20.1 勾股定理及其应用 同步练习 2025-2026学年新人教版数学 八年级下册

勾股定理及其应用 一、单选题 1．（25-26八年级下·河南开封·月考）下列各组数是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股数的条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、1.5和2.5不是正整数，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 2．（25-26八年级下·西藏·月考）已知点的坐标为，则点到原点的距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点到原点的距离计算，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点到原点的距离可根据勾股定理得， ∵，即， ∴代入得． 3．（25-26八年级下·福建福州·月考）在中，，，，的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 4．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为5和11，则的面积为（   ） A．4 B．16 C．22 D．55 【答案】B 【分析】根据“”可得到，由勾股定理可得到b的面积的面积的面积． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴b的面积的面积的面积． 5．（25-26八年级下·四川德阳·月考）如图，有一个圆柱，它的高为12，底面周长为18，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，需要爬行的最短路程是（    ） A．10 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】画出圆柱侧面展开图，根据“两点之间，线段最短”，线段长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程，求出的长，根据勾股定理即可求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，长方形为圆柱的侧面展开图，B为边中点，根据“两点之间，线段最短”可知，线段的长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程． 由题意得， 在中，根据勾股定理得， ∴需要爬行的最短路程是15． 6．（25-26八年级下·山西阳泉·月考）中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年的历史.勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学中证明方法较多的定理之一．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简后判断即可． 【详解】解：A、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，整理可得，故不符合题意； B、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，展示了完全平方公式的几何意义，故符合题意； C、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，整理可得，故不符合题意； D、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，整理可得，故不符合题意． 7．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，点A，B，C恰好在格点上，求中边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用割补法求出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴中边上的高为． 8．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为折叠后点与点重合，可得．设的长为，那么．在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵折叠后点与点重合， ∴． 设， ∵， ∴ ， ∴． 在中，，， 根据勾股定理，代入得： ， 解得 ， ∴的长为． 二、填空题 9．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，数轴上点表示的实数是___________． 【答案】/ 【分析】根据图得到两直角边长度为1和2，利用勾股定理求出斜边长度，再根据点在负半轴即可求出结果． 【详解】解：由图可知，两直角边长度为1和2， ∴斜边长度为：， ∵点在负半轴， ∴数轴上点表示的实数是． 10．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，一只昆虫要从边长为的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是______． 【答案】 【分析】把正方体侧面展开图，根据两点之间线段最短，画出昆虫沿盒子表面爬行的最短路径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：正方体侧面展开图如图所示，线段即为昆虫沿盒子表面爬行的最短路程， 根据勾股定理得，， ∴昆虫沿盒子表面爬行的最短路程是． 11．（25-26八年级下·广东汕头·月考）有两棵树，一棵高7米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞___________米． 【答案】 【分析】设大树高为，小树高为，过C点作于点E，连接，可证明，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作于点E，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴ 在中，由勾股定理得： ， ∴小鸟至少飞行． 12．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 三、解答题 13．（25-26八年级下·河北唐山·月考）如图，某物流公司仓库内有一座高的货架，货架顶部安装了一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？ 【答案】叉车向货架方向行驶米后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点 【分析】过点作交于点，在根据勾股定理求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求出x即可． 【详解】解：过点作交于点， 由题意得， 在中， ， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， 叉车向货架方向行驶米后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． 14．（25-26八年级下·上海松江·月考）已知，四边形为长方形，，，点E由点D向运动，点F由点D向运动．将沿BF折叠，点C恰好落在点E处时，求此时的长； 【答案】 【分析】根据折叠可得，在中利用勾股定理列方程求出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠知，，， 四边形为长方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， ，解得， ， 在中，由勾股定理得：． 15．（25-26八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【答案】(1) (2)不会受到此次台风的影响，见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求出，再与台风受影响区域半径比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，在中，，，， ， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C不会受到台风影响，理由如下： 在中，， ， ， 解得：， ∵ ∴海港C不会受到此次台风的影响． 16．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，利用勾股定理可得； （2）利用勾股定理可以求出，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】（1）解：， 理由如下，， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ， ， 中，， ； （2）解：中，， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理及其应用 一、单选题 1．（25-26八年级下·河南开封·月考）下列各组数是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·西藏·月考）已知点的坐标为，则点到原点的距离是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建福州·月考）在中，，，，的长为（   ） A． B．2 C． D． 4．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为5和11，则的面积为（   ） A．4 B．16 C．22 D．55 5．（25-26八年级下·四川德阳·月考）如图，有一个圆柱，它的高为12，底面周长为18，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，需要爬行的最短路程是（    ） A．10 B．14 C．15 D．16 6．（25-26八年级下·山西阳泉·月考）中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年的历史.勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学中证明方法较多的定理之一．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，点A，B，C恰好在格点上，求中边上的高为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，数轴上点表示的实数是___________． 10．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，一只昆虫要从边长为的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是______． 11．（25-26八年级下·广东汕头·月考）有两棵树，一棵高7米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞___________米． 12．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 三、解答题 13．（25-26八年级下·河北唐山·月考）如图，某物流公司仓库内有一座高的货架，货架顶部安装了一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？ 14．（25-26八年级下·上海松江·月考）已知，四边形为长方形，，，点E由点D向运动，点F由点D向运动．将沿BF折叠，点C恰好落在点E处时，求此时的长； 15．（25-26八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 16．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $