江苏扬州市广陵区红桥高级中学2025-2026学年高三第二学期考前预测数学试题

**基本信息** 高三数学阶段性检测，覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，通过统计回归、导数公切线等问题设计，考查数学建模与逻辑推理，适配高考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量|基础概念辨析，如向量投影、函数大小比较| |多选题|3/18|概率统计、立体几何|综合分析，如正态分布性质、正方体动态点问题| |填空题|3/15|等比数列、椭圆离心率|计算能力，如椭圆与圆交点几何关系| |解答题|77|统计回归、导数应用|实际应用与创新，如螺丝钉质量预测、函数公切线探究|

2025-2026学年高三第二学期第三次阶段性检测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则（　　） A．A＝∅ B．B＝∅ C．A＝R D．B＝R 2．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，复数z在复平面内对应的点为（3，4），则（　　） A． B． C． D． 3．在等边△ABC中，，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 4．若实数x、y、z满足1+2x＝3y＝5z，则x、y、z的大小关系不可能是（　　） A．x＞y＞z B．y＞z＞x C．y＞x＞z D．x＞z＞y 5．在△ABC中，已知AB＝1，AC＝3，cosB+sinC＝1，则BC的长为（　　） A． B． C． D． 6．已知函数f（x）＝2x2+lnx﹣2ax在上有最大值，则a的取值范围是（　　） A．（﹣5，﹣2） B．（2，5） C． D． 7．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P（t2，2t）（t＞1）是C上的动点，以PF为直径作圆M，再作圆M的与直线PF平行的两条切线，两条切线与y轴的交点分别为A，B，则|AB|的最小值为（　　） A．1 B．4 C． D．8 8．已知，则的最小值为（　　） A．8 B． C．6 D．5 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若随机变量X∼N（5，σ2）且P（X＜m）＝P（X＞n），则下列选项正确的是（　　） A．E（2X+1）＝7 B．m2+n2的最小值为50 C．P（X≥3+σ）＞P（X≤3﹣σ） D．若P（X＞4）＝0.68，则P（5≤x＜6）＝0.32 10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱A1B1的中点，点F在正方体表面及其内部运动，则（　　） A．存在点F∈DD1，使得AF∥平面CC1E B．当时，直线AF与直线C1E所成角的余弦值为 C．当时，三棱锥B1﹣ACF的体积最小值为 D．当点F与点D重合时，三棱锥C﹣EFC1的外接球表面积为 11．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（　　） A．角C为钝角 B．a2+2b2﹣c2＝0 C．3tanA+tanC＝0 D．tanB的最小值为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在正项等比数列{an}中，已知a2+a4＝3，a4+a6＝12，则a5﹣a1＝　 　 ． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径作圆C2，若椭圆C1与圆C2有四个不同的交点，且该四个交点恰为一个面积为的矩形的四个顶点，则椭圆C1的离心率为　 　 ． 14．学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员（一名主裁判，两名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为 　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知数列{an}的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若数列的前n项和Sn小于120，求n的最大值． 16．（15分）某工厂生产一批螺丝钉，长度均为整数，且在24mm至50mm之间，技术监督组为了解生产的螺丝钉质量，按照长度分为9组，每组抽取150个对其中的优质螺丝钉个数进行统计，数据如下： 长期区间 [24，26] [27，29] [30，32] [33，35] [36，38] [39，41] [42，44] [45，47] [48，50] 优质个数 81 81 84 88 84 83 83 70 66 （1）设每个长度区间的中点值为x，优质个数为y，求y关于x的回归直线方程．若该厂又生产了一批长度区间为[54，56]的螺丝钉，并从中随机抽取50个，请根据回归直线方程预测这150个中的优质个数． （2）若在某一长度区间内有超过半数的螺丝钉是优质的，则认为从该长度区间内任选一个均为优质的，否则不是．现从[24，26]，[33，35]，[39，41]，[45，47]，[48，50]这五个长度区间中各随机抽取一个，再从这5个螺丝钉中任选3个，记随机变量X为其中的优质个数，求X的分布列与数学期望． （参考公式和数据：，720） 17．（15分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CH⊥AB，E为BC中点，将△BCH沿CH折起，使B到P处． （1）求证：PA∥平面DEH； （2）若平面PCH⊥平面ADCH，CH＝PH＝1，，，且二面角P﹣EH﹣Q的正弦值为． （Ⅰ）求λ的值； （Ⅱ）求四棱锥Q﹣ADCH外接球的表面积． 18．（17分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝ex． （1）求函数h（x）＝2g（x）﹣x的极值； （2）求函数（其中a∈R）的单调区间； （3）定义：若一条直线同时是两条（或两条以上）曲线的切线，则这条直线叫做这两条（或两条以上）曲线的公切线．判断y＝f（x）与y＝g（x）是否存在公切线、如果不存在，请说明理由；如果存在，请指出公切线的条数． 19．（17分）已知两动直线l1：y＝k（x+2），l2：y＝kx（k≠0）分别过椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点和中心，当l1过椭圆上顶点时，直线l1，l2的距离为． （1）求椭圆C的方程； （2）设l1与椭圆C交于A，B两点，点A关于l2的对称点为A'，若经过点A，A'，B的圆的圆心为点M，求点M横坐标的取值范围． 参考答案 一．选择题 1．B． 2．B． 3．B． 4．D． 5．D． 6．D． 7．D． 8．A． 二．多选题 9．BC． 10．BCD． 11．ABC． 三．填空题 12．． 13．． 14．． 四．解答题 15．解：（1）证明：令，则，于是，结合已知有， ∴，即bn＝2bn+1． ∵，∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列． 即数列为等比数列． （2）由（1）知，，则， 则， 令Sn＜120，整理得n2+3n﹣21﹣n＜238，而y＝n2+3n﹣21﹣n在n∈N*上单调递增， 且， ∴Sn＜120，n的最大值为14． 16．解：（1）由题意得，，， 81+81+84+88+84+83+83+70+66＝720，80， 所以926640，， 所以， 又， 所以， ， 故y关于x的回归直线方程为， 当x＝55时，70，即预测长度区间为[54，56]的150个螺丝钉中的优质个数为70． （2）根据题意，在[24，26]，[33，35]，[39，41]，[45，47]，[48，50]这五个长度区间中， [24.26]，[33，35]，[39，41]这三个长度区间中超过半数是优质的， 在[45，47]，[48，50]这两个长度区间中优质的不足一半，故随机抽取得到的5个螺丝钉中有3个是优质的， 所以X的所有可能取值为1，2，3， 则， ， ， 故随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P ， 故期望为． 17．解：（1）证明：因为AB∥CD，AB⊥AD，CH⊥AB， 所以四边形ADCH为矩形， 连接AC交HD于点F，连接EF，则点F为AC中点， 又E为PC中点，所以EF是△CAP中位线，所以EF∥PA， 又EF⊂平面DEH，PA⊄平面DEH， 所以PA∥平面DEH． （2）（Ⅰ）因为PH⊥HC，PH⊂平面PCH，平面PCH⊥平面ADCH且交于CH， 所以PH⊥平面ADCH，而HA⊂平面ADCH，所以PH⊥HA， 又CH⊥HA， 故以HC，HA，HP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图． 则H（0，0，0），C（1，0，0），P（0，0，1），，，， 设Q（x0，y0，z0），则， 又， 所以，即，所以， 则，， 设平面QEH的法向量为， 则，则，即， 令，则，y＝1﹣2λ， 所以． 又PH⊥HA，CH⊥HA，PH∩CH＝H，PH，CH⊂平面PCH， 所以HA⊥平面PCH， 所以即为平面PEH的一个法向量． 设二面角P﹣EH﹣Q的平面角为θ，则， 所以， 即， 解得或λ＝1（舍去，因为0＜λ＜1）， 故． （Ⅱ）所求外接球球心O在过点F垂直于平面ADCH的垂线上，则． 设，又， 则，， 所以， 即， 整理得，解得， 所以， 所以， 故． 18．解：（1）函数f（x）＝lnx，g（x）＝ex，则h（x）＝2g（x）﹣x＝2ex﹣x， ∴h′（x）＝2ex﹣1，令h′（x）＝0有x＝﹣ln2， 当x＞﹣ln2时，h′（x）＞0，当x＜﹣ln2时，h′（x）＜0， ∴h（x）在（﹣∞，﹣ln2）单调递减，在（﹣ln2，+∞）单调递增， ∴h（x）的极小值为h（﹣ln2）＝2e﹣ln2﹣（﹣ln2）＝1+ln2，无极大值； （2）由题意，φ（x）的定义域为（0，+∞）， ， ①当a≥﹣2时，则有a+2≥0，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）的单调增区间为（0，1），（1，+∞）； ②当a＜﹣2时，令t（x）＝2x2+（a﹣2）x+2，Δ＝（a﹣2）2﹣4×2×2＝（a﹣6）（a+2）＞0， 则t（x）＝0有两个不等的正实根，，0＜x1＜1＜x2， 由t（x）＞0有0＜x＜x1或x＞x2，t（x）＜0有x1＜x＜1或1＜x＜x2， ∴φ（x）的单调增区间为（0，x1），（x2，+∞），单调减区间为（x1，1），（1，x2）； （3）假设存在公切线，与f（x）、g（x）分别相切于点，则， ∴公切线为：， 和， ∴，消去x2得（1﹣x1）lnx1+x1+1＝0， 存在公切线等价于方程（1﹣x）lnx+x+1＝0在（0，+∞）有解， 即，令， ，∴F（x）在（0，1），（1，+∞）上单调递增， 又， ∴存在，使得F（x1）＝0，又， ∴，使得F（x2）＝0，∴方程只有两个解， ∴f（x）与g（x）存在两条公切线． 19．解：（1）设椭圆的左焦点F1（﹣c、0）、上顶点B（0、b）、原点O． ∵直线l1过左焦点，l2过坐标原点，且当l1过上顶点B时，直线l1、l2间的距离等于原点O到直线l1的距离， 即O到F1B的距离为|F1B|＝a、|OB|＝b、|OF1|＝c， 在三角形OF1B中利用等面积法可得， 由直线l1：y＝k（x+2）可知，l1与x轴的交点横坐标为﹣2，∴F1的横坐标为﹣2，∴c＝2． 由题意可得， 所以． （2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）， ， ∵Δ＞0，∴，， ， 故线段AB中点为，线段AB中垂线方程， ， ， 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以． （当且仅当，即时取得等号）， 又∵k≠0，∴k2＞0，∴xM＜0，且当|k|趋近于正无穷时，xM趋近于0． ∴点M的横坐标的取值范围是． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $