黑龙江佳木斯市第一中学2025-2026学年高二数学下学期第一次月考试卷

**基本信息** 聚焦导数与数列核心知识，通过大衍数列文化情境、学生选菜现实模型，梯度设计考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配高二下学期阶段性能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数运算（1）、等比数列充要条件（3）|基础概念辨析，如第3题结合逻辑推理| |多选题|3/18|大衍数列（11）|文化传承素材，考查数列递推与求和| |填空题|3/15|函数最值（12）、数列通项（13）|强调运算能力，如13题构造法求通项| |解答题|5/77|导数极值与切线（16）、数列证明与求和（15、17）、函数不等式证明（19）|综合应用，如19题证明体现逻辑推理，6题选菜模型渗透数学建模|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D B A C B BCD BC 题号 11 答案 AD 1．D 2．D 【分析】由可判断A；由图得函数在区间上即可判断B；由图得区间上，区间上即可判断C；由图得函数在区间上，当且仅当时导数值为0可判断D. 【详解】对于A，由图可知，即曲线在点处的切线斜率等于零，故A错误； 对于B，由图可知在区间上，所以函数在区间上单调递减，故B错误； 对于C，由图区间上，区间上， 所以函数在处取不到极大值，故C错误； 对于D，由图可知函数在区间上，当且仅当时导数值为0， 所以函数在区间上单调递减，故D正确. 故选：D 3．C 【分析】利用等比数列的通项公式和充分条件、必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当时，设公比为q，则， 若，则，即，此时，显然数列是递减数列， 若，则，即，此时，数列也是递减数列， 反之，当数列是递减数列时，显然． 故“”是“等比数列递减”的充要条件． 故选：C． 4．D 5．B 【分析】将原式转化为，以此构造函数，由题意得，参变分离后可得，由导数计算的最小值即可求解. 【详解】由题意得，即， 设，则在上单调递增， 即 上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以. 6．A 【详解】依题意，，消去，得. 7．C 【分析】分析可知，可知等比数列单调递增，且有，由此得出，结合单调性得出当且时，；当且，，即可得解. 【详解】对任意的，，设等比数列的公比为，则， 因为，则，所以，即， 因为，所以，即，故数列单调递增，所以， 故当且时，；当且，. 所以当时，最小. 故选：C. 8．B 【分析】由已知可得，构造函数，求导可得其单调性，可得，再令，求导可得其最小值. 【详解】，即， 构造函数 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 因为，所以，此时， 令，令，解得， 所以当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以的最小值为， 综上的最小值为. 故选：B. 9．BCD 【分析】利用等差数列的通项公式和性质来求解判断即可. 【详解】因为，又， 所以数列是首项为9，公差为的等差数列. 记公差为d，则，所以. 选项A：.所以选项A错误. 选项B：因为公差为，所以数列是递减数列.所以选项B正确. 选项C：当，，即.所以选项C正确. 选项D：，所以选项D正确. 10．BC 11．AD 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用题中所给递推式，分奇偶讨论结合累加法求得数列通项公式，后续求和亦需分奇偶进行讨论. 12．1 13． 【点睛】本题考查数列的通项公式及数列求和，重点考查了运算能力，属基础题． 14． 15．(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用构造法将转化为，利用等比数列的通项公式求解. （2）求出，求出，利用裂项相消法求出. 【详解】（1）由题意，， 则， ， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则. （2）由， 则， 所以 即. 16．（1）；（2）.（3） 17．(1) (2) 【分析】（1）由等比数列的通项公式及前项和公式求出首项与公比即可求出通项公式，利用累乘法求出的通项公式； （2）根据错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由，得，又，所以，解得或（舍去）． 又，则，解得， 所以． 由，得， 所以；，，， 以上各式相乘，得， 又，所以，且满足上式，所以． （2）由（1），得， 所以， ， 两式相减，得， 所以， 即． 18．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，对分类讨论可得函数f（x）的单调性； 【详解】（1）函数的定义域为， 由， ①当时，，则函数在上单调递减； ②当时，，则函数在上单调递增； ③当时，，令，得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增； ④当时，，令，可得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 ， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 19．(1)增区间为，无减区间； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数研究的单调区间； （2）对函数求导，讨论、、，结合恒成立求参数范围； （3）根据（2）的结论有得，令，则，即可证结论. 【详解】（1）当时，，所以， 设，则， 当时，有，所以在区间上单调递减， 当时，有，所以在区间上单调递增， 所以，即， 所以的增区间为，无减区间． （2）， （i）当时，有，与矛盾； （ii）当时，有，所以， 所以在单调递增，故，满足题意； （iii）当时，设，则， 当时，由得，所以在上单调递减，则， 即，所以在单调递增，故，满足题意； 当时，若，则，所以在上单调递， 所以，即，所以在单调递减，故，与矛盾； 综上所述：a的取值范围为． （3）由（2）知当时，，其中a的取值范围为， 令得，，即 令，则， 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．曲线在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间单调递减 3．在等比数列中，“”是“数列递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列说法正确的有（ ） A．在等差数列中，，，则前9项和. B．已知等比数列的前项和为，若，则. C．已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则. D．数列为等比数列，，，则. 5．已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（    ） A． B． C． D． 7．已知等比数列中各项均为正数，且，记的前项积为，且，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是递减数列 C．当时， D． 10．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减，在上单调递增 B． C．设有3个不同的零点，则 D．过点可作曲线两条切线 11．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，设bn=，记数列，的前n项和分别为，则（    ） A．是，的等比中项 B． C．= D． 第II卷（非选择题共92分 ） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数f（x）= + lnx在上的最小值为___________. 13．设数列满足3．数列的通项公式为________． 14．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题13分）已知数列中，，满足． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： (2)设为数列的前项和，求． 16．（本题15分）已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式. （2）求曲线在2处的切线方程. （3）若时，函数有三个零点，求c的取值范围。 17．（本题15分）已知公比为正数的等比数列的前n项和为，且，，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 18．（本题17分）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)当时， 若对， 有恒成立，求实数m的取值范围. 19．（本题17分）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求a的取值范围； (3)证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $