第3讲：复数【十大题型】-2025-2026学年高一数学下学期期中核心考点题型讲义（人教A版必修第二册）

第3讲：复数高频考点题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：复数的有关概念及其性质 · 考点二：虚数单位i及其性质 · 考点三：复数的分类 · 考点四：复数代数形式的四则运算 · 考点五：复数的模 · 考点六：复数的几何意义 · 考点七：复数最值问题 · 考点八：复数的三角形式 · 考点九：复数的方程与因式分解 · 考点十：复数的综合问题 【知识梳理】 知识点一：．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)． (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0 a＋bi为虚数⇔b≠0 a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0 (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 知识点二．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 知识点三．复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－. 知识点四：复数的三角表示 1、复数的三角表示式 （1）复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. （2）辐角主值：规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz. 2、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 （1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. （2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 【题型归纳】 题型一：复数的有关概念及其性质 【典例1】．（25-26高一下·河北邢台·月考）已知复数，，且是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BC 【分析】应用特殊值法计算判断A，应用共轭复数及复数乘法计算判定B，C，特殊值法应用复数的乘法及模长公式计算判定D. 【详解】对于A，取，且，则，，显然，故A错误； 对于B，设，则，故B正确； 对于C，由可得，因为是非零复数，所以，即，故C正确； 对于D，取，，则，，故D错误. 【变式1】．（25-26高一下·湖南·月考）已知，为复数，有以下四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，错误； B，设，，， 由，得，则，， 因此，，正确； C，取，，满足， 而，，，错误； D，由，得，都是实数，因此，正确. 【变式2】．（25-26高一下·安徽安庆·月考）已知，是复数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，设，，则，但，不能比较大小，A错误； 对于B，由复数的几何意义可知，B正确； 对于C，由，得，又，，所以，C正确； 对于D，设，则， 所以，D正确. 题型二：虚数单位i及其性质 【典例2】．（24-25高一下·山东泰安·月考）已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（   ）. A．复数的虚部为 B． C． D．复数满足，则的最大值为 【答案】BD 【分析】对于A：根据虚部的概念分析判断；对于B：根据虚数单位的性质运算求解；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的几何意义结合圆的性质分析判断. 【详解】对于选项A：复数的虚部为，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：例如，则，此时，故C错误； 对于选项D：设复数在复平面内对应的点分别为， 因为，即，其中为坐标原点，可知点在标准单位圆上， 可得， 所以的最大值为，故D正确； 故选：BD. 【变式1】．（23-24高一下·吉林通化·期中）下列命题错误的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用复数不等比大小可判断A选项；利用虚数单位的性质可判断B选项；利用纯虚数的概念可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，复数不能比大小，故A错误； 对于B选项，因为，故，故B错误； 对于C选项，因为，所以是纯虚数，故C正确； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：ABD. 【变式2】．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．复数的虚部为 B．若为虚数单位，则 C．在复数集中，方程有两个解，依次为 D．已知是虚数单位，若，则实数1 【答案】BC 【分析】根据复数虚部的定义可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；根据复数方程的根可判断C；根据复数的乘法和复数相等的条件求出的值可判断D. 【详解】复数的虚部为，A选项错误； 若为虚数单位，则，B选项正确； ， 所以在复数集中，方程有两个解，依次为，C选项正确； 已知是虚数单位，若，则，有， 解得，D选项错误. 故选：BC. 题型三：复数的分类 【典例3】．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知复数与都是纯虚数，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】设，根据复数的运算与复数的概念可得出关于实数的等式或不等式，解出的值，即可得解. 【详解】根据题意，设， 则为纯虚数， 所以，解得，故. 故选：D. 【变式1】．（24-25高一下·山西·期中）已知复数（），且为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据共轭复数的定义结合复数乘法计算，最后应用纯虚数的定义计算求解. 【详解】由题知，，则. 又是纯虚数，则且， 得. 故选：D. 【变式2】．（24-25高一下·天津·期中）已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（    ） A． B． C．-3 D．3 【答案】C 【分析】由纯虚数的概念列出等式求出，即可求解. 【详解】由题意：，解得：， 所以，虚部为， 故选：C 题型四：复数代数形式的四则运算 【典例4】．（25-26高一下·湖南怀化·月考）（1）已知复数满足，求与； （2）计算：． 【答案】（1）,; （2）. 【详解】解: （1）设,那么 由可得，，即，所以，解得，故,; （2）. 【变式1】．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）已知复数，（为虚数单位），求： (1)的模； (2)； (3)若，求的共轭复数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据复数的加法运算法则求，再求. （2）根据复数的乘法法则求值. （3）根据共轭复数的定义求解. 【详解】（1）， . （2） （3）因为，所以. 【变式2】．（25-26高一下·浙江宁波·期中）复数其中，复数满足，其中为虚数单位． (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求与； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据虚数的定义求解即可. （2）根据复数的乘除法运算法则和共轭复数的定义、复数的模的公式进行计算即可. （3）先根据复数的模的公式计算出，然后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】（1）因为复数为虚数，所以，所以. （2）因为复数满足，所以， 化简得，所以. 所以. （3）因为复数，，所以. 所以， 根据二次函数的性质可得，所以， 所以的最小值为. 题型五：复数的模 【典例5】．（25-26高一下·陕西西安·期中）已知为复数，若（为虚数单位），则______. 【答案】 【详解】设（），则其共轭复数， 得， 故，，即， . 【变式1】．（25-26高一下·山东淄博·月考）已知复数满足，则___________. 【答案】 【分析】设的代数形式为代入已知方程，利用两个复数相等得的方程组，解方程组可得. 【详解】设，则， 则， 可得，解得， 即，所以. 【变式2】．（25-26高二上·重庆·开学考试）已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据复数运算的几何意义求解. 【详解】因为， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆. 如图：    又因为表示点到的距离， 且， 所以. 故答案为： 题型六：复数的几何意义 【典例6】．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知复数满足，则的值为______． 【答案】 【分析】根据复数的乘方求出复数z，结合复数的模的计算，即可得答案. 【详解】复数满足，即， 故，则， 故答案为： 【变式1】．（25-26高一下·江苏无锡·月考）设复数满足，则在复平面内对应的点位于第_____象限. 【答案】一 【详解】因， 则复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 【变式2】．（24-25高一下·青海西宁·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【分析】根据对应的点在第三象限，则实部虚部均小于列不等式即可求解. 【详解】由题意得，解得， 则实数的取值范围为 故答案为：. 题型七：复数最值问题 【典例7】．（24-25高一下·山西晋城·期中）已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】将复数化简，令其对应的实部大于，虚部小于，即可求出对应的实数的取值范围. 【详解】 ， 令则，得. 故答案为：. 【变式1】．（25-26高二上·湖南长沙·期中）复数满足，则的最大值为________． 【答案】6 【分析】由复数的模的几何意义确定复数对应点的轨迹，问题转化为圆上一点到点的距离最大值，即可得结果. 【详解】设复数. 由复数的模的几何意义可知， 表示复数对应的点到点的距离. 因为，所以，即， 这表示点在以原点为圆心，半径的圆上. 因为，所以由圆的性质可知， 点到点的距离的最大值为， 即的最大值为6. 故答案为：6 【变式2】．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知复数满足，则的最小值为_____. 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，复数对应的点，表示点与点的距离为1， 因此点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，又表示点与点的距离， ，所以的最小值. 故答案为：2 题型八：复数的三角形式 【典例8】．（24-25高一下·云南玉溪·月考）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【答案】BCD 【分析】求出，即可判断A；根据的范围求出的符号，再根据复数的几何意义即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据共轭复数的定义即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，，故A错误； 对于B，，而，则、， 故位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以， 又因为，所以，故D正确． 故选：BCD． 【变式1】．（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为______． 【答案】 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可求得旋转后的复数，根据虚部的定义求解即可. 【详解】由题意，复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转， 可得， 所以，所得的向量对应的复数虚部为. 故答案为：. 【变式2】．（23-24高一下·内蒙古乌海·期中）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第____象限. 【答案】四 【分析】根据欧拉公式及复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由题意得， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故答案为：四. 题型九：复数的方程与因式分解 【典例9】．（25-26高一下·安徽安庆·月考）已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的概念求得m的值； （2）将复数代入方程中，结合复数相等求出p，q的值. 【详解】（1）由题意可知：， 因为z是纯虚数，则，解得. （2）因为是关于的方程的一个根， 则，整理得， 则，解得，，所以. 【变式1】．（25-26高一下·重庆·月考）已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． (1)求z； (2)设，若在第二象限，求实数t的取值范围； (3)若复数z是方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用已知求得，可得z； （2）结合（1），利用在第二象限，可得t所满足的条件，进而求得实数t的取值范围； （3）利用实系数方程的根的性质可得，计算可求得的值． 【详解】（1）设． 因为为实数，所以，故， 又， 因为它是纯虚数，所以其实部为0，即，故． （2）由（1）知，所以其共轭复数为． 因此． 因为在第二象限，所以 由，得． 由，得，得． 综上，． （3）因为方程系数为实数，所以另一个根为． 于是． 故，，所以． 【变式2】．（24-25高一下·江苏无锡·月考）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由复数的类型可得的实部为0，虚部不为0，以此求解即可； （2）利用实系数二次方程根与系数的关系及模长条件，求出，再代入所求式子化简即可. 【详解】（1）由题意得， 若复数为纯虚数，则有，且，解得. （2）方程的判别式， 故有两共轭复数根，设，则另一个根为， 因为对应的点在第一象限，所以， 由韦达定理得，解得，且， 所以有，解得， 所以， 则. 题型十：复数的综合问题 【典例10】．（24-25高一下·贵州毕节·期中）设关于的方程是． (1)若方程有实数根，求锐角和实数根； (2)证明：对任意，方程无纯虚数根． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）先将原方程可化为，再根据复数相等的条件得出左边复数的实部与虚部都为0得到关于的方程组，解之即得． （2）利用反证法证明方程有纯虚数根，推出矛盾即可． 【详解】（1）原方程可化为，方程有实数根，设为， ∴. 又θ是锐角，故． （2）假设方程有纯虚数根，可设根为，，， 则化为， 即，可得， 因为，所以方程无实根. 故假设不成立，所以方程无纯虚数根． 【变式1】．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. (1)求的值； (2)求的值； (3)若复数满足，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，得，即可求解； （2）利用虚数单位的性质，即可求解； （3）设，根据条件，利用复数的几何意义和圆的性质，即可求解. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 则，解得，所以的值为. （2）由（1）知，又， 则， 所以. （3）设，由（1）知， 又，即，所以，即， 所以对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 又，其表示点到点的距离， 又，所以的最大值为. 【变式2】．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，是以点为圆心，为半径的上的点，点、关于直线对称，，．如果以线段所在直线为实轴，以线段所在直线为虚轴，建立复平面． 则两点在复平面内对应的复数分别为． (1)求的值； (2)求的正弦值； (3)点在何位置时，五边形的面积取到最大值，并求出该最大值． 【答案】(1)60 (2) (3)点是圆弧的中点， 【分析】（1）根据复数的几何意义得点的坐标，法1，求出向量的坐标，利用数量积的坐标运算求解；法2，求出及的夹角，利用数量积的定义求解； （2）法1，由题求出向量的坐标，利用向量夹角公式求出，进而求得答案；法2，由余弦定理求得，再由正弦定理求得答案； （3）因为的面积是定值，所以只需求的面积的最大值，即点是圆弧的中点时，由运算得解. 【详解】（1）解法一： 因为两点在复平面内对应的复数分别为， 所以,                                                 从而，                                          因此.                                      解法二： 因为两点对应的复数分别为， 所以,                                                 从而，                                        因此. （2）解法一： 由（1）知，，从而可得： .                                              所以，                           可得.                                     解法二：由（1）知，, 由余弦定理得： ，所以.                            由正弦定理得：, 所以得：. （3）由题意可知，的面积是定值，因为点与点关于直线对称， 所以只需求的面积的最大值即可. 在中，的长度是定值，故只需求点到直线的距离的最大值， 因为曲线为圆弧，所以当点是圆弧的中点时，点到直线的距离最大， 从而的面积达到最大.                                                连接,因为， 可知,    又因为,                        五边形的面积为，则有 . 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高一下·重庆·期中）设，则在复平面内z对应点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由，得对应点坐标，第三象限． 2．（2026·河北·一模）已知复数z满足z·(1+i) =1-2i，则|z| =（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用复数的运算法则及复数模定义计算即可. 【详解】由题意， 故. 3．（2026·重庆万州·模拟预测）若实系数一元二次方程的两个复数根分别为，，其中，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】依题意，互为共轭复数，由，得， 因此，A正确. 4．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先化简可得，再利用复数除法运算法则求出，结合复数的几何意义即可判断． 【详解】解：， ， 则在复平面内对应的点为，位于第一象限． 5．（25-26高一下·陕西榆林·月考）“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意知，当时，，复数，是纯虚数，充分性成立； 当复数为纯虚数时，有， 解得，必要性成立， 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 6．（2026·吉林白山·二模）若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定满足关系，，，，再证明，由此求结论. 【详解】因为，所以， 所以，，，， 所以， 所以复数，， 所以 即， 所以的共轭复数为，其虚部为. 7．（2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点对应的复数求出其坐标，再利用等边三角形的性质求出点的坐标，最后根据复数的几何意义得到点对应的复数，进而求出其虚部. 【详解】已知点对应的复数为，根据复数的几何意义，所以点的坐标为. 所以向量.又因为为等边三角形， 所以，且. 又因为，所以，即. 设，则. 又因为 而，联立方程组可得 或. 由题可知点在第二象限，所以即点的坐标为. 即点对应的复数为.所以虚部为. 故选：C. 8．（2026·重庆·一模）任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将化为三角形式，再根据棣莫弗定理化简求值，即得答案. 【详解】 ， 故选：C 二、多选题 9．（25-26高三下·陕西西安·月考）已知复数，为的共轭复数，则（   ） A． B．的虚部为-2 C． D．在复平面内，对应的点在第三象限 【答案】ACD 【详解】，，则A正确，B错误． ，，C正确． ，对应的点在第三象限，D正确． 10．（25-26高一下·山东济南·期中）已知，为复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．是纯虚数或零 C．若，则 D．若，是方程；的两根，则 【答案】BD 【分析】举例，，判断A；利用复数的运算法则判断B；利用反例法判断选项C．利用韦达定理计算判断选项D. 【详解】举例说明：若，，则，，， 但与都是虚数，不能比较大小，故A错； 设，则，故， 当时是零，当时，是纯虚数，B正确； 令，，满足，但，故， 不能推出，故C错误． 已知是方程的两根，由韦达定理得， ，故D正确. 11．（25-26高一下·浙江宁波·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．对于非零向量，若，则 B．对于复数，若，且，则 C．对于向量，若，则 D．对于复数，若，则 【答案】BC 【分析】由条件结合数量积的运算性质和向量垂直的向量表示可得，可判断A项，根据复数运算律可判断B项，由平面向量数量积公式可知计算可判断C项，举反例，可判断D项. 【详解】对于A项，，则可能，不能得出， 反例：取，满足，但，故A项错误； 对于B项，因为， 所以，又为非零复数， 所以，即，故B项正确； 对于C项，因为， 所以，所以，故C项正确； 对于D项，若，，则满足， 但此时，故D项错误. 12．（25-26高一下·江苏·月考）已知是复数，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于选项A，若，则，而，成立，故A正确. 对于选项B，设，则，那么，且，所以，故B正确. 对于选项C，举反例：，模都是1，但，故C错误. 对于选项D，设，且，则.若，则无定义，题目隐含，故D正确. 13．（25-26高一下·吉林四平·月考）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．任何两个复数不能比较大小； B．若，则或 C．若点Z坐标为，且z是关于x的实系数方程的一个根，则 D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 【答案】CD 【分析】根据复数的定义判断A；根据复数模的定义判断B；根据复数的运算判断C；根据复数模的几何意义判断D． 【详解】A选项：复数包含实数和虚数，虚数不能比较大小，但实数可以比较大小，故A错； B选项：设，则可以得到，即，有好多种情况， 例如，，，此时，故B错； C选项：若Z的坐标为，则， 又z是关于x的实系数方程的一个根， 所以， 所以，解得，，故C正确； D选项：设，则，即， 所以Z的集合所构成的图形为环形，如下所示： 所以面积为，故D正确． 三、填空题 14．（25-26高一下·陕西榆林·月考）已知为虚数单位，且，则______. 【答案】-1 【详解】由得，即， 所以解得，所以. 15．（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 【答案】 【详解】设，则， 由可得， 则，故. 16．（25-26高一下·河北唐山·月考），则________. 【答案】 【详解】由已知， 所以 . 17．（25-26高一下·福建三明·月考）已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 【答案】4 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上， 而表示圆上的点到定点的距离， 圆心到定点距离为： 所以（是虚数单位）的最小值为：. 四、解答题 18．（25-26高一下·广西南宁·月考）复数，其中． (1)若复数为实数，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）（2）根据复数的分类列式求解即可； （3）根据复数的几何意义列式求解即可. 【详解】（1）若复数为实数，则，解得或． （2）若复数为纯虚数，则，解得，所以． （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得，可得， 所以实数的取值范围为. 19．（25-26高一下·广西贵港·期中）已知复数，，其中． (1)当时，求的值； (2)若，求实数m的值； (3)若的实部大于1，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据复数的加法及复数的模求解即可. （2）根据复数的乘法及复数相等求解即可. （3）根据复数的除法结合已知条件求解即可. 【详解】（1）当时，，则， 故． （2）因为，，所以． 依题意得，解得． （3）由题意可得． 因为的实部大于1，所以， 解得． 20．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）结合已知条件，根据复数的四则运算法则计算即可； （2）将z代入二次方程即可求出m的值． 【详解】（1）复数为虚数单位， ， ∴复数的共轭复数； （2）是关于的方程的一个虚根， ，整理得：， 则，且， 解得：． 21．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z； （2）代入可得，求得，进而得到答案； （3）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可. 【详解】（1）设，则为实数，所以. 为实数，所以， 所以. （2）因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得，解得，， 所以. （3）， 由在第四象限，得， 解得或， 故的取值范围为. 22．（24-25高一下·重庆·期末）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数，，，，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数的值． 【答案】(1)10；； (2)①证明见解析，当且仅当等号成立；②证明见解析； (3) 【分析】（1）代入“复向量”和模的新定义，即可求解两个向量的模； （2）①首先设实向量，，再分别计算和，再结合公式，即可证明； ②首先设复向量，，根据复数的三角不等式，以及实系数向量不等式，即可证明； （3）根据等号成立的条件，再结合复数的三角不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以的模为10； 因为，所以， 可得的模为； （2）①设实向量，， 则，，，而， 根据已知，当且仅当与平行时取等号，即， 所以，当且仅当时等号成立； ②因为，，所以， 由复数的三角不等式， ，由， 得，所以， 所以， 综上所知，． （3）②中考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 根据题意，若复向量与平行， 则， 根据中等号成立的条件， 应有，则， 又，则，解得， 所以，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲：复数高频考点题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：复数的有关概念及其性质 · 考点二：虚数单位i及其性质 · 考点三：复数的分类 · 考点四：复数代数形式的四则运算 · 考点五：复数的模 · 考点六：复数的几何意义 · 考点七：复数最值问题 · 考点八：复数的三角形式 · 考点九：复数的方程与因式分解 · 考点十：复数的综合问题 【知识梳理】 知识点一：．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)． (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0 a＋bi为虚数⇔b≠0 a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0 (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 知识点二．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 知识点三．复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－. 知识点四：复数的三角表示 1、复数的三角表示式 （1）复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. （2）辐角主值：规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz. 2、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 （1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. （2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 【题型归纳】 题型一：复数的有关概念及其性质 【典例1】．（25-26高一下·河北邢台·月考）已知复数，，且是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【变式1】．（25-26高一下·湖南·月考）已知，为复数，有以下四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】．（25-26高一下·安徽安庆·月考）已知，是复数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 题型二：虚数单位i及其性质 【典例2】．（24-25高一下·山东泰安·月考）已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（   ）. A．复数的虚部为 B． C． D．复数满足，则的最大值为 【变式1】．（23-24高一下·吉林通化·期中）下列命题错误的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【变式2】．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．复数的虚部为 B．若为虚数单位，则 C．在复数集中，方程有两个解，依次为 D．已知是虚数单位，若，则实数1 题型三：复数的分类 【典例3】．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知复数与都是纯虚数，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式1】．（24-25高一下·山西·期中）已知复数（），且为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】．（24-25高一下·天津·期中）已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（    ） A． B． C．-3 D．3 题型四：复数代数形式的四则运算 【典例4】．（25-26高一下·湖南怀化·月考）（1）已知复数满足，求与； （2）计算：． 【变式1】．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）已知复数，（为虚数单位），求： (1)的模； (2)； (3)若，求的共轭复数． 【变式2】．（25-26高一下·浙江宁波·期中）复数其中，复数满足，其中为虚数单位． (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求与； (3)求的最小值． 题型五：复数的模 【典例5】．（25-26高一下·陕西西安·期中）已知为复数，若（为虚数单位），则______. 【变式1】．（25-26高一下·山东淄博·月考）已知复数满足，则___________. 【变式2】．（25-26高二上·重庆·开学考试）已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为__________． 题型六：复数的几何意义 【典例6】．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知复数满足，则的值为______． 【变式1】．（25-26高一下·江苏无锡·月考）设复数满足，则在复平面内对应的点位于第_____象限. 【变式2】．（24-25高一下·青海西宁·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为____________． 题型七：复数最值问题 【典例7】．（24-25高一下·山西晋城·期中）已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是______． 【变式1】．（25-26高二上·湖南长沙·期中）复数满足，则的最大值为________． 【变式2】．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知复数满足，则的最小值为_____. 题型八：复数的三角形式 【典例8】．（24-25高一下·云南玉溪·月考）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【变式1】．（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为______． 【变式2】．（23-24高一下·内蒙古乌海·期中）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第____象限. 题型九：复数的方程与因式分解 【典例9】．（25-26高一下·安徽安庆·月考）已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【变式1】．（25-26高一下·重庆·月考）已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． (1)求z； (2)设，若在第二象限，求实数t的取值范围； (3)若复数z是方程的一个根，求的值． 【变式2】．（24-25高一下·江苏无锡·月考）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 题型十：复数的综合问题 【典例10】．（24-25高一下·贵州毕节·期中）设关于的方程是． (1)若方程有实数根，求锐角和实数根； (2)证明：对任意，方程无纯虚数根． 【变式1】．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. (1)求的值； (2)求的值； (3)若复数满足，求的最大值. 【变式2】．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，是以点为圆心，为半径的上的点，点、关于直线对称，，．如果以线段所在直线为实轴，以线段所在直线为虚轴，建立复平面． 则两点在复平面内对应的复数分别为． (1)求的值； (2)求的正弦值； (3)点在何位置时，五边形的面积取到最大值，并求出该最大值． 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高一下·重庆·期中）设，则在复平面内z对应点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·河北·一模）已知复数z满足z·(1+i) =1-2i，则|z| =（    ） A． B． C． D．2 3．（2026·重庆万州·模拟预测）若实系数一元二次方程的两个复数根分别为，，其中，则（    ） A．5 B． C．3 D． 4．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（25-26高一下·陕西榆林·月考）“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·吉林白山·二模）若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 7．（2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆·一模）任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高三下·陕西西安·月考）已知复数，为的共轭复数，则（   ） A． B．的虚部为-2 C． D．在复平面内，对应的点在第三象限 10．（25-26高一下·山东济南·期中）已知，为复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．是纯虚数或零 C．若，则 D．若，是方程；的两根，则 11．（25-26高一下·浙江宁波·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．对于非零向量，若，则 B．对于复数，若，且，则 C．对于向量，若，则 D．对于复数，若，则 12．（25-26高一下·江苏·月考）已知是复数，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（25-26高一下·吉林四平·月考）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．任何两个复数不能比较大小； B．若，则或 C．若点Z坐标为，且z是关于x的实系数方程的一个根，则 D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 三、填空题 14．（25-26高一下·陕西榆林·月考）已知为虚数单位，且，则______. 15．（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 16．（25-26高一下·河北唐山·月考），则________. 17．（25-26高一下·福建三明·月考）已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 四、解答题 18．（25-26高一下·广西南宁·月考）复数，其中． (1)若复数为实数，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 19．（25-26高一下·广西贵港·期中）已知复数，，其中． (1)当时，求的值； (2)若，求实数m的值； (3)若的实部大于1，求a的取值范围． 20．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 21．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 22．（24-25高一下·重庆·期末）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数，，，，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $