第4讲：空间几何体结构、直观图和表面积与体积期中核心考点题型讲义【八大题型】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第4讲：空间几何体结构、直观图和表面积与体积高频考点题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：空间几何体的结构 · 考点二：直观图 · 考点三：柱、锥、台的表面积 · 考点四：柱、锥、台的体积 · 考点五：球体的表面积和体积 · 考点六：组合体的表面积和体积 · 考点七：多面体与球体内外切问题 · 考点八：空间几何结构综合问题 【知识梳理】 知识点一：棱柱、棱锥、、棱台 多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 记作：棱锥S－ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 记作：棱台ABCD－A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 知识点二：圆柱、 圆锥、 圆台、 球 旋转体 结构特征 图形 表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置， 平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示， 如图中的圆柱记作圆柱 O′O 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示， 如图中的圆锥记作圆锥 SO 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴 的字母表示， 如图中的圆台记作圆台 O′O 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴， 旋转一周形成的曲面叫做球面， 球面所围成的旋转体叫做球体， 简称球.半圆的圆心叫做球的球心， 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用表示球心的字母来表示， 左图可表示为球 O 知识点三：空间几何体的直观图 1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2、 斜二测画法的步骤： ①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； ②平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变 知识点四：简单几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 （1）棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 （2）圆柱的表面积 （3）圆锥的表面积 （4）圆台的表面积 （5）球的表面积 2、空间几何体的体积 （1）柱体的体积 （2）锥体的体积 （3）台体的体积 （4）球体的体积 3、球的组合体 （1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. （2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长（a）. （3）球与正四面体的组合体：棱长为的正四面体的内切球的半径为，外接球的半径为. 【题型探究】 【典例1】．（25-26高一下·广东肇庆·期中）下列说法中，正确的是（ ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 【答案】D 【分析】根据棱台、棱锥、棱柱的定义和性质对各选项逐一进行判断即可. 【详解】对于A，用一个平面去截棱锥，当平面与底面平行时，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故A错误； 对于B，棱柱的侧面都是平行四边形，棱柱的底面可为任意平面多边形，故B错误； 对于C，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，如斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，故C错误. 对于D，由棱锥的定义可判断D正确. 【变式1】．（25-26高一下·河南安阳·月考）下列命题中正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D．长方体是直四棱柱，也是正四棱柱 【答案】BC 【分析】依据棱柱定义判断选项A，依据正四面体的定义判断选项B，一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和可以，判断C，依据正四棱柱的定义判断选项D. 【详解】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误， 四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故六条棱长均相等的四面体是正四面体，故B正确； 一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和，即，故C正确； 当长方体有一组相对面是正方形时是正四棱柱，若长方体相对面没有正方形时，则不是正四棱柱，D错误. 【变式2】．（24-25高一下·福建漳州·期中）下列命题中正确的有（    ）． A．空间内三点确定一个平面 B．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间那部分多面体是棱台 C．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 D．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 【答案】BD 【分析】根据基本事实1判断A的正误，根据基本事实3判断D的正误，根据棱台的定义判断B的正误，根据圆台的定义可判断C的正误. 【详解】对于A，空间内不共线的三点确定一个唯一的平面，故A错误； 对于B，一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 截去上面的小棱锥后余下的几何体为棱台，即棱台是棱锥底面与截面之间那部分多面体， 故B正确； 对于C，以直角梯形中垂直于上下底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体才是圆台， 故C错误； 对于D，由平面基本事实3可知：如果分别两个相交平面内的直线相交， 则交点必定在两个平行的交线上，故D正确. 故选：BD. 题型二：直观图 【典例2】．（25-26高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得． 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 【变式1】．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，求出的长，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】由题意得，且，所以为等腰直角三角形， 所以， 由斜二测画法可知，在原图中，有，且， 故的面积是，故C正确. 【变式2】．（24-25高一下·福建三明·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】结合图形可得，求出四边形面积后可得四边形的面积. 【详解】设轴与交点为D， 因为轴，轴， 所以， 因为轴， 所以四边形为平行四边形， 故, 又, 轴， 得, 故． 所以四边形面积为, 因为四边形面积是四边形的面积的， 所以四边形的面积为． 题型三：柱、锥、台的表面积 【典例3】．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的表面积是__________.    【答案】 【分析】由题意得出四棱锥的底面是边长为的正方形，四个侧面都是边长为的等边三角形，进一步结合棱锥的表面积公式即可求解. 【详解】如图所示：    由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积， 设为中点，为正方形中心，则，， 显然，所以正四棱锥的侧棱，同理， 又，所以正四棱锥的四个侧面都是边长为的等边三角形， 设四棱锥的表面积是， 则. 故答案为：. 【变式1】．（24-25高一下·吉林长春·期中）一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，形成的几何体的表面积为________． 【答案】 【分析】根据题意画出草图，得到形成的几何体为一个圆锥切割的几何体，再根据表面积为，计算即可. 【详解】将一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度， 所得几何体为一个圆锥切割的几何体， 由题意可知，圆锥的底面半径为2，高为2，则母线长为， 圆锥表面积为， ， 所以形成的几何体的表面积为. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高一下·青海西宁·期中）在正四棱台中，，则该棱台的表面积为____________，体积为____________． 【答案】 / / 【分析】作出辅助线，求出四棱台的侧高和高，求出表面积和体积 【详解】如图，过作，垂足为M，易知为四棱台的高， 因为，，， 所以上底面面积为，下底面面积为， 棱台的侧高为， 所以侧面积为， 所以该棱台的表面积为， 又，， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：，. 题型四：柱、锥、台的体积 【典例4】．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知圆台的体积为，上底面半径为1，高与母线的比值为，则该圆台的下底面半径为_________． 【答案】2 【分析】先由高和母线比设参数，结合勾股定理得高与半径差的关系，再代入体积公式列方程即可得结果. 【详解】设圆台的高为，母线长为，下底面半径为， 则，设，则， 所以，即，所以， 又因为， 整理得：，所以. 【变式1】．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在直三棱柱中，E是的三等分点（靠近点A），D是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是______.    【答案】 【分析】根据，求得，再根据三棱锥的换底性可得，由此可得答案. 【详解】， E是的三等分点（靠近点A），是的中点， ，，， 又∵， ， . 三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________． 【答案】 / 【分析】①由，得圆台的下底面和上底面的半径，结合梯形的高为圆台的高，利用圆台的体积公式即可求解；②由圆台性质，延长，，交于点，由与相似即可计算，设该圆台的侧面展开图的圆心角为，计算出圆心角，在侧面展开图中，连接，，即可计算出的最短距离. 【详解】①由，，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，圆台的高为， 所以圆台的体积为. ②在梯形中，，即母线长为3， 如图，由圆台性质，延长，，交于点， 由与相似，得，即，解得， 设该圆台的侧面展开图的圆心角为， 则，所以， 在侧面展开图中，连接，，则从点到的最短路径为线段， 又在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 验证知，由，，，得， 此时，恰与扇形弧所在圆相切于点，满足题意. 故答案为：，. 题型五：球体的表面积和体积 【典例5】．（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·月考）已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为（   ） A．12π B．16π C．48π D．9π 【答案】C 【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，球的半径为，根据题意，求得，得到，即球的半径为，结合球的表面公式，即可求解. 【详解】如图所示，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，球的半径为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，解得， 又因为圆锥的高为，可得，解得， 即圆锥的底面圆的半径为，母线长为，即球的半径为， 所以球的表面积为. 【变式1】．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过构造直角三角形等方法来求出球的半径，再根据球的表面积公式求解. 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，，即，， 设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为， 即，即， 平方可得：，解得； 所以球的表面积为. 故选：A.    【变式2】．（25-26高三上·天津蓟州·期末）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为2，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出示意图，根据球的性质确定球心，利用数量关系列式求解球的半径，代入球的体积公式即可得解. 【详解】如图，是圆锥的锥顶，是圆柱上底面的圆心，是圆柱下底面的圆心，是圆球的圆心，是圆柱上底面和圆球的交点，， 设圆锥和圆柱的高为，则，， 因为，所以， 所以，所以球的半径为， 所以球的体积为. 故选：A. 题型六：组合体的表面积和体积 【典例6】．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________． 【答案】 【详解】解法1：分别在上取点N，M，使得，连接，NM，，所以平面平面， 取MN的中点H，连接，因为平面， 所以平面平面，所以， 又因为平面， 所以平面，，， 所求几何体的体积为 解法2：因为在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC， 又， 所以可构造一个底面是边长为4的等边三角形，侧棱长为8的正三棱柱， 其中，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式，， 故该几何体的体积是． 【变式1】．（25-26高一下·重庆·月考）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 【答案】 【分析】 根据条件及三棱台的体积公式，可得正三棱台的高，根据正三棱台的性质及勾股定理，可得外接球的球心到下底面的距离，进而可得外接球的半径R，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】因为正三棱台的上、下底面边长分别为、， 所以上底面面积，下底面面积， 设正三棱台的高为h，则体积， 则，解得， 上底面的中心到顶点A的距离， 下底面的中心到顶点D的距离， 因为，所以外接球球心O位于底面DEF的下方， 设外接球球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为，设外接球的半径为， 则，即，解得，则， 所以外接球的表面积为 【变式2】．（24-25高一下·四川遂宁·期末）世界上最不可思议的四面体就是勒洛四面体，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，若正四面体的棱长为，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为______． 【答案】 【分析】先利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，得到外接球半径，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半径即为该勒洛四面体的能够容纳的最大球的半径. 【详解】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球， 由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心，如图： 正外接圆半径， 正四面体的高，令正四面体的外接球半径为， 在中，，解得， 此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示： 图中取正四面体中心为，连接交平面于点，交曲面于点， 其中即为正四面体外接球半径， 因为点均在以点B为球心的球面上，所以， 设勒洛四面体内切球半径为， 则由图得. 故答案为： 题型七：多面体与球体内外切问题 【典例7】．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 【变式1】．（2026·天津红桥·一模）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可知顶点在底面的投影为的外心（正三角形的中心），外接球的球心在过该中心且垂直于底面的直线上，通过勾股定理建立方程求解半径. 【详解】如图，设点为底面的投影，因为， 则为正三角形的中心，计算可得， 则平面，连接 在中，： ， 设外接球的球心为，半径为，则在直线上. 设，则， 在中：解得：， 所以，即. 所以三棱锥外接球的半径为. 【变式2】．（25-26高三上·天津南开·期末）正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，由体积可算得正四棱锥的高，再由勾股定理可求得外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图，设为外接球球心，底面于点，设， 由正四棱锥的体积为8，即，解得，则， 又，所以，， 在中，，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：C. 题型八：空间几何结构综合问题 【典例8】．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，四边形绕所在直线旋转一周所形成新的几何体． (1)求该几何体的表面积和体积； (2)若旋转过程中，点和点始终落在球上，求球的表面积． 【答案】(1)表面积,体积. (2) 【分析】（1）分析图形的构成，表面积有哪几块构成，利用圆、扇形、扇环计算面积即可，体积看是由哪几个基本几何体组合而成，利用圆锥圆台体积计算公式计算即可. （2）立体问题平面化找球心，求半径，利用球的表面积计算公式计算即可. 【详解】（1）如图，在中，， 从而.则， 过点作于，则， 从而四边形为矩形，即有，, 从而，则在中, . 该几何体的表面积包含旋转一周得到的曲面，旋转一周得到的曲面，以及旋转一周得到的圆面. 而， ， ， 从而该几何体的表面积 该几何体的体积可看成由梯形旋转得到的圆台挖去由三角形旋转得到的圆锥，则. （2）如图，由题意球的球心在直线上，设， 则， 又， 则，解得. 从而球的半径， 球的表面积. 【变式1】．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】(1)5，7； (2)， 【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积和周长； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算它的体积和表面积即可． 【详解】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形，其中，，，，如图所示： 所以平面四边形的面积为， 周长为； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 则旋转体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和， 即， 表面积为． 【变式2】．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，， (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的外接球体积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， ， 以下计算， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 所以三棱锥的表面积. （2）因为两两垂直， 所以三棱锥的外接球直径即为以长度为边长的长方体的体对角线， 根据长方体体对角线公式得， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球体积. 【变式3】．（24-25高一下·云南丽江·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体．    (1)求三棱锥外接球的表面积； (2)若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用该三棱锥的性质找出外接球的球心与半径计算即可； （2）将三棱锥体积之比转化为底面积之比，然后利用，求出底面积之比即可. 【详解】（1）在矩形中，连接与相交于点，即为与的中点，    则， 在翻折后点为中点，还是有， 故三棱锥外接球球心为点，半径， 所以外接球表面积． （2）由题可知， 所以 因为， 设，，即，可得为的重心， 如图，设，，， 则，，， 由为的重心，可知，即， 可得，    所以 【强化精练】 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】D 【分析】根据斜二测画法，画出原图，结合长度、面积、周长等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A、B，由题设易得，原平面图如下，， ，故A、B错误； 对于C，四边形的面积为：，即C错误． 对于D，在原图形中，过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即D正确； 2．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的做法可能正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的规则，即可得出结论. 【详解】斜二测画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则长度不变， 平行或与y轴重合的线段长度减半，则减掉一半，线段对应线段也会缩小， 所以的对应点画对了，的对应点画错了. 3．（24-25高一下·安徽淮北·月考）已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为2，则圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，利用正弦定理求出圆锥的底面半径为，进而求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，由于圆锥轴截面为等边三角形， 则外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，即， 由正弦定理可得， 该圆锥的高为， 故该圆锥的体积为. 4．（2026·广西北海·一模）已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】设圆柱的高为，圆台的下底面半径为，则圆台的高为， 圆柱的体积为， 所以圆台的体积为，解得（舍去）. 5．（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 【答案】D 【分析】先算出母线长，结合体积公式、表面积公式计算后可判断AB的正误，求出轴截面的顶角值后可判断CD的正误. 【详解】对于A，圆锥的体积为，故A错误； 对于B，圆锥的母线长为， 故圆锥的表面积为，故B错误； 对于C，设圆锥轴截面顶角为，则， 而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误； 对于D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为 而，故当，，故D正确. 6．（25-26高一下·四川遂宁·月考）下列说法正确的是（   ） A．棱台的侧面都是等腰梯形 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D．以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 【答案】C 【详解】A.棱台是侧面都是梯形，不一定是等腰梯形，故A错误； B.不符合棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，不能确定侧棱平行，故B错误； C.圆锥的母线长相等，所以过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故C正确； D.只有以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台，故D错误. 7．（2026·河南·模拟预测）已知圆台的母线长为l，半径为R的球C与圆台的上、下底面及母线都相切，且，则圆台与球C的体积之比为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】设圆台上底面半径为，下底面半径为，且，根据题意求得，根据圆台、球的体积公式计算即可求解. 【详解】如图，设圆台上底面半径为，下底面半径为，且， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处， 设球与母线切于点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理， 圆台的，母线长， 在中，，即， 所以，故， 因为， 球的体积为， 圆台与球C的体积之比为. 二、多选题 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选题）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（    ） A．棱台的侧面一定不会是平行四边形 B．棱锥的侧面只能是三角形 C．由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 【答案】ABC 【详解】选项A，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，A正确； 选项B，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，B正确； 选项C，四个平面围成的封闭多面体，每个面都是三角形，且有一个公共顶点，这是三棱锥（四面体）的定义，C正确； 选项D，如下图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，D错误． 9．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 【答案】CD 【分析】根据圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积公式计算逐一判断. 【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误； 圆锥的母线长，则侧面积为，B错误； 球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为，圆锥的表面积为， 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确． 故选：CD 10．（24-25高一下·广东深圳·期中）（多选）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（ ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 【答案】AD 【分析】根据斜二测画法还原，然后求出三边即可得答案. 【详解】根据斜二测画法还原，如图所示： 由斜二测画法可知，， 则，所以为正三角形. 所以. 11．（24-25高一下·云南德宏·期中）下列说法正确的有（    ） A．用斜二测画法画出边长为 2 的等边三角形的直观图，则直观图的面积为 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【答案】AB 【分析】根据斜二测画法的原则，结合棱柱、棱台、圆锥定义进行逐一判断即可. 【详解】A：如图所示：，因为是边长为 2 的等边三角形， 所以，根据斜二测画法可知，， 因此直观图的面积为 ，故本选项说法正确； B：根据棱柱的定义可知棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故本选项说法正确； C：根据棱台的定义可知，此时必须还要看侧棱的延长线是否交于一点，因此本选项说法不正确； D：当按照直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个共同底面的圆锥组成的几何体，故本选项说法不正确， 故选：AB 12．（25-26高三上·福建厦门·月考）如图，梯形中，，且．现选择梯形的某一边为轴旋转一周得到一几何体，以下选项可能是该几何体的体积的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分别以、、、为轴旋转，判断几何体的构成，结合圆锥、圆柱、圆台的体积公式求几何体体积即可. 【详解】以为旋转轴旋转，如下图： 几何体为上底半径为1，下底半径为2，高为1的圆台， 所以体积，故D正确； 以为旋转轴旋转，如下图： 几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱去掉一个底面半径为1，高为1的圆锥， 所以体积，故A正确； 以为旋转轴旋转，如下图： 几何体为一个底面半径、高为的大圆锥加上一个上下底半径分别为、， 高为的圆台再去掉一个底面半径、高为的小圆锥组成， 所以体积； 以为旋转轴旋转，如下图： 几何体为一个底面半径、高为1的圆柱和一个底面半径、高为1的圆锥组成， 所以体积，故B正确. 故选：ABD 13．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 【答案】ACD 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正三角形置于同一平面内，求出最短路程判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的体积为，故C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正三角形，将它们置于同一平面内， 连接，如图，取中点，连接， 则，而， 所以最短路程为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 14．（25-26高一下·福建福州·期中）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是___________． 【答案】/ 【详解】设对应的平面图形为， 在斜二测画法的图形中在轴上，还原后的图形中在轴上，且长度不变， 在斜二测画法的图形中在轴上，还原后的图形中在轴上， 且的长度扩大为的倍， 是等腰直角三角形且，斜边，， 根据斜二测画法可知，，，, . 15．（25-26高一下·山东青岛·月考）在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______. 【答案】/ 【分析】根据正棱台的特征，构造直角三角形，解出正棱台的高，代入公式即可求解. 【详解】如图所示： 取正棱台上下底面中心，连接过点作的平行线，交于点， 因为，所以 在直角三角形中，， 故正四棱台的高为， 根据棱台体积计算公式，. 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．    【答案】 4 【分析】将圆台侧面展开，利用两点之间线段最短即可求解第一空，第二空求点到线距离即可.. 【详解】如图所示，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中的长度．    设，由得，所以， ，． 在中，． 所以绳子的最短长度为． 如图所示，过O作于Q，交弧于P，则长为所求最短距离． 因为，即，所以， 所以，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为． 故答案为：，. 17．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 【答案】 【分析】分别求出和外接圆的圆心，利用几何关系寻找外接球球心和外接圆圆心的数量关系，即可得到外接球的半径. 【详解】 因为是等腰直角三角形，设的外接圆圆心为，因为，，则的外接圆半径， 因为侧面是等边三角形，设其外接圆圆心为，半径为， 由正弦定理可得，解得， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以. 四、解答题 18．（25-26高一下·浙江衢州·期中）如图，在封闭图形ABCD中，CD段是以直线AD上的点E为圆心，DE长为半径的四分之一圆弧，，，，求图中封闭图形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 【答案】表面积，体积 【分析】根据球体的表面积和体积公式，圆锥表面积，圆台体积公式即可求解． 【详解】过点C作，垂足为F，则，， 所以， ； ． 19．（24-25高一下·重庆万州·期中）如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.．    (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设是的中点，连接，进而可证明，从而可计算正四棱锥的侧面积与正方体的五个面积； （2）根据锥体与正方体体积求解即可. 【详解】（1）设是的中点，连接. 因为是边长为6的正三角形， 所以，且， 所以该几何体的表面积.    （2）连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高， 则，所以.    又正方体的体积为， 所以该几何体的体积. 20．（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得. （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，. 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 21．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，在正四棱锥中，，M是PD的中点. (1)求四棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)表面积为 (2) 【分析】（1）由正四棱锥的性质可求得四个侧面三角形的面积，进而可求表面积； （2）求得棱锥的高，利用三棱锥的体积与三棱锥的体积的关系可求得体积. 【详解】（1）由四棱锥是正四棱锥，可得四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 因为，所以，， 所以表面积为. （2）由四棱锥是正四棱锥，所以在底面的射影是正方形的中心， 又， 又， 因为M是PD的中点，所以的体积是的一半， 所以. 22．（24-25高一下·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）作交于，利用勾股定理求解即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解． 【详解】（1）如图1，作交于， 易得， 则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为， 设的中点为，连接（如图2）， 可得， 则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲：空间几何体结构、直观图和表面积与体积高频考点题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：空间几何体的结构 · 考点二：直观图 · 考点三：柱、锥、台的表面积 · 考点四：柱、锥、台的体积 · 考点五：球体的表面积和体积 · 考点六：组合体的表面积和体积 · 考点七：多面体与球体内外切问题 · 考点八：空间几何结构综合问题 【知识梳理】 知识点一：棱柱、棱锥、、棱台 多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 记作：棱锥S－ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 记作：棱台ABCD－A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 知识点二：圆柱、 圆锥、 圆台、 球 旋转体 结构特征 图形 表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置， 平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示， 如图中的圆柱记作圆柱 O′O 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥也用表示它的轴的字母表示， 如图中的圆锥记作圆锥 SO 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 底面与截面之间的部分叫做圆台 圆台也用表示它的轴 的字母表示， 如图中的圆台记作圆台 O′O 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴， 旋转一周形成的曲面叫做球面， 球面所围成的旋转体叫做球体， 简称球.半圆的圆心叫做球的球心， 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用表示球心的字母来表示， 左图可表示为球 O 知识点三：空间几何体的直观图 1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2、 斜二测画法的步骤： ①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； ②平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变 知识点四：简单几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 （1）棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 （2）圆柱的表面积 （3）圆锥的表面积 （4）圆台的表面积 （5）球的表面积 2、空间几何体的体积 （1）柱体的体积 （2）锥体的体积 （3）台体的体积 （4）球体的体积 3、球的组合体 （1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. （2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长（a）. （3）球与正四面体的组合体：棱长为的正四面体的内切球的半径为，外接球的半径为. 【题型探究】 【典例1】．（25-26高一下·广东肇庆·期中）下列说法中，正确的是（ ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 【变式1】．（25-26高一下·河南安阳·月考）下列命题中正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D．长方体是直四棱柱，也是正四棱柱 【变式2】．（24-25高一下·福建漳州·期中）下列命题中正确的有（    ）． A．空间内三点确定一个平面 B．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间那部分多面体是棱台 C．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 D．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 题型二：直观图 【典例2】．（25-26高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【变式1】．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·福建三明·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 题型三：柱、锥、台的表面积 【典例3】．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的表面积是__________.    【变式1】．（24-25高一下·吉林长春·期中）一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，形成的几何体的表面积为________． 【变式2】．（24-25高一下·青海西宁·期中）在正四棱台中，，则该棱台的表面积为____________，体积为____________． 题型四：柱、锥、台的体积 【典例4】．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知圆台的体积为，上底面半径为1，高与母线的比值为，则该圆台的下底面半径为_________． 【变式1】．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在直三棱柱中，E是的三等分点（靠近点A），D是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是______.    【变式2】．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________． 题型五：球体的表面积和体积 【典例5】．（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·月考）已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为（   ） A．12π B．16π C．48π D．9π 【变式1】．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·天津蓟州·期末）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为2，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 题型六：组合体的表面积和体积 【典例6】．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________． 【变式1】．（25-26高一下·重庆·月考）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 【变式2】．（24-25高一下·四川遂宁·期末）世界上最不可思议的四面体就是勒洛四面体，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，若正四面体的棱长为，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为______． 题型七：多面体与球体内外切问题 【典例7】．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·天津红桥·一模）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·天津南开·期末）正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 题型八：空间几何结构综合问题 【典例8】．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，四边形绕所在直线旋转一周所形成新的几何体． (1)求该几何体的表面积和体积； (2)若旋转过程中，点和点始终落在球上，求球的表面积． 【变式1】．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【变式2】．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在三棱锥中，， (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的外接球体积． 【变式3】．（24-25高一下·云南丽江·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体．    (1)求三棱锥外接球的表面积； (2)若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； 【强化精练】 一、单选题 1．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 2．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的做法可能正确的为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽淮北·月考）已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为2，则圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 4．（2026·广西北海·一模）已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 6．（25-26高一下·四川遂宁·月考）下列说法正确的是（   ） A．棱台的侧面都是等腰梯形 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D．以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 7．（2026·河南·模拟预测）已知圆台的母线长为l，半径为R的球C与圆台的上、下底面及母线都相切，且，则圆台与球C的体积之比为（   ） A． B． C．2 D． 二、多选题 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选题）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（    ） A．棱台的侧面一定不会是平行四边形 B．棱锥的侧面只能是三角形 C．由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 9．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 10．（24-25高一下·广东深圳·期中）（多选）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（ ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 11．（24-25高一下·云南德宏·期中）下列说法正确的有（    ） A．用斜二测画法画出边长为 2 的等边三角形的直观图，则直观图的面积为 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 12．（25-26高三上·福建厦门·月考）如图，梯形中，，且．现选择梯形的某一边为轴旋转一周得到一几何体，以下选项可能是该几何体的体积的是（　　） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 三、填空题 14．（25-26高一下·福建福州·期中）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是___________． 15．（25-26高一下·山东青岛·月考）在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______. 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．    17．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 四、解答题 18．（25-26高一下·浙江衢州·期中）如图，在封闭图形ABCD中，CD段是以直线AD上的点E为圆心，DE长为半径的四分之一圆弧，，，，求图中封闭图形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 19．（24-25高一下·重庆万州·期中）如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.．    (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 20．（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 21．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，在正四棱锥中，，M是PD的中点. (1)求四棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积. 22．（24-25高一下·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $