专题05不等式、一元一次不等式 期中复习讲义（复习重点+11大核心题型+巩固提升）-2025-2026学年北师大版八年级数学下学期.

专题05不等式、一元一次不等式 期中复习讲义 期中复习◆重点 1.理解不等式、不等式的解与解集的意义，掌握解集在数轴上的规范表示方法。 2.熟练运用不等式的三条基本性质，重点掌握乘除负数时不等号方向改变这一核心要点。 3.掌握一元一次不等式的定义，能准确识别一元一次不等式。 4.熟练掌握一元一次不等式的解法步骤，规范解题过程，区分解方程与解不等式的异同。 5.能从实际问题中提炼不等关系，初步建立不等式模型解决简单应用问题。 核心题型◆归纳 题型1不等式的定义 题型2不等式的解集 题型3不等式的性质 题型4一元一次不等式的定义 题型5一元一次不等式的解集 题型6求一元一次不等式的整数解 题型7求一元一次不等式解的最值 题型8解|x|≥a的不等式 题型9用一元一次不等式解决实际问题 题型10用一元一次不等式解决几何问题 题型11提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、不等式的相关概念 1.不等式：一般地，用符号“＞、＜、≤、≥表示大小关系的式子，称为不等式。 注意：判断一个式子是不是不等式，关键看该式子是否含不等号。 2.常见不等号及意义： 提示：在找不等关系时，一定要找准关键词：如“大于”、“小于”、“超过”、“非负数”、“至少”、等等，并选用恰当的不等号表示。 3. 不等式的解与解集 （1）使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 （2）一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合，叫做这个不等式的解集。 （3）求不等式解集的过程，称为解不等式。 4. 不解集的解集在数轴上的表示 知识点二、不等式的基本性质 设 a>b，不等式具有如下性质： 1.不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。 a± c > b± c 2.不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 ac>bc , >(c>0) 3. 不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 ac<bc, <(c<0) 重点提醒:系数为负数时，务必改变不等号方向。 知识点三：一元一次不等式 1.定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2.一元一次不等式必须同时满足三个条件： （1）不等式的两边都是整式； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的次数是1. 3.解法步骤：（1）去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，注意各项都要乘； （2）去括号：按去括号法则运算，注意符号变化； （3）移项：将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号； （4）合并同类项：化为 ax>b（或其他不等形式）的最简形式； （5）系数化为1：两边除以系数，若系数为负数，不等号方向改变。 4.与解方程的区别： 解一元一次不等式与解方程步骤基本相同，核心差异在于：不等式两边乘除负数时，不等号方向要改变。 知识点四、一元一次不等式实际应用解题步骤 （1）审题：通读题干，梳理已知条件与未知量，抓取题目中的不等关系关键词。 （2）设元：合理设出未知数，表述简洁规范，不含限制类词语。 （3）列式：依据题干中的不等数量关系，列出一元一次不等式。 （4）求解：按照不等式解法步骤，正确求解，得出取值范围。 （5）取舍：结合生活实际，筛选符合题意的解（人数、数量等须为正整数）。 （6）作答：规范书写完整答语，贴合题目问题，条理清晰。 题型解析◆精准备考 题型1不等式的定义 1．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．西安市春季某日的最高气温是，最低气温是，则西安当日气温的变化范围是______． 3．用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 题型2不等式的解集 1．若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 2．若代数式有意义，则实数的取值范围为__________． 3．在下列各数中：，，0，，2，4． (1)x取哪些数能使不等式成立？ (2)满足的数有什么特点？ 题型3不等式的性质 1．若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2.．比较大小：______（填，或）． 3.．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 题型4一元一次不等式的定义 1．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于的一元一次不等式，则值为________． 3．已知是关于的一元一次不等式，试求的值，并解这个一元一次不等式． 题型5一元一次不等式的解集 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如果方程组的解满足，则的取值范围是__________． 3．解不等式：． 题型6求一元一次不等式的整数解 1．不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．写出不等式的一个负整数解：________． 3．已知． (1)用含有的式子表示； (2)若，求的取值范围； (3)若的取值范围如图所示，求的负整数值． 题型7求一元一次不等式解的最值 1．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 3．已知、满足和，求的最小值． 题型8解|x|≥a的不等式 1．若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 3．请阅读求绝对值不等式和的解集的过程： 因为，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是； 因为，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)不等式的解集为_____；的解集为_____． (2)解不等式； (3)解不等式 题型9用一元一次不等式解决实际问题 1．新华书店销售某种标价元本的畅销书，每本进价是标价的五折，书店要想不亏本，必须保证每本书的利润率不低于，那么书店对该畅销书最多可打（    ） A．五折 B．六折 C．六五折 D．不确定 2．某社区有四处便民设施需要升级，升级每个设施需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．升级每个设施所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 设施 A B C D 工人数 5 3 2 6 天数 3 5 6 2 社区计划聘用m人，用n天的时间完成所有升级工作． （1）若，则n的最小值是_________； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有设施升级工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为_________元（用含a的式子表示）． 3．某数据中心同时运行两种计算任务：训练任务和推理任务．每项任务消耗两种资源：算力和内存．已知每个训练任务消耗算力4单位．内存3单位；每个推理任务消耗算力2单位，内存4单位． (1)该数据中心在某个时段内，恰好用完算力100单位和内存90单位，求这个时段内训练任务和推理任务分别有多少个； (2)已知每个训练任务耗电6千瓦时，每个推理任务耗电10千瓦时．在实际调度时，训练任务和推理任务的总数为24个，且训练任务不超过推理任务的2倍，记任务运行过程中总耗电为E千瓦时，求E的最小值． 题型10用一元一次不等式解决几何问题 1．一根细铁丝长，小明想把它折成一个三角形，则他折成的三角形的最长的边有可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是__________． 3．规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． (1)判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． (2)已知为“2倍角三角形”，为“倍角”． ①若，求的度数． ②若为锐角三角形，求的取值范围． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 5．为迎接2026年哈尔滨冰灯展，某校开展了以迎冰灯展为主题的演讲活动，计划拿出360元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件18元，乙种奖品每件24元，则购买方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 6．已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 二、填空题 7．若的解能使关于的不等式成立，则实数的取值范围是___________． 8．不等式的最小整数解为_______． 9．根据下列数量关系列不等式：的倍不大于的不等式是_____． 10．设，，则______（选填“”或“”或“”）． 11．的最小整数解是，的最大整数解是，则的值为_____． 12．某博物馆为提升游客体验，计划购进A、B两种型号的智能导览机器人共10台．A种型号的智能导览机器人每台单价8万元，B种型号的智能导览机器人每台单价6万元，若博物馆采购预算不超过66万元，则该博物馆最少可以购进______台B型号的智能导览机器人． 三、解答题 13．解方程组或不等式 (1) (2) 14．解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 15．已知实数、、满足，，求证：． 16．先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 17．如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05不等式、一元一次不等式 期中复习讲义 期中复习◆重点 1.理解不等式、不等式的解与解集的意义，掌握解集在数轴上的规范表示方法。 2.熟练运用不等式的三条基本性质，重点掌握乘除负数时不等号方向改变这一核心要点。 3.掌握一元一次不等式的定义，能准确识别一元一次不等式。 4.熟练掌握一元一次不等式的解法步骤，规范解题过程，区分解方程与解不等式的异同。 5.能从实际问题中提炼不等关系，初步建立不等式模型解决简单应用问题。 核心题型◆归纳 题型1不等式的定义 题型2不等式的解集 题型3不等式的性质 题型4一元一次不等式的定义 题型5一元一次不等式的解集 题型6求一元一次不等式的整数解 题型7求一元一次不等式解的最值 题型8解|x|≥a的不等式 题型9用一元一次不等式解决实际问题 题型10用一元一次不等式解决几何问题 题型11提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、不等式的相关概念 1.不等式：一般地，用符号“＞、＜、≤、≥表示大小关系的式子，称为不等式。 注意：判断一个式子是不是不等式，关键看该式子是否含不等号。 2.常见不等号及意义： 提示：在找不等关系时，一定要找准关键词：如“大于”、“小于”、“超过”、“非负数”、“至少”、等等，并选用恰当的不等号表示。 3. 不等式的解与解集 （1）使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 （2）一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合，叫做这个不等式的解集。 （3）求不等式解集的过程，称为解不等式。 4. 不解集的解集在数轴上的表示 知识点二、不等式的基本性质 设 a>b，不等式具有如下性质： 1.不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。 a± c > b± c 2.不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 ac>bc , >(c>0) 3. 不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 ac<bc, <(c<0) 重点提醒:系数为负数时，务必改变不等号方向。 知识点三：一元一次不等式 1.定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2.一元一次不等式必须同时满足三个条件： （1）不等式的两边都是整式； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的次数是1. 3.解法步骤：（1）去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，注意各项都要乘； （2）去括号：按去括号法则运算，注意符号变化； （3）移项：将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号； （4）合并同类项：化为 ax>b（或其他不等形式）的最简形式； （5）系数化为1：两边除以系数，若系数为负数，不等号方向改变。 4.与解方程的区别： 解一元一次不等式与解方程步骤基本相同，核心差异在于：不等式两边乘除负数时，不等号方向要改变。 知识点四、一元一次不等式实际应用解题步骤 （1）审题：通读题干，梳理已知条件与未知量，抓取题目中的不等关系关键词。 （2）设元：合理设出未知数，表述简洁规范，不含限制类词语。 （3）列式：依据题干中的不等数量关系，列出一元一次不等式。 （4）求解：按照不等式解法步骤，正确求解，得出取值范围。 （5）取舍：结合生活实际，筛选符合题意的解（人数、数量等须为正整数）。 （6）作答：规范书写完整答语，贴合题目问题，条理清晰。 题型解析◆精准备考 题型1不等式的定义 1．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】不等式定义为：用不等号连接表示不等关系的式子叫做不等式．根据不等式定义逐一判断式子，统计个数即可得到结果． 【详解】解： ①，用不等号连接，是不等式； ②，用不等号连接，是不等式； ③，用等号连接，是等式，不是不等式； ④，是代数式，无不等号连接，不是不等式； ⑤，用不等号连接，是不等式； ∴不等式共有3个． 2．西安市春季某日的最高气温是，最低气温是，则西安当日气温的变化范围是______． 【答案】 【分析】根据当日最高气温与最低气温的定义，确定气温的取值范围，气温不低于最低气温，不高于最高气温，据此列出不等式得到结果. 【详解】解：由题意， 即当日气温的变化范围是. 3．用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）长方形的面积为，正方形的面积为，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列出不等式； （2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2） 解：根据题意，得． 题型2不等式的解集 1．若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将代入各选项不等式，判断不等式是否成立即可得到正确答案． 【详解】解：选项A：不等式为，不成立，故A错误； 选项B：不等式为，成立，故B正确； 选项C：不等式为，不成立，故C错误； 选项D：不等式为，不成立，故D错误． 2．若代数式有意义，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， ∴， 解得． 3．在下列各数中：，，0，，2，4． (1)x取哪些数能使不等式成立？ (2)满足的数有什么特点？ 【答案】(1)，，0，能使不等式成立 (2)满足的数的特点是比2小 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及一元一次不等式解的特点，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）解不等式求得其解集后进行判断即可； （2）根据其解集即可求得答案． 【详解】（1）解：， 则， 那么，，0，能使不等式成立； （3） 解：满足的数的特点是比2小． 题型3不等式的性质 1．若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意， 由得，则B成立，不符合题意， 若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意， 若，当时，，则D不一定成立，符合题意． 2.．比较大小：______（填，或）． 【答案】 【分析】通过作差法，将两个数通分后比较分子的大小，从而判断两个数的大小关系． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ． 3.．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； （）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再根据不等式性质求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； 本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由①②得：， ∴的取值范围是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由不等式性质，②乘得③， ①乘得④， ③④，得， ∴的取值范围是． 题型4一元一次不等式的定义 1．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数为的整式不等式，称为一元一次不等式；据此逐一判断即可． 【详解】A．含有和两个未知数，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， B．未知数的次数为，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， C．分母含有未知数，不是整式不等式，故该选项不是一元一次不等式，不符合题意， D．只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式不等式，故该选项是一元一次不等式，符合题意． 2．若是关于的一元一次不等式，则值为________． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义可得，的次数等于，且的系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且，解得：， 验证：当时，，即符合条件． 3．已知是关于的一元一次不等式，试求的值，并解这个一元一次不等式． 【答案】， 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据一元一次不等式的定义求出的值，再还原不等式，解之即可． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ， 解得， 将代入不等式得， ， 解得． 题型5一元一次不等式的解集 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 表示在数轴上如图所示： 2．如果方程组的解满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由方程组可得出，结合，可得，解出的取值范围即可． 【详解】解：， 得， 即， 若， 可得， 解得． 3．解不等式：． 【答案】 【分析】先移项，再合并同类项，最后将系数化为1，两边同除以负数时，不等式要变号． 【详解】解：， 移项，， 合并同类项，， 解得， 即． 题型6求一元一次不等式的整数解 1．不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集范围内的负整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：不等式两边同乘2去分母，得， 移项并合并同类项，得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得， ∴范围内的负整数为，共2个． 2．写出不等式的一个负整数解：________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解不等式得到解集，再从中找出符合要求的负整数解即可． 【详解】解：， ， 不等式的负整数解为，，． 3．已知． (1)用含有的式子表示； (2)若，求的取值范围； (3)若的取值范围如图所示，求的负整数值． 【答案】(1) (2) (3)的负整数值为和 【分析】（1）根据等式的性质移项即可； （2）根据（1）中的等式，将代入，结合不等式的性质即可求解； （3）根据数轴得到，结合不等式的性质代入计算即可． 【详解】（1）解：用含有的式子表示为：． （2）解：由于，即，解得． （3）解：由图可知，即， 解得， 所以的负整数值为和． 题型7求一元一次不等式解的最值 1．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 2．已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 【答案】7 【分析】由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴的最大值为， 此时， 故最大值为． 3．已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 题型8解|x|≥a的不等式 1．若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和绝对值不等式，由对值的几何意义得表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，即可求解；理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为， 无解， ， 故选：D． 2．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集 【详解】解：， 当时，， ∴，解得， ∴； 当时，， ∴，解得， ∴， ∴原不等式的解集为． 3．请阅读求绝对值不等式和的解集的过程： 因为，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是； 因为，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)不等式的解集为_____；的解集为_____． (2)解不等式； (3)解不等式 【答案】(1)；或 (2) (3)或 【分析】（1）根据给出的示例，得出解集即可； （2）根据示例得出，求解即可； （3）根据示例得出或，求解即可 【详解】（1）解：根据题意得，不等式的解集为； 的解集为或； （2）解：根据题意得，不等式的解集为， 解得； （3）解：根据题意得，不等式的解集为或， 解得或； 题型9用一元一次不等式解决实际问题 1．新华书店销售某种标价元本的畅销书，每本进价是标价的五折，书店要想不亏本，必须保证每本书的利润率不低于，那么书店对该畅销书最多可打（    ） A．五折 B．六折 C．六五折 D．不确定 【答案】C 【分析】根据利润率列出不等式即可求解． 【详解】解：设书店对该畅销书打折， ∵标价元本的畅销书，每本进价是标价的五折， ∴每本进价为元，实际售价为元， ∵利润率不低于， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴最多可打六五折． 2．某社区有四处便民设施需要升级，升级每个设施需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．升级每个设施所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 设施 A B C D 工人数 5 3 2 6 天数 3 5 6 2 社区计划聘用m人，用n天的时间完成所有升级工作． （1）若，则n的最小值是_________； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有设施升级工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为_________元（用含a的式子表示）． 【答案】 9 【分析】（1）分别求出先做A、B和先做C、D时需要的最小天数，比较即可得到答案； （2）根据D所需要的工人数为6可知，，讨论m的值，确定最小的天数，计算出对应情形下支付给工人的工资总额，比较即可得到答案． 【详解】解：（1）先派5人做A，3人做B，那么前3天可以完成A，前五天可以完成B，第4天开始，做完A的5人中派2人去做C，第6天开始做完B的3人和做完A的剩下3人去做D，第9天可以完成C，第9天可以完成D，此时n的最小值为9； 先派2人做C，6人做D，那么前6天可以完成C，前2天可以完成D，第3天开始做完D的6人中派3人去做B，那么第7天可以完成B，第7天开始派做完C的人和做完D的6人中剩下的2人去做A，第9天可以完成A，此时n的最小值为9； 综上所述，n的最小值为9； （2）根据D所需要的工人数为6可知，， 当时，需要的最小天数为天，支付给工人的工资总额为元， 当时，需要的最小天数为天，支付给工人的工资总额为元， 当时，需要的最小天数为天，支付给工人的工资总额为元， 当时，需要的最小天数为天，支付给工人的工资总额为元， 当时，需要的最小天数为天，支付给工人的工资总额为元， 当时，需要的最小天数一定不会比6小，则支付给工人的工资总额一定不低于元， ∵， ∴支付给工人的工资总额最少为元． 3．某数据中心同时运行两种计算任务：训练任务和推理任务．每项任务消耗两种资源：算力和内存．已知每个训练任务消耗算力4单位．内存3单位；每个推理任务消耗算力2单位，内存4单位． (1)该数据中心在某个时段内，恰好用完算力100单位和内存90单位，求这个时段内训练任务和推理任务分别有多少个； (2)已知每个训练任务耗电6千瓦时，每个推理任务耗电10千瓦时．在实际调度时，训练任务和推理任务的总数为24个，且训练任务不超过推理任务的2倍，记任务运行过程中总耗电为E千瓦时，求E的最小值． 【答案】(1)有训练任务22个，有推理任务6个 (2)E的最小值为176千瓦时 【分析】（1）设这个时段内训练任务有x个，推理任务有y个，根据这个时段内恰好用完算力100单位和内存90单位，列出方程组，解方程组即可； （2）设训练任务有m个，则推理任务有个，根据训练任务不超过推理任务的2倍，列出不等式，求出m的范围，列出E与m的关系式，然后根据一次函数的增减性，求解即可． 【详解】（1）解：设这个时段内训练任务有x个，推理任务有y个，根据题意得： ， 解得：， 答：这个时段内有训练任务22个，有推理任务6个 （2）解：设训练任务有m个，则推理任务有个，根据题意得：， 解得：， 任务运行过程中总耗电为：， ∵， ∴随m的增大而减小， ∴当时，总耗电量最小，且最小值为：（千瓦时）． 题型10用一元一次不等式解决几何问题 1．一根细铁丝长，小明想把它折成一个三角形，则他折成的三角形的最长的边有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，设三角形三边长是、、，由三角形三边关系定理得到，则，得到，即可得到答案．解题的关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边．也考查了一元一次不等式的应用． 【详解】解：设三角形三边长是、、， ∴， ∵三角形周长是， ∴， ∴， ∴三角形的最长的边有可能是． 故选：A． 2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是__________． 【答案】0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线定义求得∠DAC，再由三角形内角和定理求得∠ADC，进而分两种情况：∠ADE是钝角；∠AED是钝角．进行解答便可求得结果． 【详解】解：∵∠B＝50°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAE﹣∠C＝95°， 当∠ADE是钝角时，90°＜∠ADE＜95°， 当∠AED是钝角时， ∴∠AED＞90°， ∵∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣∠ADE＝135°﹣∠ADE， ∴135°﹣∠ADE＞90°， ∴0°＜∠ADE＜45°， 综上，0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°． 故答案为：0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线定义，钝角三角形的定义，一元一次不等式的应用，关键分类进行讨论． 3．规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． (1)判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． (2)已知为“2倍角三角形”，为“倍角”． ①若，求的度数． ②若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)等腰直角三角形是“2倍角三角形” (2)①的度数为；② 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质、一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解新定义是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质并结合“2倍角三角形”的定义求解即可； （2）①根据“2倍角三角形”的定义分为两种情况：或，然后判断求解即可； ②设（为另一个内角），则第三个内角为，根据锐角三角形的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形的内角为、、， 则其中， ∴符合“2倍角三角形”的定义， ∴等腰直角三角形是“2倍角三角形”； （2）解：①∵， ∴， ∵是“倍角”，则或， 当时，设， 则 解得， ∴； 当时，则（舍去）， 综上所述，的度数为； ②设（为另一个内角），则第三个内角为． ∵是锐角三角形，三个内角均小于， ∴且且， ∴且且， ∴， ∵， ∴． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， 是代数式，不含不等号，不是不等式． B、，是用不等号连接的式子，符合不等式的定义． C、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． D、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式． 故选B． 2．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴要使有意义，需满足， 解不等式得． 3．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐项判定即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，，， 观察四个选项，正确结论是B． 4．不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ∴， 解得：， 不等式的解集在数轴上表示为： 5．为迎接2026年哈尔滨冰灯展，某校开展了以迎冰灯展为主题的演讲活动，计划拿出360元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件18元，乙种奖品每件24元，则购买方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，根据总费用列出二元一次方程，求出符合条件的正整数解，即可得到购买方案的数量． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 根据题意得. 化简得. . 均为正整数（两种奖品都购买）. 是4的正整数倍，且. 与互质， 是的正整数倍， 由得. 满足条件的为，对应分别为，共组正整数解． 即，，，， 共有种购买方案． 6．已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，，利用不等式的性质求最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 将代入得， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为． 二、填空题 7．若的解能使关于的不等式成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】/ 【分析】先解给定的一元一次方程得到x的值，再将方程的解代入不等式，解关于m的不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：解方程 去分母得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得， ∵能使不等式成立， ∴将代入不等式得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1，得，． 8．不等式的最小整数解为_______． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 不等式的最小整数解为． 9．根据下列数量关系列不等式：的倍不大于的不等式是_____． 【答案】 【分析】将文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式即可． 【详解】解：由题意得，． 10．设，，则______（选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先分别展开两个多项式，再计算的结果，再根据结果的符号判断和的大小关系． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 11．的最小整数解是，的最大整数解是，则的值为_____． 【答案】6075 【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集． 根据不等式的整数解定义，确定和的值，再计算乘积即可． 【详解】解：由，得最小整数解为，故； 由，得最大整数解为，故． 因此． 故答案为：． 12．某博物馆为提升游客体验，计划购进A、B两种型号的智能导览机器人共10台．A种型号的智能导览机器人每台单价8万元，B种型号的智能导览机器人每台单价6万元，若博物馆采购预算不超过66万元，则该博物馆最少可以购进______台B型号的智能导览机器人． 【答案】 7 【分析】设购进型号智能导览机器人台，根据总采购预算不超过万元列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小正整数即可． 【详解】解：设购进型号智能导览机器人台，则购进型号智能导览机器人台， 根据题意列不等式得： ， 解得：， 该博物馆最少可以购进台型号的智能导览机器人． 三、解答题 13．解方程组或不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组； （2）根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 得：③， 得：， 解得：， 把代入方程①可得：， 解得：， 方程组的解为； （2）解：， 不等式两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 14．解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【详解】解：， ， ， 解得：， 在数轴上表示如下： 15．已知实数、、满足，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据得，把代入，得，再整理即可证明． 【详解】证明：， ． 把代入，得， ， ． ． 16．先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键． （1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴或， ∴或． （3）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值． ∵在数轴上1和对应的点的距离为3， ∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为． 故答案为． 17．如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)见解析 【分析】（1）根据长方形的面积公式结合进行计算即可； （2）利用纸盒的容积的公式求出a的值，然后把，代入进行计算即可； （3）①结合图形进行计算即可解答；②结合图形可知A与C相对，B与D相对，然后进行即可解答． （4）根据侧面数第一种方法第二种方法第三种方法，底面数第二种方法第三种方法，表示出底面和侧面的个数，然后根据底面和侧面的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （2）由题意得： 当时，纸盒的容积为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是，， 故答案为：，； （4）由题意得：可以裁出的侧面：个． 可以裁出的底面：个． ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴， ∴， ∴当时， ∴可以裁出的侧面有（个）， 可以裁出的底面有（个）， ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱个． 【点睛】本题考查了列代数式，几何问题(一元一次方程的应用)，用一元一次不等式解决几何问题，整式加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $