专题09线段垂直平分线与角平分线复习讲义(12大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年鲁教版五四制七年级数学下册

专题09线段垂直平分线与角平分线复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记两类线的定义、性质 + 判定定理，明确三角形外心（垂直平分线交点）、内心（角平分线交点）核心特征 2.掌握两类线的尺规作图方法，能说清作图原理、保留作图痕迹 3.区分易混点：垂直平分线是直线 / 三角形角平分线是线段；角平分线性质中 “距离为垂线段” 1.能完成文字、图形、符号语言互译，规范书写几何推理步骤 2.熟练运用定理证明线段 / 角度相等，实现周长转化、距离计算 3.掌握核心辅助线作法：角平分线上点向两边作垂线，复杂图形中识别两类线基本模型 4.结合全等、等腰三角形进行综合推理，解决实际应用与图形综合题 1.快速解答选择 / 填空高频考点：距离相等判定、角度 / 周长计算、外心 / 内心特征 2.规范完成证明题：已知→求证→证明，逻辑严密不跳步 3.精准作答尺规作图题：按要求写作法、标痕迹、说明理由 4.规避典型易错点：性质与判定混淆、忽略 “角内部”“垂线段” 等关键条件 题型01.线段垂直平分线的性质 题型02.线段垂直平分线的判定 题型03.作已知线段的垂直平分线 题型04.作垂线 题型05.作等腰三角形 题型06.作角平分线 题型07.角平分线的性质定理 题型08.角平分线的判定定理 题型09.角平分线性质的实际应用 题型10.线段垂直平分线定值类问题 题型11.线段垂直平分线最值问题 题型12.双角平分线求夹角 解答题6题 知识点01:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 3.尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。作法： 1.分别以 A,B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于 C,D 两点； 2.作直线 CD，即为 AB 的垂直平分线。 知识点02:角平分线 1. 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点03:两者对比（超好用总结） 内容 线段垂直平分线 角平分线 线上点的性质 到线段两端点距离相等 到角两边距离相等 判定 到两端点等距 ⇒ 在垂直平分线上 到两边等距 ⇒ 在角平分线上 三角形交点 外心（到三顶点等距） 内心（到三边等距） 适用图形 线段 角 题型01.线段垂直平分线的性质 【典例】如图，以兔子的三个洞口为顶点作，猎狗想捕捉洞里的兔子，它的最佳位置应到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（　　） A．三条角平分线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三角形三条高的交点处 D．三角形三条中线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等作答即可． 【详解】解：线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等， 猎狗想到的三个洞口的距离都相等，则应蹲守在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为______． 【答案】14 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据周长的定义计算即可． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴，． ∴四边形的周长． 故答案为：14． 【跟踪专练2】如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点．下列说法正确的有：________（只填写序号）． ①是等腰直角三角形；②；③；④：⑤若，则． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据，，可直接判断①，利用可证明即可判断②，利用垂直平分线的判定和性质结合直角三角形三边关系可判断③，利用三角形内角和定理以及等角对等边可判断④，利用等腰直角三角形的判定和性质可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形，故①正确， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又，， ∴，故②正确； 连接， ∵是等腰直角三角形，点为中点． ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴，故③错误， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤正确， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 综上：①②④⑤正确． 【跟踪专练3】如图，若，为内一定点，点在上，点在上，当的周长取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，得到，，，，的周长，当点、在线段上时，的周长取得最小值，证明，得到，同理可得，，再证明，得到，最后根据求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∴的周长， ∴当点、在线段上时，的周长取得最小值， ∵，， ∴，， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 题型02.线段垂直平分线的判定 【典例】小明在纸上画出线段及它的中点O，再过点O画出与垂直的直线，沿直线将纸对折．发现与重合，则直线称为线段的__________． 【答案】垂直平分线/中垂线 【分析】根据线段垂直平分线的定义，即可得到直线称为线段的垂直平分线． 【详解】解：∵沿直线将纸对折．发现与重合 ∴ ∵点O画出与垂直的直线 ∴ ∴直线称为线段的垂直平分线 故答案为：垂直平分线 【点睛】本题考查了线段垂直平分线定义，理解线段垂直平分线的定义是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，点E、D分别在的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据角平分线的性质即可得到结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②如图，过点作于点,于点，于点， ∵与的平分线相交于点P， ∴， ∴ ∴是的平分线，即平分；故②正确； ③∵，平分， ∴垂直平分（三线合一），故③正确； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，为直线上的动点．过点作射线于点，若，则的长为________． 【答案】或 【分析】根据勾股定理求出，再分三种情况：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，③当点在延长线上时，分别求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ①如图，当点在延长线上时， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点在线段上时， 此时，，故此种情况不存在； ③如图，点在延长线上时， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的长为或． 【跟踪专练3】如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（    ） A．直线是线段的垂直平分线 B． C．是等边三角形 D． 【答案】D 【分析】由三线合一即可判断A；利用等边对等角得，，则，即可判断B；证明且，即可证得是等边三角形；从而判断C；证明，则，，即可判断D选项． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴直线是线段的垂直平分线，故A正确； 如图所示，连接， ，， ， ， ， ，， ，故B正确， ， ， ， ， ， 是等边三角形．故C正确； 如图，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，故D错误． 题型03.作已知线段的垂直平分线 【典例】如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（   ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中垂线 【答案】A 【分析】根据三角形中线的定义和线段垂直平分线作图法判断即可． 【详解】由作图的痕迹可知：点是线段的中点， 线段是的中线． 【跟踪专练1】在数学课上，老师提出如下问题：如图所示，已知中，，用尺规作图的方法在上取一点，使得．下面四个同学的做法，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用得到，利用线段垂直平分线定理的逆定理，作的垂直平分线即可． 【详解】解：， 而， ， 点为的垂直平分线与的交点． 故选：A． 【跟踪专练2】在中，，，分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线，分别交、于点M、N，连接，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】根据作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可得的长及，进而推导出为中点，利用勾股定理求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线 ，， 在中， ， 在中， 的周长 题型04.作垂线 【典例】观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A． 平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：解：由作图可得：， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质和等边对等角，由作图方法可知垂直平分，再由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可得答案． 【详解】解：由作图方法可知垂直平分， ∴， ∴， 根据现有条件无法得到，，， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点D，使，则符合要求的作图痕迹是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据垂直平分线的尺规作图方法得到A，B，C选项所作的都是垂直平分线，再根据垂直平分线的性质结合等边对等角进行判断即可．选项D由作图无法得到点D的特征，即可判断． 【详解】解：A、由作图痕迹为点在线段的垂直平分线上，则，因此，无法得到，故此选项不符合题意． B、作图痕迹为点在线段的垂直平分线上，则，因此，如图，故此选项符合题意． C、作图痕迹为点在线段的中点，无法得到，故此选项不符合题意． 、由作图无法得到点D的特征，无法得到，故选项不符合题意． 故选：B． 题型05.作等腰三角形 【典例】如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则______． 【答案】110°/110度 【分析】根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°，再根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°， ∵∠BCM=∠MAN+∠ABC， ∴∠BCM=110°． 故答案为：110° 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，三角形外角的性质，熟练掌握作一个角等于已知角的作法，三角形外角的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C．②以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为__________． 【答案】 【分析】由作法得，，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再计算出，然后计算即可． 【详解】解：由作法得，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． 【跟踪专练2】已知在中，，用尺规在边上确定一点D，使得，则下列作图中，一定符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质， 根据尺规作图的过程可知，再判断A，C；然后根据尺规作图的过程可得的垂直平分线交于点D，可得，进而得，判断C，最后结合C判断D即可． 【详解】解：根据尺规作图的过程可知， 可得，， 所以A，C不正确； 根据尺规作图的过程可得的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴C不正确； 根据尺规作图的过程可得的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴D正确． 故选：D． 题型06.作角平分线 【典例】如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：根据作图可得，，故A，B正确； ∵是角平分线， ∴，故D选项正确， 而不一定成立，故C选项错误， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据尺规作图的原理可证明求解． 本题考查了作图—基本作图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 在和中， ， ∴ ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题. 求出的度数，角平分线的定义，得到的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪专练3】如图，中，，点D，E分别在，上，．分别以D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图−角平分线、角平分线的性质．根据题意可得，平分，再根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点G作于点H， 由题意可得，平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 题型07.角平分线的性质定理 【典例】如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】D 【分析】作，垂足为，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，垂足为， ，平分，， ， ， ， 则点到的距离为． 【跟踪专练1】如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式．过点作于，根据三角形面积公式求出的长，再根据角平分线的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ，， 平分，， ． 【跟踪专练2】如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质可得，再根据及求出的长即可求解． 【详解】解：过点D作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴， 即点D到的距离为． 【跟踪专练3】如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（    ） ①平分；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选：C． 题型08.角平分线的判定定理 【典例】如图，在上求一点P，使它到，的距离相等，则P点是（    ） A．线段的中点 B．与的中垂线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的中垂线的交点 【答案】C 【分析】根据角平分线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵点P到，的距离相等， ∴点P在的平分线上， 又点P在上， ∴P点是与的平分线的交点， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的判定定理，熟知在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解答的关键． 【跟踪专练1】将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F，根据得到，求出，，，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵的三边，，的长分别是，，，且， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练3】如图，在和中，，，，，连接，交于点M，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． 证明，得到，，，，则，即，作于点I，于点L，可知，即点O在的平分线上，即可求出的度数． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ∴， ，，，， ， ， ， 作于点I，于点L，则， ， ， 点O在的平分线上， 平分， ， 故选：C． 题型09.角平分线性质的实际应用 【典例】如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，    ∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示． 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 【跟踪专练1】一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点到三边的距离相等． 【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等， ∴该点应是三角形三条角平分线的交点， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于____． 【答案】6 【分析】作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作于， 平分 的面积为 故答案为：6． 【跟踪专练3】如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 题型10.线段垂直平分线定值类问题 【典例】在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 【答案】7或13/13或7 【分析】分点D在点E左侧和点D在点E右侧两种情况讨论，利用线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）得到，再结合和的长度进行求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴， 当点D在点E左侧时，； 当点D在点E右侧时，； 故的值为7或13． 【跟踪专练1】如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E．若，的周长为28，则的周长等于_________ ． 【答案】18 【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于D，E，， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴， 则的周长等于 ． 【跟踪专练2】如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 【答案】10 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 在的垂直平分线上， ， 的周长 ． 【跟踪专练3】如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质结合图形，利用三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ，     的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ． ， ． 题型11.线段垂直平分线最值问题 【典例】如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，当、、三点共线且时，的值最小，根据即可求出的最小值． 【详解】如图，连接，， 垂直平分边，点是上的一点， ， ， 中，，点是边的中点， ，此时的值最小， ，， ． 的最小值为的长为，即最小值为． 【点睛】充分利用等腰三角形三线合一的性质和垂线段最短是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是（   ）    A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，   ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，平分，交于点，点，分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，过点作于，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即得，即得到，可知当三点共线且时，的值最小，最小值即为的长，再利用三角形的面积求出的值即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当三点共线且时，的值最小，最小值即为的长， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A与点B均在格点上，l为网格线所在的直线． (1)标出点A关于直线l的对称点； (2)在直线l上找一点P，使得的值最小（保留作图痕迹）； (3)若在网格中有一点Q，点Q到点，点A，点B这三个点的距离均相等，则______． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)5 【分析】（1）根据对称的性质作图即可； （2）根据两点之间线段最短，连接交直线l于点P，即可求解； （3）取格点和，连接，，，则为线段的垂直平分线，延长交直线为，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． . （2）解：如上图，连接交直线l于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． （3）解：如上图，取格点和，连接，，，则为线段的垂直平分线，延长交直线为，由题意知，直线l为线段的垂直平分线， 此时点Q到点，点A，点B这三个点的距离均相等， ． 题型12.双角平分线求夹角 【典例】如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q．延长线段，交于点E． （1）的度数为____________． （2）在中，若等于的3倍，则的度数为____________． 【答案】 /90度 /45度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的定义；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质是解题的关键． （1）首先利用角平分线定义即可解答， （2）利用角平分线定义和三角形外角的性质证明，然后求出，即可解答． 【详解】（1）解：平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，在中，，外角和的角平分线交与点，则_______，、的角平分线交于点，…，依次下去，则_______．（结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识． 根据三角形外角的性质及角平分线的性质逐步计算，即可解答． 【详解】在中，，有 ∵外角和的角平分线交与点， ∴， ∴． ∵、的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 同理可得 ， ∴． 故答案为：，． 【跟踪专练2】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长，过点作于点，作于点，作于点，然后证明是的平分线，进而可得的度数，再求出的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质． 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ，的外角的平分线与内角平分线交于点， ，， ， 是的平分线， ∵， ∴， ∴， 平分，平分， ，， ，， ， ； 故答案为：． 【跟踪专练3】在中， (1)如图（1），、的平分线相交于点．若，求的度数．若，则______． (2)如图（2），在中的外角平分线相交于点．，求的度数． (3)如图（4），中的内角平分线相交于点，外角平分线相交于点，延长线段、交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 【答案】(1)当时，，当时， (2)时， (3)的度数为，或 【分析】（1）根据角平分线性质以及三角形内角和定理计算即可； （2）根据三角形内角和定理、外角和定理及角平分线性质求解即可； （3）根据（1）、（2）题的结论，进行分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 当时，， 当时，则． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴， 当时，则． （3）解：由（1）、（2）得，， ∵、分别为的外角平分线和内角平分线， ∴， ①当时， 即， 解得； ②当时， ∵， 解得， ∴， 得； ③当时， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ④当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为，或． 【点睛】图1为“双内角平分线模型”，结论为，图2为“双外角平分线模型”，结论为，两个模型的结论都可以由三角形的内角和定理(或三角形的外角的性质)和角平分线的定义得出． 解答题 1．尺规作图：根据要求补全图形．（不写作图过程，保留作图痕迹） (1)图1中，点、在直线同侧，在直线上作一点，使得； (2)图2中，点、在直线异侧，在直线上作一点，使得． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即可得到满足的点； （2）利用轴对称将“异侧点”转化为“同侧点”，作点关于直线的对称点，连接点和该对称点交直线于点，即可得到满足的点． 【详解】（1）解：如图1所示： （2）如图2所示： 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 3．如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】由得到点P在的垂直平分线上，根据作垂直平分线的尺规作图方法作出的垂直平分线，在以点B为顶点，为边作出等于的角，即可得到的平行线，垂直平分线与平行线的交点即为点P． 【详解】如图，点即为所求． 4．光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图①，若入射光线与平面镜的夹角为，则反射角的度数是____________； (2)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (3)如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 【答案】(1)60 (2) 见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据法线与平面镜垂直求出入射角的度数即可得到答案； （2）根据入射角等于反射角可知，法线即为入射光线与反射光线组成的角的角平分线，据此作的角平分线即可； （3）过点A作平面镜所在直线的垂线，垂足为D，以D为圆心，的长为半径画弧交直线于点C，连接交平面镜所在直线于点O，则点O即为所求． 【详解】（1）解：∵入射光线与平面镜的夹角为， ∵法线与平面镜垂直， ∴入射角的度数为， ∴反射角的度数是； （2）解：如图所示，射线即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 5．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 6．在中，，平分，是边上的高，点E在边上，连接． (1)若，求的度数． (2)当时，求的长． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）先根据三角形的高得，根据直角三角形性质得，根据角平分线定义得； （2）过点E作于点F，根据角平分线性质得，可得，得，，求出，设，则，根据，得，解得，根据三线合一，得． 【详解】（1）解：∵在中，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：过点E作于点F，则， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形性质，角平分线定义和性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09线段垂直平分线与角平分线复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记两类线的定义、性质 + 判定定理，明确三角形外心（垂直平分线交点）、内心（角平分线交点）核心特征 2.掌握两类线的尺规作图方法，能说清作图原理、保留作图痕迹 3.区分易混点：垂直平分线是直线 / 三角形角平分线是线段；角平分线性质中 “距离为垂线段” 1.能完成文字、图形、符号语言互译，规范书写几何推理步骤 2.熟练运用定理证明线段 / 角度相等，实现周长转化、距离计算 3.掌握核心辅助线作法：角平分线上点向两边作垂线，复杂图形中识别两类线基本模型 4.结合全等、等腰三角形进行综合推理，解决实际应用与图形综合题 1.快速解答选择 / 填空高频考点：距离相等判定、角度 / 周长计算、外心 / 内心特征 2.规范完成证明题：已知→求证→证明，逻辑严密不跳步 3.精准作答尺规作图题：按要求写作法、标痕迹、说明理由 4.规避典型易错点：性质与判定混淆、忽略 “角内部”“垂线段” 等关键条件 题型01.线段垂直平分线的性质 题型02.线段垂直平分线的判定 题型03.作已知线段的垂直平分线 题型04.作垂线 题型05.作等腰三角形 题型06.作角平分线 题型07.角平分线的性质定理 题型08.角平分线的判定定理 题型09.角平分线性质的实际应用 题型10.线段垂直平分线定值类问题 题型11.线段垂直平分线最值问题 题型12.双角平分线求夹角 解答题6题 知识点01:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 3.尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。作法： 1.分别以 A,B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于 C,D 两点； 2.作直线 CD，即为 AB 的垂直平分线。 知识点02:角平分线 1. 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点03:两者对比（超好用总结） 内容 线段垂直平分线 角平分线 线上点的性质 到线段两端点距离相等 到角两边距离相等 判定 到两端点等距 ⇒ 在垂直平分线上 到两边等距 ⇒ 在角平分线上 三角形交点 外心（到三顶点等距） 内心（到三边等距） 适用图形 线段 角 题型01.线段垂直平分线的性质 【典例】如图，以兔子的三个洞口为顶点作，猎狗想捕捉洞里的兔子，它的最佳位置应到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（　　） A．三条角平分线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三角形三条高的交点处 D．三角形三条中线的交点处 【跟踪专练1】如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为______． 【跟踪专练2】如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点．下列说法正确的有：________（只填写序号）． ①是等腰直角三角形；②；③；④：⑤若，则． 【跟踪专练3】如图，若，为内一定点，点在上，点在上，当的周长取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 题型02.线段垂直平分线的判定 【典例】小明在纸上画出线段及它的中点O，再过点O画出与垂直的直线，沿直线将纸对折．发现与重合，则直线称为线段的__________． 【跟踪专练1】如图，在中，点E、D分别在的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练2】如图，在中，，，，为直线上的动点．过点作射线于点，若，则的长为________． 【跟踪专练3】如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（    ） A．直线是线段的垂直平分线 B． C．是等边三角形 D． 题型03.作已知线段的垂直平分线 【典例】如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（   ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中垂线 【跟踪专练1】在数学课上，老师提出如下问题：如图所示，已知中，，用尺规作图的方法在上取一点，使得．下面四个同学的做法，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在中，，，分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线，分别交、于点M、N，连接，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 题型04.作垂线 【典例】观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A． 平分 B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点D，使，则符合要求的作图痕迹是（   ）． A． B． C． D． 题型05.作等腰三角形 【典例】如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则______． 【跟踪专练1】已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C．②以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为__________． 【跟踪专练2】已知在中，，用尺规在边上确定一点D，使得，则下列作图中，一定符合要求的是（   ） A． B． C． D． 题型06.作角平分线 【典例】如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，中，，点D，E分别在，上，．分别以D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 题型07.角平分线的性质定理 【典例】如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 【跟踪专练1】如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【跟踪专练2】如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（    ） ①平分；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 题型08.角平分线的判定定理 【典例】如图，在上求一点P，使它到，的距离相等，则P点是（    ） A．线段的中点 B．与的中垂线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的中垂线的交点 【跟踪专练1】将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【跟踪专练2】如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【跟踪专练3】如图，在和中，，，，，连接，交于点M，连接，则（   ） A． B． C． D． 题型09.角平分线性质的实际应用 【典例】如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【跟踪专练1】一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 【跟踪专练2】如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于____． 【跟踪专练3】如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 题型10.线段垂直平分线定值类问题 【典例】在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 【跟踪专练1】如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E．若，的周长为28，则的周长等于_________ ． 【跟踪专练2】如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 【跟踪专练3】如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 题型11.线段垂直平分线最值问题 【典例】如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练1】如图，在中，，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是（   ）    A．5 B．4 C．3 D． 【跟踪专练2】如图，在中，，平分，交于点，点，分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为______． 【跟踪专练3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A与点B均在格点上，l为网格线所在的直线． (1)标出点A关于直线l的对称点； (2)在直线l上找一点P，使得的值最小（保留作图痕迹）； (3)若在网格中有一点Q，点Q到点，点A，点B这三个点的距离均相等，则______． 题型12.双角平分线求夹角 【典例】如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q．延长线段，交于点E． （1）的度数为____________． （2）在中，若等于的3倍，则的度数为____________． 【跟踪专练1】如图，在中，，外角和的角平分线交与点，则_______，、的角平分线交于点，…，依次下去，则_______．（结果用含的式子表示） 【跟踪专练2】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是________． 【跟踪专练3】在中， (1)如图（1），、的平分线相交于点．若，求的度数．若，则______． (2)如图（2），在中的外角平分线相交于点．，求的度数． (3)如图（4），中的内角平分线相交于点，外角平分线相交于点，延长线段、交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 解答题 1．尺规作图：根据要求补全图形．（不写作图过程，保留作图痕迹） (1)图1中，点、在直线同侧，在直线上作一点，使得； (2)图2中，点、在直线异侧，在直线上作一点，使得． 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 3．如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 4．光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图①，若入射光线与平面镜的夹角为，则反射角的度数是____________； (2)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (3)如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 5．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 6．在中，，平分，是边上的高，点E在边上，连接． (1)若，求的度数． (2)当时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $