专题06三角形内角和与全等三角形复习讲义(14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年鲁教版五四制七年级数学下册

专题06三角形内角和与全等三角形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透三角形内角和 180°+ 外角推论，秒懂三角形按角分类核心特征 2.熟记全等三角形概念、性质，牢抓 SSS/SAS/ASA/AAS/HL 判定黄金法则 1.灵活用内角和 / 外角推论算角度、推角关系，结合平行线 / 角平分线完成几何推导 2.精准选判定证全等，借助全等性质快速证线段 / 角相等、平行 / 垂直 3.解锁复杂图形全等识别技巧，掌握作平行线、倍长中线等辅助线方法，用方程 / 转化思想破解几何题，搞定相关尺规作图 1.秒杀概念辨析、性质应用类选择 / 填空，做到零失误 2.规范书写几何证明题，条件全、判定准、步骤清，稳拿证明题满分 3.轻松攻克内角和 + 全等三角形综合题，吃透期中核心考点，几何解题能力飙升 题型01.三角形外角的定义及性质 题型02.三角形内角和定理的证明 题型03.平行线与三角形内角和问题 题型04.角平分线与三角形内角和问题 题型05.三角形折叠的角度问题 题型06.三角形内角和定理应用 题型07.用SSS证明三角形全等 题型08.SSS定理综合应用 题型09.用SAS证明三角形全等 题型10.SAS定理综合应用 题型11.用ASA(AAS)证三角形全等 题型12.全等性质与ASA/AAS综合应用 题型13.添加条件使三角形全等 题型14.全等三角形的判定综合 解答题9题 知识点01:三角形内角和定理：几何计算的 “万能钥匙” 1.核心结论：所有三角形内角和恒为 180°，与形状、大小无关， 符号表示：△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180° 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3. 重要推论 (1)直角三角形两锐角互余 直角三角形中，两个锐角之和 = 90° ∵在△ABC中.∠C=90 ∴∠A+∠B=90 (2)三角形的外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD>∠A,∠ACD>∠B ✨ 知识点02:全等三角形：几何证明的 “全等密码本” 1.本质定义：能完全重合的两个三角形，形状 + 大小双相同，记作△ABC≌△DEF 2.五大判定定理（核心，记牢 “边必占其一”）： 判定定理 简称 文字表述 几何语言(以△ABC和△DEF) 关键注意点. 边边边 SSS 三边分别相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(SSS) 唯一无需角的判定，三角形稳定性的原理 边角边 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(SAS) 必须是两边的夹角，SSA 不能判定全等 角边角 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 ∵​ ∴△ABC≅△DEF(ASA) 夹边是两角的公共边 .角角边 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(AAS) 由 ASA 推导而来，是 ASA 的补充 直角边 HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ∴Rt△ABC≅Rt△DEF(HL) 黄金性质：全等三角形 =“完全复刻”，对应边、对应角、对应中线 / 高 / 角平分线全相等，周长、面积也完全一样！ 3.解题大招： (1)找 “隐藏条件”：公共边、公共角、对顶角，都是天然相等条件 (2)证边 / 角相等：把要证的边/角，放进两个三角形里，证全等即可“一键得出” (3)图形模型速判:平移型.对称（翻折）型、旋转型，认准模型直接找对应关系 致命易错点： ❌ AAA（角角角）：只能证相似，不能证全等（形状同，大小可能不同） ❌ SSA（边边角）：非直角三角形中完全失效，别再踩坑！ 知识点03:.已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 题型01.三角形外角的定义及性质. 【典例】如图，中，，点在的延长线上，则等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，，，则_____． 【跟踪专练2】如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 题型02.三角形内角和定理的证明 【典例】“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【跟踪专练1】在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【跟踪专练2】在中，，按图中虚线将剪去后，等于（    ）． A． B． C． D． 题型03.平行线与三角形内角和问题 【典例】如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）   . A．1 B．2 C．3 D．4 题型04.角平分线与三角形内角和问题 【典例】如图，在中，，平分，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知在中，平分，交边于点D，如果，那么_________． 【跟踪专练2】如图，四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点，，有下列结论：①；②若，则；③若，则；④，正确的是__________（填序号）： 【跟踪专练3】如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为(　　) A． B． C． D． 题型05.三角形折叠的角度问题 【典例】如图，将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CEF=54°，则∠AED的度数是（　　）    A．56° B．63° C．68° D．76° 【跟踪专练1】如图，将一个长方形纸片按图示折叠，若，则的度数是___________． 【跟踪专练2】如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 题型06.三角形内角和定理应用 【典例】已知，图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中都与地面平行，，，当与平行时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型07.用SSS证明三角形全等 【典例】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，可说明，其中判断≌的依据是（    ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 【跟踪专练1】一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【跟踪专练3】如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 题型08.SSS定理综合应用 【典例】如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为______． 【跟踪专练1】 如图，已知，以下结论错误的是（   ） A．平分 B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在与中，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 题型09.用SAS证明三角形全等 【典例】如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【跟踪专练1】在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知，，则的依据是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，已知，，要使，下列条件添加不正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型10.SAS定理综合应用 【典例】如图，两根钢条的中点连在一起，可绕点自由转动，则可判定，从而得到的长等于内槽宽．那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，五边形中，，，，则五边形的面积为（   ） . A．8 B．6 C．5 D．4 题型11.用ASA(AAS)证三角形全等 【典例】如图，研学小组的同学为了测量公园人工湖岸边上点到湖对岸边上点之间的距离，在与点同侧的湖岸上选择了一点，利用激光测角仪测得，的度数；然后在点所在的湖岸边找点，使得，同时，利用全等三角形的性质，可得之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点，，，在同一条直线上，且，，，根据以上条件判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 题型12.全等性质与ASA/AAS综合应用 【典例】如图，，和分别是和的高，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．3.2 【跟踪专练1】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的五块（即图中标有1，2，3，4，5的五块），现要到玻璃店配一块与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应该带去的一块是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【跟踪专练2】如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（   ） ①与的面积相等；②；③；④ A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 题型13.添加条件使三角形全等. 【典例】如图，，下列条件中，添加后仍不能判定△△的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在和中，，，下列条件中，不一定能得到是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点在一条直线上，，．再添加一个条件后仍然不能证明的是（   ） A． B． C． D． 题型14.全等三角形的判定综合 【典例】如图全等的两个三角形是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【跟踪专练1】数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（    ） A．小杭和小州都对 B．小杭对，小州错 C．小杭错，小州对 D．小杭和小州都错 【跟踪专练2】根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．，， B．，， C．， D．， 解答题 1．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 2．如图1，现有一张直角三角形纸片，，点D为边上一点，将纸片沿所在直线折叠，使点B落在内部的处． (1)若，求的度数； (2)如图2，若点E为线段上一点，将纸片沿所在直线再次折叠，使点D落在上，将纸片完全展开后折痕分别为，，．若，，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图3，在重叠部分（内部）沿过点A的直线剪一刀，得到三张纸片，若这三张纸片中，以点A为顶点的角的度数之比为，写出的度数． 3．如图，已知，平分交于点B，平分．请仅用无刻度的直尺作图． (1)在图1中，过点A作的垂线，垂足为F； (2)在图2中，所在直线上取一点O，使． 4．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若，求的度数． 5．如图，在四边形​中，​，平分​，连接​，若​，​． (1)求证：​； (2)若​，求证：​． 6．如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 7．已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 8．如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 9．综合与实践 如图（1）将三角板与三角板摆放在一起，其中，，；如图（2），固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记． 【操作发现】 (1)在旋转过程中，当为_________度时，； (2)当与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数； 【拓展应用】 (3)当时，连接，利用图（3）探究的值的大小是否变化，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06三角形内角和与全等三角形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透三角形内角和 180°+ 外角推论，秒懂三角形按角分类核心特征 2.熟记全等三角形概念、性质，牢抓 SSS/SAS/ASA/AAS/HL 判定黄金法则 1.灵活用内角和 / 外角推论算角度、推角关系，结合平行线 / 角平分线完成几何推导 2.精准选判定证全等，借助全等性质快速证线段 / 角相等、平行 / 垂直 3.解锁复杂图形全等识别技巧，掌握作平行线、倍长中线等辅助线方法，用方程 / 转化思想破解几何题，搞定相关尺规作图 1.秒杀概念辨析、性质应用类选择 / 填空，做到零失误 2.规范书写几何证明题，条件全、判定准、步骤清，稳拿证明题满分 3.轻松攻克内角和 + 全等三角形综合题，吃透期中核心考点，几何解题能力飙升 题型01.三角形外角的定义及性质 题型02.三角形内角和定理的证明 题型03.平行线与三角形内角和问题 题型04.角平分线与三角形内角和问题 题型05.三角形折叠的角度问题 题型06.三角形内角和定理应用 题型07.用SSS证明三角形全等 题型08.SSS定理综合应用 题型09.用SAS证明三角形全等 题型10.SAS定理综合应用 题型11.用ASA(AAS)证三角形全等 题型12.全等性质与ASA/AAS综合应用 题型13.添加条件使三角形全等 题型14.全等三角形的判定综合 解答题9题 知识点01:三角形内角和定理：几何计算的 “万能钥匙” 1.核心结论：所有三角形内角和恒为 180°，与形状、大小无关， 符号表示：△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180° 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3. 重要推论 (1)直角三角形两锐角互余 直角三角形中，两个锐角之和 = 90° ∵在△ABC中.∠C=90 ∴∠A+∠B=90 (2)三角形的外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD>∠A,∠ACD>∠B ✨ 知识点02:全等三角形：几何证明的 “全等密码本” 1.本质定义：能完全重合的两个三角形，形状 + 大小双相同，记作△ABC≌△DEF 2.五大判定定理（核心，记牢 “边必占其一”）： 判定定理 简称 文字表述 几何语言(以△ABC和△DEF) 关键注意点. 边边边 SSS 三边分别相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(SSS) 唯一无需角的判定，三角形稳定性的原理 边角边 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(SAS) 必须是两边的夹角，SSA 不能判定全等 角边角 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 ∵​ ∴△ABC≅△DEF(ASA) 夹边是两角的公共边 .角角边 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(AAS) 由 ASA 推导而来，是 ASA 的补充 直角边 HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ∴Rt△ABC≅Rt△DEF(HL) 黄金性质：全等三角形 =“完全复刻”，对应边、对应角、对应中线 / 高 / 角平分线全相等，周长、面积也完全一样！ 3.解题大招： (1)找 “隐藏条件”：公共边、公共角、对顶角，都是天然相等条件 (2)证边 / 角相等：把要证的边/角，放进两个三角形里，证全等即可“一键得出” (3)图形模型速判:平移型.对称（翻折）型、旋转型，认准模型直接找对应关系 致命易错点： ❌ AAA（角角角）：只能证相似，不能证全等（形状同，大小可能不同） ❌ SSA（边边角）：非直角三角形中完全失效，别再踩坑！ 知识点03:.已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 题型01.三角形外角的定义及性质. 【典例】如图，中，，点在的延长线上，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质．. 直接根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】解：． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，，，，则_____． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，三角形外角性质求解即可． 【详解】解：，， ， ． 【跟踪专练2】如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应角相等求出的度数，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 题型02.三角形内角和定理的证明 【典例】“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 【跟踪专练1】在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D 【跟踪专练2】在中，，按图中虚线将剪去后，等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补角的定义可知：，，由三角形内角和定理可知： ，代入即可求出． 【详解】解：假设虚线为DE， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 【点睛】本题考查补角的定义，三角形内角和定理，理解补角的定义，找出是解题的关键． 题型03.平行线与三角形内角和问题 【典例】如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【跟踪专练2】在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）   . A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 题型04.角平分线与三角形内角和问题 【典例】如图，在中，，平分，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．先求出，再根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，已知在中，平分，交边于点D，如果，那么_________． 【答案】80 【分析】根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，再求出结果即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点，，有下列结论：①；②若，则；③若，则；④，正确的是__________（填序号）： 【答案】①②③ 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理，可判断①结论；根据角平分线的定义和平行线的判定和性质，可判断②③结论；根据三角形外角的性质，可判断④结论； 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ，②结论正确； ，且， ， ， ， ，③结论正确； ，且是的外角， ， 但由已知条件无法得出，即无法得出，④结论错误． 【跟踪专练3】如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，由题意平分，平分，推出，，设，设，，用含和的代数式表示和即可解决问题． 【详解】解：如图： 平分，平分， ，， 设，，， 由外角的性质得： ， ， ，解得， ， ．     故选：C． 题型05.三角形折叠的角度问题 【典例】如图，将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CEF=54°，则∠AED的度数是（　　）    A．56° B．63° C．68° D．76° 【答案】B 【分析】根据领补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：B． 【点睛】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，是解决问题的关键． 【跟踪专练1】如图，将一个长方形纸片按图示折叠，若，则的度数是___________． 【答案】/70度 【分析】利用平行线的性质得到，利用折叠的性质得到，利用对顶角的性质得到，再利用三角形的内角和运算即可． 【详解】解：如图所示进行标注，并延长到点， 由题意可得：， ∴， ∴由折叠可得， ∵，， ∴， 解得：． 【跟踪专练2】如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的性质得到根据题意，得到再由图形翻折变换的性质得到，根据三角形的内角和即可得出结论． 【详解】解：∵ ，， ∴， 根据折叠的性质可得：， ， ∴ ． 题型06.三角形内角和定理应用 【典例】已知，图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由图中的两个三角形全等，，，， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 又， ． 【跟踪专练2】某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中都与地面平行，，，当与平行时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，三角形内角和求解即可． 【详解】解：都与地面平行， ， ， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据角平分线的意义求得，再利用三角形内角和定理求得，然后三角形外角的性质求得，根据角平分线的意义求得，再根据三角形外角的性质求得． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵平分， ∴， 在中，是外角， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 题型07.用SSS证明三角形全等 【典例】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，可说明，其中判断≌的依据是（    ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角、全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：由题意知，，， 在和中， ， ∴≌． 故选：A ． 【跟踪专练1】一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答． 【详解】解：由“”可以判定两个三角形全等， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵AE=FB， ∴AE+BE=FB+BE， ∴AB=FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 【跟踪专练3】如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 题型08.SSS定理综合应用 【典例】如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为______． 【答案】/26度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据作图过程可得，，利用证明，即可得出结果． 【详解】解：根据作图过程可知： ，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】 如图，已知，以下结论错误的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用可证明，由全等三角形的性质可得，据此可判断A、C、D，根据现有条件无法证明，则可判断B． 【详解】解：∵， ∴，故C结论正确，不符合题意， ∴，故D结论正确，不符合题意， ∴平分，故A结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故B结论错误，符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在与中，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，通过证明，则，又，进而求出的度数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 题型09.用SAS证明三角形全等 【典例】如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】由边角边证明可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∴. 【跟踪专练1】在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是边上的中线，得，又，，由判定，即可得到答案. 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 由判定， 故选：A. 【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法. 【跟踪专练2】如图，已知，，则的依据是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是根据已知条件准确找出判定三角形全等所需的边和角． 已知，，且为与的公共边，因此满足两边及其夹角对应相等，可依据判定两三角形全等． 【详解】解：在和中， ∴ （）． 故选：． 【跟踪专练3】如图，已知，，要使，下列条件添加不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过、、、判定三角形全等的判定方法逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即， 选项： ， ∵，，， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， 即对顶角相等，无法直接得出，符合题意． 故选：． 题型10.SAS定理综合应用 【典例】如图，两根钢条的中点连在一起，可绕点自由转动，则可判定，从而得到的长等于内槽宽．那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据线段中点的定义可得，再由，即可利用证明． 【详解】解：由题意得，， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明，得到，进而可知，即可得到的度数． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用判定，根据全等三角形对应角相等可得，从而可得，根据三角形内角和定理可以求出，再利用三角形内角和定理可求的度数． 【详解】解：在中，， ， 在和中， ， ， 又， ， ， 在中，． 【跟踪专练3】如图，五边形中，，，，则五边形的面积为（   ） . A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形的面积转化为两个的面积是解决问题的关键． 可延长至F，使，利用可证明，连接，再利用证明，可将五边形的面积转化为两个的面积，进而求解即可． 【详解】解：延长至F，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴五边形的面积是：． 故选D． 题型11.用ASA(AAS)证三角形全等 【典例】如图，研学小组的同学为了测量公园人工湖岸边上点到湖对岸边上点之间的距离，在与点同侧的湖岸上选择了一点，利用激光测角仪测得，的度数；然后在点所在的湖岸边找点，使得，同时，利用全等三角形的性质，可得之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先理解题意，结合，，，证明，即可作答． 【详解】解：依题意，∵，，， ∴， ∴图中与全等的依据是． 【跟踪专练1】如图，点，，，在同一条直线上，且，，，根据以上条件判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴判定的依据是“”， 故选：． 【跟踪专练2】如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲的边，的夹角和的边，的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 乙的角，和边与的角，和边对应，能用“”证明乙三角形与全等； 则甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是乙． 故选：B． 题型12.全等性质与ASA/AAS综合应用 【典例】如图，，和分别是和的高，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．3.2 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等，以及利用判定三角形全等是解题的关键．根据全等三角形的性质，对应边相等、对应角相等，结合高的定义得到直角，再通过证明包含高的两个小三角形全等，从而得出高相等． 【详解】解：∵， ∴，， ∵、分别是、的高， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的五块（即图中标有1，2，3，4，5的五块），现要到玻璃店配一块与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应该带去的一块是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【详解】解：1、3、4、5这几块玻璃不同时具备包括一个完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 【跟踪专练2】如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质和判定； 由垂直得，求出，证明，得到，，然后利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练3】如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（   ） ①与的面积相等；②；③；④ A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】利用和三角形面积公式可对进行判断；利用等角的余角相等可对进行判断；根据和的大小关系和全等三角形的判定方法可对进行判断；由于，，则根据三角形外角性质可对进行判断． 【详解】解：，是边的中线，． ，， ，所以成立； ， ． ，， ，所以成立； ， 错误，所以不成立； 平分， ． ，， ， ，所以成立． 故选：D. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法. 题型13.添加条件使三角形全等. 【典例】如图，，下列条件中，添加后仍不能判定△△的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由判定△△，故A不符合题意； B、由判定△△，故B不符合题意； C、和分别是和的对角，不能判定△△，故C符合题意； D、由，，得到，由判定△△，故D 不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练1】在和中，，，下列条件中，不一定能得到是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、由，，，不可以判定，符合题意； B、由，，，可以判定，不符合题意； C、由，，，可以判定，不符合题意； D、由，，，可以判定，不符合题意． 【跟踪专练2】如图，点在一条直线上，，．再添加一个条件后仍然不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可. 【详解】解：∵，， ∴当时，利用可以证明； 当，即时，不能证明； 当时，利用可以证明； 当时，则，可以证明. 题型14.全等三角形的判定综合 【典例】如图全等的两个三角形是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，需逐一分析各选项中两个三角形的边、角关系，判断是否满足全等三角形的判定定理． 【详解】解：A项：选取①②时，在和中， ， ∴， ∴①②两个三角形全等，故符合题意； B项：选取②③时，三角形③中距离为3的长度与三角形②中距离为3的长度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形②③不全等，故不符合题意； C项：选取②④时，三角形④中度数为的角度与三角形②中度数为的角度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形②④不全等，故不符合题意； D项：选取①④时，三角形④中度数为的角度与三角形①中度数为的角度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形①④不全等，故不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（    ） A．小杭和小州都对 B．小杭对，小州错 C．小杭错，小州对 D．小杭和小州都错 【答案】B 【分析】本题考查确定唯一三角形的条件，需结合三角形全等判定定理分析两位同学的说法． 【详解】解：三边分别相等的两个三角形全等（）， 当，，时，三边长度确定， 能画出唯一的， 故小杭的说法正确； 三个角分别相等的两个三角形形状相同，大小不一定相同， 即存在多个大小不同的三角形满足，，， 不能画出唯一的， 故小州的说法错误； 综上，小杭对，小州错． 故选：B． 【跟踪专练2】根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．，， B．，， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查三角形唯一性的判断，当已知条件符合全等三角形的判定定理（，，，，）时，能画出唯一的三角形，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、已知两边及其中一边的对角，即，不符合全等三角形的判定，不能画出唯一，故本选项错误； B、已知，，夹边，符合全等三角形判定，因此能画出唯一，故本选项正确； C、仅已知一个角和一条边，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误； D、仅已知一条边和一个角，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误． 解答题 1．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴． （2）解：； 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 2．如图1，现有一张直角三角形纸片，，点D为边上一点，将纸片沿所在直线折叠，使点B落在内部的处． (1)若，求的度数； (2)如图2，若点E为线段上一点，将纸片沿所在直线再次折叠，使点D落在上，将纸片完全展开后折痕分别为，，．若，，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图3，在重叠部分（内部）沿过点A的直线剪一刀，得到三张纸片，若这三张纸片中，以点A为顶点的角的度数之比为，写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数为或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，根据角的和差关系求出的度数即可得到答案； （2）由折叠的性质可得，再根据即可得到结论； （3）设沿直线剪开，则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且，再分三种情况：，和，根据角的和差关系讨论求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，设沿直线剪开， 则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且， 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 3．如图，已知，平分交于点B，平分．请仅用无刻度的直尺作图． (1)在图1中，过点A作的垂线，垂足为F； (2)在图2中，所在直线上取一点O，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）连接并延长，交于点F，即为所求的的垂线，F为垂足；根据平行线的性质和角平分线的定义即可解答； （2）延长，与所在直线交于点，即为所求点；根据平行线的性质和角平分线的定义即可解答； 【详解】（1）解：如图1，连接并延长，交于点F，即为所求的的垂线，F为垂足； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 即，符合要求； （2）解：如图2，延长，与所在直线交于点，即为所求点； ∵， ∴， ∵， ∴，完全符合题目要求． 4．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用证明与全等； （2）先根据全等三角形性质得出，进而求出，的长度，再计算； （3）先求出，再根据全等三角形性质得到，最后求出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：， ． ∵， ∴． 又， ． ， ， ； （3）解：，，，， ， ， ， ， ， ． 5．如图，在四边形​中，​，平分​，连接​，若​，​． (1)求证：​； (2)若​，求证：​． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过角的和差得等角，然后用证明； （2）利用、角平分线和三角形全等得到内错角相等，从而证明． 【详解】（1）证明：​， ​， ​， 在​和​中， ， ​． （2）解：​，， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． ∴． 7．已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【答案】①或③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．当选择①时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等；当选择②时，不能判定和全等；当选择③时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等，据此即可得出答案． 【详解】解：当选择①时， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 当选择②时， ∵， ∴， 在和中， ， 此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等； 当选择③时， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴选择条件①或③能够判定和全等． 故答案为：①或③． 8．如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 9．综合与实践 如图（1）将三角板与三角板摆放在一起，其中，，；如图（2），固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记． 【操作发现】 (1)在旋转过程中，当为_________度时，； (2)当与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数； 【拓展应用】 (3)当时，连接，利用图（3）探究的值的大小是否变化，并说明理由． 【答案】(1) (2)，， (3)当，，保持不变，理由见解析 【分析】（1）如图1所示，记与的交点为F，根据三角形内角和定理得出，进而根据，即可求解； （2）分三种情况求解：①当时，②，③，再结合图形求解； （3）在中，根据三角形内角和定理，根据，，可得，即可得出． 【详解】（1）解：如图1所示，记与的交点为F， ， ， ， ， 即； （2）解：①当时，如图2所示， 记与的交点为点F， ， ， ， ，即； ②当时，如图1所示， 结合（1）得，，， ∴； ③当时，如图3所示，， ， ，即， 综上所述：旋转角α的所有可能的度数是：，，； （3）拓展应用：当，，保持不变，理由如下： 如图4，设分别交、于点、， 在中，， ，， ， ，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $