专题01三角形内角和定理期中复习讲义（复习重点+12大核心题型+巩固提升）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题01三角形内角和定理 期中复习讲义 期中复习◆重点 1三角形内角和定理 （1）核心：三角形内角和为180°；（2）推论：直角三角形两锐角互余；两角互余的三角形是直角三角形 2.三角形外角 （1）定义：三角形一边与另一边延长线组成的角 （2）性质：外角等于不相邻两内角和，且大于任一不相邻内角 3.三角形折叠角度问题 （1）折叠前后对应角相等，结合内角和定理，利用角度和、差关系求未知角 4．多边形基础知识 （1）概念分类：平面内线段首尾顺次相接的封闭图形，按边数分为n边形 （2）内角和：n边形内角和=(n-2)×180°（n≥3） （3）外角和：任意多边形外角和均为360° （4） 周长：所有边长之和 （5）面积：三角形=底×高÷2；特殊多边形按对应公式计算 五．实际应用 运用上述定理、性质及公式，解决几何角度计算、周长面积求解、简单几何证明类问题 核心题型◆归纳 题型1三角形内角和定理的证明 题型2与平行线有关的三角形内角和问题 题型3与角平分线有关的三角形内角和问题 题型4三角形内角和定理的应用 题型5三角形折叠中的角度问题 题型6三角形的外角的定义及性质 题型7多边形的概念与分类 题型8多边形对角线的条数问题 题型9多边形内角和问题 题型10多（少）算一个角度 题型11正多边形的外角问题 题型12多边形内角和与外角和综合应用 题型13提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、三角形内角和定理及推论 1. 三角形内角和定理：任意三角形的三个内角和等于180°，证明过程如下： 2.推论：（1）直角三角形的两个锐角互余； （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 知识点二、三角形外角相关知识 1.三角形外角的概念 2.三角形外角的特征： 3.三角形外角的性质： （1）三角形的外角与它相邻的内角互补。 （2）三角形外角和等于360°。 （3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （4）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； 知识点三、三角形折叠角度问题 1. 核心性质：折叠前后对应角完全相等（折叠对称性）。 2. 解题方法：找准折叠前后的对应角，结合三角形内角和、平角180°，通过角度和差关系计算未知角。 知识点四、多边形的基本概念 1.概念与分类：平面内，由若干条 不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做多边形。按边数分为三角形、四边形、n边形。 2.组成要素： 边：组成多边形的线段 顶点：相邻两条边的公共短点 内角：多边形相邻两边组成的角 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段 知识点五、多边形的分类 1.按边数分 三角形、四边形、五边形、六边形……n边形（n≥3） 2. 按凹凸性分 凸多边形：所有内角都小于180°，任意一边延长，其余各边都在这条直线同侧 凹多边形：至少有一个内角大于180° 3. 按规则性分 普通多边形、正多边形 知识点六、正多边形的概念与性质 1.定义：平面内，各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形。 2.性质：所有边相等；所有内角相等；所有外角相等；正多边形都是轴对称图形，边数为偶数时还是中心对称图形。 知识点七、多边形的角度问题 1.n边形内角和：（n-2）×180° 2.正n边形每个内角： 3.多边形外角和：任意多边形外角和为360° 4.正n边形每个外角： 5.n边形对角线条数： 题型解析◆精准备考 题型1三角形内角和定理的证明 1．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交BC的延长线于点F，交AC于点G，若，，则________．    3．如图，直线经过点A，，，， (1)________；________；________； (2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 题型2与平行线有关的三角形内角和问题 1．一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 2．如图，已知，，，则等于_____． 3．在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论． 如图，已知，，是的内角，求证： 小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明． 请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． 题型3与角平分线有关的三角形内角和问题 1．如图，在中，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知、分别平分和，，则______． 3．如图，在中，、分别是的高和角平分线． (1)若，，求的度数； (2)试用含有、的代数式表示（不必证明）． 题型4三角形内角和定理的应用 1．已知的、和的对边分别是，和，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定是直角三角形的条件有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ______． 3．如图，在四边形中，，平分交于点E，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 题型5三角形折叠中的角度问题 1．如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在​中，​，是​上一点，连接​，将​沿​对折得到​，若​恰好经过点​，，则​的度数为________ 3．（1）计算：； （2）如图，在中，，，将其折叠，使点落在边上点处，折痕为．求的度数． 题型6三角形的外角的定义及性质 1．如图，直线，的两边分别与直线，相交，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2.如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是_________ ． 3．如图，在中，点、分别是、延长线上的点，平分，，，求的度数． 题型7多边形的概念与分类 1．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形，如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则________°. 3．已知一个边形的每一个外角都等于． (1)该边形是否一定是正边形？______；（填“一定是”或“不一定是”） (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出______条对角线． 题型8多边形对角线的条数问题 1．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将这个多边形分成4个三角形，那么从这个多边形的一个顶点出发对角线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．如果一个正多边形的每个内角都等于，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作______条对角线． 3．已知一个多边形的边数为． (1)若这个多边形的内角和是它的外角和的倍，求的值； (2)若过一个顶点的对角线有条，求这个边形对角线的总数． 题型9多边形内角和问题 1．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．六边形 D．五边形 2．如图，四边形中，点M、N分别在、上，将沿翻折，得，若，，，，则的度数为 _______． 3．按要求完成下列各题： (1)完成表格中未填部分． 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 ____ 三角形个数 1 2 3 4 ____ 内角和 _____ ____ (2)根据表中规律，n边形的内角和是______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)见解析 三角形个数 1 2 3 4 5 内角和 题型10多（少）算一个角度 1．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 2．一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是______度． 3．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 题型11正多边形的外角问题 1．我国古建筑墙上采用的八角形空窗的轮廓是一个正八边形．正八边形的一个外角是（   ）． A． B． C． D． 2．如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，其轮廓是一个正八边形，则它的每一个内角大小为______． 3．如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，求的度数． 题型12多边形内角和与外角和综合应用 1．一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为___________． 3．已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，求这个正多边形的边数． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 2．已知中，，、的平分线的夹角是（     ） A． B． C． D． 3．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 4．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 5．如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 二、填空题 7．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是_____． 8．已知正n（，且n为整数）边形的外角和等于，则任意一个外角的度数为________． 9．如图，将2个正六边形螺母放在地面l上，则的度数为________． 10．如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为_____． 11．如图，已知，为的边上的一点，且，．则________． 12．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于_______． 三、解答题 13．若一个正多边形除去一个外角后剩余的外角的和为． (1)求这个正多边形的边数与内角和的度数． (2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？ 14．小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 15．如图，在七边形中，的延长线交于点0，若，，，对应的邻补角和等于，求的度数 16．如图，在中，点在上，点在上，交于，已知交于，交于，． (1)求的度数． (2)若，，求的度数． 17．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 18．如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形内角和定理 期中复习讲义 期中复习◆重点 1三角形内角和定理 （1）核心：三角形内角和为180°；（2）推论：直角三角形两锐角互余；两角互余的三角形是直角三角形 2.三角形外角 （1）定义：三角形一边与另一边延长线组成的角 （2）性质：外角等于不相邻两内角和，且大于任一不相邻内角 3.三角形折叠角度问题 （1）折叠前后对应角相等，结合内角和定理，利用角度和、差关系求未知角 4．多边形基础知识 （1）概念分类：平面内线段首尾顺次相接的封闭图形，按边数分为n边形 （2）内角和：n边形内角和=(n-2)×180°（n≥3） （3）外角和：任意多边形外角和均为360° （4） 周长：所有边长之和 （5）面积：三角形=底×高÷2；特殊多边形按对应公式计算 五．实际应用 运用上述定理、性质及公式，解决几何角度计算、周长面积求解、简单几何证明类问题 核心题型◆归纳 题型1三角形内角和定理的证明 题型2与平行线有关的三角形内角和问题 题型3与角平分线有关的三角形内角和问题 题型4三角形内角和定理的应用 题型5三角形折叠中的角度问题 题型6三角形的外角的定义及性质 题型7多边形的概念与分类 题型8多边形对角线的条数问题 题型9多边形内角和问题 题型10多（少）算一个角度 题型11正多边形的外角问题 题型12多边形内角和与外角和综合应用 题型13提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、三角形内角和定理及推论 1. 三角形内角和定理内容：任意三角形的三个内角和等于180°，证明过程如下： 2.推论：（1）直角三角形的两个锐角互余； （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 知识点二、三角形外角相关知识 1.三角形外角的概念 2.三角形外角的特征： 3.三角形外角的性质： （1）三角形的外角与它相邻的内角互补。 （2）三角形外角和等于360°。 （3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （4）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； 知识点三、三角形折叠角度问题 1. 核心性质：折叠前后对应角完全相等（折叠对称性）。 2. 解题方法：找准折叠前后的对应角，结合三角形内角和、平角180°，通过角度和差关系计算未知角。 知识点四、多边形的基本概念 1.概念与分类：平面内，由若干条 不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做多边形。按边数分为三角形、四边形、n边形。 2.组成要素： 边：组成多边形的线段 顶点：相邻两条边的公共短点 内角：多边形相邻两边组成的角 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段 知识点五、多边形的分类 1.按边数分 三角形、四边形、五边形、六边形……n边形（n≥3） 2. 按凹凸性分 凸多边形：所有内角都小于180°，任意一边延长，其余各边都在这条直线同侧 凹多边形：至少有一个内角大于180° 3. 按规则性分 普通多边形、正多边形 知识点六、正多边形的概念与性质 1.定义：平面内，各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形。 2.性质：所有边相等；所有内角相等；所有外角相等；正多边形都是轴对称图形，边数为偶数时还是中心对称图形。 知识点七、多边形的角度问题 1.n边形内角和：（n-2）×180° 2.正n边形每个内角： 3.多边形外角和：任意多边形外角和为360° 4.正n边形每个外角： 5.n边形对角线条数： 题型解析◆精准备考 题型1三角形内角和定理的证明 1．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 2．如图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交BC的延长线于点F，交AC于点G，若，，则________．    【答案】11 【分析】由角平分线的性质可得，，由三角形内角和定理可求，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由全等三角形的性质可得． 【详解】解：的角平分线、相交于点， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 3．如图，直线经过点A，，，， (1)________；________；________； (2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 【答案】(1)；；； (2)理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到的度数，根据平角等于，列式求解得到的度数； （2）根据题意，作边平行线，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：理由：过三角形一个顶点A作边平行线， （已知）， ，（两直线平行，内错角相等）， （平角定义）， （等量代换）， ∴三角形内角和等于． 题型2与平行线有关的三角形内角和问题 1．一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解决问题是解本题的关键．由同角的余角相等可判断①，求解从而可判断②，证明可判断③，画好的示意图，证明可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：， ，故①符合题意； 如图，，， ， ， 与不平行，故②不符合题意； ，， ， ∴，故③符合题意； 如图，当时， ， ， ， ， ，故④符合题意； 故选：B． 2．如图，已知，，，则等于_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 3．在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论． 如图，已知，，是的内角，求证： 小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明． 请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． 【答案】各方法证明见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线之间的角度数量关系是解题的关键． 对于①，作，可得，，结合平角度数为，可证出． 对于②，作，可得，，结合平角度数为，可证出． 对于③，作，可得，结合角度之和为的等量关系，可证出． 【详解】证明： 对于①，作， 可得，，， ∵平角度数为，所以 即． 对于②，作， 可得，，， ∵平角度数为，所以 即． 对于③：作， 则， ， ， ， 题型3与角平分线有关的三角形内角和问题 1．如图，在中，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，平分，得出 ，根据，得出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，已知、分别平分和，，则______． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理得出， 根据角平分线的定义得出，在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， 、分别平分和， ，， ， 在中，． 3．如图，在中，、分别是的高和角平分线． (1)若，，求的度数； (2)试用含有、的代数式表示（不必证明）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，利用角平分线定义得到，再根据高的定义得，由互余得，然后计算，再把，代入计算即可； （2）直接由（1）得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴ ． 题型4三角形内角和定理的应用 1．已知的、和的对边分别是，和，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定是直角三角形的条件有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】结合三角形内角和定理，勾股定理逆定理以及三角形三边关系，逐一判断即可． 【详解】解：①∵ ，三角形内角和为， ∴ ， ∴ 是直角三角形；故①符合要求； ②∵ ，设， ∵ ，即， ∴ 是直角三角形；故②符合要求； ③∵ ，， ∴ ，解得，， 无法得到有内角为， ∴ 不一定是直角三角形；故③不符合要求； ④∵ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形；故④符合要求； ⑤∵ ，，不满足三角形三边关系，不能构成三角形， ∴不能判定是直角三角形，故⑤不符合要求； 综上，能独立判定是直角三角形的条件共3个． 2．如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ______． 【答案】 【分析】由平角的定义得到，结合，求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在四边形中，，平分交于点E，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 【答案】(1)35°； (2)见解析． 【分析】（1）先求出，再求出，即可求解； （2）由（1）知，，得到，再得到， 根据角平分线的性质得到， 即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型5三角形折叠中的角度问题 1．如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的性质得到根据题意，得到再由图形翻折变换的性质得到，根据三角形的内角和即可得出结论． 【详解】解：∵ ，， ∴， 根据折叠的性质可得：， ， ∴ ． 2．如图，在​中，​，是​上一点，连接​，将​沿​对折得到​，若​恰好经过点​，，则​的度数为________ 【答案】 【分析】利用折叠的性质得到等角，结合三角形内角和定理，通过等量代换证得，再由角的倍数关系计算出的度数． 【详解】解：将​沿​对折得到， ，， ， ， ， ， ， ． 3．（1）计算：； （2）如图，在中，，，将其折叠，使点落在边上点处，折痕为．求的度数． 【答案】（1）；（2）10°． 【分析】（1）先算乘方，再算除法. （2）根据直角三角形两锐角互余求出，根据折叠变换的性质可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：（1）原式； （2）， ， ∵折叠后点A落在边CB上A′处， ， 由三角形的外角性质得，． 【点睛】本题考查了整式的化简以及折叠，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点. 题型6三角形的外角的定义及性质 1．如图，直线，的两边分别与直线，相交，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据外角性质得出，根据平行线的性质即可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴． 2.如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是_________ ． 【答案】/130度 【分析】延长交于点，由对顶角相等可得，结合三角形的外角的性质可计算得．根据题意可得，则． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵横梁始终平行于， 又∵由调整得到， ∴， ∴． 3．如图，在中，点、分别是、延长线上的点，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】先根据角平分线得到，利用邻补角性质得到，再利用三角形外角性质解题即可． 【详解】解：平分，， ， ， 又， ． 题型7多边形的概念与分类 1．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的概念，多边形的对角线分成的三角形个数问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据多边形的概念逐个判断即可． 【详解】解：因为由许多条线段首尾顺次连接而成的封闭平面图形叫做多边形，所以①错误； 因为多边形的边数是不小于3的自然数，所以②错误； 因为从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形，所以③正确； 因此正确的说法只有1个， 故选：B． 2．我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形，如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则________°. 【答案】18 【分析】∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得内角的度数，进而求解． 【详解】正五边形的每个内角的度数为，正方形的每个内角等于90°， ， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了正五边形和正方形的性质，多边形的内角和定理，即，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．已知一个边形的每一个外角都等于． (1)该边形是否一定是正边形？______；（填“一定是”或“不一定是”） (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出______条对角线． 【答案】(1)不一定是 (2) (3) 【分析】本题考查正多边形的定义，多边形的内角与外角，多边形的对角线， （1）根据各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形判断即可； （2）先求出这个多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可； （3）根据从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，据此列式解答即可； 熟记多边形的内角和、外角和以及对角线的条数的求法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一个边形的每一个外角都等于， ∴该边形的每一个内角都等于：， 但该n边形的各边不一定都相等， 故该边形不一定是正边形， 故答案为：不一定是； （2）∵多边形的外角和是， ∴， ∴内角和是：， ∴这个边形的内角和为； （3）从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线， ∵， ∴， ∴从这个边形的一个顶点出发，可以画出条对角线． 故答案为：． 题型8多边形对角线的条数问题 1．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将这个多边形分成4个三角形，那么从这个多边形的一个顶点出发对角线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】边形从一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，且从一个顶点出发可引出条对角线，先根据分成的三角形个数求出多边形边数，再计算对角线条数即可. 【详解】解：设这个多边形有条边， 从边形的一个顶点出发作对角线，最多将多边形分成个三角形， ，解得，即这个多边形是六边形， 又从边形的一个顶点出发可作条对角线， ∴从这个多边形的一个顶点出发对角线有条. 2．如果一个正多边形的每个内角都等于，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作______条对角线． 【答案】9 【分析】由正多边形的每个内角都等于，可得正多边形的边数，再根据从边形的一个顶点出发可以作条对角线即可求解． 【详解】解：设正多边形的边数为， ∵正多边形的每个内角都等于， ∴， 解得， ∴从这个正多边形的一个顶点出发，可以作对角线的条数为． 3．已知一个多边形的边数为． (1)若这个多边形的内角和是它的外角和的倍，求的值； (2)若过一个顶点的对角线有条，求这个边形对角线的总数． 【答案】(1) (2)这个边形对角线的总数为条 【分析】本题考查多边形内角和与外角和的综合及多边形对角线问题，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． （1）根据多边形内角和为，外角和等于，列方程求出值即可； （2）根据从多边形的一个顶点最多有条对角线列方程求出值，根据多边形对角线总数为即可得答案． 【详解】（1）解：∵这个多边形的内角和是它的外角和的倍， ∴， 解得：． （2）解：∵过一个顶点的对角线有条， ∴， 解得：， ∴这个边形对角线的总数为（条）． 题型9多边形内角和问题 1．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．六边形 D．五边形 【答案】A 【分析】本题利用多边形内角和公式列方程，求解得到多边形的边数，即可选出正确答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：， 解得：， 即这个多边形是九边形． 2．如图，四边形中，点M、N分别在、上，将沿翻折，得，若，，，，则的度数为 _______． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得出，，再利用翻折变换的性质得出，，进而求出的度数以及得出 的度数． 【详解】解：∵，，，， ， ∵将沿翻折得， ， ， ． 3．按要求完成下列各题： (1)完成表格中未填部分． 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 ____ 三角形个数 1 2 3 4 ____ 内角和 _____ ____ (2)根据表中规律，n边形的内角和是______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)没有内角和为的多边形，理由见解析 【分析】（1）根据题意补全表格即可； （2）根据表中规律求解即可； （3）根据题意得到，然后求解判断即可． 【详解】（1）解：如图， 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 4 三角形个数 1 2 3 4 5 内角和 （2）解：根据表中规律，n边形的内角和是； （3）解：没有内角和为的多边形，理由如下： 根据题意得， 解得，不是正整数， ∴没有内角和为的多边形． 题型10多（少）算一个角度 1．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 2．一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是______度． 【答案】80 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，设多边形的边数为x，根据多边形的内角一定大于0，且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要小，可以求出多边形的边数为14，再利用内角和公式即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为x， 由题意得， 解得：， 多边形的边数是14， 则这个内角是， 故答案为80． 3．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】(1)30 (2)十二边形 (3) 【分析】（1）根据多边形的内角和能被整除求解即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形的每个内角都相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵多边形内角和公式为， ∴多边形的内角和能被整除， ∵， ∵加了一个锐角， ∴这个“多加的锐角”是； （2）解：设多边形为n边形， ∴， ∴， ∴小明求的是12边形的内角和； （3）解：正十二边形的每一个内角为． ∴这个正多边形的一个内角是． 题型11正多边形的外角问题 1．我国古建筑墙上采用的八角形空窗的轮廓是一个正八边形．正八边形的一个外角是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】任意多边形的外角和为，除以即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为， 又∵正八边形的8个外角都相等， ∴正八边形的一个外角为. 2．如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，其轮廓是一个正八边形，则它的每一个内角大小为______． 【答案】135 【分析】先求出每个外角，再利用邻补角求出每个内角度数即可． 【详解】解：正八边形的每个外角度数为：， ∴每个内角的度数为：． 3．如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，求的度数． 【答案】 【分析】先根据多边形内角和定理求出，则，再由角平分线的定义得到，接着利用四边形内角和为360度求出，则，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图：设交于点P， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵平分，平分正五边形的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型12多边形内角和与外角和综合应用 1．一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据“正多边形的内角和比其外角和的度数大”列方程求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为， 根据题意，得， 解得， 即边数为8． 【点睛】n边形内角和公式为，任意多边形外角和恒为． 2．一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为___________． 【答案】 【分析】根据多边形的外角和是，边形的内角和为，结合已知的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 依题意得 ， 解得， 即这个多边形的边数是． 3．已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，求这个正多边形的边数． 【答案】这个正多边形的边数是10． 【分析】设这个正多边形的边数为，由正多边形的内角和为，外角和为，根据这个正多边形的内角和是其外角和的4倍，建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为，根据题意得：． 解得． 答：这个正多边形的边数是10． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】根据正多边形的定义逐一判断选项即可，正多边形定义为各边相等、各角也相等的多边形． 【详解】A、∵多边形是由三条或三条以上线段首尾顺次连接围成的封闭图形，正三角形符合多边形定义， ∴A错误； B、∵正多边形需要同时满足各边相等、各角相等，长方形四个角相等但四条边不一定都相等， ∴B错误； C、∵正方形的四条边相等，四个角也相等，满足正多边形的定义， ∴C正确； D、∵各角相等的多边形各边不一定相等，例如长方形各角相等但不是正多边形，不满足正多边形定义， ∴D错误． 2．已知中，，、的平分线的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出中的度数，再根据角平分线得到的度数，最后在中计算出的度数. 【详解】解：∵ 在中，，三角形内角和为 ∵ 平分，平分 ， ∵ 在中，内角和为 3．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．　 【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11， ∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12： 故选D． 【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键． 4．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正六边形可得内角为，通过两直线平行同旁内角互补和外角定理即可完成题目． 【详解】解：如图， 正六边形的每个内角为， ， ， ， ， ． 6．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键． 作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：A、由， 得，． 由， 得． 故A不符合题意； B、由于D， 得， 无法证得三角形内角和是． 故B符合题意； C、由， 得，，． 由， 得，， 那么． 由， 得． 故C不符合题意， D、由， 得，． 由， 得． 故D不符合题意； 故选：B． 二、填空题 7．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是_____． 【答案】15，16或17 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解． 根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论． 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 所以多边形的边数可以为15，16或17． 故答案为：15，16或17． 8．已知正n（，且n为整数）边形的外角和等于，则任意一个外角的度数为________． 【答案】 【分析】根据正边形各外角相等，结合已知外角和为，用除法计算即可得到任意一个外角的度数． 【详解】解：正边形的所有外角都相等，任意边形的外角和为，正边形共有个外角， 任意一个外角的度数为． 9．如图，将2个正六边形螺母放在地面l上，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：如图． 由题意得， ， ． 10．如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，根据题意得出，，根据三角形内角和定理求得，进而根据三角形外角的性质求得，进而根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，点的对应点落在靠近的三等分线上，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 11．如图，已知，为的边上的一点，且，．则________． 【答案】 【分析】首先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可以求出，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：， ， ， ， 在中， ． 12．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于_______． 【答案】14 【分析】本题主要考查了多边形内角和、解一元一次方程等知识点，牢记“多边形的内角和一定是的整数倍”是解题的关键． 设少输入的内角为，则；由结合可得：，再将代入，解关于n的方程即可． 【详解】解：设少输入的内角为， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴， ∴， 解得：． 故答案为14． 三、解答题 13．若一个正多边形除去一个外角后剩余的外角的和为． (1)求这个正多边形的边数与内角和的度数． (2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？ 【答案】(1)9， (2)6条线段 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟记多边形的内角和公式与外角和定理，三角形具有稳定性． （1）根据除去一个外角后剩余的外角的和为，求出这个外角的度数，即可求出这个正多边形的边数，再根据多边形内角和公式即可解答； （2）根据三角形具有稳定性结合过一个顶点作出所有对角线即可得解． 【详解】（1）解：多边形的外角和为， 除去的外角的度数为， 又正多边形每个外角都相等， 这个正多边形的边数为， 这个正多边形的内角和为； （2）解：要使正九边形具有稳定性，至少应添加条线段． 14．小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键． (1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解； (2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解． 【详解】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件， 得． 因为n为自然数，，且， 故取， 得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． （2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为， 则由条件，得． 因为n为自然数，，且， 故取，得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． 15．如图，在七边形中，的延长线交于点0，若，，，对应的邻补角和等于，求的度数 【答案】 【分析】本题考查多边形的外角和、三角形的内角和及其外角性质，先根据多边形的外角和为求得，进而利用三角形的外角性质得到，然后根据三角形的内角和为求解即可． 【详解】解：延长交于，七边形中，1，2，3，4对应的邻补角和等于 ∴，，三角的外角和为： ∴ 又， ∴ ∴． 16．如图，在中，点在上，点在上，交于，已知交于，交于，． (1)求的度数． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直的定义可得，然后求出，再根据两直线平行，同位角相等可得； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， ； （2）解：，， ， ， ． 17．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是充分利用（1）中结论解决问题． （1）利用三角形内角和证明即可； （2）利用先求出，根据平分求出，再根据求出，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $