专题10.5 分式方程（知识梳理+10个考点讲练+真题演练+分层训练 共55题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.5 分式方程 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共55题） 解析版 【第十章 分式】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 分式方程的定义 2 知识点二 分式方程的解 2 知识点三 解分式方程 2 知识点四 换元法解分式方程 2 知识点五 分式方程的增根 2 知识点六 由实际问题抽象出分式方程 3 知识点七 分式方程的应用 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 分式方程的定义 3 考点讲练二 解分式方程（化为一元一次) 5 考点讲练三 根据分式方程解的情况求值 7 考点讲练四 分式方程无解问题 9 考点讲练五 列分式方程 11 考点讲练六 分式方程的行程问题 12 考点讲练七 分式方程的工程问题 14 考点讲练八 分式方程的经济问题 15 考点讲练九 分式方程和差倍分问题 19 考点讲练十 分式方程的其它实际问题 22 中考真题 实战演练 26 难度分层 闯关训练 29 【基础夯实 能力提升】 29 【创新拓展 拔尖冲刺】 35 知识点一 分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 知识点二 分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 知识点三 解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点四 换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 知识点五 分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点六 由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点七 分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、 要掌握常见问题中的基本关系，如： 行程问题：速度＝路程÷时间； 工作量问题：工作效率＝工作量÷工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 考点讲练一 分式方程的定义 【典例分析】（24-25八年级下·四川内江·期中）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【思路引导】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴方程有两个解，分别为， 故答案为：1，6； （2）解：， 方程变形得：， 由题中的结论得：有两个解，分别为 ，2， ∵与互为倒数， ∴ ， 故答案为：，2； （3）解：， 方程整理得， 得或，且， 可得，． ∴． 【变式训练1】关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【思路引导】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【规范解答】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解是负数， ∴，且， ∴，且． 故选：D． 【考点剖析】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 【变式训练2】下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】利用分式方程的定义，分式方程的解，以及分式方程根的判断即可解决． 【规范解答】①是分式方程，故正确； ②时，，即分母为0，故不是分式方程的解 ，错误； ③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘，故正确； ④解分式方程时不一定会出现增根，错误． 所以正确的有2个 故选：B 【考点剖析】本题考查了分式方程的定义、分式方程根的检验、分式方程的增根等知识． 考点讲练二 解分式方程（化为一元一次) 【典例分析】（25-26八年级下·浙江嘉兴·月考）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方________5元（填“涨价”或“优惠”），结果比上次________买了10个（填“多”或“少”）． 【答案】 优惠 少 【思路引导】由x表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价，总价，数量之间的关系，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【规范解答】解：∵设第一次购买了x个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次购买魔方的数量比第一次少10个， ∵表示第一次购买魔方时，魔方的单价，表示第二次购买魔方时，魔方的单价，且， ∴第二次购买魔方的单价比第一次购买魔方的单价少5元， ∴第二次购买魔方时，每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南周口·月考）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【思路引导】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1进行计算，再检验即可； （2）根据去分母、去括号、合并同类项进行计算，再检验即可． 【规范解答】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，， 检验：当时，， 是原方程的解； （2）解：去分母，得， 去括号，得，即， 合并同类项，得， 解得， 检验：当时，， 原方程无解． 【变式训练2】若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D． 【答案】A 【思路引导】先解分式方程得到x关于m的表达式，再根据解为正实数、分式分母不为零列出不等式，求解即可得到m的范围． 【规范解答】解：， 方程两边同乘得： 整理得： 解得： ∵分式方程分母不能为0， ∴，即，得， ∵方程的解为正实数， ∴，即，得， ∴实数的取值范围是且． 考点讲练三 根据分式方程解的情况求值 【典例分析】若数 使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数的和为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先求解分式方程，根据解为正数且分母不为0得到a的取值范围，再解不等式组，根据已知解集确定a的另一范围，找出范围内所有整数，求和即可得到结果. 【规范解答】解：解分式方程 方程两边同乘得 整理得， ∵分式方程的解为正数，且分母不能为0 ∴且 解得且 解不等式组 解第一个不等式：两边同乘6得 整理得，即； 解第二个不等式得； ∵不等式组的解集为，根据“同小取小”可得 综上所述，的取值范围是且； 符合条件的整数为：， 求和得：. 【变式训练1】若关于x的方程的解为非正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【思路引导】先将分式方程化为整式方程，用含的代数式表示出，根据解为非正数建立不等式，再结合分式方程分母不为零排除使分式无意义的值，即可得到的取值范围． 【规范解答】解：， 方程两边同乘最简公分母（），得， 移项整理得， ∵方程的解为非正数， ∴，即， 解得，， 又∵分式方程中分母不能为0，分式才有意义， ∴，即， 解得，， 综上，的取值范围是且． 【变式训练2】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【思路引导】先按解分式方程的步骤求出x关于a的表达式，再根据“解是非负数”和“分式分母不为0”两个条件列关于a的不等式组求解即可． 【规范解答】解：分式方程可化为：， ， ， ∵分式方程的解是非负数，且分母不能为0， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴的取值范围为且，即选项B符合题意． 考点讲练四 分式方程无解问题 【典例分析】已知关于x的分式方程无解，则k的值为（   ） A．0 B．0或-1 C． D．0或 【答案】D 【思路引导】本题考查分式方程无解求参数的值．分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解使原方程分母为0（即为增根），分情况讨论求解即可． 【规范解答】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵该分式方程无解， ∴分两种情况讨论： 情况1：当时， 解得，此时方程无解，符合题意； 情况2：当，即时， 解得， 当或时，原分式方程有增根，方程无解， 即或时，符合题意， 当， 去分母得：， 移项得：， 等式不成立，此种情况无解； 当时，即， 解得，符合题意； 综上，的值为或． 故选：D． 【变式训练1】（25-26八年级下·山西临汾·月考）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）将代入分式方程，再解方程求出的值，最后检验即可； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，用表示出整式方程的解，由分式方程有增根得出，再解关于的一元一次方程，求出的值即可． 【规范解答】（1）解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， 去分母，得， 解得：． ∵该分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴当时，该分式方程有增根． 【变式训练2】已知关于的方程无解，则的值为________． 【答案】1或/或1 【思路引导】先将分式方程去分母，化为整式方程，再进行分类讨论：①当整式方程无解时，②当分式方程有增根时，即可求解． 【规范解答】解： 当整式方程无解时：即，解得：； 当分式方程有增根时：增根为，即，解得． 考点讲练五 列分式方程 【典例分析】（25-26八年级下·山西临汾·月考）某电子品牌在第一季度共生产80万部本品牌的和两款手机，已知手机的下载速度比手机每秒多，若下载一部大小为的高清视频，手机比手机快．设手机的下载速度为，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解：设手机的下载速度为，则手机的下载速度为， 根据题意可知：． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南周口·月考）某工程队修一条公路，原计划每天修米，实际每天比原计划多修米，原计划修完公路所需时间是实际的倍，所列方程正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据题意，假设总工程量为单位“1”，根据题意列出方程即可得出结果． 【规范解答】解：假设总工程量为单位“1”， 原计划需要时间为， 实际需要时间为， 故可得方程． 【变式训练2】甲乙两地相距千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了小时．设原来的平均速度为千米/时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据“原时间减去现时间等于时间差”的等量关系，分别用路程除以对应速度表示出原时间和现时间，再列出方程． 【规范解答】解：原来的平均速度为千米/时，则原行驶时间为小时， 高速公路开通后，平均速度是原来的倍，则速度为千米/时，行驶时间为小时， 根据题意可得． 考点讲练六 分式方程的行程问题 【典例分析】句容茅山，又名句曲山、地肺山，位于句容市东南，是神圣的革命圣地、全国红色旅游经典景区，素有“道教第一福地，第八洞天”称号，景区风光秀丽．从景区入口到大茅峰山顶的九霄万福宫（顶宫）主要有两条路线，一条是沿上山公路（汽车道）大约6千米行程的路线，一条是从景区入口步行一段距离沿石级（非常道）而上的大约3千米的爬山路线（如图所示）．小明和小红相约实地验证两人沿不同路线到达时间的差距，小明选择了6千米的路线，小红选择了3千米的路线，两人同时从入口出发，已知小明的速度是小红速度的1.2倍，结果小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫）．求小红爬山的速度． 【答案】小红爬山的速度为3千米/小时 【思路引导】小红爬山的速度为x千米/小时，则小明爬山的速度为1.2x千米/小时，由题意他们选择的路线，小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫），列出分式方程，解方程即可． 【规范解答】解：设小红爬山的速度为x千米/小时，则小明爬山的速度为1.2x千米/小时． 根据题意得 解得： 经检验是分式方程的解． 答：小红爬山的速度为3千米/小时． 【变式训练1】甲、乙两城市相距120千米，甲城市急需物资，乙城市紧急支援一货车物资，已知货车行驶速度是原来速度的1.5倍，从乙城市到甲城市的时间缩短了半小时，求货车提速后的速度． 【答案】120千米/时 【思路引导】设货车原来的速度为x千米/时，根据题意列分式方程，然后解方程即可解答． 【规范解答】解：设货车原来的速度为x千米/时，则提速后的速度是千米/时． 根据题意，得 解得 经检验，是原方程的解， （千米/时）， 答：货车提速后的速度为120千米/时． 【变式训练2】甲、乙两辆汽车分别从A、B两城同时沿高速公路驶向C城．已知A、C两城的路程为672千米，B、C两城的路程为400千米，甲车的速度是乙车的1.2倍，结果乙车比甲车提前2小时到达C城．求乙车的速度． 【答案】乙车的速度为80千米/时 【思路引导】设乙车的速度为千米/小时，则甲车速度为千米/小时，根据“乙车比甲车提前2小时到达C城”列分式方程即可求解 【规范解答】解：设乙车的速度为千米/小时，则甲车速度为千米/小时． 根据题意列方程：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙车的速度为80千米/小时． 考点讲练七 分式方程的工程问题 【典例分析】（25-26八年级下·山东济南·月考）某工程甲单独做天完成，乙单独做比甲慢3天完成，现由甲、乙合作5天后，余下的工程由甲单独做3天才能全部完成，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了分式方程的实际应用（工程问题），解题的关键是明确工作效率、工作时间与工作量的关系，根据总工作量为1列方程． 先确定甲、乙的工作效率，再计算甲、乙合作5天的工作量与甲单独做3天的工作量，根据总工作量为1列方程，逐一验证选项． 【规范解答】解：由题意，甲单独做天完成，故甲的工作效率为； 乙单独做比甲慢3天，故乙的工作时间为天，工作效率为． 甲、乙合作5天的工作量为，甲单独做3天的工作量为，总工作量为1，因此方程为． 故A、C、D选项错误，B选项正确． 【变式训练1】（25-26八年级下·吉林长春·月考）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致．两人各输入3120个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，乙操作员每小时输入多少个数据？ 【答案】乙操作员每小时输入780个数据 【思路引导】设乙每小时输入x个数据，则甲每小时输入个数据，根据“甲比乙少用2小时输完”列出分式方程求解． 【规范解答】解：设乙每小时输入x个数据，则甲每小时输入个数据， 根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解． 答：乙操作员每小时输入780个数据． 【变式训练2】（25-26八年级下·江苏南京·月考）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前40天完成了这一任务．如果设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，那么可列方程为：______． 【答案】 【思路引导】根据工作效率的关系求出原计划每天绿化的面积，再根据原计划工作时间减去实际工作时间等于提前的天数列方程即可． 【规范解答】解：由题意知，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了， 原计划每天绿化的面积为万平方米， 原计划完成任务所需天数为， 实际完成任务所需天数为， 可列方程：． 考点讲练八 分式方程的经济问题 【典例分析】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）河南历史文化底蕴深厚，某文创商场计划购进一批以“牡丹花贴”和“汴绣书签”为代表的特色文创产品，已知一个“牡丹花贴”的进价与一个“汴绣书签”的进价的和为40元，用1200元购进“牡丹花贴”的个数与用2000元购进“汴绣书签”的个数相同． (1)“牡丹花贴”和“汴绣书签”每个的进价分别是多少元？ (2)商场计划购进“牡丹花贴”和“汴绣书签”共50个，其中“牡丹花贴”的个数不多于24个．若商场决定此次进货的总资金不超过1050元，求商场共有几种进货方案； (3)在（2）的条件下，若每个“牡丹花贴”的售价为40元，每个“汴绣书签”的售价为55元，商场为迎接“中原文化旅游节”，推出“买一赠一”惠民活动：顾客从这两种文创产品中任购一个，就可以从这两种产品中任选一个作为赠品，若这批产品在活动期间全部售出后恰好获利235元，求商场的进货方案． 【答案】(1)“牡丹花贴”每个的进价是15元，则“汴绣书签”每个的进价是25元 (2)商场共有5种进货方案：方案1，购进“牡丹花贴”20个，购进“汴绣书签”30个；方案2，购进“牡丹花贴”21个，购进“汴绣书签”29个；方案3，购进“牡丹花贴”22个，购进“汴绣书签”28个；方案4，购进“牡丹花贴”23个，购进“汴绣书签”27个；方案5，购进“牡丹花贴”24个，购进“汴绣书签”26个； (3)商场的进货方案是：购进“牡丹花贴”20个，购进“汴绣书签”30个或购进“牡丹花贴”23个，购进“汴绣书签”27个． 【思路引导】（1）设“牡丹花贴”每个的进价是x元，则“汴绣书签”每个的进价是元，根据用1200元购进“牡丹花贴”的个数与用2000元购进“汴绣书签”的个数相同建立方程求解即可； （2）设购进“牡丹花贴”m个，则购进“汴绣书签”个，根据“牡丹花贴”的个数不多于24个．若商场决定此次进货的总资金不超过1050元建立不等式组求解即可； （3）设售卖的这些文创产品中有个售价是40元，则有个售价是55元，根据（2）和利润为235元推出a关于m的关系式，结合a是整数和m的值确定m的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设“牡丹花贴”每个的进价是x元，则“汴绣书签”每个的进价是元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“牡丹花贴”每个的进价是15元，则“汴绣书签”每个的进价是25元； （2）解：设购进“牡丹花贴”m个，则购进“汴绣书签”个， 根据题意得， 解得， ∵m为整数， ∴或21或22或23或24， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：商场共有5种进货方案：方案1，购进“牡丹花贴”20个，购进“汴绣书签”30个；方案2，购进“牡丹花贴”21个，购进“汴绣书签”29个；方案3，购进“牡丹花贴”22个，购进“汴绣书签”28个；方案4，购进“牡丹花贴”23个，购进“汴绣书签”27个；方案5，购进“牡丹花贴”24个，购进“汴绣书签”26个； （3）解：∵商店一共购进“牡丹花贴”和“汴绣书签”共50个， ∴进行“买一赠一”惠民活动时，只对其中的25个文创产品进行售卖， 设售卖的这些文创产品中有个售价是40元，则有个售价是55元， 由题意得，， 整理得， 由（2）知或21或22或23或24，且a为整数， ∴或 当时，此时；当时，此时； 答；商场的进货方案是：购进“牡丹花贴”20个，购进“汴绣书签”30个或购进“牡丹花贴”23个，购进“汴绣书签”27个． 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多20元． (1)求一件，型商品的进价分别为多少元？ (2)若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为170元/件，型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 【答案】(1)一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元 (2)该商品获得的最小利润为5500元 【思路引导】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元，根据题意，得，解方程即可． （2）设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元． （2）解：设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元，根据题意，得， 由，得w随a的增大而减小， 由得， 故当时，w取得最小值，且最小值为， 故该商品获得的最小利润为5500元． 【变式训练2】（25-26八年级下·河南南阳·月考）2026年春晚舞台上，人形机器人表演让人叹为观止．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售，调查发现，甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍． (1)求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ (2)该公司打算购进甲、乙两种机器人共30个（两种都要买），且总经费预算不超过1900万元．若购进甲种机器人个，购买经费为万元，求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 【答案】(1)购买一个甲种机器人需60万元，一个乙种机器人需65万元 (2)（且为整数） 【思路引导】（1）设购买一个乙种机器人需万元，则购买一个甲种机器人需万元，再根据“甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍”列分式方程并求解即可； （2）设该公司购进甲种机器人个，则购进乙种机器人个，根据“总经费预算不超过1900万元”进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设购买一个乙种机器人需万元，则购买一个甲种机器人需万元． 根据题意得，， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ， 答：购买一个甲种机器人需60万元，一个乙种机器人需65万元； （2）解：设该公司购进甲种机器人个，则购进乙种机器人个， 根据题意得，． 又， 解得， 为整数且小于30， ． （且为整数）． 考点讲练九 分式方程和差倍分问题 【典例分析】（25-26八年级上·陕西延安·期末）2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件． (1)求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ (2)若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？ 【答案】(1)每件A款人形机器人售价为20万元.每件B款人形机器人售价为18万元 (2)最少预约销售了A款人形机器人10件 【思路引导】（1）设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，再根据相同销售额下销量差为5件列分式方程求解即可； （2）设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据总销售额的要求列一元一次不等式，求解得到最小销售数量． 【规范解答】（1）解：设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，根据题意得 ， 解得 ， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 则， 答：每件A款人形机器人售价为20万元，每件B款人形机器人售价为18万元； （2）解：设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据题意得 ， 解得， 答：最少预约销售了A款人形机器人10件． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两公司全体员工踊跃参与某捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： (1)甲、乙两公司分别有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱元，B种物资每箱元，若购买B种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送） 【答案】(1)甲公司有人，乙公司有人 (2)有两种购买方案：购买8箱A种物资、箱B种物资或购买4箱A种物资，箱B种物资 【思路引导】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲公司有x人，则乙公司有人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程组，再结合且m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【规范解答】（1）解：设乙公司有人，则甲公司有人． 由题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲公司有人，乙公司有人． （2）（2）设购买A种物资箱，购买B种物资箱， 由题意，得， 整理，得． 又，且为正整数， ∴，． 答：有两种购买方案：购买8箱A种物资、箱B种物资或购买4箱A种物资，箱B种物资． 【变式训练2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：x元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购政府预备支出不超过60000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； (2)政府最少需要购买单枪新能源充电桩6个． 【思路引导】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购政府预备支出不超过60000元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【规范解答】（1）解：根据题意可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个）， 答：单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； （2）解∶单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了， 则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了， 则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 总花费为元， ∵此次加购政府预备支出不超过60000元， ∴， 解得， ∴a的最小值为6， 答：政府最少需要购买单枪新能源充电桩6个． 考点讲练十 分式方程的其它实际问题 【典例分析】（25-26八年级下·山西临汾·月考）现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻满足．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为） (1)若，，则 ． (2) ．（用含，的式子表示） (3)若，的电阻值是的电阻值的2倍，求，的电阻值． 【答案】(1) (2) (3)的电阻值是，的电阻值是 【思路引导】（1）根据题干中的公式计算即可得出结果； （2）根据题干中的公式计算即可得出结果； （3）根据题意得，计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：由题意可得：若，，则， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解， 即的电阻值是，的电阻值是． 【变式训练1】（25-26八年级上·江西·期末）如图①，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收1号”小麦的试验田单位面积产量为________，“丰收2号”小麦的试验田单位面积产量为________，________小麦的试验田单位面积产量高； (2)在试验田四周修建隔离网（图②中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 【答案】(1)，，“丰收2号” (2)12 【思路引导】本题主要考查了列代数式，解分式方程解决实际问题，解题的关键找准等量关系列出方程． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据单价列出分式方程求解即可． 【规范解答】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田单位面积产量为， “丰收2号”小麦的试验田单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴“丰收2号”小麦的试验田单位面积产量高， 故答案为：，，“丰收2号”； （2）解：“丰收1号”小麦试验田隔离网长度为， “丰收2号”小麦试验田隔离网长度为， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴a的值是12． 【变式训练2】某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 【采购清单】 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m ① 150 长方形木板 ② 390 (1)请直接写出清单中①，②处的内容（用含的代数式表示），并求的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ 【答案】(1)；；10 (2)制作竖式木箱3个，横式木箱6个，恰好将木板用完 【思路引导】本题考查了分式方程和二元一次方程组的应用： （1）根据“数量总价单价”分别表示出正方形木板和长方形木板的数量，再结合两者数量关系列出分式方程求解； （2）先根据第（1）问算出正方形木板块、长方形木板块，再根据两种木箱的用料，列出方程组求解，就能得到各自的制作数量． 【规范解答】（1）解：①处为：；②处为：； 由题意得：， 解得：， 经检验可知：是原分式方程的解， 的值为10 （2）解：由（1）可知，； 即正方形木板有15块，长方形木板共有30块， 设制作竖式木箱个，横式木箱个， 由题意得：， 解得：， 答：制作竖式木箱3个，横式木箱6个，恰好将木板用完． 【真题演练1】（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【规范解答】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 【真题演练2】（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【思路引导】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【规范解答】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 【真题演练3】（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据工作时间差建立方程并求解． 设普通机器人的工作效率为未知数，根据智能机器人效率是其倍表示出智能机器人效率；再根据“装载吨货物的时间差为分钟”建立分式方程，求解后得到智能机器人的效率． 【规范解答】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨． ， 解得， ∴智能机器人每小时装载货物吨． 故选：D． 【真题演练4】（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 【答案】 【思路引导】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【规范解答】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 【真题演练5】（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【思路引导】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【规范解答】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多30件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣500件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为件，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先确定乙每小时的分拣数量，再根据时间相等列出方程即可． 【规范解答】解：设甲型号每小时分拣数量为件，则乙型号每小时分拣数量为件， 由题意得． 2．（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试）分式方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查分式方程的求解，解题思路为将分式方程去分母转化为整式方程，求解后检验得到原方程的解. 【规范解答】解：， 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验：将代入得， ∴是原分式方程的解． 3．（25-26八年级上·广西来宾·期末）下面是小军求解分式方程的过程中存在的错误，请指出他从第几步开始出现错误．（　　） 方程两边都乘，得    第一步 解这个方程得：   第二步 检验：将代入第一步方程，左边=右边     第三步 所以，是原分式方程的解     第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】C 【思路引导】 根据解分式方程的步骤，逐一判断每一步的正误即可． 【规范解答】解：∵第一步方程两边同乘，得到，去分母操作正确， ∴第一步无错误； ∵对整理计算，得，代数运算正确， ∴第二步无错误； ∵分式方程检验需要将所得解代入原方程，判断原方程是否有意义． 当时，原方程分母，原方程无意义，是增根，小军错误地将解代入去分母后的方程检验，因此第三步开始出错． ∴错误从第三步开始． 4.某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【答案】D 【思路引导】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果． 【规范解答】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同， 故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为， ∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元， ∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； ， ， ， ， 解得， ∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个， ∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为个， ∵ 第二次和第三次购买数量相同， ∴ 第三次购买数量也为个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多元， 故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 5．分式方程的解为________． 【答案】 【思路引导】先确定分式方程的最简公分母．将分式方程转化为整式方程求解，求解后检验得到原方程的解． 【规范解答】解：， 两边同乘最简公分母，得： ， ， 整理得：， 解得：， 检验：当时，． 因此原分式方程的解是． 6．小张同学看一本800页的小说，暑假前看了200页，进入暑假后为早日完成，每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成___________页． 【答案】10 【思路引导】设原计划每天完成页，根据总用时32天列出分式方程，求解后舍去不符合实际意义的解，即可得到答案． 【规范解答】解：设原计划每天完成页， 由题意得：， 方程两边同乘，得， 整理得， 解得或， 经检验和都是原方程的解，但不符合实际意义，舍去， 所以小张原计划每天完成10页． 7．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则实数的最小值为___________． 【答案】 1 【思路引导】本题考查分式方程的解，解分式方程得到解，根据解为非负数和分母不为零的条件，确定a的取值范围，进而求出a的最小值。 【规范解答】解：， 解得， ∵解为非负数，得，即； 又， ∴， ∴，即， ∴且， 故a的最小值为1， 故答案为：1． 8．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【思路引导】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项求解，并验根即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项求解，并验根即可． 【规范解答】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并，得， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并，得， 解得：， 当时，， 则分式方程无解． 9．某商店第一次用800元购进2B铅笔若干支，第二次又用800元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的，购进数量比第一次少200支． (1)求第一次每支铅笔的进价是多少元？ (2)第一次购买铅笔________支． 【答案】(1)元 (2)1000 【思路引导】（1）设第一次每支铅笔的进价是x元，则第二次每支铅笔是元，根据“第二次购买数量比第一次少200支”列出方程，求解并检验即可； （2）根据“数量＝总价÷单价”计算即可． 【规范解答】（1）解∶设第一次每支铅笔的进价是x元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答∶第一次每支铅笔的进价是元． （2）解∶（支）， 答：第一次购买铅笔1000支． 10．某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运吨，且型机器人每天搬运吨货物与型机器人每天搬运吨货物所需台数相同． (1)每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台型机器人售价万元，每台型机器人售价万元，该公司计划采购，两种型号的机器人共台，必须满足每天搬运的货物不低于吨，设购买型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式，并求出最少购买金额． 【答案】(1)每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨； (2)与的函数关系式为，最少购买金额为万元． 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由题意得，购买型机器人台，则购买型机器人台，则，由题意可得，解得，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【规范解答】（1）解：设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨； （2）解：由题意得，购买型机器人台，则购买型机器人台， ∴， 由题意可得：， 解得：， ∵为非负整数，且，即， ∴且为整数， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，即为（万元）， ∴与的函数关系式为，最少购买金额为万元． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（2026八年级下·四川遂宁·专题练习）对于非零的两个实数a，b，规定，若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据题目给出的新运算规则列出分式方程，解分式方程即可得到x的值． 【规范解答】解：∵规定非零实数a，b满足， ∴， 由题意得， 移项得， 两边同乘最简公分母，得， 展开得， 移项合并得， 解得， 检验：当时，，所以是原方程的解． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）“一骑红尘妃子笑”描述唐玄宗为杨贵妃运送荔枝的场景．通过查阅资料岭南到长安相距里，且荔枝的保鲜时间短，忽略换马、换人的时间，用慢马运送比预定时间晚小时到达，用快马比预定时间早小时到达，已知快马的速度是慢马的倍，求预定的时间．设预定的时间为小时，由题意可列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题为分式方程的实际应用问题，根据速度、路程和时间之间的关系，分别表示出快马与慢马的速度，再结合快马速度是慢马的倍，即可列出对应方程． 【规范解答】解：∵预定时间为小时，慢马比预定时间晚小时到达， ∴慢马行驶时间为小时，慢马速度为， ∵快马比预定时间早小时到达， ∴快马行驶时间为小时，快马速度为， 又∵快马速度是慢马的倍， ∴可得方程． 3．（24-25八年级下·四川资阳·月考）关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．8 C．11 D．15 【答案】A 【思路引导】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解的情况确定参数的取值范围，分式方程的解法， 分式方程的增根问题及根据分式方程的解为整数确定参数的值．先解不等式组，根据有解且至多4个整数解确定a的取值范围，再解分式方程，结合解为整数且不为增根的条件筛选出符合的整数a，最后求和． 【规范解答】解：∵解不等式组， 得，， ∴不等式组解集为， ∵不等式组有解且至多4个整数解， ∴整数解为（至多4个）， ∴ 两边乘2得， ∴ 解分式方程， 解得， ∵分式方程的解为整数且 ∴是9的约数，且，又∵a为整数且， 逐一验证： 当时，，，符合条件， 当时，，，符合条件， 当时，，（增根，舍去）， 当时，，，符合条件， 当时，（不在范围内，舍去）， 当时，，，符合条件， ∴满足条件的整数a为， ∴所有满足条件的整数a的和为， 故选：A． 4．（2026·宁夏银川·一模）分式方程无解，则a的值为________． 【答案】7 【思路引导】将分式方程化为整式方程，分式方程无解说明该解为原分式方程的增根，求出增根后代入整式方程即可求得参数a的值． 【规范解答】解：原分式方程可变形为， 方程两边同乘最简公分母，得， ∵原分式方程无解， ∴，即是原分式方程的增根， 将代入整式方程，得 ， 解得：． 5．若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为____． 【答案】0 【思路引导】根据分式方程的解为正数即可得出且，根据不等式组有解，即可得，找出所有的整数，将其相加即可得出结论． 【规范解答】解：解分式方程，得， ∵分式方程的解为正数， ∴，即， 又， ∴，即， 则且， ∵关于y的不等式组有解， ∴，即， 解得：， 综上，a的取值范围是，且， 则符合题意的整数a的值有、0、1，它们的和为0， 6．若关于x的方程无解，则m的值为______． 【答案】3 【思路引导】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解可知方程存在增根，将增根代入整式方程即可求出的值． 【规范解答】解：将原方程变形，得， 去分母，得， 整理得， 原分式方程无解， 原方程的增根为， 把代入，得，解得． 7．（25-26八年级下·河南周口·月考）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【规范解答】（1）解：方程两边同乘得， ， ， 检验：当时，， 原方程的解为； （2）解：方程两边同乘得， ， ， ， 检验：当时，， 是增根，原方程无解． 8．（25-26八年级下·河南南阳·月考）某文具店为学校采购文具，已知网上每盒A款笔的价格是实体店的倍，用200元在网上购买的A款笔比在实体店购买的少2盒． (1)求实体店每盒A款笔的价格； (2)实体店每盒B款笔的价格是25元．文具店决定在实体店购买A、B两款笔共80盒，且A款笔的盒数不超过B款笔的盒数．实体店为支持校园活动，对A、B两款笔均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱？ 【答案】(1)实体店每盒A款笔的价格为20元 (2)本次购买最少花费1440元 【思路引导】（1）根据“用200元在网上购买的A款笔比在实体店购买的少2盒”列方程求解即可； （2）设购买A款笔a盒（，且a为整数），根据“A款笔的盒数不超过B款笔的盒数”求出a的取值范围；设总费用为w元，列出w关于a的一次函数，然后根据一次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设实体店每盒A款笔的价格为x元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：实体店每盒A款笔的价格为20元； （2）解：设购买A款笔a盒（，且a为整数），则购买B款笔盒， 则， 解得， 又， ∴， 设总费用为w元， 则， ∵， ∴w随a增大而减小， 又， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∴本次购买最少花费1440元． 9．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①___________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于___________． (3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)①；②1 (3)或 【思路引导】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）①由与互为“关联分式”、，得，求出；②将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【规范解答】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； （2）解：①∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； ②当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 【考点剖析】本题以“关联分式”新定义为载体，融合分式加减运算、分式化简求值、分式方程无解的分类讨论，考查代数运算能力与逻辑推理能力，体现分类讨论的核心数学思想． 10．载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． (1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元； (2)①；②购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元． 【思路引导】（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（元），根据同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根； （2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型个，根据总利润两种模型利润之和列出函数解析式； ②再根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值即可． 【规范解答】（1）解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（元），根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， （元）， 答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元； （2）解：①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型个， 则； ②∵， ∴w随着a的增大而增大， ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半， ∴， 解得， 又a是非负整数， ∴当时，w最大，最大值为， 答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.5 分式方程 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共55题） 原卷版 【第十章 分式】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 分式方程的定义 2 知识点二 分式方程的解 2 知识点三 解分式方程 2 知识点四 换元法解分式方程 2 知识点五 分式方程的增根 2 知识点六 由实际问题抽象出分式方程 3 知识点七 分式方程的应用 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 分式方程的定义 3 考点讲练二 解分式方程（化为一元一次) 4 考点讲练三 根据分式方程解的情况求值 5 考点讲练四 分式方程无解问题 5 考点讲练五 列分式方程 5 考点讲练六 分式方程的行程问题 6 考点讲练七 分式方程的工程问题 7 考点讲练八 分式方程的经济问题 8 考点讲练九 分式方程和差倍分问题 9 考点讲练十 分式方程的其它实际问题 11 中考真题 实战演练 12 难度分层 闯关训练 14 【基础夯实 能力提升】 14 【创新拓展 拔尖冲刺】 16 知识点一 分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 知识点二 分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 知识点三 解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点四 换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 知识点五 分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点六 由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点七 分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、 要掌握常见问题中的基本关系，如： 行程问题：速度＝路程÷时间； 工作量问题：工作效率＝工作量÷工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 考点讲练一 分式方程的定义 【典例分析】（24-25八年级下·四川内江·期中）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 【变式训练1】关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【变式训练2】下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练二 解分式方程（化为一元一次) 【典例分析】（25-26八年级下·浙江嘉兴·月考）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方________5元（填“涨价”或“优惠”），结果比上次________买了10个（填“多”或“少”）． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南周口·月考）解分式方程： (1) (2) 【变式训练2】若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D． 考点讲练三 根据分式方程解的情况求值 【典例分析】若数 使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数的和为 （   ） A． B． C． D． 【变式训练1】若关于x的方程的解为非正数，则的取值范围是______． 【变式训练2】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 考点讲练四 分式方程无解问题 【典例分析】已知关于x的分式方程无解，则k的值为（   ） A．0 B．0或-1 C． D．0或 【变式训练1】（25-26八年级下·山西临汾·月考）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【变式训练2】已知关于的方程无解，则的值为________． 考点讲练五 列分式方程 【典例分析】（25-26八年级下·山西临汾·月考）某电子品牌在第一季度共生产80万部本品牌的和两款手机，已知手机的下载速度比手机每秒多，若下载一部大小为的高清视频，手机比手机快．设手机的下载速度为，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南周口·月考）某工程队修一条公路，原计划每天修米，实际每天比原计划多修米，原计划修完公路所需时间是实际的倍，所列方程正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式训练2】甲乙两地相距千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了小时．设原来的平均速度为千米/时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 考点讲练六 分式方程的行程问题 【典例分析】句容茅山，又名句曲山、地肺山，位于句容市东南，是神圣的革命圣地、全国红色旅游经典景区，素有“道教第一福地，第八洞天”称号，景区风光秀丽．从景区入口到大茅峰山顶的九霄万福宫（顶宫）主要有两条路线，一条是沿上山公路（汽车道）大约6千米行程的路线，一条是从景区入口步行一段距离沿石级（非常道）而上的大约3千米的爬山路线（如图所示）．小明和小红相约实地验证两人沿不同路线到达时间的差距，小明选择了6千米的路线，小红选择了3千米的路线，两人同时从入口出发，已知小明的速度是小红速度的1.2倍，结果小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫）．求小红爬山的速度． 【变式训练1】甲、乙两城市相距120千米，甲城市急需物资，乙城市紧急支援一货车物资，已知货车行驶速度是原来速度的1.5倍，从乙城市到甲城市的时间缩短了半小时，求货车提速后的速度． 【变式训练2】甲、乙两辆汽车分别从A、B两城同时沿高速公路驶向C城．已知A、C两城的路程为672千米，B、C两城的路程为400千米，甲车的速度是乙车的1.2倍，结果乙车比甲车提前2小时到达C城．求乙车的速度． 考点讲练七 分式方程的工程问题 【典例分析】（25-26八年级下·山东济南·月考）某工程甲单独做天完成，乙单独做比甲慢3天完成，现由甲、乙合作5天后，余下的工程由甲单独做3天才能全部完成，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级下·吉林长春·月考）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致．两人各输入3120个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，乙操作员每小时输入多少个数据？ 【变式训练2】（25-26八年级下·江苏南京·月考）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前40天完成了这一任务．如果设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，那么可列方程为：______． 考点讲练八 分式方程的经济问题 【典例分析】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）河南历史文化底蕴深厚，某文创商场计划购进一批以“牡丹花贴”和“汴绣书签”为代表的特色文创产品，已知一个“牡丹花贴”的进价与一个“汴绣书签”的进价的和为40元，用1200元购进“牡丹花贴”的个数与用2000元购进“汴绣书签”的个数相同． (1)“牡丹花贴”和“汴绣书签”每个的进价分别是多少元？ (2)商场计划购进“牡丹花贴”和“汴绣书签”共50个，其中“牡丹花贴”的个数不多于24个．若商场决定此次进货的总资金不超过1050元，求商场共有几种进货方案； (3)在（2）的条件下，若每个“牡丹花贴”的售价为40元，每个“汴绣书签”的售价为55元，商场为迎接“中原文化旅游节”，推出“买一赠一”惠民活动：顾客从这两种文创产品中任购一个，就可以从这两种产品中任选一个作为赠品，若这批产品在活动期间全部售出后恰好获利235元，求商场的进货方案． 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多20元． (1)求一件，型商品的进价分别为多少元？ (2)若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为170元/件，型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 【变式训练2】（25-26八年级下·河南南阳·月考）2026年春晚舞台上，人形机器人表演让人叹为观止．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售，调查发现，甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍． (1)求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ (2)该公司打算购进甲、乙两种机器人共30个（两种都要买），且总经费预算不超过1900万元．若购进甲种机器人个，购买经费为万元，求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 考点讲练九 分式方程和差倍分问题 【典例分析】（25-26八年级上·陕西延安·期末）2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件． (1)求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ (2)若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？ 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两公司全体员工踊跃参与某捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： (1)甲、乙两公司分别有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱元，B种物资每箱元，若购买B种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送） 【变式训练2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：x元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购政府预备支出不超过60000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 考点讲练十 分式方程的其它实际问题 【典例分析】（25-26八年级下·山西临汾·月考）现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻满足．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为） (1)若，，则 ． (2) ．（用含，的式子表示） (3)若，的电阻值是的电阻值的2倍，求，的电阻值． 【变式训练1】（25-26八年级上·江西·期末）如图①，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收1号”小麦的试验田单位面积产量为________，“丰收2号”小麦的试验田单位面积产量为________，________小麦的试验田单位面积产量高； (2)在试验田四周修建隔离网（图②中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 【变式训练2】某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 【采购清单】 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m ① 150 长方形木板 ② 390 (1)请直接写出清单中①，②处的内容（用含的代数式表示），并求的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ 【真题演练1】（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【真题演练3】（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 【真题演练4】（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 【真题演练5】（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多30件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣500件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为件，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·云南曲靖·开学考试）分式方程的解是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西来宾·期末）下面是小军求解分式方程的过程中存在的错误，请指出他从第几步开始出现错误．（　　） 方程两边都乘，得    第一步 解这个方程得：   第二步 检验：将代入第一步方程，左边=右边     第三步 所以，是原分式方程的解     第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 4.某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 5．分式方程的解为________． 6．小张同学看一本800页的小说，暑假前看了200页，进入暑假后为早日完成，每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成___________页． 7．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则实数的最小值为___________． 8．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）解下列方程： (1)； (2)． 9．某商店第一次用800元购进2B铅笔若干支，第二次又用800元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的，购进数量比第一次少200支． (1)求第一次每支铅笔的进价是多少元？ (2)第一次购买铅笔________支． 10．某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运吨，且型机器人每天搬运吨货物与型机器人每天搬运吨货物所需台数相同． (1)每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台型机器人售价万元，每台型机器人售价万元，该公司计划采购，两种型号的机器人共台，必须满足每天搬运的货物不低于吨，设购买型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式，并求出最少购买金额． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（2026八年级下·四川遂宁·专题练习）对于非零的两个实数a，b，规定，若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）“一骑红尘妃子笑”描述唐玄宗为杨贵妃运送荔枝的场景．通过查阅资料岭南到长安相距里，且荔枝的保鲜时间短，忽略换马、换人的时间，用慢马运送比预定时间晚小时到达，用快马比预定时间早小时到达，已知快马的速度是慢马的倍，求预定的时间．设预定的时间为小时，由题意可列方程（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川资阳·月考）关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．8 C．11 D．15 4．（2026·宁夏银川·一模）分式方程无解，则a的值为________． 5．若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为____． 6．若关于x的方程无解，则m的值为______． 7．（25-26八年级下·河南周口·月考）解下列分式方程： (1) (2) 8．（25-26八年级下·河南南阳·月考）某文具店为学校采购文具，已知网上每盒A款笔的价格是实体店的倍，用200元在网上购买的A款笔比在实体店购买的少2盒． (1)求实体店每盒A款笔的价格； (2)实体店每盒B款笔的价格是25元．文具店决定在实体店购买A、B两款笔共80盒，且A款笔的盒数不超过B款笔的盒数．实体店为支持校园活动，对A、B两款笔均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱？ 9．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①___________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于___________． (3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值． 10．载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． (1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $