湖北武汉市东西湖区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

武汉市东西湖区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．“在某平台上购买一张《疯狂动物城2》的电影票，票上的座位号恰好是奇数”，这个事件是（　　） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 2．近日，央视公布了2026年马年春晚主题“骐骥驰骋，势不可挡”．下列生肖剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣1）2＝1 4．以点（1，2）为圆心画⊙P，若⊙P的半径r＝1，则⊙P与x轴的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 5．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 6．把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（　　） A．（﹣4，0） B．（0，0） C．（0，2） D．（4，2） 7．某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（　　） A． B． C． D． 8．如图，△ABC中，∠ACB＝78°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到△EDC．若点D恰好落在AB边上，且AD＝CD，则∠E的度数为（　　） A．30° B．32° C．34° D．35° 9．如图，AB是⊙O的直径，弦AC上有一点E，连结OE、BE，若AE＝AO，∠BEO＝45°，OE＝4，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 10．如图1，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，BC＝15cm，点P从点B出发，沿B→C→D以1cm/s的速度匀速运动到点D，图2是点P运动时，线段OP的长y（cm）随时间t（s）变化的函数关系图象，其中E，F分别是两段曲线的最低点，则△ABC的周长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称点的坐标是　 　 ． 12．若反比例函数的图象位于第一，第三象限，则k的值可以是（只要写出一个满足条件的k值） 　 　 ． 13．为了积极响应“中央关于增强国民健康基础，促进健康中国战略发展”，东西湖区五环体育中心暑假期间（每日上午9：00—12：00）向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次．若进场人次的周平均增长率相同，为求进场人次的周平均增长率．设进场人次的周平均增长率x，依题意可列方程为　 　 ． 14．已知一个圆锥底面半径为2，母线长为5，则这个圆锥的全面积为　 　 ．（结果保留π） 15．如图1，在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC＝60°，则∠A＝　 　 ，如图2，，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则CE的长为　 　 ． 16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且：2＜m＜3．有下列结论：①abc＜0；②9a﹣3b+c＞0；③；④关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线．y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，当y1＜y3＜y2时，则n的取值范围为n＜0．其中正确的是　 　 ．（只用填序号即可） 三、解答题（共8小题，共72分） 17．已知x1＝3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，求a的值和方程的另一根x2． 18．如图，△ABC是等边三角形，将△ABM旋转一定角度后得到△CBN，连接MN，CM． （1）旋转中心是　 　 ，旋转方向是　 　 （填顺时针或逆时针），旋转角度为　 　 （取最小旋转角度）； （2）若∠AMB＝150°，求∠MNC的度数． 19．武汉因为早餐的种类丰富，品种繁多，被称为“碳水之都”．某早餐店供应的早餐种类有：“热干面”、“面窝”、“生煎包”、“锅贴饺”（分别记为A、B、C、D）；现有小童，小张，小刘三位同学利用2026年元旦假期到武汉旅游，他们到这个早餐店就餐： （1）请你用列举法求小童，小张同时选择同一种美食的概率； （2）请你直接写出小童，小张，小刘三位同学同时选择同一种美食的概率． 20．如图，点A，B，D在⊙O上，BD是直径，点I是△ABD的内心，连接AI，并延长交⊙O于点C，过点C作（CE∥BD交AB的延长线于点E）． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 21．如图是由边长为1的小正方形构成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙P经过A，B、C三个格点，点D是⊙P与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图1中，画圆心P，并画出弧BC的中点Q； （2）在图2中，①在格线AB上画出点E，使EC+ED最小； ②在AB下方的半圆上，画弦BF，使BF＝2． 22．排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． （1）直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式　 　 ；（不写x的取值范围） （2）若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元？ （3）为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 23．【问题情境】正方形是我们熟悉的几何图形，八年级一班小明同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下的探究：如图①，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F． （1）求证：OE＝OF； 【尝试探究】（2）如图②，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE交EB的延长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）若AB＝2，点E在线段AC上（不与端点A，C重合）运动，请你直接写出CM的最小值． 24．抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图1，若P是直线BC下方抛物线上的点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，作y轴的平行线交线段BC于点N，若，求点P的横坐标； （3）如图2，直线EF：y＝mx+n交抛物线于E、F两点，直线BE，BF分别交y轴于M、N两点，若，求O到直线EF距离的最大值． 武汉市东西湖区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A B A C C B D 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．“在某平台上购买一张《疯狂动物城2》的电影票，票上的座位号恰好是奇数”，这个事件是（　　） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【解答】解：“在某平台上购买一张《疯狂动物城2》的电影票，票上的座位号恰好是奇数”，是随机事件， 故选：C． 2．近日，央视公布了2026年马年春晚主题“骐骥驰骋，势不可挡”．下列生肖剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：A、选项图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，是轴对称图形，符合题意； D、选项图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 3．用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣1）2＝1 【答案】A 【分析】将x2﹣6x﹣1＝0变形即可得出答案． 【解答】解：移项得x2﹣6x＝1， 配方得x2﹣6x+9＝1+9， （x﹣3）2＝10， 故选：A． 4．以点（1，2）为圆心画⊙P，若⊙P的半径r＝1，则⊙P与x轴的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求出点P到x轴的距离，再根据直线与圆的位置关系得出选项即可． 【解答】解：∵点P的坐标为（1，2）， ∴点P到x轴的距离是2， ∵⊙P的半径r＝1，1＜2， ∴以点P（1，2）为圆心，⊙P与x轴的位置关系相离， 故选：A． 5．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 【答案】B 【分析】根据反比例函数的增减性求解即可． 【解答】解：∵k＝﹣8＜0， ∴图象在二、四象限，且同一象限内y随x的增大而增大， ∵点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在反比例函数的图象上，﹣2＜0＜1＜3， ∴y1＞0，y2＜y3＜0， ∴y2＜y3＜y1． 故选：B． 6．把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（　　） A．（﹣4，0） B．（0，0） C．（0，2） D．（4，2） 【答案】A 【分析】依据题意，由“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可． 【解答】解：由题意，∵抛物线为， ∴由先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则根据平移规律可得新抛物线为：． ∴平移后抛物线的顶点坐标为（﹣4，0）， 故选：A． 7．某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用树状图表示从标有10元、20元、30元的三个小球中，随机摸出两个小球，所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【解答】解：从标有10元、20元、30元的三个小球中，随机摸出两个小球，所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中两球上金额的和为50元的有2种， 所以两球上金额的和为50元的概率是． 故选：C． 8．如图，△ABC中，∠ACB＝78°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到△EDC．若点D恰好落在AB边上，且AD＝CD，则∠E的度数为（　　） A．30° B．32° C．34° D．35° 【答案】C 【分析】由旋转得DC＝BC，∠E＝∠A，由AD＝CD，得∠DCA＝∠A，则∠B＝∠CDB＝∠DCA+∠A＝2∠A，而∠ACB＝78°，根据三角形内角和定理得∠A+2∠A+78°＝180°，求得∠E＝∠A＝34°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△EDC， ∴DC＝BC，∠E＝∠A， ∵AD＝CD， ∴∠DCA＝∠A， ∵点D恰好落在AB边上， ∴∠B＝∠CDB＝∠DCA+∠A＝2∠A， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，且∠ACB＝78°， ∴∠A+2∠A+78°＝180°， ∴∠E＝∠A＝34°， 故选：C． 9．如图，AB是⊙O的直径，弦AC上有一点E，连结OE、BE，若AE＝AO，∠BEO＝45°，OE＝4，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点A和点B作OE的垂线，根据全等三角形的判定与性质进行计算即可． 【解答】解：分别过点A和点B作OE的垂线，垂足分别为M和N， 则∠AMO＝∠BNO＝90°． ∵AE＝AO，AM⊥OE， ∴MO＝ME． 在△AMO和△BNO中， ， ∴△AMO≌△BNO（AAS）， ∴ON＝OM＝2， ∴EN＝4+2＝6． 又∵∠BEO＝45°， ∴△BEN是等腰直角三角形， ∴BN＝EN＝6． 在Rt△BON中， BO． 故选：B． 10．如图1，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，BC＝15cm，点P从点B出发，沿B→C→D以1cm/s的速度匀速运动到点D，图2是点P运动时，线段OP的长y（cm）随时间t（s）变化的函数关系图象，其中E，F分别是两段曲线的最低点，则△ABC的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图②中点E的纵坐标为5，可得此时OP⊥BC时OP的值为5cm；根据点F的纵坐标为3可得OP⊥CD时OP的值为3cm，易得S△BOC＝S△COD，那么可得CD的长，即为AB的长，又OP＝5cm，OB＝5cm，则BP10（cm），可得CP＝BC﹣BP＝15﹣10＝5（cm），从而OC5（cm），进而可得AC＝2OC＝10cm，最后计算可以得解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD， ∴S△BOC＝S△COD， ∵E，F分别是两段曲线的最低点，点E的纵坐标为5，点F的纵坐标为3， ∴△BCO中BC边上的高OP为5cm，△COD中CD边上的高为3cm， ∵BC＝15cm， ∴15×5CD×3， 解得：CD＝5cm， ∴AB＝5cm． 如图，OP＝5cm，OB＝5cm， ∴BP10（cm）． ∴CP＝BC﹣BP＝15﹣10＝5（cm）． ∴OC5（cm）． ∴AC＝2OC＝10cm． ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝（51015）cm． 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称点的坐标是　（1，2）　 ． 【答案】（1，2） 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【解答】解：点（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2）． 12．若反比例函数的图象位于第一，第三象限，则k的值可以是（只要写出一个满足条件的k值） 　3（答案不唯一）　 ． 【答案】3（答案不唯一）． 【分析】根据反比例函数性质解答即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一，第三象限， ∴k﹣2＞0，即k＞2， 不妨取k＝3， 故答案为：3（答案不唯一）． 13．为了积极响应“中央关于增强国民健康基础，促进健康中国战略发展”，东西湖区五环体育中心暑假期间（每日上午9：00—12：00）向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次．若进场人次的周平均增长率相同，为求进场人次的周平均增长率．设进场人次的周平均增长率x，依题意可列方程为　1000（1+x）2＝1440　 ． 【答案】1000（1+x）2＝1440． 【分析】利用第三周进场人次＝第一周进场人次×（1+进场人次的周平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：1000（1+x）2＝1440． 故答案为：1000（1+x）2＝1440． 14．已知一个圆锥底面半径为2，母线长为5，则这个圆锥的全面积为　14π　 ．（结果保留π） 【答案】14π． 【分析】分别求出圆锥的底面积及侧面积即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为圆锥底面半径为2， 所以圆锥的底面积为4π． 又因为圆锥的母线长为5， 所以圆锥的侧面积为π×2×5＝10π， 所以圆锥的全面积为：4π+10π＝14π． 故答案为：14π． 15．如图1，在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC＝60°，则∠A＝　90°　 ，如图2，，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则CE的长为　　 ． 【答案】90°，． 【分析】取BC的中点，再结合等边对等角进行计算即可；将△ABD绕点A逆时针旋转120°，再结合全等三角形的判定与性质进行计算即可． 【解答】解：取BC中点M，连接AM， ∵点M为BC中点， ∴BC＝2BM． ∵BC＝2AB， ∴BM＝AB． ∵∠ABC＝60°， ∴AM＝AB，∠AMB＝60°， ∴AM＝MC， ∴∠C＝∠CAM＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°． 将△ABD绕点A逆时针旋转120°，如图所示， 由旋转可知， AH＝AD，∠BAD＝∠CAH，BD＝CH， ∴∠HAE＝∠CAH+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠HAE＝∠DAE． 在△DAE和△HAE中， ， ∴△DAE≌△HAE（SAS）， ∴HE＝DE． ∵BD＝CH，BD＝2CE， ∴CH＝2CE． 在△HCE中， ∠HCE＝60°，CH＝2CE， ∴∠CEH＝90°， ∴HE， ∴BC＝（3）CE． ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴BC＝6， 则（3）CE＝6， 解得CE． 故答案为：90°，． 16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且：2＜m＜3．有下列结论：①abc＜0；②9a﹣3b+c＞0；③；④关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线．y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，当y1＜y3＜y2时，则n的取值范围为n＜0．其中正确的是　①③④⑤　 ．（只用填序号即可） 【答案】①③④⑤． 【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为（﹣2，0），则当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即可判断②；根据b＝﹣2a，2＜c＜3，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；根据直线y＝x+2与抛物线的交点情况即可判断④；根据y1＜y3＜y2，结合函数图象分析，即可得出，进而判断⑤，即可求解． 【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a＜0，对称轴为直线x＝1，则1，∴b＝﹣2a＞0， 又∵抛物线与y轴交点坐标是（0，m），即c＝m， ∵2＜m＜3，即c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），对称轴为直线x＝1， ∴另一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，故②错误； ∵（﹣2，0），（4，0）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上， ∴4a﹣2b+c＝0， 又∵b＝﹣2a， ∴4a+4a+c＝0， ∴8a+c＝0即c＝﹣8a， ∵2＜m＜3，即2＜c＜3， ∴2＜﹣8a＜3， ∴23，即， 当x＝1时，y取得最大值，最大值为a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a， ∴y最大值＝﹣9a， ∴，故③正确； ∵直线y＝x+2中，当x＝﹣2时，y＝0，当x＝0时，y＝2， ∴直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）交于点（﹣2，0），直线与y轴的交点在C点的下方， ∴直线y＝x+2与抛物线一定有两个交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根，故④正确； ∵若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上， 且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3， ∴2n+1＜x1+x2＜2n+3，2n+3＜x2+x3＜2n+5，2n+2＜x1+x3＜2n+4， ∵存在y1＜y3＜y2， ∴，，， 即，，， 解得n＜0，故⑤正确； 故答案为：①③④⑤． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．已知x1＝3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，求a的值和方程的另一根x2． 【答案】a＝﹣3，x2＝﹣1． 【分析】由根与系数的关系得，即可求出x2的值，再根据一元二次方程的解的定义把x1＝3代入方程x2﹣2x+a＝0中即可求出a的值． 【解答】解：由根与系数的关系得， ∵x1＝3， ∴x2＝﹣1， 把x1＝3代入方程x2﹣2x+a＝0中，得32﹣2×3+a＝0， 解得a＝﹣3． 18．如图，△ABC是等边三角形，将△ABM旋转一定角度后得到△CBN，连接MN，CM． （1）旋转中心是　点B ，旋转方向是　顺时针　 （填顺时针或逆时针），旋转角度为　60°　 （取最小旋转角度）； （2）若∠AMB＝150°，求∠MNC的度数． 【答案】（1）点B，顺时针，60°． （2）∠MNC的度数是90°． 【分析】（1）由等边三角形的性质得AB＝CB，∠ABC＝60°，可知将△ABM绕点B沿顺时针方向旋转60°后得到△CBN，于是得到问题的答案． （2）由旋转得BN＝BM，∠MBN＝60°，∠CNB＝∠AMB＝150°，可证明△MBN是等边三角形，则∠BNM＝60°，则∠MNC＝∠CNB﹣∠BNM＝90°． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝CB，∠ABC＝60°， ∴将△ABM绕点B沿顺时针方向旋转60°后得到△CBN， ∴旋转中心是点B，旋转方向是顺时针，旋转角度为60°， 故答案为：点B，顺时针，60°． （2）由旋转得BN＝BM，∠MBN＝60°，∠CNB＝∠AMB＝150°， ∴△MBN是等边三角形， ∴∠BNM＝60°， ∴∠MNC＝∠CNB﹣∠BNM＝90°， ∴∠MNC的度数是90°． 19．武汉因为早餐的种类丰富，品种繁多，被称为“碳水之都”．某早餐店供应的早餐种类有：“热干面”、“面窝”、“生煎包”、“锅贴饺”（分别记为A、B、C、D）；现有小童，小张，小刘三位同学利用2026年元旦假期到武汉旅游，他们到这个早餐店就餐： （1）请你用列举法求小童，小张同时选择同一种美食的概率； （2）请你直接写出小童，小张，小刘三位同学同时选择同一种美食的概率． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）用树状图表示小童，小张从“热干面”、“面窝”、“生煎包”、“锅贴饺”（分别记为A、B、C、D）任意选择一种，所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可； （2）用列表法表示小童，小张从“热干面”、“面窝”、“生煎包”、“锅贴饺”（分别记为A、B、C、D）任意选择一种，所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）小童，小张从“热干面”、“面窝”、“生煎包”、“锅贴饺”（分别记为A、B、C、D）任意选择一种，所有等可能出现的结果如下： 共有16种等可能出现的结果，其中小童、小张同时选择同一种美食的有4种， 所以小童、小张同时选择同一种美食的概率为； （2）小童，小张，小刘从“热干面”、“面窝”、“生煎包”、“锅贴饺”（分别记为A、B、C、D）任意选择一种，所有等可能出现的结果如下： 小童小张小刘 小童小张小刘 小童小张小刘 小童小张小刘 AAA BAA CAA DAA AAB BAB CAB DAB AAC BAC CAC DAC AAD BAD CAD DAD ABA BBA CBA DBA ABB BBB CBB DBB ABC BBC CBC DBC ABD BBD CBD DBD ACA BCA CCA DCA ACB BCB CCB DCB ACC BCC CCC DCC ACD BCD CCD DCD ADA BDA CDA DDA ADB BDB CDB DDB ADC BDC CDC DDC ADD BDD CDD DDD 共有64种等可能出现的结果，其中小童，小张，小刘同时选择同一种美食的有4种， 所以小童，小张，小刘同时选择同一种美食的概率为． 20．如图，点A，B，D在⊙O上，BD是直径，点I是△ABD的内心，连接AI，并延长交⊙O于点C，过点C作（CE∥BD交AB的延长线于点E）． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接OC， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵点I是△ABD的内心， ∴AI平分∠BAD， ∴∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∵CE∥BD． ∴∠OCE＝180°﹣∠BOC＝90°， ∴OC⊥CE， ∵OC是⊙O的半径，且OC⊥CE， ∴CE是⊙O的切线． （2）42﹣9π． 【分析】（1）连接OC，易证∠BOC＝2∠BAC＝90°，再根据CE∥BD，即可得证； （2）作BF⊥CE于点F，易得矩形BOCF是正方形，设OB＝3x，则BF＝CF＝3x，CE＝4x，EF＝x，在Rt△BEF中利用勾股定理求出x，即可求解． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵点I是△ABD的内心， ∴AI平分∠BAD， ∴∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∵CE∥BD． ∴∠OCE＝180°﹣∠BOC＝90°， ∴OC⊥CE， ∵OC是⊙O的半径，且OC⊥CE， ∴CE是⊙O的切线． （2）解：作BF⊥CE于点F， 则∠BFE＝∠BFC＝90°， ∵∠BFC＝∠OCF＝∠BOC＝90°， ∴四边形BOCF是矩形， ∵OC＝OB， ∴矩形BOCF是正方形． ∴BF＝CF＝OB， 设OB＝3x，则BF＝CF＝3x，CE＝4x， ∴EF＝CE﹣CF＝x， 在Rt△BEF中，BE2＝BF2+EF2， ∴， ∴x＝2（舍弃负值）， ∴EF＝2，BF＝6， ∴， ∴阴影部分的面积为42﹣9π． 21．如图是由边长为1的小正方形构成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙P经过A，B、C三个格点，点D是⊙P与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图1中，画圆心P，并画出弧BC的中点Q； （2）在图2中，①在格线AB上画出点E，使EC+ED最小； ②在AB下方的半圆上，画弦BF，使BF＝2． 【答案】（1）如图，P，Q就是所求作的点； （2）如图，①E即为所求作的点；②如图，弦BF即为所求作的弦． 【分析】（1）如图，由AB为直径，利用小矩形的对角线相等且互相平分，确定AB的中点即可；先确定弦的中点，再过弦的中点作半径PQ即可； （2）①确定D关于AB的对称点D'，再连接CD'，与AB的交点即为点E； ②利用网格图的特点确定使BD∥B'D'的格点B'，B'D'与圆的交点即为点F． 【解答】解：（1）如图，P，Q就是所求作的点； （2）如图，①E即为所求作的点；②如图，弦BF即为所求作的弦． 22．排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． （1）直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式y＝40+10x ；（不写x的取值范围） （2）若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元？ （3）为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 【答案】（1）y＝40+10x； （2）该品牌牛奶当天的售价应定53元/箱； （3）超市盈利最大为900元． 【分析】（1）根据销售问题，销售数量与销售单价之间的关系建立等式就可以求出y与x之间的函数关系式； （2）令w＝880，解出x的值，再根据函数的性质确定出盈利不低于880元时x的取值范围，从而确定粗当天的售价； （3）先根据单价范围确定x的取值范围，再列出利润的二次函数表达式，根据二次函数的单调性求最大值． 【解答】解：（1）∵价格每降低1元，平均每天多销售10箱， ∴每箱降价x元，平均每天多销售10x箱， ∴每天销售y与x之间的关系式为：y＝40+10x， 故答案为：y＝40+10x； （2）由题意得： w＝（60﹣45﹣x）（40+10x） ＝（15﹣x）（40+10x） ＝﹣10x2+110x+600， 当利润为880元时，﹣102+110x+600＝880， 解得：x1＝4，x2＝7， ∴60﹣x＝56或53， 为了让消费者获得更多实惠， ∴该品牌牛奶当天的售价应定53元/箱； （3）排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元， 即47≤60﹣x≤56， 解得4≤x≤13， 由题意得：w＝（60﹣45﹣x）（40+10x） ＝（15﹣x）（40+10x） ＝﹣10x2+110x+600 ＝﹣10（x）2+902.5， ∵x为整数， ∴x＝5或6， ∴当x＝5时，超市盈利最大为900元， 当x＝6时，超市盈利最大为900元． 23．【问题情境】正方形是我们熟悉的几何图形，八年级一班小明同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下的探究：如图①，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F． （1）求证：OE＝OF； 【尝试探究】（2）如图②，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE交EB的延长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）若AB＝2，点E在线段AC上（不与端点A，C重合）运动，请你直接写出CM的最小值． 【答案】（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴∠AOF＝∠BOE＝90°，AO＝OB， ∴∠OBE+∠OEB＝90°， ∵AM⊥BE． ∴∠OAF+∠OEB＝90°， ∴∠OAF＝∠OBF． 在△AOF和△BOE中， ， ∴△AOF≌△BOE（ASA）， ∴OF＝OE． （2）OE＝OF成立，理由如下： ∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴∠AOF＝∠BOE＝90°，AO＝BO． ∵AM⊥BE， ∴∠BMF＝∠BOE＝90°， ∵∠MBF＝∠OBE， ∴∠F＝∠E． 在△AOF和△BOE中， ∴△AOF≌△BOE（AAS）， ∴OF＝OE． （3）． 【分析】（1）由正方形的对角线相等且互相垂直平分易得∠AOF＝∠BOE＝90°，AO＝BO，结合AM⊥BE，利用ASA证明△AOF≌△BOE，即可解答； （2）易得∠AOF＝∠BOE＝90°，AO＝BO，结合AM⊥BE，利用AAS证明△AOF≌△BOE，即可解答； （3）先证△AOF≌△BOE（SAS），可得四边形OFME对角互补，则∠AMB＝90°，即△ABM为直角三角形，取AB中点H，求出HM，CH，利用三边关系即可得解． 【解答】（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴∠AOF＝∠BOE＝90°，AO＝OB， ∴∠OBE+∠OEB＝90°， ∵AM⊥BE． ∴∠OAF+∠OEB＝90°， ∴∠OAF＝∠OBF． 在△AOF和△BOE中， ， ∴△AOF≌△BOE（ASA）， ∴OF＝OE． （2）解：OE＝OF成立，理由如下： ∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴∠AOF＝∠BOE＝90°，AO＝BO． ∵AM⊥BE， ∴∠BMF＝∠BOE＝90°， ∵∠MBF＝∠OBE， ∴∠F＝∠E． 在△AOF和△BOE中， ∴△AOF≌△BOE（AAS）， ∴OF＝OE． （3）如图， 当点E在线段AC上时，同（1）可得OE＝OF， 在正方形ABCD中，OA＝OB，∠AOF＝∠BOE＝90°， ∴△AOF≌△BOE（SAS）， ∴∠AFO＝∠BEO， ∵∠AFO+∠OFM＝180°， ∴∠BEO+∠OFM＝180°， ∴∠BOE+∠FME＝180°， ∴∠FME＝90°， ∴∠AMB＝90°，即△ABM为直角三角形， 取AN中点H，连接HM、CH、CM， 则HMAB＝1，CH， 在△CMH中，根据三边关系可得CM≥CH﹣HM， 故CM的最小值为． 24．抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图1，若P是直线BC下方抛物线上的点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，作y轴的平行线交线段BC于点N，若，求点P的横坐标； （3）如图2，直线EF：y＝mx+n交抛物线于E、F两点，直线BE，BF分别交y轴于M、N两点，若，求O到直线EF距离的最大值． 【答案】（1）A（1.0），B（﹣5，0），； （2）P点横坐标为或﹣5； （3）点O到直线EF距离的最大值为． 【分析】（1）分别令x＝0和y＝0即可求解； （2）设，则，N（t，），分别求出PM和PN，建立方程求解即可； （3）设参可得直线EF的解析式为y，直线BE的解析式为y，直线BF的解析式为y，再根据，得到e、f的关系式即可得解． 【解答】解：（1）对于， 令x＝0，得y，令y＝0，得x＝1或﹣5； ∴A（1.0），B（﹣5，0），； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把B（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得： ，解得：． ∴直线BC解析式为：， 设，则，N（t，）， ∴PM＝|2t+4|，PN， ∵PM， ∴|2t+4|， 解得t或t＝﹣5， ∵﹣5＜t＜0， ∴P点横坐标为或﹣5； （3）设直线EF的解析式为y＝mx+n，xE＝e，xF＝f， 联立， 可得． ∴e+f＝2（m﹣2），ef＝﹣5﹣2n， ∴，n， ∴直线EF的解析式为y， 同理可证：直线BE的解析式为y， 直线BF的解析式为y， 令x＝0，则，N（0，）， ∴OM，ON， ∵， ∴， ∴e+f＝ef﹣5． ∴直线EF的解析式为y， 即y， ∴直线EF过定点（1，﹣3）． ∴点O到直线EF距离的最大值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $