见解析 【分析】（1）令和，两式相加即得解； （2）先求出，设为中的最大值，则解不等式组即得解； （3）先得到，再利用二项式定理证明. 【详解】（1），时， ， 令得， 令得， 两式相加可得． （2）， ． 不妨设为中的最大值，则或6， 中最大值为． （3）若，， ． 因为， 所以． ． 故得证. 【点睛】本题主要考查二项式定理求展开式的系数和差，求展开式系数的最大值，考查组合数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19．(1)函数在上单调递增； (2) 【分析】(1)根据求导公式的运算法则可得，利用二次求导研究函数的单调性即可得出结果； (2)利用分类讨论的思想方法和三次求导分别研究函数当、时的单调性，结合零点的存在性定理即可得出结果. 【详解】（1）当时，， 则， 设，则， 令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以函数在上单调递增； （2）函数的定义域为，则， 设，则， 令，则， 当时，，单调递增，且，所以， 即，则在上单调递增，且，所以， 即，则在上单调递增，且， ， 由零点的存在性定理知，此时函数在上有1个零点； 当时，， 令，解得， 则当时，故单调递减， 当时，故单调递增， 且， 所以存在，使得， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，得，， 由零点的存在性定理知，此时函数在上有1个零点. 综上，当时，在有1个零点. 【点睛】(1)研究函数零点问题，要通过数的计算(函数性质、特殊点的函数值等)和形的辅助，得出函数零点的可能情况；(2)函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究，要抓住函数在不同零点处函数值均为零，建立不同零点之间的关系，结合零点的存在性定理，把多元问题转化为一元问题，再使用一元函数的方法进行研究． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $