第1讲：平面向量【十大题型】-2025-2026学年高一数学下学期期中核心考点题型讲义（人教A版必修第二册）

第1讲：平面向量高频考点题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：平面向量的基本概念 · 考点二：平面向量的线性运算 · 考点三：平面向量的共线定理 · 考点四：平面向量基本定理 · 考点五：平面向量的数量积 · 考点五：平面向量的线性运算的坐标表示 · 考点六：平面向量共线垂直的坐标表示 · 考点八：平面向量的在物理上的应用 · 考点九：平面向量的最值或取值范围问题 · 考点十：平面向量在几何中的应用 【知识梳理】 知识点一．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点二：向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点三：．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2， 使a＝λ1e1＋λ2e2.，其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识点四：平面向量的坐标表示 (1)向量及向量的模的坐标表示 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (2)平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)． 知识点五：平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0. 1.向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]. 2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影 |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 3.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识点六：平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 【题型归纳】 题型一：平面向量的基本概念 【典例1】．（25-26高一下·江苏苏州·期中）设，是两个非零向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，且与同向，则 B．若，则 C．若，是两个单位向量，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，因向量有方向，不能比较大小，故A错误； 对于B，不妨取,则，但不是相等向量，故B错误； 对于C， 由，是两个单位向量，可得， 因的大小未知，故得不到，即C错误； 对于D，由两边取平方，可得， 整理得，故，即D正确. 【变式1】．（25-26高一下·上海·期中）下列说法： ①加速度是向量； ②若向量且，则； ③若向量，则直线与直线平行； ④若向量，满足，且与同向，则； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量； ⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同； 其中错误的有（   ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】①加速度是有方向有大小的量，故①正确； ②若，则与不一定平行，②错误； ③若向量，则直线与直线平行或共线，③错误； ④两个向量不能比较大小，④错误； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量，⑤正确； ⑥方向相同，大小相等的两个向量为相等向量，表示它们的有向线段的起点可能不同，⑥错误； 所以其中错误的有4个. 【变式2】．（25-26高一下·江苏扬州·期中）给出下列命题，正确的有（   ） A．若，，则 B．若，共线，则存在实数，使得 C． D． 【答案】C 【详解】若，则命题不一定成立，故A错误； 若，则不存在实数，使得，故B错误； 由加法法则可知，，等号成立时同向或中至少有一个为零向量，故C正确； 分别表示与共线的向量，不一定相等，故D错误. 题型二：平面向量的线性运算 【典例2】．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，D是线段AC的中点，E是线段BD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算即可求解 【详解】因为是的中点，所以； 又是的中点，根据向量中点性质：， 将代入得： . 【变式1】．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论. 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 【变式2】．（25-26高一下·浙江衢州·期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律即可求解． 【详解】连接，取中点，连接，则且， 所以， 所以． 题型三：平面向量的共线定理 【典例3】．（25-26高一下·天津·期中）已知为不共线向量，，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【详解】选项A：因为， 所以三点共线， 选项B：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，因为不共线，对应系数相等得：，方程组无解， 不存在这样的，因此与不共线，选项B错误； 选项C：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项C错误； 选项D： 若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项D错误. 【变式1】．（25-26高一下·北京平谷·月考）已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以三点共线； 由，所以与不平行，所以三点不共线； 因为，所以与不平行，所以三点不共线； ， 因，所以与不平行，所以三点不共线. 【变式2】．（25-26高一下·山东济南·月考）若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【详解】因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故A错误； 因为，， 由，所以，所以三点共线，故B正确； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故C错误； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故D错误. 题型四：平面向量基本定理 【典例4】．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得， ， 又， 则由平面向量基本定理可知，，得， 则. 1【变式1】．（25-26高一下·山东泰安·月考）在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【详解】将，代入， 得：， 在中，点B、C、D三点共线， 根据三点共线的向量性质得：，即：， 所以， 当且仅当，即：，时等号成立，此时最小值为2. 【变式2】．（2026·浙江宁波·二模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B， 若，则：​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 题型五：平面向量的数量积 【典例5】．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在边长为4的等边中，是边上的中线，为的中点，设，． (1)试用基底表示； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用中线向量公式，结合向量的线性运算，即可求解； (2)利用向量的数量积运算，即可求值. 【详解】（1） 因为是的中线，所以， 又因为是中点，所以， 即； （2）由题意，， 因为是等边三角形，与夹角为， 所以 ， 由. 【变式1】．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算可求的表示形式，从而可求的值； （2）根据数量积的运算律可求的值． 【详解】（1）， 因不共线，故，故. （2）, 故 . 【变式2】．（25-26高一下·河南·月考）已知向量满足，，且与的夹角为． (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【详解】（1）由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． （2）设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 题型六：平面向量的线性运算的坐标表示 【典例6】．（24-25高一下·河南·月考）已知向量. (1)若，求； (2)若，求； (3)若，求在方向上投影向量的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出的坐标，再通过向量模长公式计算； （2）先求出的坐标，再由向量平行的坐标表示求得参数； （3）根据投影向量求法求解即可. 【详解】（1）时，，所以，     故. （2），     由，可得，     解得. （3）时，，     此时在方向上的投影向量的坐标为. 【变式1】．（25-26高一上·山东日照·期末）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可； （2）求出、的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （3）表示出，利用坐标法计算，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1），又，，， 即， ，解得. （2）因为，， 又， ，即，解得. （3）因为， 所以， 所以当时，取最小值. 【变式2】．（24-25高一下·吉林长春·月考）如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． (1)求的余弦值； (2)设，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，根据向量夹角公式，即可得答案. （2）由题意得、、坐标，根据三点共线的性质，计算求解，即可得答案， 【详解】（1）以A为原点，AB、AD为x，y轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 则， 因为就是的夹角，所以的余弦值为. （2）由题意得，， 因为D、M、E三点共线，所以，且， 则，解得. 题型七：平面向量共线垂直的坐标表示 【典例7】．（25-26高一下·陕西宝鸡·月考）已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为， 所以，， 因为且， 所以且，解得. 【变式1】．（25-26高一下·四川遂宁·月考）已知平面向量．若，求向量在向量上的投影向量为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量共线（平行）可得向量的坐标，进而根据数量积的几何意义可求投影向量. 【详解】由，且，，所以，可得. 所以，，, 所以向量在向量上的投影向量． 【变式2】．（25-26高三上·云南保山·期中）已知向量满足，，与的夹角为，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意求出，以及的值，根据可得，结合数量积的运算律，即可求得答案. 【详解】由向量满足，，与的夹角为，可得， 则， 由于，故，即， 即， 故选：A 题型八：平面向量的在物理上的应用 【典例8】．（25-26高一下·江苏苏州·期中）飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减.已知某飞行器逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地速对应的向量为，则飞行器在该时刻的空速大小约为（单位：）（   ） A．400 B．450 C．560 D．630 【答案】B 【分析】根据题意设出，，得到，代入向量坐标，求得，利用向量的模的公式计算即得. 【详解】设飞行器飞行中的地速向量为，飞行器相对于周围空气的空速和风速向量分别为， 由已知可得，且，， 所以， 故. 【变式1】．（25-26高三上·湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解. 【详解】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直， 由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以（），故. 故选：D. 【变式2】．（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据题意，由向量的平行四边形法则可得，由此分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形， 则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：C. 题型九：平面向量的最值或取值范围问题 【典例9】．（23-24高一下·山东青岛·月考）已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 【答案】/ 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点在内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】 如图所示，取的中点，以为坐标原点，所在的直线 分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，的边长为2， 则，， 设，则，， 因为，且， 所以，且， 即，可得. 因为，点在内部，所以， 可得，所以. 所以， 所以， 所以当时， 取最小值. 故答案为： 【变式1】．（25-26高一下·上海·期中）在直角梯形中，，，且，，对角线与交于点，点满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】法1：建立平面直角坐标系，求得，结合，即可求解； 法2：根据，得到的长，由向量的线性运算得到，求得，结合，即可求解． 【详解】法1：以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，可得， 所以，， 因为，且，，所以， 又因为， 可得， 所以，因为，可得， 所以的取值范围是． 法2：因为，可得， 又因为，可得， 所以，所以， 由，且相似比为，可得， 所以， 因为， 所以 ， 由，可得，所以的取值范围是． 【变式2】．（2026高三·全国·专题练习）如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为______ 【答案】11 【详解】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值11. 题型十：平面向量在几何中的应用 【典例10】．（25-26高一下·江苏扬州·月考）如图，分别是菱形的边和上的动点，且. (1)若分别是的中点，求； (2)若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； (3)若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，即可求； （2）设，求出，，表示出，利用二次函数的性质可得答案； （3）设，表示出，利用二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则， ，由分别是的中点， ， ； （2）由（1）知，设，则， .当时，取得最大值为-2. （3）设，由得，，当时， 取得最大值为，当时，取得最小值为的范围为 【变式1】．（24-25高一下·广东茂名·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求； (2)求的坐标； (3)若点在线段上运动，设，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先由题意求出，再由题意结合以及模长公式和数量积运算律即可计算求解； （2）分别设求得和，利用向量共线的推论求出即可求解； （3）先求出，接着设得，将其代入结合一元二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由题， . （2）设·， 因为三点共线，所以， 所以； 设， 因为三点共线，所以， 所以. （3）由题， 所以， 所以， 所以当时，取得最大值13. 【变式2】．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可； （2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参； （3）由已知得出三点共线，再结合基本不等式求出最小值即可． 【详解】（1）， ， ． （2）设， ， ， ，， ，解得， ∴存在一点，使得，． （3）， ∴， ， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为． 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高一上·湖南株洲·期中）若两个非零向量，的夹角为，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求得，再求得. 【详解】因为两个非零向量，的夹角为，且满足，， 所以，解得， 因为，所以 2．（25-26高三下·江西赣州·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，， ， 设， 所以， 整理得， 所以，解得， 所以． 3．（25-26高一下·山东济南·期中）在中，，D是AC的中点，若，则的面积是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】先对的几何意义进行分析，表示方向上的单位向量与方向上的单位向量之和为倍的方向上的单位向量，从而得到，中线平分，进而得出为等腰直角三角形，，. 【详解】设，，，可得， 由于，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是菱形，平分，即平分; 又因为,所以，为直角三角形，, 所以为正方形，， 即，为直角三角形，又为的中线， 所以为等腰直角三角形，，. 4．（25-26高一下·全国·期中）在四边形中，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】用表示其它向量后，由数量积的运算律列式计算即可． 【详解】由，，则， 因为， 所以， 所以，所以． 5．（25-26高一下·山东济南·期中）已知向量，不共线，且则实数（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量共线的定义计算即可. 【详解】因为向量，不共线，且， 那么存在实数，使得， 则有，解得. 6．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：， 则，即， 在上的投影向量. 7．（25-26高一下·河北保定·月考）如图，中，点是线段的中点，是线段上靠近点的三等分点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助平面向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由是线段上靠近点的三等分点， 则， 由点是线段的中点，则， 故. 8．（25-26高一下·江苏南通·月考）在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平衡可得，，根据向量的坐标运算可得结果. 【详解】因为三个力的作用下恰好处于平衡状态，所以， 设，根据向量的坐标运算，， 所以，所以. 因为，所以在上的投影向量的坐标为. 9．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选择为基底法，由， ，求得.根据向量共线定理及，确定点的位置，从而求得. 【详解】由已知， ； ； 联立可得. 设，. 则. 因为，所以，解得. 所以，点是上靠近点的三等分点， 所以； 二、多选题 10．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知平面向量，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若和的夹角为锐角，则 C．当时，在方向上的投影向量为 D．若，则和的夹角为 【答案】ABD 【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A，由向量夹角和数量积的符号关系可判断B，由投影向量计算公式可判断C，通过平方可判断D. 【详解】选项A，若 ，得 ， 解得 ，A正确， 选项B，由 与 夹角为锐角， 得：， 当两向量共线，得​， 此时 ，为同向共线，夹角为（不是锐角），需排除 ， 因此 ，B正确， 选项C，当 时，， 在 方向上的投影向量为 ， ， 因此投影向量为 ，C错误， 选项D，对 ， 两边平方： ， 展开整理得：，代入， 得 ， 又 ，因此 ，， 设夹角为 ： ， 由 得 ，D正确. 11．（25-26高一下·江苏苏州·期中）窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2026年马年新春，有人设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若E，F分别为弧BC，弧CD的中点，则（   ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【分析】利用图形对称性易得点为的中点，即可判断A；建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，利用向量夹角的坐标公式计算判断B；根据投影向量定义列式计算判断C；利用向量数量积的运算律计算判断D. 【详解】 对于A，如图连接，由图形对称性可得经过点，且被点平分， 故有，即得，故A正确； 对于B，如图，以正方形的中心为坐标原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系. 则，则， 因，则，故B错误； 对于C，在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，因， 则，故D正确. 12．（25-26高一下·重庆·月考）已知向量，，，下列说法错误的是（   ） A．若，则或 B．若，，则 C．若 D．若且，则 【答案】ABD 【详解】若，则，所以或或，故A错误； 当时，可为任意非零向量，也可为任意非零向量，此时与不一定平行，故B错误； 由，可得， 若或，则可得； 当且，可得， 所以或，故，故C正确； 若，可得，所以， 又，所以或，所以或，故D错误. 13．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）已知平面向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由，故A正确； 对于B，由，故B错误； 对于C，由与的夹角为钝角，可得且， 即，故C正确； 对于D，由在上的投影向量为，可得， 则，故D正确. 14．（25-26高一下·江苏扬州·月考）设点P在所在平面内，且点G、H、O、I分别为该三角形的重心、垂心、外心和内心，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若且，则 D．若，则为等腰三角形 【答案】ABD 【分析】对A，取的中点，根据重心的性质化简判断即可；对B，根据垂心的性质推导可得，再设，根据可得，同理可得，再根据向量的夹角公式求解即可；对C，化简可得，再两边平方化简即可；对D，根据条件推导即可． 【详解】对A，取的中点，因为是的重心，有， 所以，，即， 又因为，所以，故A正确； 对B，因为为的垂心，则，即， 即，则， 同理，，所以， 设， 因为，所以， 即，则，所以， 因为，所以， 所以，则 ，故B正确； 对C，若且，则， 两边同时平方可得：， 所以，即，故C错误； 对D，因为为的内心，， 故 ，即， 故点的轨迹为垂直于的直线，又平分，因此是的中垂线， 是以为底边的等腰三角形，故D正确． 15．（25-26高一下·吉林长春·月考）在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若，，，则 D．若外接圆的半径为2，且，则的最大值为 【答案】AB 【分析】对于A，设，以向量为基底表示向量，根据共线求出即可判断A正确；对于B，由的位置求出，即可判断 B正确；对于C，由得，再利用数量积求模即可判断C不正确；对于D，由题意利用正弦定理求得或，当时，由此判断D不正确. 【详解】对于A，，则为的中点，故， 设，因为， 则， ， 由共线，得，解得，所以，故A正确； 对于B，为的中点，故，， 又，所以， 所以，，故B正确； 对于C，， 所以， 所以，故C不正确； 对于D，设的三边分别为，依题意得， 由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以， 由，得或， 当时，，故D不正确. 三、填空题 16．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知平面向量所成的角为，且，则________ 【答案】1 【分析】由两边平方，根据数量积的运算律及定义，即可得解. 【详解】因为所成的角为，， 所以 ， 即，解得 17．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）若正方形的边长为2，分别为的中点，为线段上的动点（含端点），则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】借助正方形的特点，建立合适的平面直角坐标系，求出的坐标，进而可得到的表达式，根据线段的方程及二次函数的性质可求其最值. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为分别为的中点，所以. 又为线段上的动点（含端点），故可设. 所以， 所以. 由知之间的关系为，所以， 将代入可得 ， 又，所以当时，取得最小值. 18．（25-26高一下·上海·月考）在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点，若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】设，再利用平面向量线性运算与平面向量基本定理计算用表示，最后利用基本不等式计算即可得解. 【详解】设，则 ， 则， 故，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 19．（25-26高一下·河北保定·月考）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，取为基底，利用向量数量积公式求解作答. 【详解】在中，令，，则， 所以， 因为、边上的两条中线，相交于点，则，， 于是. 20．（2026·天津和平·一模）已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 【答案】 【分析】借助平面向量线性运算可用、表示，再利用、、三点共线即可得；利用平面向量夹角公式可得，再借助模长与数量积关系，结合基本不等式计算即可得的最小值. 【详解】，则， 故， 由、、三点共线，可得，解得； 则， 由，则， 故， 则，故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 四、解答题 21．（25-26高一下·山东菏泽·月考）已知向量，满足，，且，的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量；（用表示） (3)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量模及向量数量积的运算律，计算求解； （2）利用投影向量的计算公式计算求解； （3）结合已知条件构造不等式，解不等式求实数的取值范围 【详解】（1）已知，，且，的夹角为， ， ． （2）根据投影向量的定义，在上的投影向量为， ，， 投影向量为． （3）已知向量与向量的夹角为钝角， ，且与不反向共线； 则， 即，解得； 若两向量反向共线，则存在实数，使得，， 即，将代入，得到， 由，解得， 与不反向共线， ， 综上可得，实数的取值范围是． 22．（25-26高一下·湖南·月考）如图，在直角梯形中，，，，，点O，E分别为，的中点．    (1)设和交于点G，求的值； (2)若点F在边上运动（包含端点），求的取值范围． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，利用向量共线的坐标表示求解. （2）由（1）中坐标系，利用数量积的坐标表示列式求出范围. 【详解】（1）在直角梯形中，，，，，连接， 则，四边形为平行四边形，，， 以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，    则，令，则， ，由在上，得， 因此，解得，即，则， 所以的值为2. （2）由（1）得，由点F在边上，设， 则，，而， 因此， 所以的取值范围为. 23．（25-26高一下·上海·期中）如图，在梯形中，，且，设，． (1)若点满足，且三点共线，求实数的值． (2)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即可； （2）利用线性运算表示出目标式，结合数量积求解可得. 【详解】（1）因为，，三点共线，所以， 因为，，所以， 又， 所以， 所以，解得． （2）因为点E是线段AC上的动点，设， 因为， 所以， 所以，， 所以 ， 故当时，取到最小值． 24．（25-26高一下·安徽安庆·月考）如图，在等腰梯形中，，，满足，，其中，，与交于点. (1)用向量，表示，. (2)若，，求的值； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用向量线性运算求解； （2）利用向量共线定理求解； （3）将相关向量表示出来，求出向量的模，再利用二次函数性质求最值. 【详解】（1）由题意可知，， . （2）若，，， 设，，， 则，， ， 因为，不共线，所以，解得， 所以，所以. （3）由题意可知， 若，则， ， 当时，， 则， 所以的取值范围为. 25．（25-26高一下·江苏南京·月考）如图，在梯形中，，，E为上一点，且． (1)若，求的值； (2)已知． ①求的长； ②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）①利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； ②设，利用基底计算，根据二次函数性质求最值. 【详解】（1）因为，，所以， 所以 ， 又，与不共线，所以，， 则． （2）①由（1）知，， ， 所以 ． 又，所以，解得． ②设， 则， ． 又因为∠BAD＝，，， 所以 ． 因为，函数的对称轴为， 所以时，的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲：平面向量高频考点题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：平面向量的基本概念 · 考点二：平面向量的线性运算 · 考点三：平面向量的共线定理 · 考点四：平面向量基本定理 · 考点五：平面向量的数量积 · 考点五：平面向量的线性运算的坐标表示 · 考点六：平面向量共线垂直的坐标表示 · 考点八：平面向量的在物理上的应用 · 考点九：平面向量的最值或取值范围问题 · 考点十：平面向量在几何中的应用 【知识梳理】 知识点一．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点二：向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点三：．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2， 使a＝λ1e1＋λ2e2.，其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识点四：平面向量的坐标表示 (1)向量及向量的模的坐标表示 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (2)平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)． 知识点五：平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0. 1.向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]. 2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影 |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 3.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识点六：平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 【题型归纳】 题型一：平面向量的基本概念 【典例1】．（25-26高一下·江苏苏州·期中）设，是两个非零向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，且与同向，则 B．若，则 C．若，是两个单位向量，则 D．若，则 【变式1】．（25-26高一下·上海·期中）下列说法： ①加速度是向量； ②若向量且，则； ③若向量，则直线与直线平行； ④若向量，满足，且与同向，则； ⑤若两个非零向量，满足，则，为相反向量； ⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同； 其中错误的有（   ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（25-26高一下·江苏扬州·期中）给出下列命题，正确的有（   ） A．若，，则 B．若，共线，则存在实数，使得 C． D． 题型二：平面向量的线性运算 【典例2】．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，D是线段AC的中点，E是线段BD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一下·浙江衢州·期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：平面向量的共线定理 【典例3】．（25-26高一下·天津·期中）已知为不共线向量，，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式1】．（25-26高一下·北京平谷·月考）已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一下·山东济南·月考）若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 题型四：平面向量基本定理 【典例4】．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（   ） A． B． C．2 D． 1【变式1】．（25-26高一下·山东泰安·月考）在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【变式2】．（2026·浙江宁波·二模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 题型五：平面向量的数量积 【典例5】．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在边长为4的等边中，是边上的中线，为的中点，设，． (1)试用基底表示； (2)求的值． 【变式1】．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【变式2】．（25-26高一下·河南·月考）已知向量满足，，且与的夹角为． (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 题型六：平面向量的线性运算的坐标表示 【典例6】．（24-25高一下·河南·月考）已知向量. (1)若，求； (2)若，求； (3)若，求在方向上投影向量的坐标. 【变式1】．（25-26高一上·山东日照·期末）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 【变式2】．（24-25高一下·吉林长春·月考）如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． (1)求的余弦值； (2)设，求的值． 题型七：平面向量共线垂直的坐标表示 【典例7】．（25-26高一下·陕西宝鸡·月考）已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一下·四川遂宁·月考）已知平面向量．若，求向量在向量上的投影向量为（     ）． A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·云南保山·期中）已知向量满足，，与的夹角为，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 题型八：平面向量的在物理上的应用 【典例8】．（25-26高一下·江苏苏州·期中）飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减.已知某飞行器逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地速对应的向量为，则飞行器在该时刻的空速大小约为（单位：）（   ） A．400 B．450 C．560 D．630 【变式1】．（25-26高三上·湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 题型九：平面向量的最值或取值范围问题 【典例9】．（23-24高一下·山东青岛·月考）已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 【变式1】．（25-26高一下·上海·期中）在直角梯形中，，，且，，对角线与交于点，点满足，则的取值范围是_____． 【变式2】．（2026高三·全国·专题练习）如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为______ 题型十：平面向量在几何中的应用 【典例10】．（25-26高一下·江苏扬州·月考）如图，分别是菱形的边和上的动点，且. (1)若分别是的中点，求； (2)若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； (3)若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 【变式1】．（24-25高一下·广东茂名·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求； (2)求的坐标； (3)若点在线段上运动，设，求的最大值. 【变式2】．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高一上·湖南株洲·期中）若两个非零向量，的夹角为，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江西赣州·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·山东济南·期中）在中，，D是AC的中点，若，则的面积是（   ） A． B．1 C．2 D． 4．（25-26高一下·全国·期中）在四边形中，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 5．（25-26高一下·山东济南·期中）已知向量，不共线，且则实数（   ） A． B．1 C． D．2 6．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·河北保定·月考）如图，中，点是线段的中点，是线段上靠近点的三等分点，则（　　） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·江苏南通·月考）在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知平面向量，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若和的夹角为锐角，则 C．当时，在方向上的投影向量为 D．若，则和的夹角为 11．（25-26高一下·江苏苏州·期中）窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2026年马年新春，有人设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若E，F分别为弧BC，弧CD的中点，则（   ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量为 D． 12．（25-26高一下·重庆·月考）已知向量，，，下列说法错误的是（   ） A．若，则或 B．若，，则 C．若 D．若且，则 13．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）已知平面向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 14．（25-26高一下·江苏扬州·月考）设点P在所在平面内，且点G、H、O、I分别为该三角形的重心、垂心、外心和内心，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若且，则 D．若，则为等腰三角形 15．（25-26高一下·吉林长春·月考）在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若，，，则 D．若外接圆的半径为2，且，则的最大值为 三、填空题 16．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知平面向量所成的角为，且，则________ 17．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）若正方形的边长为2，分别为的中点，为线段上的动点（含端点），则的最小值为__________. 18．（25-26高一下·上海·月考）在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点，若，则的最小值为___________． 19．（25-26高一下·河北保定·月考）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则___________． 20．（2026·天津和平·一模）已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________． 四、解答题 21．（25-26高一下·山东菏泽·月考）已知向量，满足，，且，的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量；（用表示） (3)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 22．（25-26高一下·湖南·月考）如图，在直角梯形中，，，，，点O，E分别为，的中点．    (1)设和交于点G，求的值； (2)若点F在边上运动（包含端点），求的取值范围． 23．（25-26高一下·上海·期中）如图，在梯形中，，且，设，． (1)若点满足，且三点共线，求实数的值． (2)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值． 24．（25-26高一下·安徽安庆·月考）如图，在等腰梯形中，，，满足，，其中，，与交于点. (1)用向量，表示，. (2)若，，求的值； (3)若，求的取值范围. 25．（25-26高一下·江苏南京·月考）如图，在梯形中，，，E为上一点，且． (1)若，求的值； (2)已知． ①求的长； ②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $